考向14等差數(shù)列-2022年高考數(shù)學一輪復習考點微專題（原卷版）

考向14等差數(shù)列1．（2021·山東高考真題）某學校合唱團參加演出，需要把120名演員排成5排，而且從第二排起，每排比前一排多3名，求第一排應安排多少名演員．2．（2020·山東高考真題）某男子擅長走路，9天共走了1260里，其中第1天、第4天、第7天所走的路程之和為390里.若從第2天起，每天比前一天多走的路程相同，問該男子第5天走多少里.這是我國古代數(shù)學專著《九章算術》中的一個問題，請嘗試解決.3．（2019·上海高考真題）已知數(shù)列，，前項和為.（1）若為等差數(shù)列，且，求；（2）若為等比數(shù)列，且，求公比的取值范圍.1.數(shù)列是特殊的函數(shù)，要利用函數(shù)的觀點認識數(shù)列.2.已知遞推關系求通項公式的三種常見方法：(1)算出前幾項，再歸納、猜想.(2)形如“an＋1＝pan＋q”這種形式通常轉(zhuǎn)化為an＋1＋λ＝p(an＋λ)，由待定系數(shù)法求出λ，再化為等比數(shù)列.(3)遞推公式化簡整理后，若為an＋1－an＝f(n)型，則采用累加法；若為eq\f(an＋1,an)＝f(n)型，則采用累乘法.1.等差數(shù)列的概念(1)如果一個數(shù)列從第2項起，每一項與它的前一項的差都等于同一個常數(shù)，那么這個數(shù)列就叫做等差數(shù)列.數(shù)學語言表達式：an＋1－an＝d(n∈N+，d為常數(shù)).(2)如果三個數(shù)x，A，y組成等差數(shù)列，那么A叫做x和y的等差中項，且A＝eq\f(x＋y,2).2.等差數(shù)列的通項公式與前n項和公式(1)若等差數(shù)列{an}的首項是a1，公差是d，則其通項公式為an＝a1＋(n－1)d.(2)前n項和公式：Sn＝na1＋eq\f(n（n－1）d,2)＝eq\f(n（a1＋an）,2).3.等差數(shù)列的性質(zhì)(1)通項公式的推廣：an＝am＋(n－m)d(n，m∈N+).(2)若{an}為等差數(shù)列，且k＋l＝m＋n(k，l，m，n∈N+)，則ak＋al＝am＋an.(3)若{an}是等差數(shù)列，公差為d，則ak，ak＋m，ak＋2m，…(k，m∈N+)是公差為md的等差數(shù)列.(4)若Sn為等差數(shù)列{an}的前n項和，則數(shù)列Sm，S2m－Sm，S3m－S2m，…也是等差數(shù)列.(5)若Sn為等差數(shù)列{an}的前n項和，則數(shù)列eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(Sn,n)))也為等差數(shù)列.一、單選題1．（2021·上海高三專題練習）橢圓上有10個不同的點，若點坐標為，數(shù)列是公差為的等差數(shù)列，則的最大值為（）A． B． C． D．2．（2020·上海高三專題練習）設函數(shù)，是公差為的等差數(shù)列，，則()A．0 B． C． D．二、填空題3．（2020·上海高三專題練習）設公差不為的等差數(shù)列的前項和為.若數(shù)列滿足：存在三個不同的正整數(shù)，使得成等比數(shù)列，也成等比數(shù)列，則的最小值為___________.4．（2020·上海高三其他模擬）設數(shù)列的前項和為，，.已知，是雙曲線：的左右焦點，，若對恒成立，則實數(shù)的取值范圍是______.三、解答題5．（2020·上海高三專題練習）已知無窮數(shù)列的首項為，其前項和為，且（），其中為常數(shù)且．（1）設，求數(shù)列的通項公式，并求的值；（2）設，，是否存在正整數(shù)使得數(shù)列中的項成立？若存在，求出滿足條件的所有值；若不存在，請說明理由．（3）求證：數(shù)列中不同的兩項之和仍為此數(shù)列中的某一項的充要條件為存在整數(shù)且，使得．6．（2020·上海高三專題練習）是等差數(shù)列，為數(shù)列前項和．求：（1）；（2）．7．（2020·上海高三專題練習）數(shù)列中，，，求的通項公式.8．（2020·上海高三專題練習）數(shù)列滿足，，求的值和.1．（2021·上海徐匯區(qū)·位育中學高三）已知等差數(shù)列的前n項和為，若，，則數(shù)列的公差為________.2．（2021·上海高三）等差數(shù)列中，，則______.3．（2020·上海市進才中學高三期中）設等差數(shù)列的前項和為，若，則=______.4．（2020·上海市七寶中學高三期中）已知數(shù)列為等差數(shù)列，且，則_________.5．（2019·上海閔行區(qū)·閔行中學高三期中）2和8的等差中項是________.6．（2021·上海民辦南模中學高三）已知等差數(shù)列的各項均為正整數(shù)，且，則的最小值是___________.7．（2021·寶山·上海交大附中高三）袋中裝有7個大小相同的小球，每個小球上標記一個正整數(shù)號碼，號碼各不相同，且成等差數(shù)列，這7個號碼的和為49，現(xiàn)從袋中任取兩個小球，則這兩個小球上的號碼均小于7的概率為__________.8．（2021·上海長寧·高三）在公差不為零的等差數(shù)列中，是與的等比中項，則＝_____．9．（2021·上海虹口·高三）在數(shù)列中，對任意，，當且僅當，若滿足，則的最小值為___________.一、單選題1．（2021·上海民辦南模中學高三）已知遞增正整數(shù)數(shù)列滿足，則下列結(jié)論中正確的有（）（1）??可能成等差數(shù)列；（2）??可能成等比數(shù)列；（3）中任意三項不可能成等比數(shù)列；（4）當時，恒成立.A．0個 B．1個 C．2個 D．3個二、填空題2．（2021·上海交大附中高三開學考試）下列五個命題中正確的是________（填序號）．①若為銳角三角形，且滿足，則②在的二項展開式中，項的系數(shù)為③函數(shù)與函數(shù)關于直線對稱④設等差數(shù)列的前n項和為，若，則⑤函數(shù)的最小值為23．（2021·上海高三）將橫坐標與縱坐標均為整數(shù)的點稱為格點.已知，將約束條件表示的平面區(qū)域內(nèi)格點的個數(shù)記作，若，則___________.三、解答題4．（2022·上海）記是公差不為0的等差數(shù)列的前n項和，若．（1）求數(shù)列的通項公式；（2）求使成立的n的最小值．5．（2021·上海外國語大學附屬大境中學高三月考）設拋物線的焦點為F，經(jīng)過點F的動直線l交拋物線于兩點，且．（1）求此拋物線的方程；（2）O為坐標原點，動點P在直線上，且滿足，記動點P的軌跡為C，求C的方程；（3）數(shù)列為等差數(shù)列，前n項和記為，若點是（2）中的軌跡C上的點，且總有，試求滿足條件的M的最小值．6．（2021·上海徐匯·）若數(shù)集M至少含有3個數(shù)，且對于其中的任意3個不同數(shù)a，b，c（a＜b＜c），a，b，c都不能成為等差數(shù)列，則稱M為“α集”．（1）判斷集合{1，2，4，8，?，2n}（n∈N*，n≥3）是否是α集？說明理由；（2）已知k∈N*，k≥3．集合A是集合{1，2，3，?，k}的一個子集，設集合B＝{x+2k﹣1|x∈A}，求證：若A是α集，則A∪B也是α集；（3）設集合，判斷集合C是否是α集，證明你的結(jié)論．7．（2021·上海長寧·高三）數(shù)列滿足：，且對任意，都有．（1）求；（2）設，求證：對任意，都有；（3）求數(shù)列的通項公式．8．（2021·上海市奉賢中學）已知函數(shù)，，各項均不相等的數(shù)列滿足：，令.（1）試舉例說明存在不少于項的數(shù)列，使得；（2）若數(shù)列的通項公式為，證明：對恒成立；（3）若數(shù)列是等差數(shù)列，證明：對恒成立.9．（2021·上海市青浦高級中學高三）已知數(shù)列滿足，，．（1）若，，，求x的取值范圍；（2）設是公比為q的等比數(shù)列，，若，，求q的取值范圍；（3）若成等差數(shù)列，且，求正整數(shù)k的最大值，以及k取最大值時相應數(shù)列的公差．10．（2021·上海市實驗學校）已知數(shù)列各項均為正數(shù)，為前n項的和，且，，成等差數(shù)列.（1）求數(shù)列的通項公式；（2）設，為數(shù)列的前n項和，求；（3）設為數(shù)列的前n項積，是否存在實數(shù)a，使得不等式對一切都成立？若存在，求出a的取值范圍，若不存在，請說明理由.一、單選題1．（2021·北京高考真題）已知是各項均為整數(shù)的遞增數(shù)列，且，若，則的最大值為（）A．9 B．10 C．11 D．122．（2021·北京高考真題）《中國共產(chǎn)黨黨旗黨徽制作和使用的若干規(guī)定》指出，中國共產(chǎn)黨黨旗為旗面綴有金黃色黨徽圖案的紅旗，通用規(guī)格有五種.這五種規(guī)格黨旗的長(單位:cm)成等差數(shù)列，對應的寬為(單位:cm),且長與寬之比都相等，已知，，，則A．64 B．96 C．128 D．1603．（2017·上海高考真題）已知、、為實常數(shù)，數(shù)列的通項，，則“存在，使得、、成等差數(shù)列”的一個必要條件是（）A． B． C． D．二、填空題4．（2013·上海高考真題（文））在等差數(shù)列{an}中，若a1+a2+a3+a4=30，則a2+a3=___．5．（2021·江蘇高考真題）已知等比數(shù)列的公比為，且，，成等差數(shù)列，則的值是___________.6．（2013·上海高考真題（理））設非零常數(shù)d是等差數(shù)列的公差，隨機變量等可能地取值，則方差__________三、解答題7．（2021·湖南高考真題）已知各項為正數(shù)的等比數(shù)列中，，.（1）求數(shù)列的通項公式；（2）設，求數(shù)列的前n項和.8．（2021·全國高考真題（文））設是首項為1的等比數(shù)列，數(shù)列滿足．已知，，成等差數(shù)列．（1）求和的通項公式；（2）記和分別為和的前n項和．證明：．9．（2021·全國高考真題）已知數(shù)列滿足，（1）記，寫出，，并求數(shù)列的通項公式；（2）求的前20項和.10．（2021·天津高考真題）已知是公差為2的等差數(shù)列，其前8項和為64．是公比大于0的等比數(shù)列，．（I）求和的通項公式；（II）記，（i）證明是等比數(shù)列；（ii）證明11．（2007·上海高考真題（理））若有窮數(shù)列（是正整數(shù)），滿足即（是正整數(shù)，且），就稱該數(shù)列為“對稱數(shù)列”。（1）已知數(shù)列是項數(shù)為7的對稱數(shù)列，且成等差數(shù)列，，試寫出的每一項（2）已知是項數(shù)為的對稱數(shù)列，且構(gòu)成首項為50，公差為的等差數(shù)列，數(shù)列的前項和為，則當為何值時，取到最大值？最大值為多少？（3）對于給定的正整數(shù)，試寫出所有項數(shù)不超過的對稱數(shù)列，使得成為數(shù)列中的連續(xù)項；當時，試求其中一個數(shù)列的前