第三節(jié)-系統(tǒng)的傳遞函數(shù)

第二章

系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型第三節(jié)

傳遞函數(shù)

一、傳遞函數(shù)的定義1.定義傳遞函數(shù)是線性定常系統(tǒng)在零初始條件下，輸出量的拉氏變換與輸入量的拉氏變換之比。

設(shè)線性定常系統(tǒng)的微分方程為：

2.關(guān)于傳遞函數(shù)的幾點(diǎn)說明傳遞函數(shù)是在拉氏變換的基礎(chǔ)上導(dǎo)出的，而拉氏變換是一種線性積分變換，因此傳遞函數(shù)的概念只適用于線性定常系統(tǒng)。傳遞函數(shù)是描述系統(tǒng)動(dòng)態(tài)特性的一種數(shù)學(xué)模型，但它是在系統(tǒng)工作在某個(gè)相對(duì)靜止?fàn)顟B(tài)時(shí)得出的。因此，傳遞函數(shù)原則上不能反映系統(tǒng)在非零初始條件下的全部運(yùn)動(dòng)規(guī)律。傳遞函數(shù)只表示輸出量與輸入量的關(guān)系，是一種函數(shù)關(guān)系。這種函數(shù)關(guān)系由系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)和參數(shù)所決定，與輸入信號(hào)和輸出信號(hào)無關(guān)。一個(gè)傳遞函數(shù)只能表示一個(gè)輸入對(duì)一個(gè)輸出的關(guān)系，所以只適用與單輸入單輸出系統(tǒng)的描述，而且系統(tǒng)內(nèi)部的中間變量的變化情況，一個(gè)傳遞函數(shù)也無法全面反映。

⑤傳遞函數(shù)可以寫成零極點(diǎn)表達(dá)式一般地，零點(diǎn)和極點(diǎn)可以為實(shí)數(shù)或復(fù)數(shù)。若為復(fù)數(shù)，必共軛成對(duì)地出現(xiàn)，這是因?yàn)橄到y(tǒng)結(jié)構(gòu)參數(shù)均為正實(shí)數(shù)的緣故。把傳遞函數(shù)的零、極點(diǎn)表示在負(fù)平面上的圖形，稱為傳遞函數(shù)的零、極點(diǎn)分布圖，如下圖2-7所示。圖中零點(diǎn)用”○”表示，極點(diǎn)用”╳”表示。圖2-7

系統(tǒng)的零極點(diǎn)分布圖

二、典型環(huán)節(jié)及其傳遞函數(shù)

在控制工程中，常常將具有某種確定信息傳遞關(guān)系的元件、元件組成或元件的一部分稱為一個(gè)環(huán)節(jié)，經(jīng)常遇到的環(huán)節(jié)則稱為典型環(huán)節(jié)

1.比例環(huán)節(jié)

輸出量以一定的比例復(fù)現(xiàn)輸入量，不失真不滯后的環(huán)節(jié)，稱為比例環(huán)節(jié)。圖2-8數(shù)字運(yùn)算放大器如圖所示是齒輪傳動(dòng)副，T1為輸入轉(zhuǎn)矩，T2為輸出轉(zhuǎn)矩。

2.慣性環(huán)節(jié)輸出量與輸入量之間能用一階線性微分方程描述的環(huán)節(jié)稱為慣性環(huán)節(jié)。其特點(diǎn)是存在儲(chǔ)能元件和耗能元件，在階躍狀態(tài)下，輸出不能立即達(dá)到穩(wěn)態(tài)值。故它的輸出量的變化落后于輸入量。圖2-10RC電路圖2-11機(jī)械轉(zhuǎn)動(dòng)系統(tǒng)

3.積分環(huán)節(jié)輸出量與輸入量的積分成比例的環(huán)節(jié)，稱為積分環(huán)節(jié)。其顯著特點(diǎn)是輸出量取決輸入量對(duì)時(shí)間的積累過程。輸入量作用一段時(shí)間后，即使輸入量消失為零，輸出量仍將保持在已達(dá)到的數(shù)值，故積分環(huán)節(jié)有記憶功能。

例2-13

如圖所示的液壓缸，如果以流量q為輸入量，以活塞的位移x為輸入量，并忽略液壓缸的泄漏及缸體和油液的彈性。

4.微分環(huán)節(jié)輸出量與輸入量的微分成比例的環(huán)節(jié)，稱為微分環(huán)節(jié)。

當(dāng)輸入量為單位階躍信號(hào)時(shí)，輸出量就是脈沖函數(shù)，這在實(shí)際中是不可能的。因此，理想的微分環(huán)節(jié)不能實(shí)現(xiàn)，在實(shí)際中用來執(zhí)行微分作用的都是近似的，稱為實(shí)際微分環(huán)節(jié)，其傳遞函數(shù)具有如下形式：圖2-14無源微分電路這個(gè)電路的傳遞函數(shù)是微分環(huán)節(jié)的傳遞函數(shù)與慣性環(huán)節(jié)的傳遞函數(shù)相乘，所以，實(shí)際的微分環(huán)節(jié)都是具有慣性的。當(dāng)這個(gè)電路的TD=RC<<1時(shí)，可近似得到理想微分環(huán)節(jié)，即G(s)≈TDs。

例2-15

如圖2-15所示，在工程中測(cè)量轉(zhuǎn)速的測(cè)速發(fā)電機(jī)實(shí)質(zhì)上是一臺(tái)直流發(fā)電機(jī)。圖2-15測(cè)速發(fā)電機(jī)

5.一階微分環(huán)節(jié)和二階微分環(huán)節(jié)

一階微分環(huán)節(jié)和二階微分環(huán)節(jié)的微分方程分別為：

相應(yīng)的傳遞函數(shù)分別為：

與微分環(huán)節(jié)一樣，一階微分環(huán)節(jié)和二階微分環(huán)節(jié)在物理系統(tǒng)中也不會(huì)單獨(dú)出現(xiàn)，在其組成中必然包含有慣性環(huán)節(jié)或振蕩環(huán)節(jié)。系統(tǒng)中引入一階微分環(huán)節(jié)和二階微分環(huán)節(jié)主要是用于改善系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)品質(zhì)。

例2-16如圖2-16所示的無源RC電路，根據(jù)基爾霍夫定律和歐姆定律可求得其傳遞函數(shù)為:

可見，該電路的傳遞函數(shù)是由比例環(huán)節(jié)、一階微分環(huán)節(jié)及慣性環(huán)節(jié)組成。

6.振蕩環(huán)節(jié)

振蕩環(huán)節(jié)包含兩種儲(chǔ)能元件，并且兩種能量能夠相互轉(zhuǎn)換。因此，振蕩環(huán)節(jié)的輸出帶有振蕩的性質(zhì)。

圖2-1所示的機(jī)械移動(dòng)系統(tǒng)和圖2-3所示的RLC路，當(dāng)0<ε<1時(shí)，其運(yùn)動(dòng)規(guī)律可用振蕩環(huán)節(jié)描述。

圖2-1機(jī)械移動(dòng)系統(tǒng)

圖2-3RLC電路

在機(jī)械移動(dòng)系統(tǒng)中，兩種儲(chǔ)能元件是儲(chǔ)存動(dòng)能的質(zhì)量m和儲(chǔ)存勢(shì)能的彈簧k。在RLC電路中，兩種儲(chǔ)能元件儲(chǔ)存電場(chǎng)能的電容c和磁場(chǎng)能的電感L。

7.延遲環(huán)節(jié)延遲環(huán)節(jié)又稱時(shí)滯環(huán)節(jié)、滯后環(huán)節(jié)等。

延遲環(huán)節(jié)與慣性環(huán)節(jié)的區(qū)別在于:慣性環(huán)節(jié)從輸入開始時(shí)刻起就有輸出，只是由于慣性，輸出要滯后一段才接近于所要要求的輸出值；延遲環(huán)節(jié)從輸入開始之初并無輸出，但t=之后，輸出就完全等于輸入，如圖2-17所示。

圖2-17延遲環(huán)節(jié)的輸入-輸出關(guān)系

a)輸入信號(hào)b)輸出信號(hào)

8.幾點(diǎn)說明典型環(huán)節(jié)不是具體的元件，而是表示元件或系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)特性的數(shù)學(xué)模型。在