專題06指對冪函數(shù)重難考點(diǎn)突破2021-2022學(xué)年高一數(shù)學(xué)上學(xué)期期末復(fù)習(xí)重難點(diǎn)突破（人教A版2019）

專題06:指對冪函數(shù)重難考點(diǎn)突破考點(diǎn)一：指對冪的運(yùn)算1．已知，且，則（）A． B． C． D．【答案】D【詳解】設(shè)，則，所以，解得，所以，，，，，故選：D2．人們用分貝(dB)來劃分聲音的等級，聲音的等級（單位：dB）與聲音強(qiáng)度（單位：）滿足，一般兩人小聲交談時(shí)，聲音的等級約為54dB，在有40人的課堂上講課時(shí)，老師聲音的強(qiáng)度約為一般兩人小聲交談時(shí)聲音強(qiáng)度的10倍，則老師聲音的等級約為（）A．36dB B．63dB C．72dB D．81dB【答案】B【詳解】解：設(shè)一般兩人小聲交談時(shí)聲音強(qiáng)度為，則，即，所以，則老師聲音的等級約為．故選：．3．計(jì)算：______【答案】【詳解】原式.故答案為：4．______．【答案】【詳解】.故答案為：5．已知，則________.【答案】1【詳解】由可知，，所以.故答案為：6．計(jì)算下列各式的值：（1）；（2）；（3）已知，，求的值．【答案】（1）；（2）2；（3）1.【詳解】（1）；（2）；（3）由，得，又由，即，得，所以.7．（1）計(jì)算：；（2）若，求的值.【答案】（1）；（2）.（2）依題意，計(jì)算可得；【詳解】解：（1）.（2）若，則，所以，故.考點(diǎn)二：指對冪型函數(shù)的圖像及恒過定點(diǎn)8．冪函數(shù)，及直線將直角坐標(biāo)系第一象限分成八個(gè)“卦限：（如圖所示），那么，而函數(shù)的圖象在第一象限中經(jīng)過的“卦限”是（）A． B． C． D．【答案】B【詳解】對于冪函數(shù)，因?yàn)?，所以在第一象限單調(diào)遞減，根據(jù)冪函數(shù)的性質(zhì)可知：在直線的左側(cè)，冪函數(shù)的指數(shù)越大越接近軸，因?yàn)?，所以的圖象比的圖象更接近軸，所以進(jìn)過第卦限，在直線的右側(cè)，冪函數(shù)的指數(shù)越小越接近軸，因?yàn)?，所以的圖象位于和之間，所以經(jīng)過卦限，所有函數(shù)的圖象在第一象限中經(jīng)過的“卦限”是，故選：B9．若冪函數(shù)(m，n∈N*，m，n互質(zhì))的圖像如圖所示，則（）A．m，n是奇數(shù)，且<1B．m是偶數(shù)，n是奇數(shù)，且>1C．m是偶數(shù)，n是奇數(shù)，且<1D．m是奇數(shù)，n是偶數(shù)，且>1【答案】C【詳解】由圖知冪函數(shù)f(x)為偶函數(shù)，且，排除B，D；當(dāng)m，n是奇數(shù)時(shí)，冪函數(shù)f(x)非偶函數(shù)，排除A；故選：C.10．已知函數(shù)（其中）的圖象如下圖所示，則的圖象是（）A．B．C． D．【答案】A【詳解】解：由圖象可知：，因?yàn)?，所以由可得：，由可得：，由可得：，因此有，所以函?shù)是減函數(shù)，，所以選項(xiàng)A符合，故選：A11．已知三個(gè)函數(shù)的圖象示，則（）A． B．C． D．【答案】C【詳解】由指數(shù)函數(shù)圖象可知，，由冪函數(shù)的圖象可知，，由對數(shù)函數(shù)的圖象可知，故可得，故選：C12．在同一直角坐標(biāo)系中，函數(shù)，的圖象可能是（）A． B．C． D．【答案】AC【詳解】A：根據(jù)的圖像知對數(shù)函數(shù)在定義域上單調(diào)遞增，所以，圖像過點(diǎn)，所以；根據(jù)的圖像為的一條直線可判斷，且無論a為何值圖像均為，此類情況符合題意，A正確；B：由的圖像可知，若，對數(shù)函數(shù)的圖像應(yīng)向右平移，選項(xiàng)中的圖像向左平移，故B錯(cuò)誤；C：由對數(shù)函數(shù)的圖像知且，函數(shù)的圖像與直線交點(diǎn)的橫坐標(biāo)小于1且函數(shù)單調(diào)遞減，所以且，C正確；D：由的圖像知函數(shù)單調(diào)遞減則，但未向右平移，錯(cuò)誤.故選：AC13．已知函數(shù)（且）的圖象如下圖所示，則下列四個(gè)函數(shù)圖象與函數(shù)解析式對應(yīng)正確的是（）A． B．C． D．【答案】ABD【詳解】由圖可得，即，單調(diào)遞減過點(diǎn)，故A正確；為偶函數(shù)，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，故B正確；為偶函數(shù)，結(jié)合指數(shù)函數(shù)圖象可知C錯(cuò)誤；，根據(jù)““上不動(dòng)、下翻上”可知D正確；故選：ABD.14．函數(shù)恒過定點(diǎn)______．【答案】【詳解】當(dāng)，即時(shí)，，函數(shù)恒過定點(diǎn).故答案為：.15．已知函數(shù)（且）的圖象過定點(diǎn)，則（）A．5 B．6 C． D．8【答案】D【詳解】解：，當(dāng)時(shí)，所以過定點(diǎn)，則，，則故選：D.16．若函數(shù)是冪函數(shù)，則函數(shù)(其中且)的圖象過定點(diǎn)（）A． B． C． D．【答案】A【詳解】∵是冪函數(shù)，∴，，∴過定點(diǎn).故選：A考點(diǎn)三：指對冪型函數(shù)的定義域及值域17．函數(shù)的定義域?yàn)椋ǎ〢． B．C． D．【答案】C【詳解】函數(shù)的定義域滿足或即.故選：C.18．函數(shù)的定義域?yàn)椋ǎ〢． B． C． D．【答案】C【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)，所以，即，解得，所以函數(shù)的定義域?yàn)?，故選：C19．已知全集，集合，，則（）A． B． C． D．【答案】D【詳解】由，解得，故.因?yàn)椋裕?，從?故選：D20．已知函數(shù)的定義域?yàn)?，則函數(shù)的定義域?yàn)椋ǎ〢． B． C． D．【答案】B【詳解】的定義域?yàn)椋?，即，，解得：且，的定義域?yàn)?故選：.21．已知函數(shù)，，對于任意，存在有，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（）A． B． C． D．【答案】A【詳解】對于任意，存在有，，.由，函數(shù)1)，可得，，令，設(shè)，則，，故選：A．22．已知函數(shù)，則下列說法正確的是（）A．定義域R B．值域?yàn)镃．在上單調(diào)遞增 D．在上單調(diào)遞減【答案】ABD【詳解】函數(shù)，可得函數(shù)定義域?yàn)?，故A正確；設(shè)，由指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性得到，函數(shù)值域?yàn)?，故B正確；在上是單調(diào)遞增的，而在定義域內(nèi)是單調(diào)遞減的，根據(jù)復(fù)合函數(shù)單調(diào)性法則，得到函數(shù)在上單調(diào)遞減，故C錯(cuò)誤；D正確.故選：ABD.23．若函數(shù)在上的值域?yàn)?，且，則__________.【答案】4【詳解】在上單調(diào)遞增，，，則，又，.故答案為：4.考點(diǎn)四：指對冪型函數(shù)的比較大小24．設(shè)，則（）A． B． C． D．【答案】D【詳解】，即，且，故.故選：D.25．已知，，，則（）A． B． C． D．【答案】B【詳解】因?yàn)?，，，所?故選：B26．設(shè)，則（）A． B． C． D．【答案】A【詳解】根據(jù)題意，因?yàn)?，且，，所?故選：A.27．已知，則的大小為（）A． B．C． D．【答案】A【詳解】∵，又，,因?yàn)樵谏蠟樵龊瘮?shù)，且，所以，又，即，綜上所述：.故選：A.28．已知，，且a，b都是不等于1的實(shí)數(shù)，則下列不等式成立的是（）A． B． C． D．【答案】AC【詳解】考查函數(shù)，時(shí)，在定義域上是增函數(shù)，時(shí)，，故A正確；考查函數(shù)，時(shí)，在定義域上是增函數(shù)，時(shí)，，故B錯(cuò)誤；考查函數(shù)，時(shí)，在定義域上是增函數(shù)，時(shí)，，故C正確；考查函數(shù)，時(shí)，在上是減函數(shù)，時(shí)，，故D錯(cuò)誤.故選：AC．29．設(shè)，，均為正數(shù)，且，則（）A． B． C． D．【答案】D【詳解】解：因?yàn)?、、為正?shù)，令，，則，，，

所以，，，

，，，

，，

，

，

故選：D30．已知偶函數(shù)在上單調(diào)遞增，若，，，則（）A． B． C． D．【答案】B【詳解】因?yàn)槭桥己瘮?shù)，所以，因?yàn)?，所以，因?yàn)樵?，上的單調(diào)遞增，所以，即．故選：B．31．已知奇函數(shù)在上是增函數(shù)，．若，，，則，，的大小關(guān)系為（）A． B． C． D．【答案】C【詳解】因?yàn)槭瞧婧瘮?shù)且在上是增函數(shù)，所以在時(shí)，，從而是上的偶函數(shù)，且在上是增函數(shù)，，，又，則，所以即，，所以.故選：C．考點(diǎn)五：指對冪型函數(shù)的單調(diào)性與奇偶性綜合應(yīng)用32．函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為（）A． B． C． D．【答案】A【詳解】根據(jù)題意，令，由，得，因此函數(shù)的定義域?yàn)?，且是由和?fù)合得到.因?yàn)閱握{(diào)遞增，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為.故選：A.33．已知函數(shù)，在單調(diào)遞減，則的取值范圍是（）A． B． C． D．【答案】D【詳解】令，易知在其定義域上單調(diào)遞減，要使在上單調(diào)遞減，則在單調(diào)遞增，且，即，所以，即.因此，實(shí)數(shù)的取值范圍是.故選：D.34．已知定義域?yàn)镮的偶函數(shù)在上單調(diào)遞增，則下列函數(shù)中符合上述條件的是（）A． B． C． D．【答案】ACD【詳解】A，且定義域?yàn)椋礊榕己瘮?shù)；當(dāng)時(shí)，易知在上單調(diào)遞增，符合題設(shè)；B，由解析式知：，可得，即的定義域?yàn)?，不符合在上單調(diào)遞增；C，且定義域?yàn)椋礊榕己瘮?shù)；當(dāng)時(shí)，易知在上單調(diào)遞增，符合題設(shè)；D，且定義域?yàn)?，即為偶函?shù)；由冪函數(shù)的性質(zhì)知在上單調(diào)遞增，符合題設(shè).故選：ACD.35．下面敘述正確的有（）A．不等式的解集為；B．若函數(shù)的值域?yàn)椋瑒t；C．若函數(shù)的定義域?yàn)?，則；D．函數(shù)在上單調(diào)遞減．【答案】BCA，由在上遞增，在上遞減且為偶函數(shù)，由不等式可得，解得且，故錯(cuò)誤；B，要使值域?yàn)?，即的值域必包含，故只需，故正確；C，要使定義域?yàn)椋丛谏虾愠闪?，故只需，故正確；D，在上，令，則，顯然在上遞減，上遞增，即在上遞減，上遞增，故錯(cuò)誤.故選：BC.36．設(shè)函數(shù)，下列四個(gè)命題正確的是（）A．函數(shù)為偶函數(shù)B．若，其中，，，則C．函數(shù)在（1，2）上為單調(diào)遞增函數(shù)D．若，則【答案】BC【詳解】A選項(xiàng)，的定義域?yàn)椋允欠瞧娣桥己瘮?shù)，A錯(cuò)誤.B選項(xiàng)，由于，，，所以，B正確.C選項(xiàng)，，由，的開口向下，對稱軸為，根據(jù)復(fù)合函數(shù)單調(diào)性同增異減可知函數(shù)在（1，2）上為單調(diào)遞增函數(shù).C正確.D選項(xiàng)，，，所以，即，由于，，所以不成立，D錯(cuò)誤.故選：BC37．已知函數(shù)，，則（）A．函數(shù)為偶函數(shù)B．函數(shù)為奇函數(shù)C．函數(shù)在區(qū)間上的最大值與最小值之和為0D．設(shè)，則的解集為【答案】BCD【詳解】對于A：，定義域?yàn)?，，則為奇函數(shù)，故A錯(cuò)誤；對于B：，定義域?yàn)?，，則為奇函數(shù)，故B正確；對于C：，，都為奇函數(shù)，則為奇函數(shù)，在區(qū)間上的最大值與最小值互為相反數(shù)，必有在區(qū)間上的最大值與最小值之和為0，故C正確；對于D：，則在上為減函數(shù)，，則在上為減函數(shù)，則在上為減函數(shù)，若即，則必有，解得，即的解集為，故D正確；故選：BCD38．已知函數(shù)，下面說法正確的有（）A．的圖像關(guān)于原點(diǎn)對稱 B．的圖像關(guān)于y軸對稱C．的值域?yàn)?D．，且【答案】ACD【詳解】的定義域?yàn)殛P(guān)于原點(diǎn)對稱,，所以是奇函數(shù)，圖象關(guān)于原點(diǎn)對稱，故選項(xiàng)A正確，選項(xiàng)B不正確；，因?yàn)?，所以，所以，，所以，可得的值域?yàn)?，故選項(xiàng)C正確；設(shè)任意的，則，因?yàn)?，，，所以，即，所以，故選項(xiàng)D正確；故選：ACD考點(diǎn)六：指對冪型函數(shù)的綜合應(yīng)用39．已知函數(shù)是冪函數(shù)，且.（1）求函數(shù)的解析式；（2）試判斷是否存在實(shí)數(shù)，使得函數(shù)在區(qū)間上的最大值為6，若存在，求出b的值；若不存在，請說明理由.【答案】（1）；（2）存在，.【詳解】解：因?yàn)楹瘮?shù)是冪函數(shù)，所以，解得或，當(dāng)時(shí)，，則，故不符題意，當(dāng)時(shí)，，則，符合題意，所以；（2）由（1）得，函數(shù)圖像開口向下，對稱軸為：，當(dāng)時(shí)，函數(shù)在區(qū)間上遞減，則，解得，符合題意；當(dāng)時(shí)，函數(shù)在區(qū)間上遞增，則，解得，符合題意；當(dāng)時(shí)，，解得，不符題意，綜上所述，存在實(shí)數(shù)滿足題意.40．已知函數(shù).（1）當(dāng)時(shí)，求該函數(shù)的值域；（2）求不等式的解集；（3）若于恒成立，求的取值范圍．【答案】（1）（2）或（3）（1）令，，則，函數(shù)轉(zhuǎn)化為，，則二次函數(shù)，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以當(dāng)時(shí)，取到最小值為，當(dāng)時(shí)，取到最大值為5，故當(dāng)時(shí)，函數(shù)的值域?yàn)?（2）由題得，令，則，即，解得或，當(dāng)時(shí)，即，解得；當(dāng)時(shí)，即，解得，故不等式的解集為或．（3）由于對于上恒成立，令，，則即在上恒成立，所以在上恒成立，因?yàn)楹瘮?shù)在上單調(diào)遞增，也在上單調(diào)遞增，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，它的最大值為，故時(shí)，對于恒成立．41．已知函數(shù)在區(qū)間[2，3]上有最大值4，最小值1．函數(shù)（1）求函數(shù)g(x)的解析式；（2）若存在使得不等式f(lnx)klnx≤