5年級下冊第14講-數(shù)論相關(guān)的計數(shù)

第十四講數(shù)論相關(guān)的計數(shù)

在前面的學習中，我們學習了解決計數(shù)問題的一些基本方法，包括：枚舉法、樹形圖、分類討論、加法原理和乘法原理、排列與組合等．計數(shù)問題是多種多樣的，它經(jīng)常與其他的知識聯(lián)系在一起，比如幾何、數(shù)論、數(shù)字謎等等．今天讓我們來研究一下結(jié)合了數(shù)論知識的計數(shù)問題．

恰好能同時被6，7，8，9整除的四位數(shù)有多少個？

「分析」大家還記得公倍數(shù)怎么求嗎？練習1、恰好能同時被4，5，6整除的三位數(shù)有多少個？

用1、2、3、4、5、7這6個數(shù)字各一次組成六位數(shù)，并且使這個六位數(shù)是11的倍數(shù)，有多少種不同的方法？

「分析」根據(jù)11的整除特性，通過分析奇位數(shù)字和與偶位數(shù)字和，再結(jié)合本題的已知條件可以獲得解題的線索．

練習2、用1，2，3，4各一次組成四位數(shù)，使得它是11的倍數(shù)，有多少種不同的方法？

從1~10這10個數(shù)中選出2個數(shù)，請問：

（1）要使這2個數(shù)的乘積能被3整除，一共有多少種不同的選法？

（2）要使這2個數(shù)的和能被3整除，一共有多少種不同的選法？

「分析」（1）兩個數(shù)的乘積能被3整除，那么這兩個數(shù)中至少有一個能被3整除．如何選取才能保證選到3的倍數(shù)呢？（2）要考慮兩個數(shù)的和是否能被3整除，只需要考慮每個數(shù)除以3的余數(shù)的情況，那么怎樣的兩個數(shù)相加才能被3整除呢？

練習3、從1~12這12個數(shù)中選出2個數(shù)，請問：

（1）要使這2個數(shù)的乘積能被3整除，一共有多少種不同的選法？

（2）要使這2個數(shù)的和能被3整除，一共有多少種不同的選法？

如果稱能被8整除或者含有數(shù)字8的自然數(shù)為“吉利數(shù)”，那么在1至200這200個自然數(shù)中有多少個“吉利數(shù)”？

「分析」這道題目可以從兩方面入手，8的倍數(shù)和含有數(shù)字8的數(shù)，注意其中重復(fù)的情況．

練習4、在1至200這200個自然數(shù)中，含有數(shù)字9或者能被9整除的有多少個？

前面幾個例題都是計數(shù)與整除相結(jié)合的題目．而除了整除之外，與數(shù)字相關(guān)的問題也屬于數(shù)論的范疇，下面我們來看兩道與數(shù)字有關(guān)的計數(shù)問題．

有一種“上升數(shù)”，這些數(shù)的數(shù)字從左往右依次增大，將所有的四位“上升數(shù)”按從小到大的順序排成一行：1234，1235，1236，…，6789．請問：此列數(shù)中的第100個數(shù)是多少？

「分析」數(shù)字從左往右依次增大的數(shù)是“上升數(shù)”，那么四位“上升數(shù)”一共有多少個呢？顯然，不能將前100個“上升數(shù)”都寫出來，那怎么才能方便的計算出第100個數(shù)呢？

一個正整數(shù)，如果從左到右看和從右到左看都是一樣的，那么稱這個數(shù)為“回文數(shù)”．例如：1331，7，202，66都是回文數(shù)，而220則不是回文數(shù)．請問：六位回文數(shù)有多少個？五位回文數(shù)又有多少個？五位的回文數(shù)中，有多少個是4的倍數(shù)？

「分析」“回文數(shù)”一定是左右對稱的，不妨從左往右分析，一旦左面的一個數(shù)字確定，右面一定有一個數(shù)字和其相同．

回文聯(lián)數(shù)學當中有回文數(shù)，在文學當中也有回文聯(lián)．回文聯(lián)，它是我國對聯(lián)修辭奇葩(pā)中的一朵．用回文形式寫成的對聯(lián)，既可順讀，也可倒讀，不僅它的意思不變，而且頗具趣味．茲舉數(shù)例如下．其一：河南省境內(nèi)有一座山名叫雞公山，山中有兩處景觀：“斗雞山”和“龍隱巖”．有人就此作了一副獨具慧眼的回文聯(lián)：斗雞山上山雞斗龍隱巖中巖隱龍其二：廈門鼓浪嶼魚脯浦，因地處海中，島上山巒疊峰，煙霧繚繞，海淼淼水茫茫，遠接云天．于是，一副饒有趣味的回文聯(lián)便應(yīng)運而生：霧鎖山頭山鎖霧天連水尾水連天其三：清代，北京城里有一家飯館叫“天然居”，乾隆皇帝曾就此作過一副有名的回文聯(lián)：客上天然居居然天上客上聯(lián)是說，客人上“天然居”飯館去吃飯．下聯(lián)是上聯(lián)倒著念，意思是沒想到居然像是天上的客人．乾隆皇帝想出這副回文聯(lián)后，心里挺得意．即把它當成一個聯(lián)，向大臣們征對下聯(lián)，大臣們面面相覷，無人言聲．只有大學士紀曉嵐即席就北京城東的一座有名的大廟——大佛寺，想出了一副回文聯(lián)：人過大佛寺寺佛大過人上聯(lián)是說，人們路過大佛寺這座廟．下聯(lián)是說，廟里的佛像大極了，大得超過了人．紀學士的下聯(lián)，想得挺不錯．這副回文聯(lián)放到乾隆皇帝的一塊，就組成一副如出一口的新回文聯(lián)了：客上天然居居然天上客人過大佛寺寺佛大過人其四：湛江德鄰里有一副反映鄰里之間友好關(guān)系，魚水深情的回文聯(lián)，至今傳頌不衰：鄰居愛我愛居鄰魚傍水活水傍魚

作業(yè)1~100中，7的倍數(shù)有多少個？除以7余2的數(shù)有多少個？

從1~15中，選出2個數(shù)，使它們的和是3的倍數(shù)，共有多少種選法？用1、2、3、4、5、8、9組成不重復(fù)的七位數(shù)，其中有多少個能被11整除？如果把三位的“