621-622向量的減法運算向量的加法運算-2021-2022學年高一數(shù)學《考點題型技巧》精講與精練高分突破（人教A版2019）

高一數(shù)學《考點?題型?技巧》精講與精練高分突破系列(人教A版2019必修第二冊)6.2平面向量的運算6.2.16.2.2向量的減法運算向量的加法運算【考點梳理】考點一向量加法的定義及其運算法則1.向量加法的定義：求兩個向量和的運算，叫做向量的加法.2.向量求和的法則向量求和的法則三角形法則已知非零向量a，b，在平面內(nèi)任取一點A，作eq\o(AB,\s\up6(→))＝a，eq\o(BC,\s\up6(→))＝b，則向量eq\o(AC,\s\up6(→))叫做a與b的和，記作a＋b，即a＋b＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→))＝eq\o(AC,\s\up6(→)).這種求向量和的方法，稱為向量加法的三角形法則.對于零向量與任意向量a，規(guī)定a＋0＝0＋a＝a平行四邊形法則以同一點O為起點的兩個已知向量a，b為鄰邊作?OACB，則以O(shè)為起點的對角線eq\o(OC,\s\up6(→))就是a與b的和.把這種作兩個向量和的方法叫做向量加法的平行四邊形法則考點二向量加法的運算律交換律a＋b＝b＋a結(jié)合律(a＋b)＋c＝a＋(b＋c)技巧：向量加法的平行四邊形法則和三角形法則的區(qū)別和聯(lián)系區(qū)別聯(lián)系三角形法則(1)首尾相接(2)適用于任何向量求和三角形法則作出的圖形是平行四邊形法則作出圖形的一半考點三：相反向量1.定義：與向量a長度相等，方向相反的向量，叫做a的相反向量，記作－a.2.性質(zhì)(1)零向量的相反向量仍是零向量.(2)對于相反向量有：a＋(－a)＝(－a)＋a＝0.(3)若a，b互為相反向量，則a＝－b，b＝－a，a＋b＝0.考點四：向量的減法1.定義：向量a加上b的相反向量，叫做a與b的差，即a－b＝a＋(－b)，因此減去一個向量，相當于加上這個向量的相反向量，求兩個向量差的運算，叫做向量的減法.2.幾何意義：在平面內(nèi)任取一點O，作eq\o(OA,\s\up6(→))＝a，eq\o(OB,\s\up6(→))＝b，則向量a－b＝eq\o(BA,\s\up6(→))，如圖所示.3.文字敘述：如果把兩個向量的起點放在一起，那么這兩個向量的差是以減向量的終點為起點，被減向量的終點為終點的向量.【題型歸納】題型一：向量加法法則1．（2021·全國·高一課時練習）如圖，已知向量，，不共線，作向量++．2．（2021·全國·高一課時練習）如圖，已知向量，不共線，求作向量．3．（2021·全國·高一課時練習）如圖，O為正六邊形ABCDEF的中心，作出下列向量：（1）；（2）（3）．題型二：向量加法的運算律4．（2021·陜西·寶雞市陳倉區(qū)教育體育局教學研究室高一期中）向量化簡后等于（）A． B． C． D．5．（2021·全國·高一課時練習）如圖，四邊形ABCD是梯形，AD∥BC，對角線AC與BD相交于點O，則等于（）A． B．C． D．6．（2021·廣東·茂名市華英學校高一階段練習）向量化簡后等于（）A． B． C． D．題型三：向量加法法則的幾何應(yīng)用7．（2021·全國·高一課時練習）如圖，D，E，F(xiàn)分別為的邊AB，BC，CA的中點，則（）A． B．C． D．8．（2021·全國·高一課時練習）如圖，在正六邊形中，等于（）A． B． C． D．9．（2021·江西省修水縣英才高級中學高一階段練習）如圖，在平行四邊形中，是的中點，設(shè)，，則向量（）.A． B． C． D．題型四：相反向量10．（2021·遼寧·建平縣實驗中學高一期末）如圖，在四邊形中，與交于點，若，則下面互為相反向量的是（）A．與 B．與 C．與 D．與11．（2021·山西臨汾·高一階段練習）在任意四邊形ABCD中，E，F(xiàn)分別為AD，BC的中點，設(shè)，下列式子正確的是（）A． B． C． D．12．（2021·全國·高一單元測試）若是的負向量，則下列說法中錯誤的是（）A．與的長度必相等B．C．與一定不相等D．是的負向量題型五：向量減法法則13．（2021·全國·高一課時練習）如圖，已知向量，，，求作向量．14．（2021·全國·高一課時練習）如圖，點O是的兩條對角線的交點，，，，求證：．15．（2021·全國·高一課時練習）如圖，已知，，，，，試用，，，，表示以下向量：（1）；（2）；（3）；（4）；（5）．題型六：向量減法的運算律16．（2021·全國·高一課時練習）下列運算正確的個數(shù)是（）①；②；③．A．0 B．1 C．2 D．317．（2021·北京市第一六六中學高一期中）在中，，若，,則（）A． B． C． D．18．（2021·浙江·金鄉(xiāng)衛(wèi)城中學高一階段練習）在平行四邊形中，設(shè)為線段的中點，為線段上靠近的三等分點，，，則向量（）A． B． C． D．題型七：向量減法法則的幾何應(yīng)用19．（2021·全國·高一課時練習）已知非零向量與方向相反，則下列等式中成立的是（）A． B．C． D．20．（2021·全國·高一單元測試）已知正方形的邊長為1，，，，則等于（）A．0 B．1 C． D．221．（2021·全國·高一課時練習）如圖，向量，，，則向量可以表示為（）A． B． C． D．【雙基達標】一：單選題22．（2021·全國·高一課時練習）化簡下列各式：①；②；③；④．其中結(jié)果為的個數(shù)是（）A．1 B．2 C．3 D．423．（2021·全國·高一課時練習）已知、是不平行的向量，若，，，則下列關(guān)系中正確的是（）A． B．C． D．24．（2021·全國·高一課時練習）若非零向量和互為相反向量，則下列說法中錯誤的是（）．A． B． C． D．25．（2021·全國·高一課時練習）已知點O是的兩條對角線的交點，則下面結(jié)論中正確的是（）．A． B．C． D．26．（2021·全國·高一課時練習）下列四式不能化簡為的是（）A．B．C．D．27．（2021·全國·高一課時練習）已知六邊形ABCDEF是一個正六邊形，O是它的中心，其中，則=（）A． B． C． D．28．（2021·全國·高一課前預習）下列等式中，正確的個數(shù)為（）①；②；③；④；⑤；⑥．A．3 B．4 C．5 D．629．（2021·重慶實驗外國語學校高一階段練習）如右圖，，，分別是的邊，，的中點，則（）A． B．C． D．30．（2021·山東濟南·高一期末）在中，若點滿足，則（）A． B．C． D．31．（2021·山東濱州·高一期末）在中，，，則（）A． B．C． D．【高分突破】一：單選題32．（2021·全國·高一課時練習）設(shè)，是任一非零向量，則在下列結(jié)論中:①；②；③；④；⑤.正確結(jié)論的序號是（）A．①⑤ B．②④⑤ C．③⑤ D．①③⑤33．（2021·山東棗莊·高一期中）已知點G是三角形ABC所在平面內(nèi)一點，滿足，則G點是三角形ABC的（）A．垂心 B．內(nèi)心 C．外心 D．重心34．（2021·全國·高一課時練習）下列命題中正確的是（）A．如果非零向量與的方向相同或相反，那么的方向必與，之一的方向相同B．在中，必有C．若，則A，B，C為一個三角形的三個頂點D．若，均為非零向量，則與一定相等35．（2021·福建·莆田第二十五中學高一期中）如圖，已知，，，，則下列等式中成立的是（）A． B．C． D．36．（2021·安徽·六安市裕安區(qū)新安中學高一期中）在平行四邊形中，，設(shè)，，則向量（）A． B． C． D．37．（2021·湖南·高一階段練習）在中，點，在邊上，且，為邊上的三等分點（其中為靠近點的三等分點），且，則（）A．， B．，C．， D．，38．（2021·全國·高一課時練習）（多選）下列結(jié)論中錯誤的是（）A．兩個向量的和仍是一個向量B．向量與的和是以的始點為始點，以的終點為終點的向量C．D．向量與都是單位向量，則39．（2021·廣東·江門市新會第二中學高一階段練習）下列各式結(jié)果為零向量的有（）A． B．C． D．40．（2021·廣東·南方科技大學附屬中學高一期中）已知點，，分別是的邊的中點，則下列等式中正確的是（）A． B．C． D．41．（2021·江蘇·南京二十七中高一期中）已知，則下列結(jié)論正確的是（）A． B．C． D．42．（2021·廣東·洛城中學高一階段練習）化簡以下各式，結(jié)果為的有（）A． B．C． D．43．（2021·福建·永安市第三中學高中校高一階段練習）下列命題中,正確的命題為（）A．對于向量，若，則或B．若為單位向量，且//，則C．若與共線，與共線，則與共線D．四邊形中，二：填空題44．（2021·全國·高一課時練習）已知平面內(nèi)三個不同的點、、，則“、、是一個三角形的三個頂點”是“”的___________條件.（填“充分不必要”、“必要不充分”或“充要”）45．（2021·全國·高一課時練習）已知下列各式：①；②；③；④.其中結(jié)果為的是____.(填序號)46．（2021·全國·高一課時練習）在中，D是BC的中點．若，，，，則下列結(jié)論中成立的是________．（填序號）①；（2）；③；④．47．（2021·全國·高一課時練習）如圖，在正六邊形中，與相等的向量有__.

①；②；③；④；⑤；⑥；⑦.三：解答題48．（2021·全國·高一課時練習）化簡．（1）．（2）．49．（2021·上?！じ咭徽n時練習）向量如圖所示，據(jù)圖解答下列問題：（1）用表示；（2）用表示；（3）用表示；（4）用表示.50．（2021·全國·高一課時練習）化簡：（1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）；（7）.51．（2021·全國·高一課時練習）如圖，四邊形是以向量，為邊的平行四邊形，又，，試用、表示、、.【答案詳解】【詳解】由向量加法的三角形法則，++如圖，2．作圖見解析，【分析】利用向量的加法法則求解.【詳解】如圖，在平面內(nèi)任取一點O，作，．因為，即，所以．3．（1）答案見解析（2）答案見解析（3）答案見解析【分析】利用向量加法的三角形法則或平行四邊形法則進行求解﹒（1）因為四邊形OABC是以O(shè)A，OC為鄰邊的平行四邊形，OB為其對角線，所以．（2）因為與方向相同且長度相等，所以與是相同的向量，從而與方向相同，長度為長度的2倍，因此，可用表示，即．（3）因為與是一對相反向量，所以．4．A【分析】根據(jù)向量的線性運算求解即可.【詳解】由,故選：A5．B【分析】利用向量加法的三角形法則以及向量加法的交換律即可求解.【詳解】.故選：B6．D【分析】根據(jù)向量的加法運算即可得到結(jié)果.【詳解】故選：D7．A【分析】根據(jù)平面向量的線性運算法則計算可得；【詳解】解：，，分別是的邊，，的中點，，，，則，故A正確；，故B錯誤；，故C錯誤；，故D錯誤；故選：A．8．A【分析】根據(jù)相等向量和向量加法運算直接計算即可.【詳解】，.故選：A.9．B【分析】根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)，利用向量加法的幾何意義有，即可得到與、的線性關(guān)系.【詳解】由題設(shè)，，則，又，∴.故選：B10．B【分析】首先根據(jù)題意得到四邊形是平行四邊形，從而得到與為相反向量.【詳解】因為，所以四邊形是平行四邊形，所以，互相平分，所以，即與為相反向量.故選：B11．B【分析】根據(jù)題意，由向量的加法可得：和，兩個式子相加，化簡即可得到答案.【詳解】在任意四邊形ABCD中，E，F(xiàn)分別為AD，BC的中點，設(shè)，則,同時有，則有,因為E、F分別為AD,BC的中點，則則有.故選:B.12．C【分析】根據(jù)向量的定義判斷．【詳解】是的負向量，即，因此它們的長度相等，方向相反，即共線（平行），也是的負向量，但與一般不相等（只有它們?yōu)榱阆蛄繒r相等）．錯誤的C．故選：C．13．見解析【分析】利用向量減法的三角形法則即可求解.【詳解】由向量減法的三角形法則，令,則,令,所以.如下圖中即為.14．證明見解析【分析】利用向量的加法法則和向量相等求解.【詳解】證明：因為四邊形ABCD是平行四邊形，所以．因為，，所以，即．15．（1）（2）（3）（4）（5）【分析】由向量減法法則依次計算即可得出各小問的結(jié)果.（1）.（2）.（3）.（4）.（5）.16．C【分析】利用平面向量的加法，減法，數(shù)乘運算及其運算律判斷.【詳解】①，由數(shù)乘運算知正確；②，由向量的運算律知正確；③，向量的加法，減法和數(shù)乘運算結(jié)果是向量，故錯誤.故選：C17．C【分析】根據(jù)平面向量的線性運算法則，用，,表示出即可.【詳解】.故選：C18．B【分析】根據(jù)題意作出圖形，將用、的表達式加以表示，再利用平面向量的減法法則可得出結(jié)果.【詳解】解：由題意作出圖形：在平行四邊形中，M為BC的中點，則又N為線段AB上靠近A的三等分點，則故選：B19．C【分析】根據(jù)方向相反的兩個向量的和或差的運算逐一判斷.【詳解】A.可能等于零，大于零，小于零，，A不成立B.，，B不成立C.，C成立D.，D不成立.故選：C.20．A【分析】根據(jù)向量的線性運算即可求出．【詳解】因為，，，所以．故選：A．21．D【分析】根據(jù)平面向量的加減法法則結(jié)合圖形即可得到答案.【詳解】如圖，.故選：D.22．B【分析】根據(jù)向量的加減運算法則計算，逐一判斷①②③④的正確性，即可得正確答案.【詳解】對于①：，對于②：，對于③：，對于④：，所以結(jié)果為的個數(shù)是，故選：B23．C【分析】結(jié)合向量的加法法則運算即可.【詳解】＝＋＋＝＝＝2．故選：C24．C【分析】根據(jù)相反向量的定義逐項判斷即可．【詳解】解：由平行向量的定義可知項正確；因為和的方向相反，所以，故項正確；由相反向量的定義可知，故選項正確；由相反向量的定義知，故項錯誤；故選：C．25．B【分析】根據(jù)平面向量線性運算法則計算可得；【詳解】對于A：，故A錯誤；對于B：，故B正確；對于C：，故C錯誤；對于D：，故D錯誤；故選：B26．D【分析】由向量加減法法則計算各選項，即可得結(jié)論．【詳解】A項中，；B項中，；C項中，；D項中，.故選：D.27．D【分析】由圖形可得，從而可得正確的選項.【詳解】，故選：D.28．C【分析】利用向量加減法的運算性質(zhì)，轉(zhuǎn)化各項表達式即可知正誤.【詳解】由向量加減法的運算性質(zhì)知：①；②；③；④；⑤，正確；⑥，錯誤.故選：C29．A【分析】根據(jù)向量加法和減法的運算法則結(jié)合圖像逐一運算即可得出答案.【詳解】解：，故A正確；，故B錯誤；，故C錯誤；，故D錯誤.故選：A.30．A【分析】利用向量加減法公式，化簡已知條件，即可判斷結(jié)果.【詳解】由條件可知，得.故選：A31．B【分析】利用向量加法和減法計算即可求解.【詳解】，故選：B.32．D【分析】根據(jù)向量線性運算可確定為零向量，由此可判斷得到結(jié)果.【詳解】，又是任一非零向量，，，，①③⑤正確.故選：D.33．D【分析】由題易得，以GA、GB為鄰邊作平行四邊形GADB，連接GD，交AB于點O，進而可得，進而可得，所以CG所在的直線CO是AB邊上的中線，同理可證AG所在的直線是BC邊上的中線，BG所在的直線是AC邊上的中線，最后得出答案即可.【詳解】因為，所以，以GA?GB為鄰邊作平行四邊形GADB，連接GD，交AB于點O，如圖所示：則，所以，點O是AB邊的中點，所以CG所在的直線CO是AB邊上的中線，同理可證AG所在的直線是BC邊上的中線，BG所在的直線是AC邊上的中線，所以G點是三角形ABC的重心.故選：D.34．B【分析】根據(jù)向量的線性運算法則，逐一分析各個選項，即可得答案.【詳解】對于A：當與為相反向量時，，方向任意，故A錯誤；對于B：在中，，故B正確；對于C：當A、B、C三點共線時，滿足，但不能構(gòu)成三角形，故C錯誤；對于D：若，均為非零向量，則，當且僅當與同向時等號成立，故D錯誤.故選：B35．C【分析】結(jié)合圖形，利用向量加，減法，計算向量.【詳解】，，得，即.故選：C36．A【分析】利用向量的加、減法法則計算即可.【詳解】解：.故選：A.37．B【分析】利用向量的加法、減法線性運算即可求解.【詳解】，所以，.故選：38．BD【分析】根據(jù)向量的相關(guān)概念，對選項逐一判斷即可.【詳解】兩個向量的和差運算結(jié)果都是是一個向量，所以A正確；兩個向量的加法遵循三角形法則，只有當首尾相連時才成立，故B錯誤；任何向量與相加都得其本身，故C正確；兩個單位向量的方向沒有確定，當它們方向相同時才成立，故D錯誤；故選：BD39．ACD【分析】根據(jù)平面向量的線性運算逐個求解即可【詳解】對A，，故A正確；對B，，故B錯誤；對C，，故C正確；對D，，故D正確；故選：ACD【點睛】本題主要考查了平面向量的線性運算，屬于基礎(chǔ)題40．ABC【分析】根據(jù)向量線性運算確定正確選項.【詳解】對于A選項，，正確；對于B選項，，正確；對于C選項，根據(jù)向量加法的平行四邊形法則可知，正確；對于D選項，，所以D錯誤.故選：ABC41．BCD【分析】根據(jù)向量的線性運算，逐項變形移項即可得解.【詳解】根據(jù)復數(shù)的線性運算，對A，化簡為，錯誤；對B，即，即，正確；對C，對移項可得，正確；對D，由，移項即，正確；故選：BCD42．ABCD【分析】根據(jù)向量的加減運算法則分別判斷.【詳解】，，，.所以選項全正確.故選：ABCD43．