三角中的結(jié)構(gòu)不良問題

三角中的結(jié)構(gòu)不良問題思路引導(dǎo)思路引導(dǎo)1.“結(jié)構(gòu)不良問題”是2020年高考出現(xiàn)的新題型：題目所給的三個(gè)可選擇的條件是平行的，即無論選擇哪個(gè)條件，都可解答題目，而且，在選擇的三個(gè)條件中，并沒有哪個(gè)條件讓解答過程比較繁雜，只要推理嚴(yán)謹(jǐn)、過程規(guī)范，都會得滿分．2.一般先選擇條件，再根據(jù)正余弦定理化簡求值、計(jì)算．可以從兩方面思考：①從題目給出的條件，邊角關(guān)系來選擇；②從式子結(jié)構(gòu)來選擇．3.在處理三角形中的邊角關(guān)系時(shí)，一般全部化為角的關(guān)系，或全部化為邊的關(guān)系．題中若出現(xiàn)邊的一次式一般采用到正弦定理，出現(xiàn)邊的二次式一般采用到余弦定理．應(yīng)用正、余弦定理時(shí)，注意公式變式的應(yīng)用．解決三角形問題時(shí)，注意角的限制范圍．母題呈現(xiàn)母題呈現(xiàn)【典例】在①是函數(shù)圖象的一條對稱軸，②是函數(shù)的一個(gè)零點(diǎn)，③函數(shù)在上單調(diào)遞增，且的最大值為這三個(gè)條件中任選一個(gè)，補(bǔ)充在下面問題中，并解答．已知函數(shù)，_________．（1）求的最大值，并寫出取得最大值時(shí)自變量x的取值集合；（2）求在的單調(diào)遞增區(qū)間．【解析】（1）若選條件①，.【難點(diǎn)】根據(jù)三角恒等變換化為一角一函數(shù)因?yàn)槭呛瘮?shù)圖象的一條對稱軸，所以，即，所以，又，所以，，當(dāng)時(shí)，即時(shí)，函數(shù)取得最大值1，此時(shí)x的取值集合為；若選條件②，.因?yàn)槭呛瘮?shù)的一個(gè)零點(diǎn)，所以，即，所以，又，【技巧】根據(jù)對稱軸求.所以，．當(dāng)時(shí)，即時(shí)，函數(shù)取得最大值1，此時(shí)x的取值集合為；若選條件③，.因?yàn)楹瘮?shù)在上單調(diào)遞增，且的最大值為，則，所以，即，又，所以，．【技巧】根據(jù)單調(diào)區(qū)間求.當(dāng)時(shí)，即時(shí)，函數(shù)取得最大值1，此時(shí)x的取值集合為．（2）令，由于函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，即時(shí)，函數(shù)單調(diào)遞增，也即時(shí)，函數(shù)單調(diào)遞增．所以，可取即時(shí)，函數(shù)單調(diào)遞增，即當(dāng)時(shí)，函數(shù)單調(diào)遞增．方法總結(jié)方法總結(jié)“結(jié)構(gòu)不良問題”的解題策略：（1）題目所給的三個(gè)可選擇的條件是平行的，無論選擇哪個(gè)條件，都可解答題目；（2）在選擇的三個(gè)條件中，并沒有哪個(gè)條件讓解答過程比較繁雜，只要推理嚴(yán)謹(jǐn)、過程規(guī)范，都會得滿分，但計(jì)算要細(xì)心、準(zhǔn)確，避免出現(xiàn)低級錯誤導(dǎo)致失分．模擬訓(xùn)練模擬訓(xùn)練1．在①，②，③這三個(gè)條件中任選一個(gè)，補(bǔ)充在下面的問題中，并解答該問題．在中，內(nèi)角的對邊分別是，且滿足_______，．(1)若，求的面積;(2)求周長的取值范圍．【來源】四川省南充高級中學(xué)2023屆高考模擬檢測（七）理科數(shù)學(xué)試題【分析】（1）三個(gè)條件，分別利用正余弦定理，兩角和與差的正弦公式和三角形內(nèi)角和公式化簡，都能得到，再由余弦定理求得，即可計(jì)算的面積.（2），由正弦定理邊化角再化簡得，再由求得的取值范圍，即可得周長的取值范圍.【詳解】（1）若選條件①，由及正弦定理，得即，化簡得，因?yàn)?，所以，所以，因?yàn)?，所以．若選條件②，由及正弦定理，得，即，化簡得,因?yàn)椋?，所以，因?yàn)?，所以．若選條件③，由化簡得，，由余弦定理得，即，因?yàn)?，所以，所以三個(gè)條件，都能得到.由余弦定理得，即，解得，所以的面積.（2）因?yàn)椋烧叶ɡ淼?，因?yàn)?，所以，因?yàn)?，所以，所以，即，所以周長的取值范圍為.2．在①，②這兩個(gè)條件中任選一個(gè)，補(bǔ)充到下面橫線上，并解答．記△ABC的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且．(1)求；(2)若，，求△ABC的面積．（注：如果選擇多個(gè)條件分別解答，則按第一個(gè)解答計(jì)分．）【來源】云南省紅河州2023屆高三第一次復(fù)習(xí)統(tǒng)一檢測（一模）數(shù)學(xué)試題【分析】（1）選①，由正弦定理得到，再由余弦定理得到，求出；選②，由正弦定理變形得到，結(jié)合正弦和角公式，誘導(dǎo)公式求出，得到；（2）由求出，由，結(jié)合第一問結(jié)論得到，求出，利用三角形面積公式求出答案.【詳解】（1）選①，由正弦定理，得．所以．化簡為．由余弦定理．由于所以．選②．由正弦定理．，得．化簡得，由兩角和的正弦公式得．由誘導(dǎo)公式化簡得．因?yàn)椋?，所以，，所以．由于所以．?），即．由（1）知：，所以，因?yàn)?，，所以．即△ABC為邊長是4的等邊三角形．．3．在①；②；③.這三個(gè)條件中任選一個(gè)，補(bǔ)充在下面的問題中并作答.在中，內(nèi)角所對的邊分別是，__________.(1)求；(2)若，求的周長的取值范圍.【來源】陜西省漢中市20222023學(xué)年高二上學(xué)期期末文科數(shù)學(xué)試題【分析】（1）選①或②：由正弦定理得到，再由余弦定理得到，結(jié)合，求出；選③：由正弦定理化簡得到，進(jìn)而得到，，求出；（2）由余弦定理結(jié)合基本不等式可得出，從而可求得的周長的取值范圍.【詳解】（1）選①，，，又，又，.選②，，又，又，.選③，，，又，.（2）由余弦定理得：，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，取等號.，又，的周長的取值范圍為4．從①；②；③，這三個(gè)條件中任選一個(gè)，補(bǔ)充在下面問題中，并加以解答．在中，a，b，c分別是角A，B，C的對邊，若_______，（1）求B；（2）若面積的最大值為，求b．注：如果選擇多個(gè)條件分別解答，按第一個(gè)解答計(jì)分．【試題來源】浙江省金華十校20222023學(xué)年高三上學(xué)期期末【解析】（1）若選①：因?yàn)?，所以，解得或（舍去），所以，又，所以；若選②：由正弦定理角化邊可得，所以．又，所以；若選③：由正弦定理邊化角可得，所以，所以，又，所以，因?yàn)?，所以，所以，又，所以；?）由（1）及余弦定理可知，所以，由基本不等式得，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號成立，所以，又的面積的最大值為，所以．【名師點(diǎn)睛】解題的關(guān)鍵是熟練掌握正弦定理、余弦定理、面積公式，并靈活應(yīng)用，在求面積最大值時(shí)，需結(jié)合基本不等式求解，考查計(jì)算求值的能力，屬中檔題．5．在中，，___________．（1）求；（2）若，求．從①，②，③這三個(gè)條件中任選一個(gè)，補(bǔ)充在上面問題中并作答．(注：如果選擇多個(gè)條件分別解答，按第一個(gè)解答給分)【試題來源】湖北省襄陽市部分優(yōu)質(zhì)高中20222023學(xué)年高三上學(xué)期2月聯(lián)考【解析】（1）因?yàn)?，所以因?yàn)椋约?，因?yàn)?，；?）若選①則在中，由余弦定理，得，解得或(舍去)，所以若選②，則，由正弦定理，得，解得，所以；若選③，由余弦定理得，解得或(舍去)，所以．6．在①，②，③這三個(gè)條件中任選一個(gè)，補(bǔ)充在下面問題中，若問題中的三角形存在，求的值；若問題中的三角形不存在，說明理由．問題：是否存在，它的內(nèi)角，，的對邊分別為，，，且，，______________？【試題來源】廣東省揭陽市20222023屆高三下學(xué)期教學(xué)質(zhì)量測試【解析】由結(jié)合正弦定理可得，所以．因?yàn)?，所以．[選擇條件①的答案]所以．由得，所以．因?yàn)椋裕裕烧叶ɡ淼茫甗選擇條件②的答案]所以．因?yàn)?，所以．由正弦定理得．[選擇條件③的答案]所以．由得．因?yàn)椋裕匀切尾淮嬖冢?．在△ABC中，內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，請?jiān)冖?；②；③這三個(gè)條件中任意選擇一個(gè)，完成下列問題：（1）求∠C；（2）若a＝5，c＝7，延長CB到D，使，求線段BD的長度．【試題來源】江蘇省無錫市20222023屆高三下學(xué)期2月教學(xué)質(zhì)量檢測【解析】（1）選①因?yàn)?，及正弦定理，所以，因?yàn)樵谥?，，所以，所以所以，因?yàn)樵谥?，，所以，所以，則．選②因?yàn)?，及正弦定理，所以所以因?yàn)樵谥?，，所以，所以因?yàn)樵谥?，，所以．選③由余弦定理得因?yàn)樵谥?，，所以，則．（2）第一問的答案都一樣在中，因?yàn)椋捎嘞叶ɡ淼盟?，得（舍去）由正弦定理得，所以，則，由余弦定理得在中，，所以所以由正弦定理得，則【名師點(diǎn)睛】本題需要熟練運(yùn)用正余弦定理進(jìn)行邊角互化，遇到多三角形問題，可以從要求的結(jié)果出發(fā)，把所求量放在一個(gè)三角形中，然后逆向思考．8．在①，②，③三個(gè)條件中任選一個(gè)，補(bǔ)充在下面問題中的橫線上，并解決該問題．問題：已知的內(nèi)角及其對邊，若，且滿足___________．求的面積的最大值(注：如果選擇多個(gè)條件分別解答，按第一個(gè)解答計(jì)分)【試題來源】福建省名校聯(lián)盟優(yōu)質(zhì)校20222023屆高三大聯(lián)考【解析】選擇條件①：因?yàn)?，所以，根?jù)正弦定理可得，由余弦定理得，又由，可得，根據(jù)余弦定理得，則，所以，所以當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，面積取得最大值，最大值為．選擇條件②：因?yàn)?，由余弦定理得，所以，，所以?dāng)且僅當(dāng)時(shí)，面積取得最大值，最大值為．選擇條件③：因?yàn)?，由余弦定理得，因?yàn)?，可得，又由余弦定理得，所以，，所以?dāng)且僅當(dāng)時(shí)，面積取得最大值，最大值為．9．在銳角中，設(shè)角，，所對的邊長分別為，，，且．（1）求的大?。唬?）若，，點(diǎn)在邊上，___________，求的長．請?jiān)冖伲虎?；③這三個(gè)條件中選擇一個(gè)，補(bǔ)充在上面的橫線上，并完成解答(如選多個(gè)條件作答，按排列最前的解法評分)．【試題來源】廣東省中山市20222023屆高三上學(xué)期期末【解析】（1）在中，由正弦定理及，得．因?yàn)闉殇J角三角形，所以，所以．所以．因?yàn)?，所以．?）若選①．在中，由余弦定理，得，所以，所以．在中，由余弦定理，得，即，在中，由余弦定理，得，即．又，所以．所以，所以．若選②．在中，，即，即，解得．若選③．在中，由余弦定理，得，所以．因?yàn)?，又，所以，解得?0．已知的內(nèi)角所對的邊分別是在以下三個(gè)條件中任先一個(gè)：①；②；③；并解答以下問題：（1）若選___________填序號，求的值；（2）在（1）的條件下，若，當(dāng)有且只有一解時(shí)，求實(shí)數(shù)的范圍及面積S的最大值．【試題來源】湖南師范大學(xué)附屬中學(xué)20222023屆高三下學(xué)期月考（六）【解析】（1）若選①，由已知化簡得，由正弦定理得，由余弦定理得．因?yàn)?，所以；若選②，由二倍角公式，故，因?yàn)?，所以；若選③，由題設(shè)及正弦定理得．因?yàn)?，所以由可得故，因?yàn)?，故，因此；?）由已知，當(dāng)有且只有一解時(shí)，或，即或，故或，，①當(dāng)時(shí)，為直角三角形，B為直角，，故，所以；②當(dāng)時(shí)，由余弦定理可得當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號成立，三角形面積為，即面積的最大值．綜上，面積的最大值．11．現(xiàn)有三個(gè)條件①，②，③，請任選一個(gè)，填在下面的橫線上，并完成解答．已知的內(nèi)角所對的邊分別是，，，若______．（1）求角；（2）若，求周長的最小值，并求周長取最小值時(shí)的面積．【試題來源】江蘇省南京市中華中學(xué)202