3.1 橢圓【同步精講】（解析版）

高中數(shù)學(xué)精選資源2/2第3章 圓錐曲線(xiàn)與方程第01講橢圓目標(biāo)導(dǎo)航目標(biāo)導(dǎo)航課程標(biāo)準(zhǔn)重難點(diǎn)理解橢圓的定義與概念2.掌握橢圓的幾何意義1.橢圓離心率的計(jì)算方法2.橢圓與直線(xiàn)的位置關(guān)系知識(shí)精講知識(shí)精講知識(shí)點(diǎn)一橢圓的定義平面內(nèi)到兩定點(diǎn)F1，F(xiàn)2的距離的和等于常數(shù)(大于|F1F2|)的點(diǎn)的軌跡叫做橢圓．兩定點(diǎn)F1，F(xiàn)2叫做橢圓的焦點(diǎn)．集合P＝{M||MF1|＋|MF2|＝2a}，|F1F2|＝2c，其中a＞0，c＞0，且a，c為常數(shù)．(1)當(dāng)2a＞|F1F2|時(shí)，M點(diǎn)的軌跡是橢圓；(2)當(dāng)2a＝|F1F2|時(shí)，M點(diǎn)的軌跡是線(xiàn)段F1F2；(3)當(dāng)2a＜|F1F2|時(shí)，M點(diǎn)不存在．知識(shí)點(diǎn)二橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程和幾何意義標(biāo)準(zhǔn)方程(a＞b＞0)(a＞b＞0)圖形性質(zhì)范圍x∈[－a，a]，y∈[－b，b]x∈[－b，b]，y∈[－a，a]對(duì)稱(chēng)性對(duì)稱(chēng)軸：坐標(biāo)軸；對(duì)稱(chēng)中心：原點(diǎn)頂點(diǎn)A1(－a,0)，A2(a,0)B1(0，－b)，B2(0，b)A1(0，－a)，A2(0，a)B1(－b,0)，B2(b,0)離心率e＝，且e∈(0,1)a，b，c的關(guān)系c2＝a2－b2離心率表示橢圓的扁平程度.當(dāng)e越接近于1時(shí)，c越接近于a，從而b＝越小，因此橢圓越扁；當(dāng)e越接近于0時(shí)，c越接近于0，從而b＝越大，因此橢圓越接近圓；當(dāng)e＝0時(shí)，c＝0，a＝b，兩焦點(diǎn)重合，圖形就是圓.知識(shí)點(diǎn)三常用結(jié)論1．焦半徑：橢圓上的點(diǎn)P(x0，y0)與左(下)焦點(diǎn)F1與右(上)焦點(diǎn)F2之間的線(xiàn)段的長(zhǎng)度叫做橢圓的焦半徑，分別記作r1＝|PF1|，r2＝|PF2|.(1)(a＞b＞0)，r1＝a＋ex0，r2＝a－ex0；(2)(a＞b＞0)，r1＝a＋ey0，r2＝a－ey0；(3)焦半徑中以長(zhǎng)軸為端點(diǎn)的焦半徑最大和最小(近日點(diǎn)與遠(yuǎn)日點(diǎn))．2．焦點(diǎn)三角形：橢圓上的點(diǎn)P(x0，y0)與兩焦點(diǎn)構(gòu)成的△PF1F2叫做焦點(diǎn)三角形，∠F1PF2＝θ，△PF1F2的面積為S，則在橢圓(a＞b＞0)中(1)當(dāng)P為短軸端點(diǎn)時(shí)，θ最大．(2)S＝|PF1||PF2|·sinθ＝b2tan＝c|y0|，當(dāng)|y0|＝b時(shí)，即點(diǎn)P為短軸端點(diǎn)時(shí)，S取最大值，最大值為bc.(3)焦點(diǎn)三角形的周長(zhǎng)為2(a＋c)．3．焦點(diǎn)弦(過(guò)焦點(diǎn)的弦)：焦點(diǎn)弦中以通徑(垂直于長(zhǎng)軸的焦點(diǎn)弦)最短，弦長(zhǎng)lmin＝.4．AB為橢圓(a＞b＞0)的弦，A(x1，y1)，B(x2，y2)，弦中點(diǎn)M(x0，y0)，則(1)弦長(zhǎng)l＝|x1－x2|＝|y1－y2|；(2)直線(xiàn)AB的斜率kAB＝－.能力拓展能力拓展考法01橢圓的定義及應(yīng)用例1(1)已知兩圓C1：(x－4)2＋y2＝169，C2：(x＋4)2＋y2＝9，動(dòng)圓M在圓C1內(nèi)部且和圓C1相內(nèi)切，和圓C2相外切，則動(dòng)圓圓心M的軌跡方程為()例1A. B.C. D.(2)已知F1，F(xiàn)2是橢圓C：(a＞b＞0)的兩個(gè)焦點(diǎn)，P為橢圓C上的一點(diǎn)，且⊥.若△PF1F2的面積為9，則b＝__________.(3)已知F是橢圓5x2＋9y2＝45的左焦點(diǎn)，P是此橢圓上的動(dòng)點(diǎn)，A(1,1)是一定點(diǎn)，則|PA|＋|PF|的最大值為_(kāi)_______，最小值為_(kāi)_______．【答案】(1)D(2)3(3)6＋6－【解析】(1)設(shè)圓M的半徑為r，則|MC1|＋|MC2|＝(13－r)＋(3＋r)＝16＞8＝|C1C2|，所以M的軌跡是以C1，C2為焦點(diǎn)的橢圓，且2a＝16,2c＝8，故所求的軌跡方程為.(2)設(shè)|PF1|＝r1，|PF2|＝r2，則∴2r1r2＝(r1＋r2)2－()＝4a2－4c2＝4b2，∴S△PF1F2＝r1r2＝b2＝9，∴b＝3.(3)橢圓方程化為，設(shè)F1是橢圓的右焦點(diǎn)，則F1(2,0)，∴|AF1|＝，∴|PA|＋|PF|＝|PA|－|PF1|＋6，又－|AF1|≤|PA|－|PF1|≤|AF1|(當(dāng)P，A，F(xiàn)1共線(xiàn)時(shí)等號(hào)成立)，∴6－≤|PA|＋|PF|≤6＋.【跟蹤訓(xùn)練】1．在本例(2)中增加條件“△PF1F2的周長(zhǎng)為18”，其他條件不變，則該橢圓的方程為_(kāi)_______________．【答案】【解析】由原題得b2＝a2－c2＝9，又2a＋2c＝18，所以a－c＝1，解得a＝5，故橢圓方程為.2．(變條件)將本例(2)中的條件“⊥”“△PF1F2的面積為9”變?yōu)椤啊螰1PF2＝60°”，“＝3”，則b的值為_(kāi)_______．【答案】3【解析】因?yàn)閨PF1|＋|PF2|＝2a，又∠F1PF2＝60°，所以|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1||PF2|cos60°＝|F1F2|2，即(|PF1|＋|PF2|)2－3|PF1||PF2|＝4c2，所以3|PF1||PF2|＝4a2－4c2＝4b2，所以|PF1||PF2|＝b2，又因?yàn)椋絴PF1||PF2|sin60°＝×b2×＝b2＝3，所以b＝3.【方法總結(jié)】橢圓定義的應(yīng)用主要有兩個(gè)方面：一是確認(rèn)平面內(nèi)與兩定點(diǎn)有關(guān)的軌跡是否為橢圓；二是當(dāng)P在橢圓上時(shí)，與橢圓的兩焦點(diǎn)F1，F(xiàn)2組成的三角形通常稱(chēng)為“焦點(diǎn)三角形”，利用定義可求其周長(zhǎng)，利用定義和余弦定理可求|PF1|·|PF2|，通過(guò)整體代入可求其面積等．考法02橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程例2（1）如圖，已知橢圓C的中心為原點(diǎn)O，F(xiàn)(－5,0)為C的左焦點(diǎn)，P為C上一點(diǎn)，滿(mǎn)足|OP|＝|OF|且|PF|＝6，則橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為()例2A. B.C. D.（2）已知橢圓的中心在原點(diǎn)，以坐標(biāo)軸為對(duì)稱(chēng)軸，且經(jīng)過(guò)兩點(diǎn)，(，)，則橢圓的方程為_(kāi)___________________．(3)過(guò)點(diǎn)(，－)，且與橢圓有相同焦點(diǎn)的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為_(kāi)___________．【答案】(1)C(2)(3)【解析】(1)由題意可得c＝5，設(shè)右焦點(diǎn)為F′，連接PF′(圖略)，由|OP|＝|OF|＝|OF′|知，∠PFF′＝∠FPO，∠OF′P＝∠OPF′，∴∠PFF′＋∠OF′P＝∠FPO＋∠OPF′，∴∠FPO＋∠OPF′＝90°，即PF⊥PF′.在Rt△PFF′中，由勾股定理，得|PF′|＝＝8，由橢圓的定義，得|PF|＋|PF′|＝2a＝6＋8＝14，從而a＝7，a2＝49，于是b2＝a2－c2＝49－25＝24，∴橢圓C的方程為，故選C.(2)設(shè)橢圓方程為mx2＋ny2＝1(m＞0，n＞0，m≠n)．由解得m＝，n＝.所以橢圓方程為.(3)法一：定義法橢圓的焦點(diǎn)為(0，－4)，(0,4)，即c＝4.由橢圓的定義，知2a＝，解得a＝2.由c2＝a2－b2可得b2＝4，所以所橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.法二：待定系數(shù)法∵所求橢圓與橢圓的焦點(diǎn)相同，∴其焦點(diǎn)在y軸上，且c2＝25－9＝16.設(shè)它的標(biāo)準(zhǔn)方程為(a＞b＞0)．∵c2＝16，且c2＝a2－b2，故a2－b2＝16.①又點(diǎn)(，－)在所求橢圓上，即.②由①②得b2＝4，a2＝20，∴所求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.【解題方法】定義法根據(jù)橢圓的定義，確定a2，b2的值，結(jié)合焦點(diǎn)位置寫(xiě)出橢圓方程待定系數(shù)法待定系數(shù)法是根據(jù)題目所給的條件確定橢圓中的兩個(gè)系數(shù)a，b.當(dāng)不知焦點(diǎn)在哪一個(gè)坐標(biāo)軸上時(shí)，一般可設(shè)所求橢圓的方程為mx2＋ny2＝1(m＞0，n＞0，m≠n)，再用待定系數(shù)法求出m，n的值即可考法03求離心率例3（1）已知F1，F(xiàn)2是橢圓C：(a＞b＞0)的左、右焦點(diǎn)，A是C的左頂點(diǎn)，點(diǎn)P在過(guò)A且斜率為的直線(xiàn)上，△PF1F2為等腰三角形，∠F1F2P＝120°，則C的離心率為()例3A. B.C. D.(2)過(guò)橢圓C：(a＞b＞0)的右焦點(diǎn)作x軸的垂線(xiàn)，交C于A(yíng)，B兩點(diǎn)，直線(xiàn)l過(guò)C的左焦點(diǎn)和上頂點(diǎn)．若以AB為直徑的圓與l存在公共點(diǎn)，則C的離心率的取值范圍是()A. B.C. D.【答案】(1)D(2)A【解析】(1)如圖，作PB⊥x軸于點(diǎn)B.由題意可設(shè)|F1F2|＝|PF2|＝2，則c＝1.由∠F1F2P＝120°，可得|PB|＝，|BF2|＝1，故|AB|＝a＋1＋1＝a＋2，tan∠PAB＝＝＝，解得a＝4，所以e＝＝(2)由題設(shè)知，直線(xiàn)l：，即bx－cy＋bc＝0，以AB為直徑的圓的圓心為(c,0)，根據(jù)題意，將x＝c代入橢圓C的方程，得y＝±，即圓的半徑r＝.又圓與直線(xiàn)l有公共點(diǎn)，所以≤，化簡(jiǎn)得2c≤b，平方整理得a2≥5c2，所以e＝≤.又0＜e＜1，所以0＜e≤.故選A.【方法總結(jié)】看個(gè)性(1)定義法：根據(jù)條件求出a，c，直接利用公式e＝求解．(2)方程法：根據(jù)條件得到關(guān)于a，b，c的齊次等式(不等式)，結(jié)合b2＝a2－c2轉(zhuǎn)化為關(guān)于a，c的齊次等式(不等式)，然后將該齊次等式(不等式)兩邊同時(shí)除以a或a2轉(zhuǎn)化為關(guān)于e或e2的方程(不等式)，解方程(不等式)即可得e(e的取值范圍)．與橢圓有關(guān)的范圍或最值問(wèn)題常常涉及一些不等式．例如－a≤x≤a，－b≤y≤b,0＜e＜1，所以在求與橢圓有關(guān)的相關(guān)量的范圍時(shí)，要注意應(yīng)用這些不等關(guān)系[口訣記憶](méi)離心率，不用愁，尋找等式消b求；幾何圖形尋蹤跡，等式藏在圖形中．找共性1.無(wú)論題型如何變化，都是圍繞橢圓的幾何性質(zhì)，外加其他條件來(lái)考查，所以理清橢圓的幾個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)(頂點(diǎn)、原點(diǎn)、焦點(diǎn)、對(duì)稱(chēng)軸)和靈活應(yīng)用幾個(gè)公式，理清a，b，c的內(nèi)在聯(lián)系(a，b，c的關(guān)系式→構(gòu)造a，c的齊次方程或不等式)，便可以不變應(yīng)萬(wàn)變．2.與橢圓幾何性質(zhì)有關(guān)的問(wèn)題要結(jié)合圖形進(jìn)行分析，即使畫(huà)不出圖形，思考時(shí)也要聯(lián)想到一個(gè)圖形分層提分分層提分題組A基礎(chǔ)過(guò)關(guān)練1．若橢圓上一點(diǎn)到橢圓一個(gè)焦點(diǎn)的距離為，則到另一個(gè)焦點(diǎn)的距離為（）A． B． C． D．【答案】D【解析】設(shè)點(diǎn)到另一個(gè)焦點(diǎn)的距離為，由橢圓方程可知，，則，所以.故選：D2．橢圓的離心率為（）A． B． C． D．【答案】D【解析】因?yàn)闄E圓方程為：，所以，，所以，又，所以，所以離心率故選：D3．已知定點(diǎn)F1，F(xiàn)2，且|F1F2|＝8，動(dòng)點(diǎn)P滿(mǎn)足|PF1|＋|PF2|＝8，則動(dòng)點(diǎn)P的軌跡是（）A．橢圓 B．圓 C．直線(xiàn) D．線(xiàn)段【答案】D【解析】因?yàn)閨PF1|＋|PF2|＝|F1F2|，所以動(dòng)點(diǎn)P的軌跡是線(xiàn)段F1F2.故選：D4．橢圓與關(guān)系為（）A．有相等的長(zhǎng)軸 B．有相等的短軸C．有相等的焦點(diǎn) D．有相等的焦距【答案】D【解析】橢圓的長(zhǎng)軸為10，短軸為6，焦距為8，焦點(diǎn)分別為，橢圓的長(zhǎng)軸為，短軸為，焦距為8，焦點(diǎn)分別為，所以?xún)蓹E圓的焦距相同，故選：D5．已知，則“”是“方程表示橢圓”的（）A．必要不充分條件 B．充分不必要條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】B【解析】方程表示橢圓，則，所以“”是“方程表示橢圓”的充分不必要條件.故選：B6．若橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)坐標(biāo)為，則下列結(jié)論中正確的是（）A． B．C的長(zhǎng)軸長(zhǎng)為 C．C的短軸長(zhǎng)為4 D．C的離心率為【答案】AB【解析】由已知可得，解得或（舍去），∴長(zhǎng)軸長(zhǎng)為，短軸長(zhǎng)為，離心率為，故選：AB.7．已知橢圓C：＋＝1（a＞b＞0），若長(zhǎng)軸長(zhǎng)為6，且兩焦點(diǎn)恰好將長(zhǎng)軸三等分，則此橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為_(kāi)__________.【答案】＋＝1【解析】橢圓長(zhǎng)軸長(zhǎng)為6，即2a＝6，得a＝3，∵兩焦點(diǎn)恰好將長(zhǎng)軸三等分，∴2c＝·2a＝2，得c＝1，∴b2＝a2－c2＝9－1＝8，∴此橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為＋＝1.故答案為：8．方程表示的曲線(xiàn)是橢圓，則實(shí)數(shù)的取值范圍是____________．【答案】；【解析】由題意且，解得．故答案為：．題組B能力提升練1．已知橢圓對(duì)稱(chēng)中心為坐標(biāo)原點(diǎn)，對(duì)稱(chēng)軸為坐標(biāo)軸，該橢圓的一焦點(diǎn)坐標(biāo)為且過(guò)點(diǎn)，求該橢圓的長(zhǎng)軸長(zhǎng)為（）A． B．C． D．【答案】C【解析】由橢圓的一焦點(diǎn)坐標(biāo)為，可得所求橢圓焦點(diǎn)在軸上，設(shè)所求橢圓方程為：，則橢圓的另一焦點(diǎn)為，又橢圓過(guò)點(diǎn)由橢圓的定義可得：故選：C2．阿基米德既是古希臘著名的物理學(xué)家，也是著名的數(shù)學(xué)家，他利用“逼近法”得到橢圓的面積除以圓周率等于橢圓的長(zhǎng)半軸長(zhǎng)與短半軸長(zhǎng)的乘積.若橢圓的中心為原點(diǎn)，焦點(diǎn)、在軸上，橢圓的面積為，且離心率為，則的標(biāo)準(zhǔn)方程為（）A． B． C． D．【答案】C【解析】由題意可知，橢圓的面積為，且、、均為正數(shù)，即，解得，因?yàn)闄E圓的焦點(diǎn)在軸上，所以的標(biāo)準(zhǔn)方程為.故選：C.3．嫦娥四號(hào)月球探測(cè)器于2018年12月8日搭載長(zhǎng)征三號(hào)乙運(yùn)載火箭在西昌衛(wèi)星發(fā)射中心發(fā)射.12日下午4點(diǎn)43分左右，嫦娥四號(hào)順利進(jìn)入了以月球球心為一個(gè)焦點(diǎn)的橢圓形軌道，如圖中軌道③所示，其近月點(diǎn)與月球表面距離為100公里，遠(yuǎn)月點(diǎn)與月球表面距離為400公里，已知月球的直徑約為3476公里，對(duì)該橢圓有四個(gè)結(jié)論：①焦距長(zhǎng)約為300公里；②長(zhǎng)軸長(zhǎng)約為3988公里；③兩焦點(diǎn)坐標(biāo)約為(±150，0)；④離心率約為．則上述結(jié)論正確的是（）A．①②④ B．①③④C．①④ D．②③④【答案】C【解析】設(shè)該橢圓的半長(zhǎng)軸長(zhǎng)為a，半焦距長(zhǎng)為c．依題意可得月球半徑約為×3476＝1738，a－c＝100＋1738＝1838，a＋c＝400＋1738＝2138，2a＝1838＋2138＝3976，a＝1988，c＝2138－1988＝150，橢圓的離心率約為e＝＝，可得結(jié)論①④正確，②錯(cuò)誤；因?yàn)闆](méi)有給坐標(biāo)系，焦點(diǎn)坐標(biāo)不確定，所以③錯(cuò)誤．故選：C．4．已知是橢圓上一動(dòng)點(diǎn)，，分別是圓與圓上一動(dòng)點(diǎn)，則（）A．的最小值為 B．的最小值為C．的最大值為 D．的最大值為【答案】AD【解析】圓與圓的圓心分別為：；，則、是橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)坐標(biāo)，兩個(gè)圓的半徑為，所以的最大值為；的最小值.故選：AD.5．已知橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)分別為，與軸正半軸交于點(diǎn)，下列選項(xiàng)中給出的條件，能夠求出橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程的選項(xiàng)是（）A．是等腰直角三角形B．已知橢圓的離心率為，短軸長(zhǎng)為2C．是等邊三角形，且橢圓的離心率為D．設(shè)橢圓的焦距為4，點(diǎn)在圓上【答案】BD【解析】對(duì)A，若是等腰直角三角形可知，沒(méi)具體數(shù)據(jù)得不出方程；對(duì)B，已知橢圓的離心率為，短軸長(zhǎng)為2，則，由所以，所以橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程為，故B正確；對(duì)C，是等邊三角形，且橢圓的離心率為，所以，，數(shù)據(jù)不足，得不到結(jié)果；對(duì)D，設(shè)橢圓的焦距為4，點(diǎn)在圓上，所以，由，所以，所以橢圓方程為，故D正確故選：BD6．已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為，，右頂點(diǎn)為，且離心率為，求短軸長(zhǎng)為_(kāi)_____.【答案】【解析】由題意，橢圓的右頂點(diǎn)為，可得，又由橢圓的離心率為，即，可得，所以，所以，即橢圓的短軸長(zhǎng)為.故答案為：.7．已知，分別為橢圓的左?右焦點(diǎn)，過(guò)的直線(xiàn)與橢圓交于，兩點(diǎn)，且，，則橢圓的離心率為_(kāi)__________.【答案】【解析】如圖,設(shè)又,由橢圓定義知,,可得：即，在中,由余弦定理可得,，即.即,解得:.故答案為:8．分別求適合下列條件的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程：（1）離心率是，長(zhǎng)軸長(zhǎng)是6；（2）在x軸上的一個(gè)焦點(diǎn)與短軸兩個(gè)端點(diǎn)的連線(xiàn)互相垂直，且焦距為6．【答案】（1）或；（2）．【解析】（1）設(shè)橢圓的方程為或．由已知得2a＝6，，所以a＝3，c＝2．所以b2＝a2－c2＝9－4＝5．所以橢圓方程為或．（2）設(shè)橢圓方程為．如圖所示，△A1FA2為一等腰直角三角形，OF為斜邊A1A2上的中線(xiàn)(高)，且|OF|＝c，|A1A2|＝2b，所以c＝b＝3所以a2＝b2＋c2＝18，故所求橢圓的方程為．題組C培優(yōu)拔尖練1．已知橢圓E:的左焦點(diǎn)為F，過(guò)點(diǎn)P(2，t)作橢圓E的切線(xiàn)PA、PB，切點(diǎn)分別是A、B，則三角形ABF面積最大值為（）A． B．1 C．2 D．【答案】A【解析】由橢圓方程，知，，設(shè)右焦點(diǎn)為，即設(shè),，由橢圓的切線(xiàn)方程可知切線(xiàn)PA的方程為，切線(xiàn)PB的方程為由于點(diǎn)P在切線(xiàn)PA、PB上，則，故直線(xiàn)方程為，所以直線(xiàn)過(guò)定點(diǎn)，且定點(diǎn)為橢圓的右焦點(diǎn)，聯(lián)立方程，消去x得：由韋達(dá)定理得，，令，則，，則，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號(hào)成立，故三角形ABF面積最大值為故選：A2．已知F是橢圓的左焦點(diǎn)，A是該橢圓的右頂點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)F的直線(xiàn)l（不與x軸重合）與該橢圓相交于點(diǎn)M，N．記，設(shè)該橢圓的離心率為e，下列結(jié)論正確的是（）A．當(dāng)時(shí)， B．當(dāng)時(shí)，C．當(dāng)時(shí)， D．當(dāng)時(shí)，【答案】A【