第13章立體幾何初步章末題型歸納總結(jié)（原卷版）

第13章立體幾何初步章末題型歸納總結(jié)章末題型歸納目錄模塊一：本章知識(shí)思維導(dǎo)圖模塊二：典型例題經(jīng)典題型一：幾何體的表面積與體積、直觀圖經(jīng)典題型二：外接球、內(nèi)切球、棱切球經(jīng)典題型三：空間中的平行關(guān)系經(jīng)典題型四：空間中的垂直關(guān)系經(jīng)典題型五：空間角的求法（線線角、線面角、二面角）經(jīng)典題型六：空間距離的求法（線線距、線面距、點(diǎn)面距、面面距）經(jīng)典題型七：截面問題以及范圍與最值問題模塊三：數(shù)學(xué)思想與方法分類與整合思想②等價(jià)轉(zhuǎn)換思想③函數(shù)與方程思想

模塊一：本章知識(shí)思維導(dǎo)圖

模塊二：典型例題經(jīng)典題型一：幾何體的表面積與體積、直觀圖例1．（2023·全國·高一專題練習(xí)）將一個(gè)等腰梯形繞著它的較長的底邊所在直線旋轉(zhuǎn)一周，所得的幾何體包括（

）A．一個(gè)圓臺(tái)、兩個(gè)圓錐 B．兩個(gè)圓柱、一個(gè)圓錐C．兩個(gè)圓臺(tái)、一個(gè)圓柱 D．一個(gè)圓柱、兩個(gè)圓錐例2．（2023·全國·高一專題練習(xí)）利用斜二測畫法得到：①三角形的直觀圖是三角形；②平行四邊形的直觀圖是平行四邊形；③正方形的直觀圖是正方形；④菱形的直觀圖是菱形.以上說法正確的是（

）A．① B．①② C．③ D．①②③④例3．（2023·全國·高一專題練習(xí)）如圖所示，某三角形的直觀圖是斜邊長等于2的等腰直角三角形，則原三角形的面積等于（

）A．1 B．2 C． D．4例4．（2023·高一課時(shí)練習(xí)）如圖，表示水平放置的根據(jù)斜二測畫法得到的直觀圖，在軸上，與軸垂直，且，則的邊上的高為（

）A． B． C． D．例5．（2023·全國·高一專題練習(xí)）如圖，水平放置的四邊形的斜二測直觀圖為矩形，已知，，則四邊形的周長為（

）A．8 B．10 C．12 D．例6．（2023·河南·高一校聯(lián)考期中）圓臺(tái)上?下底面半徑分別是，高為，這個(gè)圓臺(tái)的體積是（

）A． B． C． D．例7．（2023·廣西貴港·高一?？计谥校┠晨顝N房用具中的香料收納罐的實(shí)物圖如圖1所示，該幾何體為上、下底面周長分別為，的正四棱臺(tái)，若棱臺(tái)的高為，忽略收納罐的厚度，則該香料收納罐的容積為（

）A． B． C． D．例8．（2023·湖南株洲·高一校聯(lián)考期中）已知球的表面積為，則它的體積為（

）A． B． C． D．例9．（2023·吉林長·高一長春外國語學(xué)校?？计谀┳仙皦厥侵袊赜械氖止ぶ圃焯胀凉に嚻?，其制作始于明朝正德年間．紫砂壺的壺型眾多，經(jīng)典的有西施壺?掇球壺?石飄壺?潘壺等．其中，石瓢壺的壺體可以近似看成一個(gè)圓臺(tái)．如圖給出了一個(gè)石瓢壺的相關(guān)數(shù)據(jù)（單位：），那么該壺的容積約接近于（

）A． B． C． D．例10．（2023·山東聊城·高一山東聊城一中?？计谥校┮阎酌鏋檎叫蔚乃睦忮F內(nèi)接于半徑為2的球，若底面正方形的邊長為2，則四棱錐的體積最大值為（

）A． B．C． D．例11．（2023·上海楊浦·高一復(fù)旦附中?？计谀┤鐖D，在正方體中，動(dòng)點(diǎn)在棱上，動(dòng)點(diǎn)在線段上，為底面的中心，若，則四面體的體積（

）A．與都有關(guān) B．與有關(guān)，與無關(guān)C．與有關(guān)，與無關(guān) D．與都無關(guān)經(jīng)典題型二：外接球、內(nèi)切球、棱切球例12．（2023·貴州六盤水·高一統(tǒng)考期末）我國有著豐富悠久的“印章文化”，古時(shí)候的印章一般用貴重的金屬或玉石制成，本是官員或私人簽署文件時(shí)代表身份的信物，后因其獨(dú)特的文化內(nèi)涵，也被作為裝飾物來使用.圖1是明清時(shí)期的一個(gè)金屬印章擺件，除去頂部的環(huán)以后可以看作是一個(gè)正四棱柱和一個(gè)正四棱錐組成的幾何體，如圖2.已知正四棱柱和正四棱錐的高相等，且底面邊長均為4，若該幾何體的所有頂點(diǎn)都在同一個(gè)球面上，則這個(gè)球的表面積是（

）圖1

圖2A． B． C． D．例13．（2023·高一單元測試）在四棱錐中，平面平面，為邊長為1的等邊三角形，底面為矩形.若四棱錐存在一個(gè)內(nèi)切球（內(nèi)切球定義：若一個(gè)多面體的各面都與一個(gè)球的球面相切，則稱這個(gè)球是這個(gè)多面體的內(nèi)切球），則內(nèi)切球的表面積為（

）A． B． C． D．例14．（2023·廣西河池·高一統(tǒng)考期末）如圖所示長方形，，，，，，分別為，的三等分點(diǎn)，把四邊形，分別沿，折起來，使得，重合形成一個(gè)幾何體，則此幾何體的外接球的體積為（

）A． B． C． D．例15．（2023·四川廣安·高一統(tǒng)考期末）若正三棱柱既有外接球，又有內(nèi)切球，記該三棱柱的內(nèi)切球和外接球的半徑分別為、，則（

）A． B．5 C． D．例16．（2023·云南保山·高一統(tǒng)考期末）三棱錐，平面，，，，則三棱錐的外接球的半徑為（

）A． B． C． D．例17．（2023·山東德州·高一統(tǒng)考期末）取兩個(gè)相互平行且全等的正n邊形，將其中一個(gè)旋轉(zhuǎn)一定角度，連接這兩個(gè)多邊形的頂點(diǎn)，使得側(cè)面均為等邊三角形，我們把這種多面體稱作“n角反棱柱”.當(dāng)n=4時(shí)，得到如圖所示棱長均為2的“四角反棱柱”，則該“四角反棱柱”外接球的表面積等于（

）A． B． C． D．例18．（2023·河南開封·高一統(tǒng)考期末）如圖，已知一個(gè)八面體的各條棱長均為2，四邊形為正方形，則下列結(jié)論正確的是（

）A．該八面體的體積為B．該八面體的外接球的表面積為C．到平面的距離為D．與所成角為例19．（2023·四川成都·高一統(tǒng)考期末）在矩形ABCD中，AB=6，AD=8，將△ABC沿對角線AC折起，則三棱錐BACD的外接球的表面積為（

）A．36π B．64πC．100π D．與二面角BACD的大小有關(guān)例20．（2023·湖南長沙·高一長沙縣實(shí)驗(yàn)中學(xué)統(tǒng)考期末）圓柱內(nèi)有一個(gè)球，該球與圓柱的上、下底面及母線均相切，已知圓柱的體積為，則球的體積為（

）A． B． C． D．例21．（2023·高一課前預(yù)習(xí)）已知圓臺(tái)上、下兩底面與側(cè)面都與球相切，它的側(cè)面積為16π，則該圓臺(tái)上、下兩個(gè)底面圓的周長之和為（

）A．4π B．6π C．8π D．10π例22．（2023·山東泰安·高一新泰市第一中學(xué)?？茧A段練習(xí)）在《九章算術(shù)》中，將底面為矩形且有一條側(cè)棱與底面垂直的四棱錐稱為“陽馬”．如圖，在“陽馬”中，底面，，是棱的中點(diǎn)，點(diǎn)是棱上的動(dòng)點(diǎn)，則當(dāng)?shù)闹荛L最小時(shí)，三棱錐外接球的表面積為（

）A． B．C． D．經(jīng)典題型三：空間中的平行關(guān)系例23．（2023·高一單元測試）如圖，在下列四個(gè)正方體中，A，B為正方體的兩個(gè)頂點(diǎn)，M，N，Q為所在棱的中點(diǎn)，則在這四個(gè)正方體中，直線AB與平面MNQ不平行的是（

）A． B．C． D．例24．（2023·浙江·高一期中）如圖，正方體中，M是的中點(diǎn)，則下列結(jié)論正確的是（

）A．，B．平面，∥平面C．，D．，∥平面例25．（2023·高一單元測試）在下列判斷兩個(gè)平面與平行的4個(gè)命題中，真命題的個(gè)數(shù)是（

）．①都垂直于平面r，那么②都平行于平面r，那么③都垂直于直線l，那么④如果l、m是兩條異面直線，且，，，，那么A．0 B．1 C．2 D．3例26．（2023·陜西漢中·高一校聯(lián)考期末）如圖，在棱長為2的正方體中，點(diǎn)分別為棱，的中點(diǎn).(1)求證：平面；(2)求三棱錐的體積.例27．（2023·安徽滁州·高一?？计谀┤鐖D，在正方體中，是的中點(diǎn)，分別是的中點(diǎn)，求證：(1)平面；(2)平面平面.例28．（2023·高一單元測試）在直三棱柱中，，D是AB中點(diǎn)，．(1)求異面直線與所成角的大??；(2)證明：平面．例29．（2023·廣西百色·高一?？计谀┤鐖D，在四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，點(diǎn)M是線段B1D1上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，E，F(xiàn)分別是BC，CM的中點(diǎn)．(1)求證：EF平面BDD1B1；(2)設(shè)G為棱CD上的中點(diǎn)，求證：平面GEF平面BDD1B1．例30．（2023·河南·高一校聯(lián)考期中）如圖，在正方體中，分別為所在棱的中點(diǎn)，分別為正方形和正方形的中心，連接，.(1)證明：平面平面；(2)問在線段上是否存在一點(diǎn)，使得平面？若存在，寫出點(diǎn)的位置并給出證明；若不存在，請說明理由.例31．（2023·北京西城·高一北京師大附中?？计谀┤鐖D，在直角梯形ABCD中，AB∥DC，∠BAD＝90°，AB＝4，AD＝2，DC＝3，點(diǎn)E在CD上，且DE＝2，將△ADE沿AE折起，使得平面ADE⊥平面ABCE，G為AE中點(diǎn).(1)求證：DG⊥平面ABCE；(2)求四棱錐DABCE的體積；(3)在線段BD上是否存在點(diǎn)P，使得CP∥平面ADE？若存在，求的值；若不存在，請說明理由.經(jīng)典題型四：空間中的垂直關(guān)系例32．（2023·河南信陽·高一?？茧A段練習(xí)）設(shè)是直線，是平面，則能推出的條件是（

）A．存在一條直線，， B．存在一條直線，，C．存在一個(gè)平面，， D．存在一個(gè)平面，，例33．（2023·高一課時(shí)練習(xí)）如圖所示，在平行四邊形中，，沿將折起，使平面平面，連接，則在四面體的四個(gè)面中，互相垂直的平面的對數(shù)為（

）A．1 B．2 C．3 D．4例34．（2023·全國·高一專題練習(xí)）在正四面體中，分別是的中點(diǎn)，下面四個(gè)結(jié)論中不成立的是（

）A．平面PDF B．平面PAEC．平面平面ABC D．平面平面例35．（2023·高一單元測試）已知三條不同的直線l，m，n和兩個(gè)不同的平面α，β，則下列四個(gè)命題中錯(cuò)誤的是（

）A．若m⊥α，n⊥α，則m//n B．若α⊥β，，則l⊥βC．若l⊥α，，則l⊥m D．若l//α，l⊥β，則α⊥β例36．（2023·云南·高一統(tǒng)考期末）如圖，在四棱錐中，底面為直角梯形，，平面底面分別為的中點(diǎn)..(1)求證：直線平面；(2)求三棱錐的體積.例37．（2023·陜西渭南·高一統(tǒng)考期末）如圖，四棱錐中，底面為矩形，底面，，點(diǎn)是的中點(diǎn).求證：(1)平面；(2).例38．（2023·高一單元測試）如圖所示，在矩形中，，為的中點(diǎn).將沿折起，使得平面平面.點(diǎn)是線段的中點(diǎn).(1)求證：平面平面；(2)求證：例39．（2023·高一單元測試）如圖，在直三棱柱中，，G是棱的中點(diǎn)．(1)證明：；(2)證明：平面平面．例40．（2023·河南開封·高一統(tǒng)考期末）如圖，在四棱錐中，側(cè)棱底面，底面是直角梯形，，，且，，是的中點(diǎn)．(1)求證：平面；(2)在線段上是否存在一點(diǎn)，使得平面？若存在，求出的值；若不存在，請說明理由．例41．（2023·湖北武漢·高一校聯(lián)考期末）若圖，三棱柱的側(cè)面是平行四邊形，，，且、分別是、的中點(diǎn).(1)求證：平面；(2)在線段上是否存在點(diǎn)，使得平面？若存在，求出的值；若不存在，請說明理由.例42．（2023·北京·高一北京市陳經(jīng)綸中學(xué)?？计谥校┤鐖D，四邊形ABCD為矩形，PA⊥平面ABCD，M，N分別是AB，PC的中點(diǎn)．(1)求證：平面PAD；(2)試確定當(dāng)△PAD中PA與AD滿足什么關(guān)系時(shí)，MN⊥平面PCD？并說明理由．經(jīng)典題型五：空間角的求法（線線角、線面角、二面角）例43．（2023·廣西玉林·高一?？茧A段練習(xí)）如圖所示，在正方體中，E，F(xiàn)分別是AB，AD的中點(diǎn)，則異面直線與所成的角的大小為（）A．90° B．60° C．45° D．30°例44．（2023·河南鶴壁·高一河南省浚縣第一中學(xué)?？茧A段練習(xí)）在九章算術(shù)中，將四個(gè)面都是直角三角形的四面體稱為鱉臑，在鱉臑中，平面BCD，，且，M為AD的中點(diǎn)，則異面直線BM與CD夾角的余弦值為（

）A． B． C． D．例45．（2023·福建福州·高一福建省福州高級中學(xué)校考期末）在長方體中，，，，則和所成的角是（

）A．60° B．45° C．30° D．90°例46．（2023·高一單元測試）如圖所示，直三棱柱中，分別是的中點(diǎn)，，則與所成角的余弦值為（

）A． B． C． D．例47．（2023·高一單元測試）如圖，在正方體中，、、、分別為、、、的中點(diǎn)，則異面直線與所成的角等于（

）A．45° B．60° C．90° D．120°例48．（2023·四川綿陽·高一?？计谀┤鐖D，正方體邊長為分別為中點(diǎn)．(1)求證：平面；(2)求異面直線與所成角的大?。?9．（2023·上海奉賢·高一上海市奉賢中學(xué)校考階段練習(xí)）（1）如圖，已知正方體的棱長為2，點(diǎn)、分別是正方形和正方形的中心，畫出過點(diǎn)、、的截面并求出其面積；（2）在四面體中，，，、分別是、的中點(diǎn)，且，求與所成的角．例50．（2023·全國·高一專題練習(xí)）如圖，在直角梯形ABCD中，，AB⊥AD，且，現(xiàn)以AD為一邊向形外作正方形ADEF，然后沿邊AD將正方形ADEF翻折，使平面ADEF與平面ABCD垂直，M為ED的中點(diǎn)，如圖2.(1)求證：平面BEC；(2)求證：BC⊥平面BDE；(3)求直線BC與平面ADEF所成角的正弦值.例51．（2023·高一課時(shí)練習(xí)）如圖，在正方體中，分別是，的中點(diǎn)，(1)求證∥平面；(2)求與平面所成角的正弦值．例52．（2023·高一課時(shí)練習(xí)）如圖，在四棱錐P－ABCD中，底面ABCD為正方形，PD＝BC＝1，二面角P－CD－A為直二面角．(1)若E為線段PC的中點(diǎn)，求證：DE⊥PB；(2)若PC＝，求PC與平面PAB所成角的正弦值．例53．（2023·全國·高一專題練習(xí)）在四棱錐中，⊥平面，，，．(1)證明：平面；(2)若，求與平面所成角的正弦值．例54．（2023·全國·高一專題練習(xí)）如圖，在長方體ABCD－A1B1C1D1中，E，F(xiàn)分別為BC，CC1的中點(diǎn)，AB＝AD＝2，AA1＝3.(1)證明：EF∥平面A1ADD1；(2)求直線AC1與平面A1ADD1所成角的正弦值．例55．（2023·全國·高一專題練習(xí)）如圖，在三棱錐中，側(cè)面，是全等的直角三角形，是公共的斜邊，且，，另一個(gè)側(cè)面是正三角形．(1)求證：；(2)在棱上是否存在一點(diǎn)，使與面所成角為？若存在，求的長；若不存在，說明理由．例56．（2023·全國·高一專題練習(xí)）正方體中，為棱的中點(diǎn)，求平面和平面夾角的余弦值.例57．（2023·全國·高一專題練習(xí)）如圖所示，在四棱錐中，底面是邊長為2的正方形，其它四個(gè)側(cè)面都是側(cè)棱長為的等腰三角形．(1)求二面角的大??；(2)在線段上是否存在一點(diǎn)，使平面平面？若存在，請指出點(diǎn)的位置并證明，若不存在請說明理由．例58．（2023·高一課時(shí)練習(xí)）如圖，在三棱柱中，平面，E，F(xiàn)分別為，的中點(diǎn)，D為上的點(diǎn)，且．(1)求證：平面；(2)求證：平面平面；(3)若三棱柱所有棱長都為a，求二面角的平面角的正切值．例59．（2023·全國·高一專題練習(xí)）如圖，在四棱錐P—ABCD中，底面ABCD為矩形，PA⊥平面ABCD，點(diǎn)E在線段PC上，PC⊥平面BDE.(1)證明：BD⊥平面PAC；(2)若，求二面角B—PC—A的正切值.例60．（2023·全國·高一專題練習(xí)）在四棱錐PABCD中，ABCD為菱形，PA⊥平面ABCD，E為棱PC的中點(diǎn).(1)求證：平面EBD⊥平面PAC；(2)若，，求平面PAB與平面PCD夾角的余弦值.經(jīng)典題型六：空間距離的求法（線線距、線面距、點(diǎn)面距、面面距）例61．（2023·上海楊浦·高一復(fù)旦附中?？计谀┱襟w的棱長為2，則直線與平面的距離是__．例62．（2023·高一課時(shí)練習(xí)）如圖，已知正方體的棱長為1．（1）點(diǎn)到平面的距離為______；（2）直線和平面的距離為______；（3）直線和平面的距離為______．例63．（2023·山東青島·高一?？茧A段練習(xí)）如圖，正四棱柱的底面邊長為2，，E為的中點(diǎn)，則到平面EAC的距離為________．例64．（2023·高一課時(shí)練習(xí)）在長方體中，有一過且與平面平行的平面，棱，，則平面與平面的距離是_________．例65．（2023·福建廈門·高一統(tǒng)考期末）如圖，棱長為2的正方體ABCD–A1B1C1D1中，E，F(xiàn)分別是棱AA1，CC1的中點(diǎn)，過E作平面，使得//平面BDF.(1)作出截正方體ABCDA1B1C1D1所得的截面，寫出作圖過程并說明理由；(2)求平面與平面的距離.例66．（2023·內(nèi)蒙古通遼·高一開魯縣第一中學(xué)?？计谥校┤鐖D在直三棱柱中，，，，E是上的一點(diǎn)，且，D、F、G分別是、、的中點(diǎn)，EF與相交于H．(1)求證：平面；(2)求證：平面平面；(3)求平面EGF與平面的距離．例67．（2023·甘肅定西·高一定西市第一中學(xué)期末）如下圖，在三棱錐中，分別是的中點(diǎn)，，.(1)求證：平面；(2)求異面直線與所成角的余弦值；(3)求點(diǎn)到平面的距離.例68．（2023·河北石家莊·高一校考期中）如圖，在四棱錐中，底面是直角梯形，，，平面，，.(1)證明：平面PAC；(2)求點(diǎn)到平面的距離.經(jīng)典題型七：截面問題以及范圍與最值問題例69．（2023·黑龍江哈爾濱·高一哈爾濱市第一二二中學(xué)校?？计谀┰谡襟w中，N為底面的中心，為線段上的動(dòng)點(diǎn)（不包括兩個(gè)端點(diǎn)），為線段的中點(diǎn)，則下列說法中正確的序號是________________．①與是異面直線；②；③平面平面；④過三點(diǎn)的正方體的截面一定是等腰梯形．例70．（2023·高一單元測試）正方體ABCD﹣A1B1C1D1的棱長為1，E、F分別為BC、CC1的中點(diǎn)，則平面AEF截正方體所得的截面面積為__．例71．（2023·遼寧沈陽·高一新民市第一高級中學(xué)?？计谀┻^球的一條半徑的中點(diǎn)，作垂直于該半徑的平面，則所得截面的面積是球的表面積的______________.例72．（2023·江西宜·高一江西省萬載中學(xué)?？茧A段練習(xí)）用一個(gè)平面去截直三棱柱，交分別于點(diǎn).若，則截面的形狀可以為________.（把你認(rèn)為可能的結(jié)果的序號填在橫線上）①一般的平行四邊形；②矩形；③菱形；④正方形；⑤梯形例73．（2023·高一課時(shí)練習(xí)）如圖，空間四邊形的邊，成的角，且，，平行于與的截面分別交，，，于，則截面面積的最大值為______.例74．（2023·江蘇宿遷·高一沭陽縣修遠(yuǎn)中學(xué)校考期末）如圖，已知圓錐軸截面為等腰直角三角形，底面圓O的直徑為2，點(diǎn)C在圓O上，且，E為線段上異于P，B的點(diǎn)，則的最小值為___________．例75．（2023·高一單元測試）如圖所示，在三棱柱中，底面，，，，為上的動(dòng)點(diǎn)，則的最小值為________．例76．（2023·全國·高一期末）如圖，在棱長為的正方體中，是側(cè)面內(nèi)的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（不包含四邊形的邊），則下列錯(cuò)誤說法的序號是__________.①三角形的面積為；②存在點(diǎn)，滿足；③存在無限個(gè)點(diǎn)，使得三角形是等腰三角形；④三棱錐的體積有最大值、無最小值.例77．（2023·河南·高一校聯(lián)考階段練習(xí)）設(shè)P，E，F(xiàn)分別是長方體的棱，，的中點(diǎn)，且，M是底面上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，若平面，則線段長度的最小值為___________.例78．（2023·全國·高一期末）如圖所示，有棱長為2的正方體，P為正方體表面的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，若三棱錐的體積為1，則的取值范圍是___________.例79．（2023·全國·高一假期作業(yè)）如圖，在正方體中，E為棱BC的中點(diǎn)，F(xiàn)為棱上的一點(diǎn)（不包含端點(diǎn)），且，過點(diǎn)A，E，F(xiàn)作該正方體的截面．若所得截面是五邊形，則的取值范圍是______．模塊三：數(shù)學(xué)思想與方法分類與整合思想例80．（2023·河北邯鄲·高一?？茧A段練習(xí)）等腰直角三角形的直角邊長為1，現(xiàn)將該三角形繞其某一邊旋轉(zhuǎn)一周，則所形成的幾何體的表面積為（）A． B．或C． D．或例81．（2023·上?！じ叨ｎ}練習(xí)）如果點(diǎn)是兩條異面直線、外一點(diǎn)，則過點(diǎn)且與、都平行的平面?zhèn)€數(shù)的所有可能值是（

）A．1 B．2 C．0或1 D．無數(shù)例82．（2023·全國·高三專題練習(xí)）到空間不共面的四點(diǎn)距離相等的平面的個(gè)數(shù)為（

）A．1 B．4C．7 D．8例83．（2023·上海徐匯·高二上海市南洋模范中學(xué)?？茧A段練習(xí)）從同一點(diǎn)引出的4條直線可以確定個(gè)平面，則不可能取的值是（

）A．6 B．4 C．3 D．1例84．（2023·全國·開灤第二中學(xué)?？寄M預(yù)測）中，其邊長分別為3，4，5，分別以它的邊所在直線為旋轉(zhuǎn)軸，旋轉(zhuǎn)一周所形成的幾何體的體積之和為______．等價(jià)轉(zhuǎn)換思想例8