高一數(shù)學(xué)必修一第三章復(fù)習(xí)課

章末復(fù)習(xí)課知識(shí)體系·網(wǎng)絡(luò)構(gòu)建專題一函數(shù)的概念[重要提醒]1．由函數(shù)概念知，一個(gè)函數(shù)的構(gòu)成要素為定義域、對(duì)應(yīng)關(guān)系和值域．(1)定義域是使函數(shù)關(guān)系式有意義的自變量的取值集合．若是針對(duì)實(shí)際問(wèn)題，還要考慮其實(shí)際意義，若是復(fù)合函數(shù)，則要分清中間變量與自變量．(2)對(duì)應(yīng)關(guān)系f是函數(shù)的核心，它是對(duì)自變量x實(shí)施“對(duì)應(yīng)操作”的“程序”或者“方法”．按照這一“程序”，從定義域A中任取一個(gè)x，可得到值域{y|y＝f(x)，x∈A}中唯一的y與之對(duì)應(yīng)．同一“f”可以“操作”不同形式的變量．專題突破·要點(diǎn)聚焦2．函數(shù)式與函數(shù)值f(a)表示x＝a時(shí)f(x)的函數(shù)值，是值域內(nèi)的一個(gè)數(shù)值，它表示的是常量；f(x)表示自變量為x的函數(shù)，它表示的是變量．例如，f(x)＝2x表示函數(shù)；當(dāng)x＝3時(shí)，f(3)＝6是一個(gè)常量．抽象函數(shù)的求值，往往通過(guò)賦值法解決，賦值法就是把滿足條件的特殊值賦給函數(shù)中的某個(gè)變量．它是解決抽象函數(shù)問(wèn)題的常用策略．求函數(shù)值時(shí)，同時(shí)要結(jié)合函數(shù)的性質(zhì)．答案：(－∞，0)∪(0，1]B答案：－1

3答案：15．已知函數(shù)f(x)對(duì)任意正實(shí)數(shù)a，b，都有f(ab)＝f(a)＋f(b)．(1)求f(1)的值；(2)若f(2)＝p，f(3)＝q(p，q為常數(shù))，求f(36)的值．解：(1)令a＝1，b＝1，得f(1)＝f(1)＋f(1)，解得f(1)＝0.(2)法一：令a＝b＝2，得f(4)＝f(2)＋f(2)＝2p.令a＝b＝3，得f(9)＝f(3)＋f(3)＝2q.令a＝4，b＝9，得f(36)＝f(4)＋f(9)＝2p＋2q.法二：因?yàn)?6＝22×32，所以f(36)＝f(22×32)＝f(22)＋f(32)＝f(2×2)＋f(3×3)＝f(2)＋f(2)＋f(3)＋f(3)＝2f(2)＋2f(3)＝2p＋2q.②對(duì)稱：y＝f(x)關(guān)于y軸對(duì)稱y＝f(－x)；y＝f(x)關(guān)于x軸對(duì)稱y＝－f(x)；y＝f(x)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱y＝－f(－x)．③要作y＝|f(x)|的圖象，可先作y＝f(x)的圖象，然后將x軸上及其上方的部分保持不變，x軸下方的部分沿x軸對(duì)稱地翻折上去即可．要作y＝f(|x|)的圖象，可先作y＝f(x)的圖象，然后保持y軸上及其右側(cè)的圖象不變，y軸左側(cè)的圖象換成將y軸右側(cè)的圖象沿y軸翻折而成的圖象即可．[典型問(wèn)題]1．利用平移變換作函數(shù)圖象[典例1]將函數(shù)y＝2(x＋1)2－3的圖象向右平移1個(gè)單位長(zhǎng)度，再向上平移3個(gè)單位長(zhǎng)度．所得的圖象對(duì)應(yīng)的函數(shù)解析式為(

)A．y＝2(x＋2)2－6 B．y＝2x2－6C．y＝2x2 D．y＝2(x＋2)2[解析]根據(jù)函數(shù)圖象的平移規(guī)律得到平移后的圖象對(duì)應(yīng)的解析式為y＝2[(x＋1)－1]2－3＋3＝2x2.C2．利用對(duì)稱變換作函數(shù)圖象3．利用翻折變換作函數(shù)的圖象[典例3]作出函數(shù)y＝|x2－2x－3|及y＝x2－2|x|－3的圖象，觀察它們與函數(shù)y＝x2－2x－3的圖象之間有怎樣的關(guān)系．通過(guò)觀察兩個(gè)圖象可知，y＝|x2－2x－3|的圖象可由y＝x2－2x－3的圖象經(jīng)過(guò)下列變換得到：保持y＝x2－2x－3的圖象在x軸上及其上方的部分不變，將x軸下方的部分沿x軸翻折上去，即可得到y(tǒng)＝|x2－2x－3|的圖象．y＝x2－2|x|－3的圖象可由y＝x2－2x－3的圖象經(jīng)過(guò)下列變換得到：保持y＝x2－2x－3的圖象在y軸上及其右側(cè)的部分不變，y軸左側(cè)的圖象換成將y軸右側(cè)的圖象沿y軸翻折而成的圖象，則這兩部分就構(gòu)成了y＝x2－2|x|－3的圖象．[解析]由題知，y＝f(x)是偶函數(shù)，y＝g(x)是奇函數(shù)．根據(jù)奇、偶函數(shù)圖象的對(duì)稱性畫(huà)出y＝f(x)，y＝g(x)在[－3，0]上的圖象如圖所示．[答案]

{x|－2<x<－1或0<x<1或2<x<3}．專題三函數(shù)的性質(zhì)[重要提醒]1．樹(shù)立“定義域優(yōu)先”的原則．2．函數(shù)的單調(diào)性是相對(duì)于某個(gè)區(qū)間的性質(zhì)，奇偶性，周期性是相對(duì)于定義域的性質(zhì)．3．單調(diào)函數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)若函數(shù)f(x)，g(x)在區(qū)間I上具有單調(diào)性，則在區(qū)間I上具有以下性質(zhì)．(1)f(x)與f(x)＋C(C為常數(shù))具有相同的單調(diào)性．(2)若a為常數(shù)，則當(dāng)a>0時(shí)，f(x)與a·f(x)具有相同的單調(diào)性；當(dāng)a<0時(shí)，f(x)與a·f(x)具有相反的單調(diào)性．f(x)g(x)f(x)＋g(x)f(x)－g(x)增增增不能確定單調(diào)性增減不能確定單調(diào)性增減減減不能確定單調(diào)性減增不能確定單調(diào)性減4.若函數(shù)f(x)與g(x)的定義域相同，且關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，則有f(x)g(x)f(x)＋g(x)f(x)－g(x)奇函數(shù)奇函數(shù)奇函數(shù)奇函數(shù)偶函數(shù)偶函數(shù)偶函數(shù)偶函數(shù)奇函數(shù)偶函數(shù)非奇非偶函數(shù)奇函數(shù)偶函數(shù)奇函數(shù)非奇非偶函數(shù)奇函數(shù)2．函數(shù)的單調(diào)性、奇偶性與周期性的綜合應(yīng)用[典例2]已知定義在R上的奇函數(shù)f(x)滿足f(x－4)＝－f(x)，且在區(qū)間[0，2]上單調(diào)遞增，則(

)A．f(－25)<f(11)<f(80)B．f(80)<f(11)<f(－25)C．f(11)<f(80)<f(－25)D．f(－25)<f(80)<f(11)D[解析]

∵f(x)滿足f(x－4)＝－f(x)，∴f(x－8)＝f(x)，∴函數(shù)f(x)是以8為周期的周期函數(shù)，則f(－25)＝f(－1)，f(80)＝f(0)，f(11)＝f(3)．又f(x)是定義在R上的奇函數(shù)，且滿足f(x－4)＝－f(x)，∴f(11)＝f(3)＝－f(－1)＝f(1)．∵f(x)在區(qū)間[0，2]上單調(diào)遞增，f(x)在R上是奇函數(shù)，∴f(x)在區(qū)間[－2，2]上單調(diào)遞增，∴f(－1)<f(0)<f(1)，即f(－25)<f(80)<f(11)．3．函數(shù)性質(zhì)的判斷[典例3]

(1)設(shè)函數(shù)f(x)和g(x)分別是R上的偶函數(shù)和奇函數(shù)，則下列結(jié)論恒成立的是(

)A．|f(x)|－g(x)是奇函數(shù)B．|f(x)|＋g(x)是偶函數(shù)C．f(x)－|g(x)|是奇函數(shù)D．f(x)＋|g(x)|是偶函數(shù)D(2)(2023·福州高一檢測(cè))已知函數(shù)f(x)對(duì)任意實(shí)數(shù)x，y恒有f(x＋y)＝f(x)＋f(y)，且當(dāng)x>0時(shí)，f(x)<0.給出下列四個(gè)結(jié)論：①f(0)＝0；②f(x)為偶函數(shù)；③f(x)為R上的減函數(shù)；④f(x)為R上的增函數(shù)．其中正確的是(

)A．①③ B．①④C．②③ D．②④AC[解析]

(1)根據(jù)題意有f(－x)＝f(x)，g(－x)＝－g(x)，所以f(－x)＋|g(－x)|＝f(x)＋|－g(x)|＝f(x)＋|g(x)|，所以f(x)＋|g(x)|是偶函數(shù)．同理，無(wú)法判斷選項(xiàng)A，B中的函數(shù)的奇偶性，選項(xiàng)C中的函數(shù)是偶函數(shù)．故選D．(2)函數(shù)f(x)對(duì)任意實(shí)數(shù)x，y恒有f(x＋y)＝f(x)＋f(y)，令x＝y(tǒng)＝0，得f(0)＝2f(0)，∴f(0)＝0，故①正確．令y＝－x，得f(0)＝f(x)＋f(－x)，∴f(－x)＝－f(x)，故②不正確．任取x1>x2，則f(x1)－f(x2)＝f[(x1－x2)＋x2]－f(x2)＝f(x1－x2)＋f(x2)－f(x2)＝f(x1－x2)．∵x1>x2，∴x1－x2>0.又∵x>0時(shí)，f(x)<0，∴f(x1－x2)<0，即f(x1)<f(x2)．∴f(x)為R上的減函數(shù)，故③正確，④不正確．故選A．4．由函數(shù)的性質(zhì)求參數(shù)[典例4]

(1)若函數(shù)f(x)＝x2－|x＋a|為偶函數(shù)，則實(shí)數(shù)a＝________．(2)設(shè)函數(shù)f(x)＝x3＋(a－1)x2＋ax.若f(x)為奇函數(shù)，則a＝________．(3)(2023·南充市適應(yīng)性考試)若函數(shù)f(x)＝x2＋2(a－1)x＋2的單調(diào)遞減區(qū)間是(－∞，4]，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是________．(4)(2023·黃岡市質(zhì)量檢測(cè))若函數(shù)f(x)＝x2＋2(a－1)x＋2在區(qū)間(－∞，4]上單調(diào)遞減，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是________．[解析]

(1)法一：顯然x∈R，由已知得f(－x)＝(－x)2－|－x＋a|＝x2－|x－a|，因?yàn)閒(x)為偶函數(shù)，所以f(x)＝f(－x)，即x2－|x＋a|＝x2－|x－a|，即|x＋a|＝|x－a|，又x∈R，所以a＝0.法二：設(shè)y1＝x2為偶函數(shù)，設(shè)y2＝|x＋a|，要使f(x)＝y(tǒng)1－y2為偶函數(shù)．必須使y2＝|x＋a|為偶函數(shù)．∴a＝0.(2)法一：因?yàn)楹瘮?shù)f(x)＝x3＋(a－1)x2＋ax為奇函數(shù)，所以f(－x)＝－f(x)，所以(－x)3＋(a－1)(－x)2＋a(－x)＝－[x3＋(a－1)x2＋