專題13有理數(shù)的乘方

專題13有理數(shù)的乘方1.理解并掌握有理數(shù)的乘方，冪，底數(shù)，指數(shù)的概念及意義.2.會求有理數(shù)的正整數(shù)指數(shù)冪.3.熟練掌握有理數(shù)混合運算（含乘方）順序和法則.4.感受發(fā)現(xiàn)問題的過程中體會到數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的樂趣，從而增進(jìn)學(xué)好數(shù)學(xué)的自信心.1.有理數(shù)的乘方乘方的概念：求個相同因數(shù)的積的運算叫做乘方，乘方的結(jié)果叫做冪．一般地，個相同的因數(shù)相乘，即，記作，讀作“的次方”；在中，叫做底數(shù)，叫做指數(shù)；當(dāng)看作的次方的結(jié)果時，讀作的次冪．注意：①乘方運算中的“1次方”通常把“1”省略，但不代表沒有；②乘方運算，代表的是多個相同因數(shù)相乘，要與乘法運算區(qū)分開來；③在運算時要注意看清楚底數(shù)和指數(shù)到底是誰；如：，其底數(shù)為，；，其底數(shù)為，；，其底數(shù)為，；，其底數(shù)為，；，帶分?jǐn)?shù)的乘方運算，一定要先化成假分?jǐn)?shù)后再運算．2．有理數(shù)指數(shù)冪的符號規(guī)律：1）負(fù)數(shù)的奇次冪是負(fù)數(shù)，負(fù)數(shù)的偶次冪是正數(shù)，即“奇負(fù)偶正”；2）正數(shù)的任何次冪都是正數(shù)；3）0的任何正整數(shù)次冪都是0．注意:除0以外的任何數(shù)的“0次冪”結(jié)果為1.【題型一】有理數(shù)乘方的概念【解題技巧】有理數(shù)乘方的概念求n個相同因數(shù)的積的運算，叫做乘方，乘方的結(jié)果叫做冪．即有：.在中，叫做底數(shù)，n叫做指數(shù).【典題1】（2021·天津市靜海區(qū)七年級期中）的底數(shù)是____;指數(shù)是_______;結(jié)果是______.【答案】

3

3

﹣27【分析】根據(jù)乘方的定義進(jìn)行判斷．【詳解】解：根據(jù)題意得：，∴底數(shù)為3，指數(shù)為3，結(jié)果為﹣27，故答案為3，3，﹣27．【點睛】本題考查了乘方的意義，一般地，n個相同的因數(shù)a相乘，即a·a·a·…·a計作an，這種求幾個相同因數(shù)的積的運算，叫做乘方，乘方的結(jié)果叫做冪．在an中，a叫做底數(shù)，n叫做指數(shù)．【典題2】（2021·興化市七年級期中）對于與，下列說法正確的是

A．它們的意義相同 B．它們的結(jié)果相等C．它們的意義相同，結(jié)果相等 D．它們的意義不同，結(jié)果不相等【答案】D【分析】本題考查了有理數(shù)的乘方表示的意義，根據(jù)有理數(shù)的乘方表示的意義，即可求得答案．【詳解】解：表示的相反數(shù)，結(jié)果是，表示的4次方，結(jié)果是，因此二者意義不同，結(jié)果也不相同，故選D．【點睛】本題考查了有理數(shù)的乘方，是基礎(chǔ)題，熟記概念是解題的關(guān)鍵．【變式練習(xí)】1.（2021·浙江七年級單元測試）下列說法正確的是（）A．的底數(shù)是 B．讀作：2的3次方C．27的指數(shù)是0 D．負(fù)數(shù)的任何次冪都是負(fù)數(shù)【答案】B【分析】根據(jù)有理數(shù)乘方的定義解答．【詳解】解：A、23的底數(shù)是2，故本選項錯誤；B、23讀作：2的3次方，故本選項正確；C、27的指數(shù)是1，故本選項錯誤；D、負(fù)數(shù)的偶數(shù)次冪是正數(shù)，故本選項錯誤．故選：B．【點睛】本題考查了有理數(shù)的乘方，要知道，負(fù)數(shù)的偶數(shù)次冪是正數(shù)，負(fù)數(shù)的奇數(shù)次冪是負(fù)數(shù)．2．（2021·湖南常德·七年級期中）表示的意義是（

）A．個相乘的積 B．個相乘的積 C．乘以 D．個相加【答案】B【分析】根據(jù)乘方的意義即可求解；【詳解】解：表示的意義表示個相乘的積，故選：B【點睛】本題主要考察有理數(shù)乘方的意義：，熟練掌握乘方的意義的解題的關(guān)鍵3．（2021·浙江寧波·七年級期中）對于（﹣4）3和﹣43，下列說法正確的是（）A．底數(shù)相同，指數(shù)相同B．底數(shù)不同，指數(shù)不同C．底數(shù)相同，運算結(jié)果不同D．底數(shù)不同，運算結(jié)果相同【答案】D【分析】根據(jù)冪的性質(zhì)判斷即可；【詳解】由（﹣4）3和﹣43可知：指數(shù)相同，底數(shù)不同，，，運算結(jié)果相同；故選D．【點睛】本題主要考查了冪的認(rèn)識和運算，準(zhǔn)確分析判斷是解題的關(guān)鍵．【題型二】有理數(shù)乘方的運算【解題技巧】有理數(shù)乘方的運算（1）正數(shù)的任何次冪都是正數(shù)；（2）負(fù)數(shù)的奇次冪是負(fù)數(shù)，負(fù)數(shù)的偶次冪是正數(shù)；（3）0的任何正整數(shù)次冪都是0；（4）有理數(shù)的乘方運算與有理數(shù)的加減乘除運算一樣，首先應(yīng)確定冪的符號，然后再計算冪的絕對值．【典題1】（2021·湖北襄陽市·九年級二模）的倒數(shù)是（）A．－4 B． C． D．4【答案】A【分析】根據(jù)有理數(shù)的乘方和倒數(shù)定義計算即可．【詳解】解：，的倒數(shù)為－4；故選：A．【點睛】本題考查有理數(shù)的乘方和倒數(shù)的定義，解題關(guān)鍵是明確倒數(shù)的定義，熟練運用相關(guān)法則進(jìn)行計算．【典題2】（2022·河北邯鄲·三模）計算：（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)有理數(shù)的乘法和乘方運算求解即可．【詳解】解：=2m+3n．故選：D．【點睛】本題考查了有理數(shù)的乘法，有理數(shù)的乘方，數(shù)學(xué)常識，注意分辯．【變式練習(xí)】1．（2022·湖北襄陽·模擬預(yù)測）（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)有理數(shù)的乘方運算法則進(jìn)行運算，即可求得【詳解】解：，故選：B．【點睛】本題考查了有理數(shù)的乘方運算，解答本題的關(guān)鍵是掌握有理數(shù)乘方運算法則．2.（2021·山東德州市·七年級期中）計算（）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)冪的運算進(jìn)行計算即可；【詳解】，故答案選B．【點睛】本題主要考查了冪的定義，準(zhǔn)確計算是解題的關(guān)鍵．【題型三】乘方運算的符號規(guī)律【解題技巧】乘方的符號規(guī)律：1）負(fù)數(shù)的奇次冪是負(fù)數(shù)，負(fù)數(shù)的偶次冪是正數(shù)，即“奇負(fù)偶正”；2）正數(shù)的任何次冪都是正數(shù)；3）0的任何正整數(shù)次冪都是0．【典題1】（2021·江蘇蘇州市·七年級月考）互為相反數(shù)，下列各數(shù)中，一定互為相反數(shù)的一組為（）A．與B．與C．與（為正整數(shù)）D．與（為正整數(shù)）【答案】D【分析】依據(jù)相反數(shù)的定義以及有理數(shù)的乘方法則進(jìn)行判斷即可．【詳解】解：A、a，b互為相反數(shù)，則a2＝b2，故A錯誤；B、a，b互為相反數(shù)，則a3＝?b3，故a3與b5不一定互為相反數(shù)，故B錯誤；C、a，b互為相反數(shù)，則a2n＝b2n，故C錯誤；D、a，b互為相反數(shù)，由于2n＋1是奇數(shù)，則a2n＋1與b2n＋1互為相反數(shù)，故D正確；故選：D．【點睛】本題考查了相反數(shù)和乘方的意義，明確只有符號不同的兩個數(shù)叫做互為相反數(shù)，還要熟練掌握互為相反數(shù)的兩個數(shù)的偶數(shù)次方相等，奇次方還是互為相反數(shù)．【典題2】（2021·浙江寧波·七年級期中）下列各組數(shù)中，結(jié)果相等的是（

）A．52與25B．﹣22與（﹣2）2C．﹣34與（﹣3）4D．（﹣1）2與（﹣1）20【答案】D【分析】A、根據(jù)冪的定義化簡即可判定；B、根據(jù)冪的定義化簡即可判定；C、根據(jù)冪的定義計算即可判定；D、根據(jù)有理數(shù)的乘方運算法則計算即可判定．【詳解】解：A.52=25，25=32，故不符合題意；B.﹣22=4，（﹣2）2=4，故不符合題意；

C.﹣34=81，（﹣3）4=81，故不符合題意；

D.（﹣1）2=1，（﹣1）20=1，故符合題意．故選D．【點睛】本題主要考查了冪的定義和有理數(shù)的乘方運算，熟練掌握相關(guān)的定義和法則是解題的關(guān)鍵．【變式練習(xí)】1.（2021·平山縣外國語中學(xué)七年級期末）當(dāng)a＜0時，在下列等式①a2021＜0；②a2021=(a)2021；③a2020=(a)2020；④a2021=a2021中，使等式成立的有（）A．①②③ B．②③④ C．①②④ D．①③④【答案】A【分析】根據(jù)負(fù)數(shù)的奇次冪是負(fù)數(shù)，偶次冪是正數(shù)即可解答．【詳解】解：當(dāng)a＜0時，a2021是負(fù)數(shù)，故①正確；(a)2021＝a2021，a2021=(a)2021，故②正確，④錯誤；a2020=(a)2020，故③正確；綜上所述，①②③正確．故選：A．【點睛】本題主要考查了有理數(shù)乘方的符號規(guī)律，掌握有理數(shù)乘方的符號規(guī)律：一個負(fù)數(shù)的奇次冪是負(fù)數(shù)，一個負(fù)數(shù)的偶次冪是正數(shù)．2．（2022·河北·石家莊市第四十一中學(xué)模擬預(yù)測）若非零數(shù)a，b互為相反數(shù)，下列四組數(shù)中，互為相反數(shù)的個數(shù)為（

）①與；②與；③與；④與A．0 B．1 C．2 D．3【答案】C【分析】根據(jù)相反數(shù)的定義逐一解答．【詳解】解：a，b互為相反數(shù)，則，即與不互為相反數(shù)；a，b互為相反數(shù)，則，故，即與互為相反數(shù)：a，b互為相反數(shù)，則，，即與互為相反數(shù)，與不互為相反數(shù)，則互為相反數(shù)的有②③故選：C．【點睛】本題考查相反數(shù)的意義，是基礎(chǔ)考點，掌握相關(guān)知識是解題關(guān)鍵．【題型四】有理數(shù)乘方的簡算【解題技巧】性質(zhì)：【典題1】（2022·山東·泰安市泰山區(qū)樹人外國語學(xué)校期中）計算的結(jié)果是（）A．9 B． C．2 D．【答案】B【分析】根據(jù)乘方的逆運算進(jìn)行計算．【詳解】解：原式=故選B【點睛】本題主要考查有理數(shù)乘方的運算性質(zhì)的應(yīng)用，掌握乘方運算是解題的關(guān)鍵．【典題2】（2021·湖南株洲市·七年級期中）計算的結(jié)果是（）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)乘方的意義進(jìn)行簡便運算，再根據(jù)有理數(shù)乘法計算即可．【詳解】解：，==，=，=，故選：D．【點睛】本題考查了有理數(shù)的混合運算，解題關(guān)鍵是熟練依據(jù)乘方的意義進(jìn)行簡便運算，準(zhǔn)確進(jìn)行計算．【變式練習(xí)】1．（2021·山東淄博·期中）等于（

）A． B．8 C．0.125 D．【答案】B【分析】根據(jù)有理數(shù)的乘方進(jìn)行計算即可．【詳解】解：．故選B【點睛】本題考查了有理數(shù)的乘方運算，掌握有理數(shù)的乘方運算是解題的關(guān)鍵．2．（2022·全國·七年級）計算的結(jié)果是（）A． B． C． D．【答案】B【分析】先將改寫成，再根據(jù)有理數(shù)乘方與乘法的運算法則進(jìn)行計算即可得．【詳解】解：原式．故選：B．【點睛】本題考查了有理數(shù)的乘方，熟練掌握運算法則是解題關(guān)鍵．【題型五】含乘方的混合運算【解題技巧】有理數(shù)混合運算的順序：(1)先乘方，再乘除，最后加減；(2)同級運算，從左到右進(jìn)行；(3)如有括號，先做括號內(nèi)的運算，按小括號、中括號、大括號依次進(jìn)行．【典題1】（2022·全國七年級專題練習(xí)）計算：（1）

（2）－12×（－5）÷[－32＋（－2）2]．【答案】（1）28.（2）12【分析】（1）先乘方，再加減即可；（2）先乘方，再計算中括號，最后根據(jù)有理數(shù)的乘法法則計算即可.【詳解】(1)(2)【典題2】（2022·全國·七年級）計算：(1)；(2)﹣23÷8﹣×（﹣2）2；(3)﹣24+（3﹣7）2﹣2×（﹣1）2；(4)[（﹣2）3+]÷4+（﹣）．【答案】(1)1；(2)﹣2；(3)﹣2；(4)【分析】（1）運用乘法分配律，計算求值即可；（2）先算乘方，再算乘除，最后算加減；（3）先算乘方，再算乘除，最后算加減；（4）先算乘方，再算中括號里的，再算除法，再算加法.(1)解：原式=＝6+9﹣14＝1；(2)解：原式=＝﹣1﹣1＝﹣2；(3)解：原式=﹣16+（﹣4）2﹣2×1＝﹣16+16﹣2＝﹣2；(4)解：原式=＝＝＝.【點睛】本題考查了有理數(shù)的混合運算法則：先乘方，再乘除，最后加減；同級運算，從左往右進(jìn)行；如果有括號，先做括號內(nèi)的運算，按小括號、中括號、大括號依次進(jìn)行．【變式練習(xí)】1．（2021·廣東梅州·七年級期末）計算：【答案】17【分析】首先計算乘方、零指數(shù)冪、負(fù)整數(shù)指數(shù)冪，然后從左向右依次計算，求出算式的值是多少即可．【詳解】解：＝﹣1＋1＋9－（﹣8）＝﹣1＋1＋9＋8＝17【點睛】此題主要考查了乘方、零指數(shù)冪、負(fù)整數(shù)指數(shù)冪，熟練掌握運算法則是解題的關(guān)鍵．2．（2021·江蘇七年級月考）計算：（1），（2），（3），（4）【答案】（1）1；（2）；（3）；（4）【分析】（1）按照有理數(shù)加減混合運算法則計算即可；（2）先算括號內(nèi)的，然后在進(jìn)行加減混合運算即可；（3）先算除法和乘方，然后按照有理數(shù)加減法運算法則計算即可；（4）先利用乘法分配律，然后根據(jù)有理數(shù)加減法運算法則計算即可．【詳解】（1）原式=（2）原式===（3）原式===（4）原式===【點睛】本題考查了含乘方的有理數(shù)加減乘除混合運算，乘法運算律，熟練掌握運算法則是本題的關(guān)鍵．【題型六】有理數(shù)乘方的應(yīng)用（二進(jìn)制與末位數(shù)字問題）【解題技巧】此類題型通常乘方運算種的冪比較大，且無簡單計算方法，直接計算幾乎無法進(jìn)行。但此類題型也并非需要求解出最終的結(jié)果，往往只需要求解這組數(shù)的末尾數(shù)字。因此，在解這類時，我們只需要關(guān)注末位數(shù)字，通過多計算幾組末尾數(shù)字，找出末尾數(shù)字的變化規(guī)律。最后依舊變化規(guī)律，分析出最終結(jié)果。【典題1】（2022·山東臨沂·八年級期末）我國古代《易經(jīng)》一書中記載，遠(yuǎn)古時期，人們通過在繩子上打結(jié)來記錄數(shù)量，即“結(jié)繩記數(shù)”．如圖，一位母親在從右到左依次排列的繩子上打結(jié)，滿七進(jìn)一，用來記錄孩子自出生后的天數(shù)．請根據(jù)圖，計算孩子自出生后的天數(shù)是______天．【答案】109【分析】類比于現(xiàn)在我們的十進(jìn)制“滿十進(jìn)一”計算．【詳解】解：，故答案為：109．【點睛】本題是以古代“結(jié)繩計數(shù)”為背景，按滿七進(jìn)一計算自孩子出生后的天數(shù)，運用了類比的方法，考查有理數(shù)乘方應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是根據(jù)圖中的點列式計算；本題題型新穎，一方面讓學(xué)生了解了古代的數(shù)學(xué)知識，另一方面也考查了學(xué)生的思維能力．【典題2】（2022·全國·七年級單元測試）觀察算式：31＝3，32＝9，33＝27，34＝81，35＝243，36＝729，37＝2187，38＝6561，…．通過觀察，用你所發(fā)現(xiàn)的規(guī)律確定32021的個位數(shù)字是（）A．3 B．9 C．7 D．1【答案】A【分析】從運算的結(jié)果可以看出尾數(shù)以3、9、7、1四個數(shù)字一循環(huán)，用2019除以4，余數(shù)是幾就和第幾個數(shù)字相同，由此解決問題即可．【詳解】解：已知31=3，末位數(shù)字為3，

32=9，末位數(shù)字為9，

33=27，末位數(shù)字為7，

34=81，末位數(shù)字為1，35=243，末位數(shù)字為3，

36=729，末位數(shù)字為9，

37=2187，末位數(shù)字為7，

38=6561，末位數(shù)字為1，

…

由此得到：3的1，2，3，4，5，6，7，8，…次冪的末位數(shù)字以3、9、7、1四個數(shù)字為一循環(huán)，

又2021÷4=505…1，所以32019的末位數(shù)字與33的末位數(shù)字相同是3．

故選:A．【點睛】此題考查尾數(shù)特征及規(guī)律型：數(shù)字的變化類，通過觀察得出3的乘方的末位數(shù)字以3、9、7、1四個數(shù)字為一循環(huán)是解決問題的關(guān)鍵．【變式練習(xí)】1．（2022·山東聊城·七年級期末）生活中常用的十進(jìn)制是用0~9這十個數(shù)字來表示數(shù)，滿十進(jìn)一，例：，；計算機(jī)也常用十六進(jìn)制來表示字符代碼，它是用0~F來表示0~15，滿十六進(jìn)一，它與十進(jìn)制對應(yīng)的數(shù)如表：十進(jìn)制012…891011121314151617…十六進(jìn)制012…89ABCDEF1011…例：十六進(jìn)制2B對應(yīng)十進(jìn)制的數(shù)為，10C對應(yīng)十進(jìn)制的數(shù)為，那么十六進(jìn)制中14E對應(yīng)十進(jìn)制的數(shù)為（

）A．328 B．362 C．338 D．334【答案】D【分析】根據(jù)題干十六進(jìn)制與十進(jìn)制的運算方法求解．【詳解】解：由題意得．故選：D．【點睛】本題考查有理數(shù)的混合運算，解題關(guān)鍵是正確理解十六進(jìn)制與十進(jìn)制的關(guān)系．2.（2021·山東濰坊市·七年級期末）觀察下列等式：，，，，，，…，根據(jù)其中的規(guī)律可得的結(jié)果的個位數(shù)字是__________．【答案】8【分析】先根據(jù)已知等式發(fā)現(xiàn)個位數(shù)字是以為一循環(huán)，再根據(jù)即可得．【詳解】因為，，，，，，…，所以個位數(shù)字是以為一循環(huán)，且，又因為，，所以的結(jié)果的個位數(shù)字是8，故答案為：8．【點睛】本題考查了有理數(shù)乘方的規(guī)律型問題，根據(jù)已知等式正確發(fā)現(xiàn)個位數(shù)字的變化規(guī)律是解題關(guān)鍵．【題型七】有理數(shù)乘方的應(yīng)用（實際問題）【解題技巧】此類題型的難點在于分析問題，建立乘方的數(shù)學(xué)模型?；静襟E為：首先從特殊情形入手，逐步分析、歸納，找出變化規(guī)律；然后根據(jù)規(guī)律寫出乘方數(shù)學(xué)模型；最后根據(jù)題干要求計算結(jié)果?！镜漕}1】（2021·河南許昌·七年級期中）一根1m長的繩子，第一次剪去一半，第二次剪去剩下的一半，如此第九次后剩下的繩子的長度為（

）A．

B． C．

D．【答案】D【分析】根據(jù)有理數(shù)的乘方的意義即可得出答案．【詳解】解：一根1m長的繩子，第1次剪去一半后剩下的是m，第2次剪去剩下的一半后剩下的長度是1×（）2（m），第3次剪去剩下的一半后剩下的長度是1×（）3（m），依此類推，第9次剪去剩下的一半后剩下的長度是1×（）9=（）9（m），故選：D．【點睛】本題主要考查了有理數(shù)的乘方的計算，正確根據(jù)實際條件表示出第9次后剩下的長度是解決本題的關(guān)鍵．【典題2】（2022·湖北黃岡·九年級）假期里王老師有一個緊急通知，要用盡快通知給50個同學(xué)，假設(shè)每通知一個同學(xué)需要1分鐘時間，同學(xué)接到后也可以相互通知，那么要使所有同學(xué)都接到通知最快需要的時間為（）A．8分鐘 B．7分鐘 C．6分鐘 D．5分鐘【答案】C【詳解】第一分鐘通知到1個學(xué)生；第二分鐘最多可通知到1+2＝3個學(xué)生；第三分鐘最多可通知到3+4＝7個學(xué)生；第四分鐘最多可通知到7+8＝15個學(xué)生；第五分鐘最多可通知到15+16＝31個學(xué)生；第六分鐘最多可通知到31+32＝63個學(xué)生，即可得到至少需要的時間為6分鐘．【解答】解：第一分鐘通知到1個學(xué)生；第二分鐘最多可通知到1+2＝3個學(xué)生；第三分鐘最多可通知到3+4＝7個學(xué)生；第四分鐘最多可通知到7+8＝15個學(xué)生；第五分鐘最多可通知到15+16＝31個學(xué)生；第六分鐘最多可通知到31+32＝63個學(xué)生；答：至少用6分鐘．故選：C．【點睛】本題考查了有理數(shù)乘方，解決本題的關(guān)鍵是得到每一分鐘后，即知道消息的總?cè)藬?shù)．【變式練習(xí)】1．（2021·浙江湖州·七年級期中）小王在word文檔中設(shè)計好一張A4規(guī)格的表格根據(jù)要求，這種規(guī)格的表格需要設(shè)計1000張，小王欲使用“復(fù)制一粘貼”（用鼠標(biāo)選中表格，右鍵點擊“復(fù)制”，然后在本word文檔中“粘貼”）的辦法滿足要求．請問：小王需要使用“復(fù)制一粘貼”的次數(shù)至少為（）A．9次 B．10次 C．11次 D．12次【答案】B【分析】根據(jù)題意得出第一次復(fù)制得2張，第二次復(fù)制最多得2×2=22=4張，第三次復(fù)制最多得2×2×2=23=8張，即可得出規(guī)律，第九次復(fù)制最多得29=512張，第十次復(fù)制最多得210=1024張，問題得解．【詳解】解：由題意得第一次復(fù)制得2張，第二次復(fù)制最多得2×2=22=4張，第三次復(fù)制最多得2×2×2=23=8張，第四次復(fù)制最多得2×2×2×2=24=16張，……，第九次復(fù)制最多得29=512張，第十次復(fù)制最多得210=1024張，1024＞1000，所以至少需要10次．故選：B【點睛】本題考查了乘方的應(yīng)用，根據(jù)題意得到乘方運算規(guī)律，并正確進(jìn)行計算是解題關(guān)鍵．2．（2021·江蘇南通·七年級階段練習(xí)）某種細(xì)菌在培養(yǎng)過程中，每半小時分裂一次（由一個分裂成兩個），經(jīng)過兩個小時，這種細(xì)菌由兩個分裂成________個．【答案】32【分析】根據(jù)題意求出這種細(xì)菌分裂的周期，然后用2除以周期得到細(xì)菌分裂的次數(shù)，然后利用乘方即2的4次方即可求出經(jīng)過2小時細(xì)菌分裂的個數(shù)．【詳解】解：解：由細(xì)菌在培養(yǎng)過程中，每半小時分裂一次（由一個分裂為兩個），得到細(xì)菌分裂的周期為半小時即0.5小時，∴經(jīng)過兩小時，這種細(xì)菌分裂了4次，故經(jīng)過兩小時，這種細(xì)菌由兩個可分裂繁殖成2×24=32個．故答案為：32．【點睛】本題考查了有理數(shù)的乘方，細(xì)菌分裂1次，細(xì)菌個數(shù)為21；分裂2次，細(xì)菌個數(shù)為22；…；分裂n次，細(xì)菌個數(shù)為2n．學(xué)生做題時總結(jié)出此規(guī)律是解本題的關(guān)鍵．1．（2021·河北九年級二模）表示的意義是（）A．B．C．D．【答案】A【分析】直接根據(jù)乘方的意義解答即可．【詳解】解：表示的意義是，故選A．【點睛】本題考查了乘方的意義，一般地，n個相同的因數(shù)a相乘，即a·a·a·…·a計作an，這種求幾個相同因數(shù)的積的運算，叫做乘方，乘方的結(jié)果叫做冪．在an中，a叫做底數(shù)，n叫做指數(shù)．2．（2020·浙江臺州·七年級期中）a，b互為相反數(shù)，，n為自然數(shù)，則下列敘述正確的有（）個①互為相反數(shù)②互為相反數(shù)③互為相反數(shù)④互為相反數(shù)A．1個 B．2個 C．3個 D．4個【答案】B【分析】根據(jù)有理數(shù)乘方的定義，負(fù)數(shù)的偶次方為正，奇次方為負(fù)，正數(shù)的任意次方都為正，再根據(jù)相反數(shù)的定義判斷即可．【詳解】解：∵a，b互為相反數(shù)，a≠0，n為自然數(shù)，∴a，b互為相反數(shù)，故①說法正確；當(dāng)n是奇數(shù)時，an與bn互為相反數(shù)，當(dāng)n為偶數(shù)時，an與bn相等，故②說法錯誤；a2n與b2n相等，故③說法錯誤；a2n+1，b2n+1互為相反數(shù)，故④說法正確；所以敘述正確的有2個．故選：B．【點睛】此題考查了相反數(shù)以及有理數(shù)的乘方，用到的知識點是正數(shù)的任何次是正數(shù)，負(fù)數(shù)的偶次冪是正數(shù)，奇數(shù)次冪是負(fù)數(shù)．3．（2021·浙江金華市·七年級期中）所得的結(jié)果是（）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)有理數(shù)乘方的逆運算將原式化為，進(jìn)一步即可求出答案．【詳解】===，故選：A．【點睛】此題考查有理數(shù)的混合運算，掌握有理數(shù)乘方的逆運算是解題的關(guān)鍵．4．（2021·甘肅白銀市·七年級期末）觀察下列算式：21＝2，22＝4，23＝8，24＝16，25＝32，26＝64，27＝128，28＝256，…用你所發(fā)現(xiàn)的規(guī)律得出22020的末位數(shù)字是()A．2 B．4 C．6 D．8【答案】C【分析】觀察算式可知：末位數(shù)字每4個算式是一個周期，用2020除以4，正好整除，即可求出22020的末位數(shù)字．【詳解】解：由題意可知，末位數(shù)字每4個算式是一個周期，末位數(shù)字分別為2、4、8、6，∵2020÷4＝505，∴22020的末位數(shù)字與24的末位數(shù)字相同，為6．故選：C．【點睛】本題考查了數(shù)字的規(guī)律問題，根據(jù)題意找出末位數(shù)的規(guī)律是解答此題的關(guān)鍵．5．（2021·江蘇省初一期中）已知m≥2，n≥2，且m、n均為正整數(shù)，如果將mn進(jìn)行如圖所示的“分解”，那么下列四個敘述中正確的有（）①在25的“分解”結(jié)果是15和17兩個數(shù)．②在42的“分解”結(jié)果中最大的數(shù)是9．③若m3的“分解”結(jié)果中最小的數(shù)是23，則m＝5．④若3n的“分解”結(jié)果中最小的數(shù)是79，則n＝5．A．1個 B．2個 C．3個 D．4個【答案】C【分析】根據(jù)所給的例子的分解方法中找出分解的規(guī)律,其中最小的數(shù)是,從而可判斷出②④正確.【解析】①在25的“分解”中最大的數(shù)是+1=17，所以這個敘述正確；②在43的“分解”中最小的數(shù)是；所以這個正確；③若53的“分解”中最小的數(shù)是21，所以這個敘述是錯誤的；④若3n的“分解”中最小的數(shù)是2=79,解得n=5，故這個是正確的.綜上所述，共有兩個正確的結(jié)論.故選C【點睛】本題考查了有理數(shù)的乘方運算和規(guī)律總結(jié)，仔細(xì)觀察發(fā)現(xiàn)其中的規(guī)律是解題的關(guān)鍵.6．（2021·福建省初一期中）我國古代《易經(jīng)》一書中記載，遠(yuǎn)古時期，人們通過在繩子上打結(jié)來記錄數(shù)量，即“結(jié)繩記數(shù)”．如圖，一位婦女在從右到左依次排列的繩子上打結(jié)，滿七進(jìn)一，用來記錄采集到的野果數(shù)量，由圖可知，她一共采集到的野果個數(shù)為（）A．3123 B．3214 C．3258 D．3236【答案】D【分析】從右到左表示滿七進(jìn)一的數(shù)為：第5位上的數(shù)×74+第4位上的數(shù)×73+第3位上的數(shù)×72+第2位上的數(shù)×7+第1位上的數(shù)．【解析】她一共采集到的野果個數(shù)為1×74+2×73+3×72+0×7+2＝3236，故選：D．【點睛】本題考查了用數(shù)字表示事件和有理數(shù)的運算．本題是以古代“結(jié)繩計數(shù)”為背景，按滿七進(jìn)一計算自采集到的野果數(shù)量，運用了類比的方法，根據(jù)圖中的數(shù)學(xué)列式計算；本題題型新穎，一方面讓學(xué)生了解了古代的數(shù)學(xué)知識，另一方面也考查了學(xué)生的思維能力．7.（2021·西安同仁中學(xué)初三模擬）利用如圖1的二維碼可以進(jìn)行身份識別.某校建立了一個身份識別系統(tǒng)，圖2是某個學(xué)生的識別圖案，黑色小正方形表示1，白色小正方形表示0.將第一行數(shù)字從左到右依次記為，，，，那么可以轉(zhuǎn)換為該生所在班級序號，其序號為.如圖2第一行數(shù)字從左到右依次為0，1，0，1，序號為，表示該生為5班學(xué)生.表示6班學(xué)生的識別圖案是（）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)班級序號的計算方法一一進(jìn)行計算即可.【解析】A.第一行數(shù)字從左到右依次為1，0，1，0,序號為，表示該生為10班學(xué)生.第一行數(shù)字從左到右依次為0，1，1，0，序號，表示該生為6班學(xué)生.C.第一行數(shù)字從左到右依次為1，0，0，1，序號，表示該生為9班學(xué)生.D.第一行數(shù)字從左到右依次為0，1，1，1，序號為，表示該生為7班學(xué)生.故選B.【點睛】屬于新定義題目，讀懂題目中班級序號的計算方法是解題的關(guān)鍵.8．（2021·湖北荊州·七年級期中）計算＝（）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)乘方的意義求解即可【詳解】根據(jù)乘方的意義，分子為，分母為，即故選C【點睛】本題考查了乘方的意義，理解乘方的意義是解題的關(guān)鍵．9．（2021·江蘇蘇州市·七年級月考）計算等于（）．A． B． C． D．【答案】C【分析】原式利用同底數(shù)冪的乘法，以及積的乘方逆運算法則變形，計算即可得到結(jié)果．【詳解】解：原式=（0.25×4）2007×（4）=4．故選C．【點睛】此題考查了有理數(shù)的乘方，熟練掌握運算法則是解本題的關(guān)鍵．10．（2022·福建三明·七年級期末）“幻方”最早記載于春秋時期的《大戴禮》中，現(xiàn)將1、2、3、4、5、7、8、9這8個數(shù)字填入如圖1所示的“幻方”中，使得每個三角形的三個頂點上的數(shù)字之和都與中間正方形四個頂點上的數(shù)字之和相等．現(xiàn)有如圖2所示的“幻方”，則的值是（

）A． B． C．8 D．16【答案】B【分析】根據(jù)：每個三角形的三個頂點上的數(shù)字之和都與中間正方形四個頂點上的數(shù)字之和相等，可得：x+2=y+（1），m+（1）=n+2，據(jù)此分別求出xy，mn的值各是多少，即可求出（xy）mn的值是多少．【詳解】解：根據(jù)題意，可得：x+2=y+（1），m+（1）=n+2，∴xy=3，mn=3，∴（xy）mn=（3）3=27．故選：B．【點睛】此題主要考查了有理數(shù)加法和有理數(shù)乘方的運算方法，以及幻方的特征和應(yīng)用，要熟練掌握．11．（2021·山西晉中·七年級期中）蟑螂對我們來說是非常熟悉的，它之所以被稱為是打不死的小強(qiáng)，是因為它的繁殖速度非常驚人．某種蟑螂繁衍后代的數(shù)量為上一代數(shù)量的11倍，也就是說，如果它的始祖（第一代）有11只，則下一代就會有121只，以此類推，這種蟑螂第10代的只數(shù)是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)有理數(shù)的乘方的定義解答即可；【詳解】∵第一代有11只，則下一代就會有121只，以此類推，可知蟑螂第10代的只數(shù)是；故選B．【點睛】本題主要考查了有理數(shù)的乘方，利用乘方的定義計算是解題的關(guān)鍵．12．（2022·江蘇揚州·二模）任取一個正整數(shù)，若是奇數(shù)，就將該數(shù)乘3加1；若是偶數(shù)，就將該數(shù)除以2．反復(fù)進(jìn)行上述運算，經(jīng)過有限次的步驟，必然進(jìn)入循環(huán)圈．這就是數(shù)學(xué)史上著名的“冰雹猜想”（又稱“角谷猜想”）．如果對于正整數(shù)m，經(jīng)過n步變換，第一次到達(dá)1，就稱為n步“雹程”．如取，由上述運算法則得出：，共需經(jīng)過7個步驟變成1，得．則下列命題錯誤的是（

）A．當(dāng)時， B．若，則m只能是5C．若，則m只能是4 D．隨著m的增大，n不一定也增大【答案】B【分析】根據(jù)“冰雹猜想”進(jìn)行推理即可得到答案．【詳解】解∶A．當(dāng)時，則7→22→11→34→17→52→26→13→40→20→10→5→16→8→4→2→1，∴，故選項正確，不符合題意；B．若，則m→16→8→4→2→1，∴m既可能是32，也可能是5，故選項錯誤，符合題意；C．若，則m→2→1，∴m只能是4，故選項正確，不符合題意；D．當(dāng)m=3時，n=7；當(dāng)m=4時，n=2，∴隨著m的增大，n不一定也增大故選∶B．【點睛】本題主要考查了合情推理，審清題意，理解“冰雹猜想”的概念是解題的關(guān)鍵．13．（2022·上?！の挥袑W(xué)期中）的底數(shù)是____________．【答案】6【分析】根據(jù)冪的定義解答即可：在中，a叫底數(shù)，n叫做指數(shù)；【詳解】解：的底數(shù)是6，故答案為：6．【點睛】本題考查了與兩者的區(qū)別：的底數(shù)是a，表示n個a相乘的積；底數(shù)是a，表示n個a相乘的積的相反數(shù)．14．（2021·河南省初一期中）一質(zhì)點P從距原點1個單位的A點處向原點方向跳動，第一次跳動到OA的中點處，第二次從點跳動到O的中點處，第三次從點跳動到O的中點處，如此不斷跳動下去，則第5次跳動后，該質(zhì)點到原點O的距離為_____________.【答案】【分析】根據(jù)題意分析可得：每次跳動后，到原點O的距離為跳動前的一半．【解析】依題意可知，第n次跳動后，該質(zhì)點到原點O的距離為，∴第5次跳動后，該質(zhì)點到原點O的距離為.故答案為．【點睛】本題是一道找規(guī)律的題目，這類題型在中考中經(jīng)常出現(xiàn)．對于找規(guī)律的題目首先應(yīng)找出哪些部分發(fā)生了變化，是按照什么規(guī)律變化的．18．（2021·廣西柳州市·九年級三模）計算：（﹣3）2×（）3﹣（﹣9＋3）．【答案】．【分析】根據(jù)有理數(shù)的乘方、有理數(shù)的乘法和加減法解答本題即可．【詳解】解：原式===【點睛】本題考查有理數(shù)的混合運算，解答本題的關(guān)鍵是明確有理數(shù)混合運算的計算方法．19．（2021·廣西南寧市·南寧二中九年級三模）計算：．【答案】36【分析】先計算乘方、絕對值、乘法運算，再計算加減運算，即可得到結(jié)果．【詳解】解：＝＝＝306=36【點睛】此題主要考查了有理數(shù)的混合運算，熟練掌握有理數(shù)的運算法則是解本題的關(guān)鍵．15．（2021·湖南廣益實驗中學(xué)）計算：0.252019×42020＝_____．【答案】4【分析】根據(jù)積的乘方運算法則計算即可，積的乘方，等于每個因式乘方的積．【詳解】解：0.252019×42020＝0.252019×42019×4＝（0.25×4）2019×4＝12019×4＝4．故答案為：4．【點睛】本題考查了積的乘方法則逆用，熟練掌握積的乘方法則是解答本題的關(guān)鍵.積的乘方等于各因數(shù)乘方的積，即(ab)m=ambm（m為正整數(shù)）.

特別注意運算過程中指數(shù)的變化規(guī)律,靈活運用法則的逆運算進(jìn)行計算,培養(yǎng)學(xué)生的逆向思維意識．16．（2021·浙江溫州市·七年級期中）如圖所示的計算流程圖中，輸入的x值為整數(shù)，若要使輸出結(jié)果最小，則應(yīng)輸入x的值為_____．【答案】6【分析】先將3x2+x+1配方得原式=3（x+）2+，再根據(jù)非負(fù)數(shù)的性質(zhì)求得要使輸出結(jié)果最小，應(yīng)輸入x的值．【詳解】解：3x2+x+1＝3（x+）2+，∵輸入的x值為整數(shù)，要使輸出結(jié)果最小，∴3（x+）2+＞100，即（x+）2＞＝33，∴應(yīng)輸入x的值為﹣6．故答案為：﹣6．【點睛】本題主要考查了平方的非負(fù)性，利用配方法將式子轉(zhuǎn)化為平方的形式，然后利用平方的非負(fù)性的到式子的最小值，進(jìn)一步判斷x的取值．17．（2021·蘇州新草橋中學(xué)七年級月考）大于1的正整數(shù)m的三次冪可“分裂”成若干個連續(xù)奇數(shù)的和，如，若分裂后，其中有一個奇數(shù)是75，則的值是____．【答案】9【分析】根據(jù)底數(shù)是相應(yīng)的奇數(shù)的個數(shù)，然后求出75是從3開始的奇數(shù)的序數(shù)為37，再求出第37個奇數(shù)的底數(shù)即可得解．【詳解】解：23有3、5共2個奇數(shù)，33有7、9、11共3個奇數(shù)，43有13、15、17、19共4個奇數(shù)，∵2×37+1=75，∴75是從3開始的第37個奇數(shù)，∵1+2+3+4+5+6+7+8=36，1+2+3+4+5+6+7+8+9=45，∴m3“分裂”后，其中有一個奇數(shù)是75，則m的值9．故答案為：9．【點睛】本題考查了有理數(shù)的乘方，觀察數(shù)據(jù)特點，判斷出底數(shù)是相應(yīng)的奇數(shù)的個數(shù)是解題的關(guān)鍵．20．（2021·山東聊城市·七年級月考）計算：（1）；（2）；【答案】（1）1；（2）6．【分析】（1）先計算有理數(shù)的平方，去絕對值，再將除法改為乘法，約分，最后進(jìn)行加減運算即可．（2）利用乘法分配律展開，約分，最后進(jìn)行加減運算即可．【詳解】（1）．（2）．【點睛】本題考查有理數(shù)的混合運算，掌握有理數(shù)的混合運算法則是解答本題的關(guān)鍵．21．（2020·浙江杭州市·七年級期末）計算：（1）．（2）．（3）（4）【答案】（1）；（2）；（3）；（4）【分析】（1）直接約分計算即可；（2）將除法轉(zhuǎn)化為乘法，再約分計算；（3）先算乘方和括號，再算乘除，最后算加減；（4）先算乘方，再算乘除，最后算加減．【詳解】解：（1）=；（2）===；（3）====；（4）====【點睛】本題考查了有理數(shù)的混合運算，解題的關(guān)鍵是掌握運算法則和運算順序．22．（2021·漣水金城外國語學(xué)校初一期中）規(guī)定兩數(shù)之間的一種運算，記作：如果，那么．例如：因為，所以．（1）根據(jù)上述規(guī)定，填空：__________，__________，=__________；（2）小明在研究這種運算時發(fā)現(xiàn)一個現(xiàn)象：，小明給出了如下的證明：設(shè)，則，即，所以，即，所以，請你嘗試運用這種方法證明下面這個等式：【答案】（1）3；2；3；（2）見解析【分析】（1）分別計算左邊與右邊式子，即可做出判斷；

（2）設(shè)（3，4）=x，（3，5）=y，根據(jù)同底數(shù)冪的乘法法則即可求解．【解析】解：（1）53=125，（5，125）=3，（2）2=4，（2，4）=2，（2）3=8，（2，8）=3，故答案為：3；2；3；（2）設(shè)（3，4）=x，（3，5）=y，則3x=4，3y=5，∴3x+y=3x?3y=20，∴（3，20）=x+y，∴（3，4）+（3，5）=（3，20）．【點睛】此題考查了有理數(shù)的混合運算，弄清題中的新運算是解本題的關(guān)鍵．23．（2020·浙江七年級開學(xué)考試）我們平時用的是十進(jìn)制數(shù)，例如，，表示十進(jìn)制數(shù)要用個數(shù)字：，，，…，．在電子計算機(jī)中使用的是二進(jìn)制，只用兩個數(shù)字：，．例如：在二進(jìn)制中，等于十進(jìn)制的，，等于十進(jìn)制的．請你計算一下：（1）二進(jìn)制中的數(shù)等于十進(jìn)制的數(shù)多少？（2）仿照二進(jìn)制的說明與算法，請你計算一下，八進(jìn)制中的數(shù)等于十進(jìn)制的數(shù)多少？【答案】（1）；（2）【分析】根據(jù)十進(jìn)制中的數(shù)與二進(jìn)制中的數(shù)的相互轉(zhuǎn)化的方法計算．【詳解】解：（1）．答：二進(jìn)制中的數(shù)等于十進(jìn)制的數(shù)是．（2）．答：八進(jìn)制中的數(shù)等于十進(jìn)制的數(shù)是．【點睛】本題考查的是有理數(shù)的乘方，解題的關(guān)鍵在于閱讀材料，明確十進(jìn)制與二進(jìn)制