專題5.5 三角恒等變換（原卷版）

專題5.5三角恒等變換1．兩角和與差的正弦、余弦、正切公式（1）：（2）：（3）：（4）：（5）：（6）：2．二倍角公式（1）：（2）：（3）：3．公式的常用變形（1）；（2）降冪公式：；；（3）升冪公式：；；；（4）輔助角公式：，其中，.4．半角公式：（1），（2），（3）.5．公式的常見變形（和差化積、積化和差公式）（1）積化和差公式：；；；.（2）和差化積公式：；；；.5．三角函數(shù)式的化簡（1）化簡原則：①一看角之間的差別與聯(lián)系，把角進行合理的拆分，正確使用公式；②二看函數(shù)名稱之間的差異，確定使用的公式，常見的有“切化弦”；③三看結(jié)構(gòu)特征，找到變形的方向，常見的有“遇到分式要通分”，“遇到根式一般要升冪”等．（2）化簡要求：①使三角函數(shù)式的項數(shù)最少、次數(shù)最低、角與函數(shù)名稱的種類最少；②式子中的分母盡量不含根號.（3）化簡方法：①切化弦，②異名化同名，③異角化同角，④降冪或升冪．6．三角函數(shù)式的求值（1）給角求值：給角求值中一般所給出的角都是非特殊角，從表面上來看是很難的，但仔細觀察會發(fā)現(xiàn)非特殊角與特殊角之間總有一定的關(guān)系．解題時，要利用觀察得到的關(guān)系，結(jié)合公式將非特殊角的三角函數(shù)轉(zhuǎn)化為特殊角的三角函數(shù)，從而得解.（2）給值求值：已知三角函數(shù)值，求其他三角函數(shù)式的值的一般思路：①先化簡所求式子．②觀察已知條件與所求式子之間的聯(lián)系(從三角函數(shù)名及角入手)．③將已知條件代入所求式子，化簡求值．（3）給值求角：通過求角的某種三角函數(shù)值來求角，在選取函數(shù)時，有以下原則：①已知正切函數(shù)值，則選正切函數(shù)．②已知正、余弦函數(shù)值，則選正弦或余弦函數(shù)．若角的范圍是，則選正、余弦皆可；若角的范圍是(0，π)，則選余弦較好；若角的范圍為，則選正弦較好.（4）常見的角的變換：①已知角表示未知角，例如：，，，，，.②互余與互補關(guān)系，例如：，.③非特殊角轉(zhuǎn)化為特殊角，例如：15°=45°?30°，75°=45°＋30°.一、單選題1．已知，則A．-4 B．4C． D．2．4A．1 B．C． D．3．已知，則A． B．C． D．4．已知，則的值為A． B．C． D．5．=A． B．C． D．6．關(guān)于函數(shù)描述正確的是A．最小正周期是 B．最大值是C．一條對稱軸是 D．一個對稱中心是7．已知函數(shù)，則下列說法正確的是A．的最小正周期為 B．的最大值為2C．在上單調(diào)遞增 D．的圖象關(guān)于直線對稱8．已知角的終邊經(jīng)過點，則A． B．C． D．9．已知角的終邊經(jīng)過點，則A． B．C． D．10．已知函數(shù)，則的最大值為A． B．1C． D．211．A． B．C． D．12．若，是方程的兩個根，則A．-1 B．1C．-2 D．213．在平面直角坐標(biāo)系中，點P在射線上，點Q在過原點且傾斜角為（為銳角）的直線上．若，則的值為A． B．C． D．14．已知，且，則A． B．C．7 D．15．已知，，，，則．A． B．C． D．16．若，則A． B．C． D．17．將函數(shù)的圖象向左平移個單位，得函數(shù)的圖象，則A． B．1C． D．18．若，則A． B．C． D．19．已知在內(nèi)有零點，且在上單調(diào)遞減，則的取值范圍是A． B．C． D．20．已知，則A． B．C． D．21．函數(shù)在區(qū)間上的一個對稱中心是，則的值為A． B．C． D．22．已知，且，則A． B．C． D．23．函數(shù)在上的一個遞增區(qū)間為A． B．C． D．24．將函數(shù)的圖象向右平移個單位長度，得到函數(shù)的圖象關(guān)于對稱，則的最小值為A． B．C． D．25．已知角的頂點在坐標(biāo)原點，始邊與軸非負半軸重合，終邊上有一點，則的值為A．或 B．C． D．26．將函數(shù)，的圖象向左平移個單位，得到函數(shù)的圖象，若在上為增函數(shù)，則的最大值為A．1 B．2C．3 D．427．已知，則A． B．C． D．28．若，均為銳角，，，則A． B．C．或 D．29．已知函數(shù)，則下列正確的是A．最小正周期為B．是的一個對稱中心C．將圖象向右平移個單位長度后得到的圖象，此時D．是的一個減區(qū)間30．已知點在圓：上，從出發(fā)，沿圓周逆時針方向運動了弧長（）到達點，且，又點在角終邊上，則A． B．C． D．31．若，則A． B．C． D．32．已知函數(shù)在區(qū)間內(nèi)沒有零點，則的取值范圍是A． B．C． D．33．一列波沿x軸正方向傳播，其波函數(shù)的表達式為，是函數(shù)f（x）相鄰的兩個零點；另一列波沿x軸負方向傳播，其波函數(shù)的表達式為；在某一時刻，兩列波的圖象如圖所示；函數(shù)表示兩列波疊加之后的波函數(shù)（疊加后的波函數(shù)為原來兩個波函數(shù)的和），則下列說法正確的有①；②是函數(shù)的一個零點；③函數(shù)h（x）的最小正周期是；④函數(shù)h（x）的振幅為1；⑤函數(shù)h（x）的振幅為．A．①②④ B．①②⑤C．②③④ D．③④⑤34．已知，A． B．C． D．35．哥特式建筑是1140年左右產(chǎn)生于法國的歐洲建筑風(fēng)格，它的特點是尖塔高聳、尖形拱門、大窗戶及繪有故事的花窗玻璃，如圖所示的幾何圖形，在哥特式建筑的尖形拱門與大窗戶中較為常見，它是由線段AB和兩個圓弧弧AB，弧BC圍成，其中一個圓弧的圓心為A，另一個圓弧的圓心為B，圓與線段AB及兩個圓弧均相切，則tan∠AOB的值是A． B．C． D．36．若，則A．1 B．2C．3 D．437．設(shè)α為銳角，若cos＝－，則sin的值為A．－ B．C．－ D．38．函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間為A． B．C．， D．39．已知，為銳角，且，，則A． B．C． D．40．函數(shù)的所有零點為A． B．C． D．二、多選題1．下列式子正確的是A． B．C． D．2．已知5，下列計算結(jié)果正確的是A． B．2C． D．3．達芬奇是意大利著名的畫家、數(shù)學(xué)家、物理學(xué)家和機械工程師．懸鏈線問題（固定項鏈的兩端，使其在重力的作用下自然下垂，那么項鏈所形成的曲線是什么？）起源于他的畫作《抱銀貂的女人》（如圖所示），他苦苦思索，去世時仍沒找到問題的答案．隨著后人深入的研究，得出了懸鏈線的函數(shù)解析式為，其中a為懸鏈線系數(shù)．當(dāng)時，稱為雙曲余弦函數(shù)，記為．類似的雙曲正弦函數(shù)，若直線與chx和shx的圖象分別交于點A，B，則下列結(jié)論中正確的是A．B．C．線段AB的長度隨著t的增大而變短D．是偶函數(shù)4．已知函數(shù)f(x)＝2cos2x－cos(2x－θ)的圖象經(jīng)過點，則A．點是函數(shù)f(x)的圖象的一個對稱中心B．函數(shù)f(x)的最大值為2C．函數(shù)f(x)的最小正周期是2πD．直線x＝是y＝f(x)圖象的一條對稱軸5．下列各式中，值為的是A． B．C． D．6．已知函數(shù)，則下列說法中正確的是A．的最小正周期為 B．在上單調(diào)遞增C．曲線關(guān)于對稱 D．曲線關(guān)于對稱7．關(guān)于函數(shù)，則下列說法中正確的是A．的最大值為B．的最小正周期為C．的圖象關(guān)于直線對稱D．在上單調(diào)遞增8．下列函數(shù)的周期為的是A． B．C． D．9．已知，，則A． B．為銳角C． D．10．對于函數(shù)，給出下列選項其中正確的是A．的圖象關(guān)于點對稱 B．的最小正周期為C．在區(qū)間上單調(diào)遞增 D．時，的值域為三、填空題1．若，則____________．2．已知角的終邊過點P（1，2），則____________．3．已知為鈍角，化簡：____________．4．已知，則____________．5．已知，則____________．6．若，則____________．7．已知，則____________．8．若，為第三象限角，則____________．9．當(dāng)函數(shù)取得最大值時，____________．10．已知，，則____________．11．若函數(shù)的最小正周期為，則函數(shù)在上的值域為____________．12．已知，，，，則的最小值是____________．13．函數(shù)的最小正周期為____________．14．若，，則____________．15．給出下列命題：①存在實數(shù)，使；②若、是第二象限的角，且，則；③若，則；④若，且，則．其中正確的命題的序號是____________．16．已知為銳角，且滿足，則的值為____________．17．用幾種不同的樂器同時彈奏某一首樂曲時，我們有時能聽到比用單一樂器彈奏時更美妙的聲音，這實際上是幾種聲波合成后改變了單一聲波的波形．假設(shè)某美妙聲波的傳播曲線可用函數(shù)來描述，則該聲波函數(shù)的最小正周期為____________．18．____________．19．____________．20．已知，且是第一象限的角，則____________．四、解答題1．已知，，且，．求：（1）的值；（2）的值．2．設(shè)函數(shù)（1）當(dāng)時，求函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間；（2）當(dāng)時，求函數(shù)，在上的值域3．已