上半連續(xù)和下半連續(xù)教學(xué)案

...wd......wd......wd...函數(shù)的上、下半連續(xù)性一、上、下半連續(xù)性的定義設(shè)函數(shù)在集合上有定義，為的一個(gè)聚點(diǎn)。在處連續(xù)，用語言描述，即：當(dāng)時(shí)，有假設(shè)將此條件減弱，在不等式中，只使用其中的一個(gè)不等式，那么就得到半連續(xù)。定義設(shè)在及其附近有定義，所謂在處上半連續(xù)，是指：當(dāng)時(shí)，恒有。在處下半連續(xù)，是指：當(dāng)時(shí)，恒有。推論在及其附近有定義，則在處連續(xù)的充要條件是，在處既上半連續(xù)又下半連續(xù)。例1函數(shù)①在有理點(diǎn)處上半連續(xù)，但不下半連續(xù)。②在無理點(diǎn)的情況恰恰相反。例2考慮函數(shù)。①當(dāng)時(shí)，跟的結(jié)論一樣，②當(dāng)時(shí)，跟的結(jié)論相反，③當(dāng)時(shí)，既上半連續(xù)又下半連續(xù)，因而在處連續(xù)。例3函數(shù)①在無理點(diǎn)處既上半連續(xù)又下半連續(xù)。②在有理點(diǎn)處上半連續(xù)，但不下半連續(xù)。二、上、下半連續(xù)性的等價(jià)描述定理1設(shè)在集合上有定義，為的一個(gè)聚點(diǎn)且。則如下斷言等價(jià)：、在處上半連續(xù)〔即：當(dāng)時(shí)，恒有〕、、，必有證明：明顯，因當(dāng)時(shí)，有對上式取極限，并注意的任意性，即得。由，直接可得?！灿梅醋C法〕設(shè)在處不上半連續(xù)，則，使得。這與條件矛盾。當(dāng)且僅當(dāng)集合中處處上〔下〕半連續(xù)時(shí)稱在中上〔下〕半連續(xù)。定理2設(shè)為閉集，在上有定義，則在中上半連續(xù)的充要條件是：，集合為閉集。證明必要性為了證明為閉集，即要證明，必有，此時(shí)，而為閉集，所以。要證，只要證。事實(shí)上，由知，從而有。因在上半連續(xù)，根據(jù)定理1有充分性〔反證法〕假設(shè)不在中上半連續(xù)，則至少存在一點(diǎn)，在不上半連續(xù)，即，但。取數(shù)，使，于是根據(jù)的定義但〔當(dāng)〕，為閉集，應(yīng)有矛盾，證畢。注〔1〕上半連續(xù)與下半連續(xù)是對偶的概念。一方有什么結(jié)論，另一方也有相應(yīng)的結(jié)論。定理2的對偶結(jié)論留給學(xué)生做為習(xí)題?！?〕定理2給出了半連續(xù)的又一等價(jià)形式，其中未用語言，只用了閉集的概念。這為半連續(xù)推廣到一般拓?fù)淇臻g，作了準(zhǔn)備。三、上、下半連續(xù)的性質(zhì)1、運(yùn)算性質(zhì)定理3〔1〕假設(shè)在，函數(shù),上、下半連續(xù)，則它們的和亦在中上、下半連續(xù)。〔2〕假設(shè)在上上下半連續(xù)，則-在中為下、上半連續(xù)?！?〕假設(shè)在上，函數(shù)及，且上半連續(xù)〔或及，且下半連續(xù)〕則它們的積·在上為上半連續(xù)。假設(shè)上、下半連續(xù)，為下〔上〕半連續(xù)，則·下〔上〕半連續(xù)?！?〕假設(shè)在上，上〔下〕半連續(xù)，則在上為下〔上〕半連續(xù)。這里只對〔1〕中上半連續(xù)的情況進(jìn)展證明，證法1〔利用半連續(xù)的定義〕因,上半連續(xù)，當(dāng)時(shí)有所以故在上上半連續(xù)。證法2〔利用上半連續(xù)的等價(jià)描述〕因,在中上半連續(xù)，有〔定理1〕但故在中上半連續(xù)。2、保號性上半連續(xù)函數(shù)有局部保負(fù)性〔即：假設(shè)在處上半連續(xù)，，則，使得時(shí)有〕。同樣，下半連續(xù)函數(shù)有局部保正性，這些由定義直接可得。3、無介值性半連續(xù)函數(shù)，介值定理不成立。例如：在上是上半連續(xù)的，但，無使得=。4、關(guān)于的界定理4有界閉區(qū)間上的上半連續(xù)函數(shù)，必有上界，且到達(dá)上確界，具體來說，假設(shè)在上上半連續(xù)，則〔1〕在上有上界〔使〕。〔2〕在上到達(dá)上確界〔即使得〕證明先證明〔1〕〔反證法〕假設(shè)無界，則，使得由致密性原理，在中存在收斂的子序列，使〔當(dāng)〕。因?yàn)殚]的，故，但，當(dāng)時(shí)，，所以。但在上上半連續(xù)，應(yīng)有，故=+矛盾。下證〔2〕因上有界，，假設(shè)在上達(dá)不到上確界，則所以在上上半連續(xù)〔定理3〕，從而有上界，即使有即：這與矛盾。證法2利用有限覆蓋定理進(jìn)展證明。思考題：對于下半連續(xù)相應(yīng)的定理若何表達(dá)假設(shè)把閉區(qū)間改為任意的閉集合，結(jié)論是否正確。事實(shí)上，上面的定理4可做如下推廣。定理：假定為緊集，是上半連續(xù)的，則在上必有最大值。證明：因是上半連續(xù)的實(shí)值函數(shù)故，必在的某一鄰域內(nèi)有上界，故，必在的某一鄰域內(nèi)有上確界，設(shè)在的鄰域內(nèi)的上確界為構(gòu)造鄰域簇，顯然而由條件為緊集，故存在自然數(shù)使得：用分別表示在中的上確界，其中令顯然必為在上的最大值。定理5假設(shè)函數(shù)在內(nèi)半連續(xù)，則必存在內(nèi)閉區(qū)間，使在上保持有界。證：以下半連續(xù)為例進(jìn)展證明。設(shè)在內(nèi)下半連續(xù)，來證使得在上有界，用反證法，設(shè)，總在上無上界，于是：1、使得，因下半連續(xù)，故〔不妨令〕，使得且有2、因在任何內(nèi)閉區(qū)間上無上界，所以對，使得進(jìn)而由的下半連續(xù)性，知〔不妨令〕使得時(shí)，有。3、如此繼續(xù)下去，我們得到一串閉區(qū)間：，區(qū)間長〔當(dāng)時(shí)〕且在每個(gè)區(qū)間上，恒有。4、根據(jù)區(qū)間套定理。因此，矛盾。我們已經(jīng)知道，連續(xù)函數(shù)單調(diào)序列的極限不一定是連續(xù)的。例如在上連續(xù)，當(dāng)增加時(shí)單調(diào)下降有極限但極限函數(shù)在上不連續(xù)。定理6〔保半連續(xù)性〕設(shè)函數(shù)在上有定義，且上半連續(xù)，即：且。則在上上半連續(xù)。證明〔我們的任務(wù)在于證明：，當(dāng)時(shí)有〕1、，因，所以，，當(dāng)時(shí)有2、將固定，因在上上半連續(xù)，所以，當(dāng)時(shí)有。3、又，，故更有這就證明了在上上半連續(xù)。下面，我們提出相反的問題：是否半連續(xù)函數(shù)一定可以作為連續(xù)函數(shù)的單調(diào)極限呢答復(fù)是肯定的。定理7設(shè)在上有定義，且上半連續(xù)，則存在一個(gè)遞減的連續(xù)函數(shù)序列使得〔即：上半連續(xù)函數(shù)，總可用連續(xù)函數(shù)從上方逼近〕證明首先構(gòu)造函數(shù)序列，然后證明連續(xù)，，有下界，從而，然后證明。1、構(gòu)造〔〕對于固定的與，函數(shù)是的連續(xù)函數(shù)，所以上半連續(xù)，是上半連續(xù)的，是的上半連續(xù)函數(shù)〔定理3〕，從而在上有上界，且到達(dá)上確界〔定理4〕，即使得〔1〕〔注意實(shí)際與有關(guān)，〕今定義〔2〕下面證明滿足各項(xiàng)要求。(證明連續(xù)〕由〔1〕、〔2〕式知〔3〕從而所以此式對任意的都成立，，互換也成立，因而得此式說明在上連續(xù)。3、〔證明〕設(shè)，則〔由式3〕〔因〕所以。4、〔序列有下界〕對任一固定的，在〔3〕式中令，可知〔對一切成立〕，故，有下界。5、由3、4知;存在且。6、〔證明〕因上半連續(xù)，，當(dāng)，時(shí)有(4)又因?yàn)樯习脒B續(xù)，所以在上上有界，因此對固