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文檔簡介
PAGE單元素養(yǎng)評價(一)(第一章)(120分鐘150分)一、選擇題(本大題共12小題,每小題5分,共60分.在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的)1.“四邊形是矩形,四邊形的對角線相等”補充以上推理的大前提是()A.正方形都是對角線相等的四邊形B.矩形都是對角線相等的四邊形C.等腰梯形都是對角線相等的四邊形D.矩形都是對邊平行且相等的四邊形【解析】選B.依據(jù)題意,用演繹推理即三段論形式推導一個結(jié)論成立,大前提應當是結(jié)論成立的依據(jù),因為由四邊形是矩形,得到四邊形的對角線相等的結(jié)論,所以大前提肯定是矩形都是對角線相等的四邊形.2.視察下列式子:1+QUOTE<QUOTE,1+QUOTE+QUOTE<QUOTE,1+QUOTE+QUOTE+QUOTE<QUOTE,…,則可歸納出1+QUOTE+QUOTE+…+QUOTE小于()A.QUOTE B.QUOTE C.QUOTE D.QUOTE【解析】選C.所揣測的分式的分母為n+1,分子恰好是第n+1個正奇數(shù),即2n+1.3.用反證法證明命題“QUOTE+QUOTE是無理數(shù)”時,假設正確的是()A.假設QUOTE是有理數(shù) B.假設QUOTE是有理數(shù)C.假設QUOTE或QUOTE是有理數(shù) D.假設QUOTE+QUOTE是有理數(shù)【解析】選D.應對結(jié)論進行否定,則QUOTE+QUOTE不是無理數(shù),即QUOTE+QUOTE是有理數(shù).4.用數(shù)學歸納法證明1+QUOTE+QUOTE+…+QUOTE=QUOTE時,由n=k到n=k+1左邊須要添加的項是()A.QUOTE B.QUOTEC.QUOTE D.QUOTE【解析】選D.由n=k到n=k+1時,左邊須要添加的項是QUOTE=QUOTE.5.視察下列等式:13+23=32,13+23+33=62,13+23+33+43=102,記fQUOTE=13+23+33+…+n3.依據(jù)上述規(guī)律,若fQUOTE=225,則正整數(shù)n的值為()A.8 B.7 C.6 【解析】選D.由已知等式的規(guī)律可知fQUOTE=QUOTE=QUOTE,當fQUOTE=225時,可得n=5.6.我們把平面幾何里相像形的概念推廣到空間:假如兩個幾何體大小不肯定相等,但形態(tài)完全相同,就把它們叫作相像體.下列幾何體中,肯定屬于相像體的有()①兩個球體;②兩個長方體;③兩個正四面體;④兩個正三棱柱;⑤兩個正四棱錐.A.4個 B.3個 C.2個 D.1個【解析】選C.類比相像形中的對應邊成比例知,①③屬于相像體.7.(2024·浙江高考)設集合S,T,S?N*,T?N*,S,T中至少有兩個元素,且S,T滿意:①對于隨意x,y∈S,若x≠y,都有xy∈T;②對于隨意x,y∈T,若x<y,則QUOTE∈S;下列命題正確的是()A.若S有4個元素,則S∪T有7個元素B.若S有4個元素,則S∪T有6個元素C.若S有3個元素,則S∪T有4個元素D.若S有3個元素,則S∪T有5個元素【解析】選A.對于AB,構(gòu)造S={q,q2,q3,q4},則T={q3,q4,q5,q6,q7},q≠1且q∈N*,則S∪T={q,q2,q3,q4,q5,q6,q7}共7個元素,對于CD,不妨設S={a,b,c},且a<b<c,則T={ab,ac,cb},且bc>ac>ab,所以QUOTE,QUOTE,QUOTE∈S,明顯QUOTE>QUOTE,QUOTE>QUOTE,①Q(mào)UOTE=b,QUOTE=a,QUOTE=a,則S={a,a2,a3},T={a3,a4,a5},S∪T有5個元素,②QUOTE=c?a=1,QUOTE=b,QUOTE有2種可能,(ⅰ)QUOTE=a,b=c與S為集合沖突,(ⅱ)QUOTE=b,b2=c,S=QUOTE,T=QUOTE,S∪T有4個元素,所以,當S中有三個元素時,S∪T的元素個數(shù)可為4,可為5,不唯一.8.已知函數(shù)f(x)=sin(2x+φ),滿意f(x)≤f(a)對x∈R恒成立,則函數(shù)()A.f(x-a)肯定為奇函數(shù) B.f(x-a)肯定為偶函數(shù)C.f(x+a)肯定為奇函數(shù) D.f(x+a)肯定為偶函數(shù)【解析】選D.由題意得,f(a)=sin(2a+φ)=1時,2a+φ=2kπ+QUOTE,k∈Z,所以f(x+a)=sin(2x+2a+φ)=sin2x+2kπ+QUOTE=cos2x,此時函數(shù)為偶函數(shù).9.已知n∈N,則QUOTE-QUOTE與QUOTE-QUOTE的大小關系為 ()A.QUOTE-QUOTE>QUOTE-QUOTEB.QUOTE-QUOTE<QUOTE-QUOTEC.QUOTE-QUOTE=QUOTE-QUOTED.不能確定【解析】選B.要比較QUOTE-QUOTE與QUOTE-QUOTE的大小,只需比較QUOTE與QUOTE的大小,只需比較QUOTE與QUOTE的大小,只需比較(n+4)(n+1)與(n+2)(n+3)的大小,即比較n2+5n+4和n2+5n+6的大小,因為n2+5n+4-(n2+5n+6)=-2<0,所以QUOTE-QUOTE<QUOTE-QUOTE.10.設函數(shù)f(x)=QUOTE(x>0),視察:f1(x)=f(x)=QUOTE,f2(x)=f(f1(x))=QUOTE,f3(x)=f(f2(x))=QUOTE,f4(x)=f(f3(x))=QUOTE,由歸納推理可得當n∈N+且n≥2時fn(x)=f(fn-1(x))= ()A.QUOTE B.QUOTEC.QUOTE D.QUOTE【解析】選C.視察可得,所給的函數(shù)式的分子不變都是x,而分母是由兩部分的和組成,第一部分的系數(shù)分別是1,3,7,15,…,2n-1,其次部分的數(shù)分別是2,4,8,16,…,2n,所以fn(x)=f(fn-1(x))=QUOTE.11.視察下列各式:72=49,73=343,74=2401,則72019的末兩位數(shù)字為()A.01 B.43 C.07 D.【解析】選B.72=49,73=343,74=2401,75=…07,76=…49,77=…43,78=…01,79=…07,易視察出末兩位數(shù)是呈周期改變的,周期為4,所以72019=74×504+3,72019的末兩位數(shù)字是43.12.已知數(shù)列{an}滿意a1=QUOTE,an+1=1-QUOTE,則a2019等于()A.QUOTE B.-1 C.2 D.3【解析】選C.因為a1=QUOTE,an+1=1-QUOTE,所以a2=1-QUOTE=-1,a3=1-QUOTE=2,a4=1-QUOTE=QUOTE,a5=1-QUOTE=-1,a6=1-QUOTE=2,所以an+3k=an(n∈N+,k∈N+).所以a2019=a3+3×672=a3=2.二、填空題(本大題共4個小題,每小題5分,共20分.請把答案填在題中的橫線上)13.視察下列不等式:1>QUOTE,1+QUOTE+QUOTE>1,1+QUOTE+QUOTE+…+QUOTE>QUOTE,1+QUOTE+QUOTE+…+QUOTE>2,1+QUOTE+QUOTE+…+QUOTE>QUOTE,…,由此揣測第n個不等式為_________.
【解析】由3=22-1,7=23-1,15=24-1,可揣測第n個不等式為1+QUOTE+QUOTE+…+QUOTE>QUOTE.答案:1+QUOTE+QUOTE+…+QUOTE>QUOTE14.我們把平面內(nèi)與直線垂直的非零向量稱為直線的法向量,在平面直角坐標系中,利用求動點軌跡方程的方法,可以求出過點A(-3,4),且法向量為n=(1,-2)的直線方程為1×(x+3)+(-2)×(y-4)=0,即x-2y+11=0.類比以上方法,在空間直角坐標系中,經(jīng)過點A(1,2,3),且法向量為m=(-1,-2,1)的平面的方程為__________________.
【解析】在所求平面內(nèi)任取一點P(x,y,z),則=(x-1,y-2,z-3),因為所求平面的法向量為m=(-1,-2,1),所以類比平面中求動點軌跡方程的方法,可得-(x-1)-2×(y-2)+1×(z-3)=0,即x+2y-z-2=0.答案:x+2y-z-2=015.給出下列不等式:①a>b>0,且a2+QUOTE=1,則ab>a2b2;②a,b∈R,且ab<0,則QUOTE≤-2;③a>b>0,m>0,則QUOTE>QUOTE;④QUOTE≥4(x≠0).其中正確的序號為_________.
【解析】①a>b>0,所以a≠Q(mào)UOTE,所以a2+QUOTE=1>2QUOTE=ab,所以1-ab>0,所以ab-a2b2=ab(1-ab)>0,所以ab>a2b2正確.②QUOTE+2=QUOTE,因為ab<0,(a+b)2≥0,所以QUOTE≤-2,②正確;③QUOTE-QUOTE=QUOTE,因為a>b>0,m>0,所以b(b+m)>0,b-a<0,所以QUOTE<0,所以QUOTE<QUOTE,③不正確.④QUOTE=|x|+QUOTE≥4,④正確.答案:①②④16.已知Sk=1k+2k+3k+…+nk,當k=1,2,3,…時,視察下列等式:S1=QUOTEn2+QUOTEn,S2=QUOTEn3+QUOTEn2+QUOTEn,S3=QUOTEn4+QUOTEn3+QUOTEn2,S4=QUOTEn5+QUOTEn4+QUOTEn3-QUOTEn,S5=An6+QUOTEn5+QUOTEn4+Bn2,…可以推想,A-B=_________.
【解析】由S1,S2,S3,S4,S5的特征,推想A=QUOTE.又各項的系數(shù)和為1,所以A+QUOTE+QUOTE+B=1,則B=-QUOTE.因此推想A-B=QUOTE+QUOTE=QUOTE.答案:QUOTE三、解答題(本大題共6小題,共70分.解答應寫出文字說明,證明過程或演算步驟)17.(10分)設a,b為實數(shù),求證:QUOTE≥QUOTE(a+b).【證明】當a+b≤0時,因為QUOTE≥0,所以QUOTE≥QUOTE(a+b)成立.當a+b>0時,用分析法證明如下:要證QUOTE≥QUOTE(a+b),只需證(QUOTE)2≥QUOTE,即證a2+b2≥QUOTE(a2+b2+2ab),即證a2+b2≥2ab.因為a2+b2≥2ab對一切實數(shù)恒成立,所以QUOTE≥QUOTE(a+b)成立.綜上所述,對隨意實數(shù)a,b不等式都成立.18.(12分)求證:當x2+bx+c2=0有兩個不相等的非零實數(shù)根時bc≠0.【證明】假設bc=0.(1)若b=0,c=0,方程變?yōu)閤2=0,則x1=x2=0是方程x2+bx+c2=0的兩個根,這與方程有兩個不相等的非零實數(shù)根沖突.(2)若b=0,c≠0,方程變?yōu)閤2+c2=0,但c≠0,此時方程無解,與x2+bx+c2=0有兩個不相等的非零實數(shù)根沖突.(3)若b≠0,c=0,方程變?yōu)閤2+bx=0,方程的根為x1=0,x2=-b,這與方程有兩個不相等的非零實數(shù)根相沖突.綜上所述,可知bc≠0.19.(12分)已知f(x)=x-QUOTEx2,設0<a1<QUOTE,an+1=f(an),n∈N+,證明:an<QUOTE.【證明】①當n=1時,0<a1<QUOTE,不等式an<QUOTE成立;因為a2=f(a1)=-QUOTE+QUOTE≤QUOTE<QUOTE,所以n=2時不等式也成立.②假設n=k(k≥2)時,不等式ak<QUOTE成立,因為f(x)=x-QUOTEx2的對稱軸為x=QUOTE,知f(x)在QUOTE上是增加的,所以由ak<QUOTE≤QUOTE,得f(ak)<fQUOTE.所以ak+1<QUOTE-QUOTE·QUOTE+QUOTE-QUOTE=QUOTE-QUOTE<QUOTE.所以當n=k+1時,不等式也成立.依據(jù)①②知,對任何n∈N+,不等式an<QUOTE成立.20.(12分)已知等差數(shù)列{an}的公差d大于0,且a2,a5是方程x2-12x+27=0的兩根,數(shù)列{bn}的前n項和為Tn且Tn=1-QUOTEbn.(1)求數(shù)列{an},{bn}的通項公式.(2)設數(shù)列{an}的前n項和為Sn,試比較QUOTE與Sn+1的大小,并說明理由.【解析】(1)設an的首項為a1,因為a2,a5是方程x2-12x+27=0的兩根,所以QUOTE解得QUOTE所以an=2n-1.因為n=1時,b1=T1=1-QUOTEb1,所以b1=QUOTE,當n≥2時,Tn=1-QUOTEbn①,Tn-1=1-QUOTEbn-1②,①-②得bn=QUOTEbn-1,所以數(shù)列{bn}是等比數(shù)列.所以bn=QUOTE·QUOTE=QUOTE.(2)Sn=QUOTE=n2,Sn+1=(n+1)2,QUOTE=QUOTE.以下比較QUOTE與Sn+1的大?。寒攏=1時,QUOTE=QUOTE,S2=4,QUOTE<S2,當n=2時,QUOTE=QUOTE,S3=9,QUOTE<S3,當n=3時,QUOTE=QUOTE,S4=16,QUOTE<S4,當n=4時,QUOTE=QUOTE,S5=25,QUOTE>S5,猜想:n≥4時,QUOTE>Sn+1.下面用數(shù)學歸納法證明:①當n=4時,已證.②假設當n=k(k∈N+,k≥4)時,QUOTE>Sk+1,即QUOTE>(k+1)2,那么當n=k+1時,QUOTE=QUOTE=3·QUOTE>3(k+1)2=3k2+6k+3=(k2+4k+4)+2k2+2k-1>[(k+1)+1]2=S(k+1)+1.綜合①②,當n≥4,n∈N+時,QUOTE>Sn+1.21.(12分)已知a>0,利用分析法證明:QUOTE-QUOTE≥
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