2024-2025學(xué)年天津市高二上學(xué)期第一次月考數(shù)學(xué)質(zhì)量檢測試卷（含解析）

2024-2025學(xué)年天津市高二上學(xué)期第一次月考數(shù)學(xué)質(zhì)量檢測試卷一、單選題（每題5分，共60分）1.直線的傾斜角為，則（）A.1 B. C.2 D.2.若方程表示圓，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為（）A. B. C. D.(0,+∞)3.已知圓心為的圓與軸相切，則該圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是（）A. B.C. D.4.圓的圓心到直線的距離為（）A. B. C. D.5.若直線與直線交點(diǎn)位于第一象限，則直線的傾斜角的取值范圍是（）A. B.C D.6.若與是兩條不同直線，則“”是“”的（）A.充要條件 B.必要不充分條件C.充分不必要條件 D.既不充分也不必要條件7.四棱錐中，，，，則頂點(diǎn)到底面的距離為（）A.1 B.2 C.3 D.48.已知直線與直線間距離為，則（）A.或 B.C.或11 D.6或9.已知直線l過定點(diǎn)，且方向向量為，則點(diǎn)到l的距離為（）A. B. C. D.10.已知點(diǎn)D在△ABC確定的平面內(nèi)，O是平面ABC外任意一點(diǎn)，實(shí)數(shù)x，y滿足，則的最小值為（）A. B. C.1 D.11.已知集合，，，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（）A. B.C. D.12.已知、為圓不同兩點(diǎn)，且滿足，則的最小值為（）A. B. C. D.二、填空題（每題5分，共40分）13.已知經(jīng)過、兩點(diǎn)的直線l的方向向量為，則實(shí)數(shù)a的值為______．14.直三棱柱中，，分別是的中點(diǎn)，，則所成角的余弦值為___________15.已知直線的傾斜角為，且這條直線經(jīng)過點(diǎn)，則直線的一般式方程為__________.16.如圖，在平行六面體中，底面是邊長為的正方形，若，且，則的長為__________.17.如圖，已知A(4，0)，B(0，4)，從點(diǎn)P(2，0)射出的光線經(jīng)直線AB反射后再射到直線OB上，最后經(jīng)直線OB反射后又回到P點(diǎn)，則光線所經(jīng)過的路程是_________．18.①坐標(biāo)系中，經(jīng)過三點(diǎn)的圓的方程為___________②過兩點(diǎn)，且圓心在直線上的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為___________19.如圖，圓錐的軸截面SAB是邊長為2的等邊三角形，O為底面中心，M為SO中點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)P在圓錐底面內(nèi)（包括圓周）．若AM⊥MP，則點(diǎn)P形成的軌跡長度為________，點(diǎn)S與P距離的最小值是________．20.已知圓，點(diǎn)的坐標(biāo)為，過點(diǎn)作直線交圓于兩點(diǎn)，則的取值范圍為______三、解答題（前兩題每題12分，后兩題每題13分，共50分）21.已知點(diǎn)，直線和（1）過點(diǎn)作垂線，求垂足的坐標(biāo)；（2）過點(diǎn)作分別于交于點(diǎn)，若恰為線段的中點(diǎn)，求直線的方程．22.如圖，在四棱錐中，四邊形是邊長為3的正方形，平面，，點(diǎn)是棱的中點(diǎn)，點(diǎn)是棱上的一點(diǎn)，且.（1）證明：平面平面；（2）求平面和平面夾角的大小.23.已知圓與直線相切于點(diǎn)，圓心在軸上.（1）求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）若直線：與圓交于，兩點(diǎn)，求弦的最短長度.24.如圖，在四棱錐中，平面平面，，，，點(diǎn)為的中點(diǎn).（1）求證：平面；（2）在線段上是否存在一點(diǎn)，使直線與平面所成的角正弦值為，若存在求出的長，若不存在說明理由.2024-2025學(xué)年天津市高二上學(xué)期第一次月考數(shù)學(xué)質(zhì)量檢測試卷一、單選題（每題5分，共60分）1.直線的傾斜角為，則（）A.1 B. C.2 D.【正確答案】B【分析】由直線的傾斜角求直線的斜率，結(jié)合直線方程得的值.【詳解】直線傾斜角為，所以斜率為，即，解得.故選：B2.若方程表示圓，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為（）A. B. C. D.(0,+∞)【正確答案】B【分析】方程配方，左邊配成平方和的形式，右邊為正即可表示圓．【詳解】方程化為標(biāo)準(zhǔn)方程為，有，∴．.故選：B3.已知圓心為的圓與軸相切，則該圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是（）A. B.C. D.【正確答案】B【分析】圓的圓心為，半徑為，得到圓方程.【詳解】根據(jù)題意知圓心為，半徑為，故圓方程為.故選：B.4.圓圓心到直線的距離為（）A. B. C. D.【正確答案】D【分析】求出圓心坐標(biāo)，再利用點(diǎn)到直線距離公式即可.【詳解】由題意得，即，則其圓心坐標(biāo)為，則圓心到直線的距離為.故選：D.5.若直線與直線的交點(diǎn)位于第一象限，則直線的傾斜角的取值范圍是（）A. B.C. D.【正確答案】B【分析】根據(jù)題意結(jié)合斜率、傾斜角之間的關(guān)系分析求解.【詳解】因?yàn)橹本€恒過點(diǎn)，直線與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)分別為，直線的斜率，此時(shí)傾斜角為；直線的斜率不存在，此時(shí)傾斜角為；所以直線的傾斜角的取值范圍是.故選：B.6.若與是兩條不同的直線，則“”是“”的（）A.充要條件 B.必要不充分條件C.充分不必要條件 D.既不充分也不必要條件【正確答案】C【分析】利用兩直線平行解出的值即可.【詳解】由題意，若，所以，解得或，經(jīng)檢驗(yàn)，或時(shí)，，則“”是“”的充分不必要條件，故選：C．7.四棱錐中，，，，則頂點(diǎn)到底面的距離為（）A.1 B.2 C.3 D.4【正確答案】A【分析】先求出平面的法向量，再根據(jù)點(diǎn)到面的距離的向量公式求解即可.【詳解】設(shè)平面的法向量為，則有，令，則，所以，所以頂點(diǎn)到底面的距離為.故選：A.8.已知直線與直線間的距離為，則（）A.或 B.C.或11 D.6或【正確答案】A【分析】運(yùn)用兩條平行直線間距離公式計(jì)算即可.【詳解】直線可化為，所以，解得或．故選：A.9.已知直線l過定點(diǎn)，且方向向量為，則點(diǎn)到l的距離為（）A. B. C. D.【正確答案】A【分析】先計(jì)算與的夾角的余弦值得出直線與直線的夾角的正弦值，再計(jì)算點(diǎn)到直線的距離．【詳解】由題意得，所以，又直線的方向向量為，則，所以，設(shè)直線與直線所成的角為，則，則，所以點(diǎn)到直線的距離為．故選：A．10.已知點(diǎn)D在△ABC確定的平面內(nèi)，O是平面ABC外任意一點(diǎn)，實(shí)數(shù)x，y滿足，則的最小值為（）A. B. C.1 D.【正確答案】D【分析】根據(jù)空間四點(diǎn)共面及二次函數(shù)的最值求解.【詳解】因?yàn)椋宜狞c(diǎn)共面，由空間四點(diǎn)共面的性質(zhì)可知，即，所以，所以當(dāng)時(shí)，有最小值.故選：D11.已知集合，，，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（）A. B.C. D.【正確答案】C【分析】根據(jù)集合的元素以及求得的取值范圍.【詳解】集合表示直線，即上除去點(diǎn)的點(diǎn)，集合表示直線上的點(diǎn)．因?yàn)?，所以直線與相交，且交點(diǎn)不是點(diǎn)，所以且，解得且．故選：C12.已知、為圓不同兩點(diǎn)，且滿足，則的最小值為（）A. B. C. D.【正確答案】D【分析】求出，題目轉(zhuǎn)化為、到直線的距離之和，變換得到，計(jì)算得到答案.【詳解】因?yàn)锳x1,y1、所以，，，且，因?yàn)?，則，因?yàn)椋瑒t是邊長為的等邊三角形，表示、到直線的距離之和，原點(diǎn)到直線的距離為，如圖所示：，，是的中點(diǎn)，作于，且，，，故在圓上，.故的最小值為.故選：D.關(guān)鍵點(diǎn)睛：本題的關(guān)鍵是首先求出，再將題意轉(zhuǎn)化為表示、到直線的距離之和，最后利用中位線性質(zhì)和圓外點(diǎn)外圓上點(diǎn)距離最值問題解決.二、填空題（每題5分，共40分）13.已知經(jīng)過、兩點(diǎn)的直線l的方向向量為，則實(shí)數(shù)a的值為______．【正確答案】【分析】由已知得出，進(jìn)而根據(jù)已知條件、結(jié)合向量共線列出方程，求解即可得出答案.【詳解】由已知可得，.又直線l的方向向量為，所以，與共線，所以有，解得.故答案為.14.直三棱柱中，，分別是的中點(diǎn)，，則所成角的余弦值為___________【正確答案】【分析】建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量的夾角即可求解.【詳解】依題意可知兩兩相互垂直，由此建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，則，設(shè)與所成角為，則.故15.已知直線的傾斜角為，且這條直線經(jīng)過點(diǎn)，則直線的一般式方程為__________.【正確答案】或【分析】先由傾斜角求直線的斜率，然后寫出直線的點(diǎn)斜式方程，最后化為直線的一般式方程.【詳解】因?yàn)?，且，則，所以直線的斜率為，又因?yàn)橹本€經(jīng)過點(diǎn)，則直線的方程為，所以直線的一般式方程為或.故或.16.如圖，在平行六面體中，底面是邊長為的正方形，若，且，則的長為__________.【正確答案】【分析】由，借助模長公式得出的長.【詳解】因?yàn)樗约垂?7.如圖，已知A(4，0)，B(0，4)，從點(diǎn)P(2，0)射出的光線經(jīng)直線AB反射后再射到直線OB上，最后經(jīng)直線OB反射后又回到P點(diǎn)，則光線所經(jīng)過的路程是_________．【正確答案】2【分析】求出關(guān)于直線和的對稱點(diǎn)，由兩個(gè)對稱點(diǎn)間距離得結(jié)論．【詳解】設(shè)點(diǎn)P關(guān)于直線AB的對稱點(diǎn)為，直線方程為，因此．解得，即，關(guān)于y軸的對稱點(diǎn)為C(－2，0)，則光線所經(jīng)過的路程PMN的長為CD＝2．故．18.①坐標(biāo)系中，經(jīng)過三點(diǎn)的圓的方程為___________②過兩點(diǎn)，且圓心在直線上的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為___________【正確答案】①.②.【分析】①設(shè)所求圓的一般方程為，將三個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)代入圓的一般方程，可得出關(guān)于、、的方程組，解出這三個(gè)未知數(shù)的值，可得出圓的方程，進(jìn)而可求得圓心坐標(biāo)和半徑.②首先設(shè)圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為，根據(jù)題意得到，再解方程即可.【詳解】①設(shè)所求圓的一般方程為，由題意可得，解得，所以，所求圓的方程為②設(shè)圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為，由題知：，所以標(biāo)準(zhǔn)方程為.故答案為:，19.如圖，圓錐的軸截面SAB是邊長為2的等邊三角形，O為底面中心，M為SO中點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)P在圓錐底面內(nèi)（包括圓周）．若AM⊥MP，則點(diǎn)P形成的軌跡長度為________，點(diǎn)S與P距離的最小值是________．【正確答案】①.##②.##【分析】建系，根據(jù)空間向量垂直關(guān)系可得點(diǎn)P的軌跡方程為.空1：根據(jù)圓的弦長公式運(yùn)算求解；空2：根據(jù)空間中兩點(diǎn)間距離公式運(yùn)算求解.【詳解】由題意可知，建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示．則，設(shè)，則，因?yàn)锳M⊥MP，則，解得，所以點(diǎn)P的軌跡方程為，空1：根據(jù)圓的弦長公式，可得點(diǎn)P形成的軌跡長度為；空2：因?yàn)?，所以?dāng)時(shí)，點(diǎn)S與P距離的最小，其最小值為．故；.20.已知圓，點(diǎn)的坐標(biāo)為，過點(diǎn)作直線交圓于兩點(diǎn)，則的取值范圍為______【正確答案】.【分析】取中點(diǎn)為，連接，，確定點(diǎn)的軌跡為以為直徑的圓，根據(jù)得到答案.【詳解】取中點(diǎn)為，連接，如圖所示：則，又，，故點(diǎn)的軌跡為以為直徑的圓，圓心為，半徑為，因?yàn)?，，所以，即，則.故答案為.三、解答題（前兩題每題12分，后兩題每題13分，共50分）21.已知點(diǎn)，直線和（1）過點(diǎn)作的垂線，求垂足的坐標(biāo)；（2）過點(diǎn)作分別于交于點(diǎn)，若恰為線段的中點(diǎn)，求直線的方程．【正確答案】（1）（2）【分析】（1）由直線的位置關(guān)系求方程，再聯(lián)立求解交點(diǎn)坐標(biāo)，（2）設(shè)出點(diǎn)坐標(biāo)，由中點(diǎn)表示點(diǎn)坐標(biāo)，分別代入直線方程聯(lián)立求解．【小問1詳解】，即，則，直線為，即，聯(lián)立方程，解得，故．【小問2詳解】不妨設(shè)，則，則，解得，故直線過點(diǎn)和點(diǎn)，故直線方程為，即．22.如圖，在四棱錐中，四邊形是邊長為3的正方形，平面，，點(diǎn)是棱的中點(diǎn)，點(diǎn)是棱上的一點(diǎn)，且.（1）證明：平面平面；（2）求平面和平面夾角的大小.【正確答案】（1）證明見解析（2）.【分析】（1）以為坐標(biāo)原點(diǎn)，所在直線分別為軸，軸，軸建立空間直角坐標(biāo)系，分別求出平面與平面的法向量，從而可證明.（2）分別求出平面和平面的法向量，利用向量法可求解.【小問1詳解】如圖，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，所在直線分別為軸，軸，軸建立空間直角坐標(biāo)系，所以，設(shè)，則，解得，即.則，設(shè)平面的一個(gè)法向量為，則，即令，解得，所以平面的一個(gè)法向量為.因?yàn)?，設(shè)平面的一個(gè)法向量為，所以即，令，解得，所以平面的一個(gè)法向量為，又，所以平面平面；【小問2詳解】，所以.設(shè)平面的一個(gè)法向量為，所以，即令，解得，所以平面的一個(gè)法向量為.設(shè)平面的一個(gè)法向量為，則，即令，解得，所以平面的一個(gè)法向量為.，所以平面和平面夾角的大小為23.已知圓與直線相切于點(diǎn)，圓心在軸上.（1）求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）若直線：與圓交于，兩點(diǎn)，求弦的最短長度.【正確答案】（1）（2）【分析】（1）根據(jù)已知條件，設(shè)出圓方程，再結(jié)合兩點(diǎn)之間的距離公式，以及直線垂直的性質(zhì)，即可求解．（2）先求出直線的定點(diǎn)，再判斷定點(diǎn)在圓內(nèi)，再結(jié)合垂徑定理，以及兩點(diǎn)之間的距離公式，即可求解．【小問1詳解】依題意，圓心在軸上，可設(shè)圓的方程為，圓與直線相切于點(diǎn)，，解得，，故圓的方程為．【小問2詳解】直線：，，令，解得，直線過定點(diǎn)，又圓的方程為．所以圓心，半徑，，故定點(diǎn)在圓的內(nèi)部，當(dāng)直線與直線垂直時(shí)，弦取得最小值，，，，弦的最短長度為．24.如圖，在四棱錐中，平面平面，，，，點(diǎn)為的中點(diǎn).（1）求證：平面；（2）在線段上是否存在一點(diǎn)，使直線與平面所成的角正弦值為，若存在求出的長，若不存在說明理由.【正確答案】（1）證明