七年級數(shù)學(xué) 第06講 有理數(shù)的乘方（原卷版）

第06講有理數(shù)的乘方1.理解有理數(shù)乘方定義及運(yùn)算；2.進(jìn)一步掌握有理數(shù)的五則混合運(yùn)算；3.理解科學(xué)記數(shù)法，了解近似數(shù)；4.能運(yùn)用科學(xué)記數(shù)法表示較大的數(shù)。知識點(diǎn)1：乘方法則運(yùn)算（1）正數(shù)的任何次冪都是正數(shù)（2）負(fù)數(shù)的奇次冪是負(fù)數(shù)，負(fù)數(shù)的偶次冪是正數(shù)（3）0的任何正整數(shù)次冪都是0知識點(diǎn)2：混合運(yùn)算（1）先乘方，再乘除，最后加減。（2）同級運(yùn)算，從左到右的順序進(jìn)行。（3）如有括號，先算括號內(nèi)的運(yùn)算，按小括號，中括號，大括號依次進(jìn)行。在進(jìn)行有理數(shù)的運(yùn)算時(shí)，要分兩步走：先確定符號，再求值。知識點(diǎn)3：科學(xué)計(jì)數(shù)法1.科學(xué)記數(shù)法概念：把一個(gè)大于10的數(shù)表示成a×10n的形式（其中a是整數(shù)數(shù)位只有一位的數(shù)，n為正整數(shù)）。這種記數(shù)的方法叫做科學(xué)記數(shù)法。﹙1≤|a|＜10﹚注：一個(gè)n為數(shù)用科學(xué)記數(shù)法表示為a×10n－12.近似數(shù)的精確度：兩種形式（1）精確到某位或精確到小數(shù)點(diǎn)后某位。（2）保留幾個(gè)有效數(shù)字注：對于較大的數(shù)取近似數(shù)時(shí)，結(jié)果一般用科學(xué)記數(shù)法來表示例如：256000（精確到萬位）的結(jié)果是2.6×105有效數(shù)字：從一個(gè)數(shù)的左邊第一個(gè)非0數(shù)字起，到末尾數(shù)字止，所有的數(shù)字都是這個(gè)數(shù)的有效數(shù)。注：（1）用科學(xué)記數(shù)法表示的近似數(shù)的有效數(shù)字時(shí)，只看乘號前面的數(shù)字。例如：3.0×104的有效數(shù)字是3。（2）帶有記數(shù)單位的近似數(shù)的有效數(shù)字，看記數(shù)單位前面的數(shù)字。例如：2.605萬的有效數(shù)字是2，6，0，5?？键c(diǎn)1：有理數(shù)乘方的概念例1.（2023?普寧市一模）式子﹣22的意義是（）A．2的平方 B．﹣2的平方 C．2的平方的相反數(shù) D．﹣2的平方的相反數(shù)【變式1-1】（2023?云巖區(qū)模擬）代數(shù)式可以表示為（）A．2+n B．2n C．2 D．n2【變式1-2】（2023春?臺江區(qū)校級期中）下列運(yùn)算中，結(jié)果可以為（﹣2）4的是（）A．22÷26 B．﹣26÷22 C．﹣2×2×2×2 D．（﹣2）×（﹣2）×（﹣2）×（﹣2）【變式1-3】（2022秋?石獅市期末）算式可以表示為（）A． B． C． D．考點(diǎn)2：乘方的運(yùn)算例2.（2022秋?泉港區(qū)期末）計(jì)算（﹣3）3，結(jié)果正確的是（）A．27 B．9 C．﹣27 D．﹣9【變式2-1】（2022秋?順平縣期末）下列各組乘方的運(yùn)算中，結(jié)果不相等的是（）A．（﹣5）2與52 B．﹣12013與（﹣1）2013 C．42與24 D．23與32【變式2-2】（2022秋?益陽期末）下列四個(gè)等式：①a2＝（﹣a）2②a3＝（﹣a）4③﹣a2＝|﹣a2|④a3＝|a3|其中正確的個(gè)數(shù)是（）A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)【變式2-3】（2022秋?廣陽區(qū)期末）計(jì)算＝（）A． B． C． D．考點(diǎn)3：偶次方的非負(fù)性例3.（2023春?東莞市月考）已知|a﹣1|+（b+2）2＝0，則（a+b）2011的值是．【變式3-1】（2023春?松江區(qū)期中）若（a+1）2+|b﹣3|＝0，那么ab＝．【變式3-2】（2023春?薩爾圖區(qū)校級月考）已知a、b為有理數(shù)，且|a﹣3|+（3b+1）2＝0，則（﹣ab）2022＝．【變式3-3】（2022秋?君山區(qū)期末）若（x﹣3）2+|y+5|+（z﹣2）2＝0，則（x+y）z＝．考點(diǎn)4：含乘方的混合運(yùn)算例4.（2023春?黃浦區(qū)期中）計(jì)算：．【變式4-1】（2023春?閔行區(qū)期中）計(jì)算：．【變式4-2】（2023春?青秀區(qū)校級月考）計(jì)算：．【變式4-3】（2023?西鄉(xiāng)塘區(qū)一模）計(jì)算：|﹣2|+32+6×+（﹣1）2023．考點(diǎn)5：含乘方的程序圖運(yùn)算例5.（2022秋?文登區(qū)期末）按如圖的程序計(jì)算，如果輸入﹣1，則輸出的結(jié)果為．【變式5-1】（2022秋?曹縣期末）按照如圖所示的操作步驟．若輸入x的值是5，則輸出的值是97，若輸入的x的值是﹣6，則輸出的值為．【變式5-2】（2022秋?海陵區(qū)校級期末）如圖是一個(gè)計(jì)算程序，若輸入的值為1，則輸出的值應(yīng)為．【變式5-3】（2022秋?宿豫區(qū)期中）如圖所示是一組數(shù)值轉(zhuǎn)換機(jī)的示意圖，按所示的操作步驟，若輸出的值為8，則輸入的值為．考點(diǎn)6：含乘方的數(shù)字及圖形規(guī)律問題例6.（2022秋?保定期末）定義一種對正整數(shù)n的“F”運(yùn)算：①當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，結(jié)果為3n+1；②當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，結(jié)果為（其中k是使為奇數(shù)的正整數(shù)），并且運(yùn)算可以重復(fù)進(jìn)行，例如，取n＝25時(shí)，運(yùn)算過程如圖．若n＝34，則第2023次“F運(yùn)算”的結(jié)果是（）A．16 B．1 C．4 D．5【變式6-1】（2022秋?市中區(qū)期中）定義一種對正整數(shù)n的“F”運(yùn)算：①當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，結(jié)果為3n+5；②當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，結(jié)果為（其中k是使為奇數(shù)的最大正整數(shù)），并且運(yùn)算可以重復(fù)進(jìn)行，例如如圖所示為n＝26時(shí)的運(yùn)算過程，若n＝49，則第2022次“F”運(yùn)算的結(jié)果是（）A．152 B．49 C．62 D．31【變式6-2】（2021秋?雁塔區(qū)校級期中）如圖，一張長20cm、寬10cm的長方形紙片，第一次截去一半，第2次裁去剩下部分的一半，…，如此裁下去，第6次后剩下的長方形的面積是（）A．200× B．200×（1﹣）cm2 C．200×cm2 D．200×（1﹣）cm2考點(diǎn)7：乘方的應(yīng)用規(guī)律例7.將一張長方形的紙對折，如圖①，可得到一條折痕．繼續(xù)對折，對折時(shí)每條折痕與上次的折痕保持平行，如圖②．連續(xù)對折三次后，可以得到7條折痕，如圖③．回答下列問題：（1）對折四次可得到條折痕；（2）寫出折痕的條數(shù)y與對折次數(shù)x之間的關(guān)系．【變式7-1】如圖是某種細(xì)胞分裂示意圖，這種細(xì)胞每過30分鐘便由1個(gè)分裂成2個(gè)．根據(jù)此規(guī)律可得：（1）這樣的一個(gè)細(xì)胞經(jīng)過2小時(shí)后可分裂成多少個(gè)細(xì)胞？（2）這樣的一個(gè)細(xì)胞經(jīng)過多少小時(shí)后可分裂成64個(gè)細(xì)胞？【變式7-2】（2020秋?鐵西區(qū)校級月考）拉面館的師傅將一根很粗的面條，捏合一起拉伸，再捏合，再拉伸，反復(fù)幾次，就把這根很粗的面條，拉成了許多細(xì)的面條，如下面的草圖所示：這樣，（1）第4次捏合后可拉出根細(xì)面條；（2）第次捏合后可拉出256根細(xì)面條．【變式7-3】先計(jì)算再回答問題：（1+2）2＝，12+22＝；（2+3）2＝，22+32＝；（3+4）2＝，32+42＝．（1）試判斷兩個(gè)正有理數(shù)（a+b）2與a2+b2的關(guān)系；（2）根據(jù)下圖猜想（a+b）2﹣（a2+b2）的結(jié)果（用a、b表示）．考點(diǎn)8：乘方應(yīng)用中的新定義問題例8.（2023春?定遠(yuǎn)縣期中）對于等式an＝b，若知道a和n求b，則稱為乘方運(yùn)算；若知道b和n求a，則稱為開方運(yùn)算．現(xiàn)新定義：對于等式an＝b中，知道a和b求n，且規(guī)定n＝L（a，b）．如：24＝16，則有：L（2，16）＝4．（1）根據(jù)上述規(guī)定，填空：①L（3，81）＝；②L（2，0.25）＝；（2）計(jì)算：L；（3）探索L（2，3）?L（3，5）與L（2，5）的大小關(guān)系，并說明理由．【變式8-1】（2022秋?廣水市期末）定義：如果a4＝N（a＞0，且a≠1），那么x叫做以a為底N的對數(shù)，記作x＝logaN．例如：因?yàn)?2＝49，所以log749＝2；因?yàn)閟3＝125，所以logS125＝3．則下列說法中正確的有（）個(gè)．①log66＝36；②log381＝4；③若log4（a+14）＝4，則a＝50；④log2128＝log216+log28A．4 B．3 C．2 D．1【變式8-2】（2023春?欒城區(qū)期中）新定義：如果a，b都是非零整數(shù)，且a＝4b，那么就稱a是“4倍數(shù)”．驗(yàn)證：嘉嘉說：232﹣212是“4倍數(shù)”，琪琪說：122﹣6×12+9也是“4倍數(shù)”，判斷說得對（填“嘉嘉”、“琪琪”或“嘉嘉、琪琪”）．考點(diǎn)9：科學(xué)記數(shù)法的表示例9.（2023?昌平區(qū)二模）經(jīng)文化和旅游部數(shù)據(jù)中心測算，2023年清明節(jié)假期（4月5日），全國國內(nèi)旅游出游2376.64萬人次，較去年清明節(jié)當(dāng)日增長22.7%．將23766400用科學(xué)記數(shù)法表示應(yīng)為（）A．237.664×105 B．23.7664×106 C．2.37664×107 D．2.37664×108【變式9-1】（2023?麗水模擬）中國演出行業(yè)協(xié)會發(fā)布，2023第一季度全國營業(yè)性演出（不含娛樂場所演出），觀演人數(shù)2185萬人次，較去年同比增長142.96%，其中數(shù)2185萬用科學(xué)記數(shù)法表示為（）A．2.185×107 B．2.185×103 C．21.85×106 D．2.185×106【變式9-2】（2023?夾江縣模擬）在黨的二十大報(bào)告中指出，我國國內(nèi)生產(chǎn)總值從五十萬億元增長到一百一十四萬億元，我國經(jīng)濟(jì)總量占世界經(jīng)濟(jì)的比重達(dá)18.5%，提高了七點(diǎn)二個(gè)百分點(diǎn)，穩(wěn)居世界第二位．這里的數(shù)量114萬億元用科學(xué)記數(shù)法表示應(yīng)該是（）A．114×1012元 B．11.4×1013元 C．1.14×1013元 D．1.14×1014元【變式9-3】（2023?安徽模擬）2023年，我省應(yīng)屆高校畢業(yè)生預(yù)計(jì)達(dá)485萬人，總量再創(chuàng)新高，48.5萬用科學(xué)記數(shù)法表示為（）A．48.5×104 B．4.85×105 C．0.485×106 D．4.85×106考點(diǎn)10：近似數(shù)的表示例10.（2023?安丘市模擬）由四舍五入法得到的近似數(shù)5.8×103，下列說法中正確的是（）A．精確到個(gè)位，有2個(gè)有效數(shù)字 B．精確到十位，有2個(gè)有效數(shù)字 C．精確到百位，有2個(gè)有效數(shù)字 D．精確到千位，有4個(gè)有效數(shù)字【變式10-1】（2022秋?察右前旗校級期末）下面說法中錯(cuò)誤的是（）A．368萬精確到萬位 B．1.00×104精確到百位 C．2.58精確到百分位 D．0.0450精確到萬位【變式10-2】（2022秋?鼓樓區(qū)校級期末）用四舍五入法，8656000精確到千位的近似值是（）A．8.65×106 B．8.66×106 C．8.656×106 D．865000【變式10-3】（2022秋?阜寧縣期末）地球的半徑約為6.4×103千米，這個(gè)近似數(shù)精確到千米．1．（2022?廣東）計(jì)算22的結(jié)果是（）A．1 B． C．2 D．42．（2020?長沙）（﹣2）3的值等于（）A．﹣6 B．6 C．8 D．﹣83．（2020?涼山州）﹣12020＝（）A．1 B．﹣1 C．2020 D．﹣20204．（2022?襄陽）2021年，襄陽市經(jīng)濟(jì)持續(xù)穩(wěn)定恢復(fù)，綜合實(shí)力顯著增強(qiáng)，人均地區(qū)生產(chǎn)總值再上新臺階，突破100000元大關(guān)．將100000用科學(xué)記數(shù)法表示為（）A．1×104 B．1×105 C．10×104 D．0.1×1065．（2022?濟(jì)南）神舟十三號飛船在近地點(diǎn)高度200000m，遠(yuǎn)地點(diǎn)高度356000m的軌道上駐留了6個(gè)月后，于2022年4月16日順利返回．將數(shù)字356000用科學(xué)記數(shù)法表示為（）A．3.56×105 B．0.356×106 C．3.56×106 D．35.6×1046．（涼山州）我州今年參加中考的學(xué)生人數(shù)大約為5.08×104人，對于這個(gè)用科學(xué)記數(shù)法表示的近似數(shù)，下列說法正確的是（）A．精確到百分位，有3個(gè)有效數(shù)字 B．精確到百分位，有5個(gè)有效數(shù)字 C．精確到百位，有3個(gè)有效數(shù)字 D．精確到百位，有5個(gè)有效數(shù)字7．（2021?日照）數(shù)學(xué)上有很多著名的猜想，“奇偶?xì)w一猜想”就是其中之一，它至今未被證明，但研究發(fā)現(xiàn)，對于任意一個(gè)小于7×1011的正整數(shù)，如果是奇數(shù)，則乘3加1；如果是偶數(shù)，則除以2，得到的結(jié)果再按照上述規(guī)則重復(fù)處理，最終總能夠得到1．對任意正整數(shù)m，按照上述規(guī)則，恰好實(shí)施5次運(yùn)算結(jié)果為1的m所有可能取值的個(gè)數(shù)為（）A．8 B．6 C．4 D．28．（2021?達(dá)州）生活中常用的十進(jìn)制是用0~9這十個(gè)數(shù)字來表示數(shù)，滿十進(jìn)一，例：12＝1×10+2，212＝2×10×10+1×10+2；計(jì)算機(jī)也常用十六進(jìn)制來表示字符代碼，它是用0~F來表示0~15，滿十六進(jìn)一，它與十進(jìn)制對應(yīng)的數(shù)如表：十進(jìn)制012…891011121314151617…十六進(jìn)制012…89ABCDEF1011…例：十六進(jìn)制2B對應(yīng)十進(jìn)制的數(shù)為2×16+11＝43，10C對應(yīng)十進(jìn)制的數(shù)為1×16×16+0×16+12＝268，那么十六進(jìn)制中14E對應(yīng)十進(jìn)制的數(shù)為（）A．28 B．62 C．238 D．33410．（2021?永州）定義：若10x＝N，則x＝log10N，x稱為以10為底的N的對數(shù)，簡記為lgN，其滿足運(yùn)算法則：lgM+lgN＝lg（M?N）（M＞0，N＞0）．例如：因?yàn)?02＝100，所以2＝lg100，亦即lg100＝2；lg4+lg3＝lg12．根據(jù)上述定義和運(yùn)算法則，計(jì)算（lg2）2+lg2?lg5+lg5的結(jié)果為（）A．5 B．2 C．1 D．011．（2022?西藏）已知a，b都是實(shí)數(shù)，若|a+1|+（b﹣2022）2＝0，則ab＝．12．（2018?湘潭）閱讀材料：若ab＝N，則b＝logaN，稱b為以a為底N的對數(shù)，例如23＝8，則log28＝log223＝3．根據(jù)材料填空：log39＝．13．（2022?煙臺）小明和同學(xué)們玩撲克牌游戲．游戲規(guī)則是：從一副撲克牌（去掉“大王”“小王”）中任意抽取四張，根據(jù)牌面上的數(shù)字進(jìn)行混合運(yùn)算（每張牌上的數(shù)字只能用一次），使得運(yùn)算結(jié)果等于24．小明抽到的牌如圖所示，請幫小明列出一個(gè)結(jié)果等于24的算式5×6﹣2×3（答案不唯一）．14．（2022?隨州）計(jì)算：3×（﹣1）+|﹣3|＝．15．（2022?煙臺）如圖，是一個(gè)“數(shù)值轉(zhuǎn)換機(jī)”的示意圖．若x＝﹣5，y＝3，則輸出結(jié)果為．16．（2022?宜昌）中國是世界上首先使用負(fù)數(shù)的國家．兩千多年前戰(zhàn)國時(shí)期李悝所著的《法經(jīng)》中已出現(xiàn)使用負(fù)數(shù)的實(shí)例．《九章算術(shù)》的“方程”一章，在世界數(shù)學(xué)史上首次正式引入負(fù)數(shù)及其加減法運(yùn)算法則，并給出名為“正負(fù)術(shù)”的算法，請計(jì)算以下涉及“負(fù)數(shù)”的式子的值：﹣1﹣（﹣3）2＝．17．（2021?自貢）如圖，某學(xué)校“桃李餐廳”把WIFI密碼做成了數(shù)學(xué)題．小紅在餐廳就餐時(shí)，思索了一會兒，輸入密碼，順利地連接到了“桃李餐廳”的網(wǎng)絡(luò)．那么她輸入的密碼是．（2022?廣西）計(jì)算：（﹣1+2）×3+22÷（﹣4）．1．（2022秋?榆陽區(qū)校級期末）若一個(gè)算式中，﹣3是底數(shù)，4是指數(shù)，則這個(gè)算式是（）A．﹣34 B．（﹣3）4 C．﹣43 D．（﹣4）32．（2023春?香坊區(qū)校級期中）下列各對數(shù)中，不相等的一對數(shù)是（）A．（﹣3）3與﹣33 B．|﹣33|與|33| C．（﹣3）4與﹣34 D．（﹣3）2與323．（2022秋?沈河區(qū)校級期末）根據(jù)流程圖中的程序，若輸入x的值為0，則輸出y的值為（）A．5 B．7 C．70 D．1874．（2021秋?曲阜市校級期中）我們常用的十進(jìn)制數(shù)，我國古代《易經(jīng)》一書記載，遠(yuǎn)古時(shí)期，人們通過在繩子上打結(jié)來記錄數(shù)量，如圖，一位母親在從右到左依次排列的繩子上打結(jié)，并采用七進(jìn)制（如2513＝2×73+5×72+1×71+3）用來記錄孩子自出生后的天數(shù)，由圖可知，孩子自出生后的天數(shù)是（）A．1435天 B．565天 C．13天 D．465天5．（秋?瑞安市校級期末）如圖，某種