專題5.5 三角恒等變換（解析版）

專題5.5三角恒等變換1．兩角和與差的正弦、余弦、正切公式（1）：（2）：（3）：（4）：（5）：（6）：2．二倍角公式（1）：（2）：（3）：3．公式的常用變形（1）；（2）降冪公式：；；（3）升冪公式：；；；（4）輔助角公式：，其中，.4．半角公式：（1），（2），（3）.5．公式的常見變形（和差化積、積化和差公式）（1）積化和差公式：；；；.（2）和差化積公式：；；；.5．三角函數(shù)式的化簡（1）化簡原則：①一看角之間的差別與聯(lián)系，把角進行合理的拆分，正確使用公式；②二看函數(shù)名稱之間的差異，確定使用的公式，常見的有“切化弦”；③三看結構特征，找到變形的方向，常見的有“遇到分式要通分”，“遇到根式一般要升冪”等．（2）化簡要求：①使三角函數(shù)式的項數(shù)最少、次數(shù)最低、角與函數(shù)名稱的種類最少；②式子中的分母盡量不含根號.（3）化簡方法：①切化弦，②異名化同名，③異角化同角，④降冪或升冪．6．三角函數(shù)式的求值（1）給角求值：給角求值中一般所給出的角都是非特殊角，從表面上來看是很難的，但仔細觀察會發(fā)現(xiàn)非特殊角與特殊角之間總有一定的關系．解題時，要利用觀察得到的關系，結合公式將非特殊角的三角函數(shù)轉化為特殊角的三角函數(shù)，從而得解.（2）給值求值：已知三角函數(shù)值，求其他三角函數(shù)式的值的一般思路：①先化簡所求式子．②觀察已知條件與所求式子之間的聯(lián)系(從三角函數(shù)名及角入手)．③將已知條件代入所求式子，化簡求值．（3）給值求角：通過求角的某種三角函數(shù)值來求角，在選取函數(shù)時，有以下原則：①已知正切函數(shù)值，則選正切函數(shù)．②已知正、余弦函數(shù)值，則選正弦或余弦函數(shù)．若角的范圍是，則選正、余弦皆可；若角的范圍是(0，π)，則選余弦較好；若角的范圍為，則選正弦較好.（4）常見的角的變換：①已知角表示未知角，例如：，，，，，.②互余與互補關系，例如：，.③非特殊角轉化為特殊角，例如：15°=45°?30°，75°=45°＋30°.一、單選題1．已知，則A．-4 B．4C． D．【試題來源】云南省昆明市第八中學2020-2021學年高一特色班下學期第一次月考【答案】C【分析】已知，可得，根據(jù)兩角差的正切公式計算即可得出結果．【解析】已知，則，．故選C．2．4A．1 B．C． D．【試題來源】廣西桂林市第十八中學2021-2022學年高二上學期期中考試【答案】C【分析】本題利用二倍角公式和特殊角三角函數(shù)值，即可得到答案．【解析】．故選C．3．已知，則A． B．C． D．【試題來源】四川省綿陽東辰國際學校2020-2021學年高三下學期三診【答案】D【分析】利用倍角公式，將條件代入計算即可．【解析】，故選D．4．已知，則的值為A． B．C． D．【試題來源】山東省菏澤市一中系列學校2021-2022學年高三上學期期中考試數(shù)學（A）【答案】D【分析】利用倍角公式及同角的商的關系將式子轉化為用表示，然后帶值計算即可．【解析】．故選D．5．=A． B．C． D．【試題來源】四川省遂寧市2021-2022學年高三上學期零診考試【答案】D【分析】根據(jù)誘導公式、同角三角函數(shù)的基本關系，以及降冪公式即可求得答案．【解析】原式=．故選D．6．關于函數(shù)描述正確的是A．最小正周期是 B．最大值是C．一條對稱軸是 D．一個對稱中心是【試題來源】北京市第三十五中學2022屆高三上學期期中考試【答案】D【分析】利用三角恒等變換化簡得解析式，再利用正弦型函數(shù)的圖象和性質得出結論．【解析】由題意得，選項A：函數(shù)的最小正周期為，故A錯誤；選項B：由于，函數(shù)的最大值為，故B錯誤；選項C：函數(shù)的對稱軸滿足，，當時，，故C錯誤；選項D：令，代入函數(shù)的，故為函數(shù)的一個對稱中心，故D正確；故選D7．已知函數(shù)，則下列說法正確的是A．的最小正周期為 B．的最大值為2C．在上單調遞增 D．的圖象關于直線對稱【試題來源】重慶市江津中學校2021-2022學年高二上學期開學考試【答案】D【分析】化簡函數(shù)的解析式，結合三角函數(shù)的圖象與性質，逐項判定，即可求解．【解析】由題意，函數(shù)，由函數(shù)的最小正周期，可得，所以A錯誤；由函數(shù)的最大值為，所以B錯誤；因為，可得，所以函數(shù)在上單調遞減，所以C錯誤；由，令，解得，當時，可得，所以的圖象關于直線對稱，所以D正確．故選D．8．已知角的終邊經過點，則A． B．C． D．【試題來源】四川省攀枝花市2021-2022學年高三第一次統(tǒng)一考試【答案】B【分析】由角終邊上的點可得，根據(jù)誘導公式、二倍角余弦公式有，即可求值．【解析】由題設，，．故選B9．已知角的終邊經過點，則A． B．C． D．【試題來源】四川省攀枝花市2021-2022學年高三第一次統(tǒng)一考試【答案】B【分析】根據(jù)三角函數(shù)的定義求出，再利用二倍角公式計算可得；【解析】因為角的終邊經過點，所以，所以，故選B10．已知函數(shù)，則的最大值為A． B．1C． D．2【試題來源】陜西省咸陽市涇陽縣2021-2022學年高三上學期期中【答案】C【分析】利用輔助角公式化簡后求最值．【解析】因為，定義域為R，所以的最大值為．故選C11．A． B．C． D．【試題來源】陜西省咸陽市涇陽縣2021-2022學年高三上學期期中【答案】B【分析】根據(jù)兩角差的余弦公式計算即可．【解析】，故選B12．若，是方程的兩個根，則A．-1 B．1C．-2 D．2【試題來源】福建省長樂第七中學2022屆高三上學期期中考試【答案】A【分析】結合一元二次方程根與系數(shù)的關系、兩角和的正切公式計算即可．【解析】由于，是方程的兩個根，所以，所以．故選A13．在平面直角坐標系中，點P在射線上，點Q在過原點且傾斜角為（為銳角）的直線上．若，則的值為A． B．C． D．【試題來源】江蘇省南通市海門中學、泗陽中學2021-2022學年高三上學期第二次診斷測試【答案】D【分析】設射線的傾斜角為，從而可得，且，再利用兩角差的正切公式以及二倍角正弦公式即可求解．【解析】設射線的傾斜角為，且，，由題意可得，所以，．故選D14．已知，且，則A． B．C．7 D．【試題來源】廣東省江門市新會陳瑞祺中學2022屆高三上學期10月月考【答案】A【分析】由題意化簡得，平方求得，進而求得，聯(lián)立方程組，求得，得到，結合兩角和的正切公式，即可求解．【解析】由，可得，兩邊平方得，可得，因為，所以，所以，所以，所以，聯(lián)立方程組，可得，所以，所以．故選A．15．已知，，，，則．A． B．C． D．【答案】B【分析】由已知得，再利用同角之間的關系及兩角差的余弦公式計算，即可得解．【解析】，，，，，，，又，，故選B16．若，則A． B．C． D．【試題來源】河北省石家莊市藁城新冀明中學2021屆高三上學期10月月考【答案】B【分析】根據(jù)兩角和的正切公式展開得到，同時根據(jù)兩角和的余弦公式展開并進行齊次化，將弦轉化為切，最后計算即可．【解析】由，得到，又，所以，故選B17．將函數(shù)的圖象向左平移個單位，得函數(shù)的圖象，則A． B．1C． D．【試題來源】陜西省西安市八所重點中學2021-2022學年高三上學期聯(lián)考（一）【答案】D【分析】先對變形，然后通過三角函數(shù)圖象變換規(guī)律求出的解析式，從而可求出的值．【解析】，則將的圖象向左平移個單位后得，，所以，故選D18．若，則A． B．C． D．【試題來源】黑龍江省哈爾濱市第三中學2021-2022學年高三上學期第三次驗收考試【答案】B【分析】根據(jù)整體換元法結合二倍角公式即可求出．【解析】設，則，，所以，．故選B．19．已知在內有零點，且在上單調遞減，則的取值范圍是A． B．C． D．【試題來源】云南省昆明市第一中學2022屆高三上學期第四期聯(lián)考【答案】C【分析】利用余弦二倍角公式可得，再由正弦函數(shù)的中心對稱點以及單調性即可求解．【解析】，由得，解得，因為在內有零點，所以，解得，又，解得由在上單調遞減，所以，解得，即，所以，故選C．20．已知，則A． B．C． D．【試題來源】江蘇省南京市金陵中學2021-2022學年高三上學期12月月考【答案】B【分析】根據(jù)正切值求得正弦、余弦值，從而求得二倍角的正弦值．【解析】由知，，或，，則，故選B21．函數(shù)在區(qū)間上的一個對稱中心是，則的值為A． B．C． D．【試題來源】河南省部分重點高中2021-2022學年高三上學期12月適應性檢測【答案】D【分析】根據(jù)三角恒等變換化簡函數(shù)解析式，再根據(jù)圖象性質求參數(shù)值．【解析】由題得，令，則，當時，，，故的值為．故選D．22．已知，且，則A． B．C． D．【試題來源】黑龍江省哈爾濱市呼蘭區(qū)第一中學校2021-2022學年高三上學期第二次校內檢測【答案】A【解析】，，，故選A23．函數(shù)在上的一個遞增區(qū)間為A． B．C． D．【試題來源】河南省重點中學2021-2022學年高三上學期模擬調研（一）【答案】D【分析】化簡函數(shù)解析式為，然后利用余弦型函數(shù)的單調性可求得結果．【解析】，令，，得，取得遞增區(qū)間，取，得遞增區(qū)間，故選D．24．將函數(shù)的圖象向右平移個單位長度，得到函數(shù)的圖象關于對稱，則的最小值為A． B．C． D．【試題來源】“超級全能生”2022屆高三全國卷地區(qū)11月聯(lián)考試題（甲卷）【答案】A【分析】先利用余弦的二倍角公式和輔助角公式化簡，再由圖象的平移可得的圖象，由的圖象的對稱軸列方程結合即可求得的最小值．【解析】，所以，因為函數(shù)的圖象關于對稱，所以，所以，因為，所以時，最小，故選A．25．已知角的頂點在坐標原點，始邊與軸非負半軸重合，終邊上有一點，則的值為A．或 B．C． D．【試題來源】山東省青島市4區(qū)市2021-2022學年高三上學期期中考試【答案】B【分析】根據(jù)特殊角的三角函數(shù)值可得點，再根據(jù)三角函數(shù)的定義和三角恒等變換，即可得到答案；【解析】，，，，，，故選B26．將函數(shù)，的圖象向左平移個單位，得到函數(shù)的圖象，若在上為增函數(shù)，則的最大值為A．1 B．2C．3 D．4【試題來源】2022年高考數(shù)學一輪復習小題多維練（新高考版）【答案】B【分析】先把函數(shù)化為的形式，利用圖象變換規(guī)律，得到g(x)的解析式，再利用正弦函數(shù)的單調性，得出結論．【解析】，向左平移個單位，得到函數(shù)的圖象，由在上為增函數(shù)，則，所以，故的最大值為2．故選B27．已知，則A． B．C． D．【試題來源】山東省濰坊市2021-2022學年高三上學期期中【答案】B【分析】利用二倍角降冪公式和誘導公式可求得的值．【解析】由二倍角的降冪公式可得．故選B．28．若，均為銳角，，，則A． B．C．或 D．【試題來源】吉林省東北師范大學附屬中學2021-2022學年高三上學期第二次摸底考試【答案】B【分析】根據(jù)角度范圍得到，，再根據(jù)和差公式展開得到答案．【解析】，均為銳角，，則，，故為鈍角，．．故選B29．已知函數(shù)，則下列正確的是A．最小正周期為B．是的一個對稱中心C．將圖象向右平移個單位長度后得到的圖象，此時D．是的一個減區(qū)間【試題來源】“四省八?！?021-2022學年高三上學期期中質量檢測考試【答案】B【分析】應用三角恒等變換可得，結合正弦函數(shù)的性質判斷各選項的正誤．【解析】，所以最小正周期，A錯誤；，則是的一個對稱中心，B正確；，C錯誤；令可得，在上遞減，顯然不是子區(qū)間，故D錯誤．故選B30．已知點在圓：上，從出發(fā)，沿圓周逆時針方向運動了弧長（）到達點，且，又點在角終邊上，則A． B．C． D．【試題來源】“四省八?！?021-2022學年高三上學期期中質量檢測考試【答案】D【分析】易知，由，進而得到，解得求解．【解析】因為，，，，．故選D31．若，則A． B．C． D．【試題來源】山東省臨沂市2021-2022學年高三上學期期中【答案】D【分析】利用二倍角公式化簡，再結合的范圍確定和的符號即可求解．【解析】由二倍角公式可知，，，從而，因為，所以，，從而．故選D．32．已知函數(shù)在區(qū)間內沒有零點，則的取值范圍是A． B．C． D．【試題來源】天津市南開中學2021-2022學年高三上學期第二次月考【答案】A【分析】先將解析式化為同名函數(shù)，再根據(jù)在區(qū)間內沒有零點則；假設在區(qū)間內有零點，解出的表達式；從而推導在區(qū)間內沒有零點時的取值范圍．【解析】，，在區(qū)間內沒有零點，即，，且，，當在區(qū)間內有零點時，則，即，，，又，或，在區(qū)間內沒有零點，的取值范圍是．故選A33．一列波沿x軸正方向傳播，其波函數(shù)的表達式為，是函數(shù)f（x）相鄰的兩個零點；另一列波沿x軸負方向傳播，其波函數(shù)的表達式為；在某一時刻，兩列波的圖象如圖所示；函數(shù)表示兩列波疊加之后的波函數(shù)（疊加后的波函數(shù)為原來兩個波函數(shù)的和），則下列說法正確的有①；②是函數(shù)的一個零點；③函數(shù)h（x）的最小正周期是；④函數(shù)h（x）的振幅為1；⑤函數(shù)h（x）的振幅為．A．①②④ B．①②⑤C．②③④ D．③④⑤【試題來源】云南省師范大學附屬中學2022屆高三高考適應性月考卷（五）【答案】B【分析】根據(jù)相鄰的兩個零點求得，進而求得，從而判斷①的正確性．由來判斷②的正確性．結合三角恒等變換化簡，由此求得的最小正周期、振幅，從而判斷③④⑤的正確性．【解析】因為是函數(shù)的兩個相鄰的零點，設的最小正周期為，所以則所以故①正確；所以②正確；由圖知，是函數(shù)單調增區(qū)間上的一個零點，所以由于所以則故函數(shù)的最小正周期是函數(shù)的振幅為所以③④錯誤，⑤正確．故選B34．已知，A． B．C． D．【試題來源】中學生標準學術能力診斷性測試2021-2022學年高三上學期11月測試【答案】C【分析】首先利用兩角和的正弦公式和二倍角公式求得，然后結合已知條件求和，進而得到答案．【解析】由兩角和的正弦公式和二倍角公式可知，，因為，所以，，從而．故選C．35．哥特式建筑是1140年左右產生于法國的歐洲建筑風格，它的特點是尖塔高聳、尖形拱門、大窗戶及繪有故事的花窗玻璃，如圖所示的幾何圖形，在哥特式建筑的尖形拱門與大窗戶中較為常見，它是由線段AB和兩個圓弧弧AB，弧BC圍成，其中一個圓弧的圓心為A，另一個圓弧的圓心為B，圓與線段AB及兩個圓弧均相切，則tan∠AOB的值是A． B．C． D．【試題來源】江蘇省揚州大學附屬中學2021-2022學年高二上學期期中【答案】A【分析】根據(jù)題意，結合勾股定理，以及正切的二倍角公式，即可求解．【解析】如圖所示，過點作，交于點，設，圓的半徑為，由題意知，，，因為，得，解得，因此，故．故選A．36．若，則A．1 B．2C．3 D．4【試題來源】湖南師范大學附屬中學2021-2022學年高三上學期11月第三次月考【答案】C【分析】利用誘導公式、兩角和公式可得，再利用弦化切即得．【解析】因為，所以故選C．37．設α為銳角，若cos＝－，則sin的值為A．－ B．C．－ D．【試題來源】海南省華僑中學2022屆高三11月第三次月考【答案】D【分析】由二倍角公式可得，再由誘導公式即可得解．【解析】因為，所以，所以．故選D．38．函數(shù)的單調增區(qū)間為A． B．C．， D．【試題來源】山西大學附屬中學2022屆高三上學期11月期中【答案】C【分析】利用三角恒等變換得到，再計算單調區(qū)間得到答案．【解析】，取，，解得，．故選C．39．已知，為銳角，且，，則A． B．C． D．【試題來源】寧夏中衛(wèi)市第一中學2022屆高三上學期第三次月考【答案】C【分析】首先根據(jù)同角三角函數(shù)的基本關系求出，再利用兩角差的余弦公式求出，最后利用二倍角公式解得．【解析】依題意，為銳角，tan，，又，為銳角，得，，；，得，因此，，故選C．40．函數(shù)的所有零點為A． B．C． D．【試題來源】華大新高考聯(lián)盟（全國版）2021-2022學年高三上學期11月教學質量測評【答案】C【分析】根據(jù)兩角和的正弦公式化簡，再令即可求解．【解析】由題可知，令，可得，所以零點為，故選C．二、多選題1．下列式子正確的是A． B．C． D．【試題來源】山東省濟南市實驗中學2021-2022學年高三上學期10月月考【答案】ACD【分析】對于A，利用兩角差的正弦余弦公式求出的值即可，對于B，利用兩角和的余弦公式求解，對于C，求出的值代入化簡即可，對于D，利用兩角和的正切公式求解【解析】對于A，因為，，所以，所以A正確，對于B，因為，所以B錯誤，對于C，因為，所以，所以C正確，對于D，因為，所以，所以，所以D正確，故選ACD2．已知5，下列計算結果正確的是A． B．2C． D．【試題來源】廣東省湛江市第二十一中學2022屆高三上學期9月第2次月考【答案】BC【分析】將條件變形為用表示的形式，進而可求出，則可判斷選項AB，再將選項CD變形，用表示，代入的值即可判斷．【解析】由得，解得，故A錯誤，B正確；，故C正確；，故D錯誤．故選BC．3．達芬奇是意大利著名的畫家、數(shù)學家、物理學家和機械工程師．懸鏈線問題（固定項鏈的兩端，使其在重力的作用下自然下垂，那么項鏈所形成的曲線是什么？）起源于他的畫作《抱銀貂的女人》（如圖所示），他苦苦思索，去世時仍沒找到問題的答案．隨著后人深入的研究，得出了懸鏈線的函數(shù)解析式為，其中a為懸鏈線系數(shù)．當時，稱為雙曲余弦函數(shù)，記為．類似的雙曲正弦函數(shù)，若直線與chx和shx的圖象分別交于點A，B，則下列結論中正確的是A．B．C．線段AB的長度隨著t的增大而變短D．是偶函數(shù)【答案】AC【分析】根據(jù)函數(shù)的新定義，結合兩角和與差的正弦、余弦函數(shù)的公式，逐項運算，即可求解．【解析】由，可得，所以A正確；由，可得，所以B錯誤；由線段AB的長度為，且隨著t的增大，越來越小，所以C正確；因為，，所以是偶函數(shù)，是奇函數(shù)，所以是奇函數(shù)，所以D錯誤．故選AC．4．已知函數(shù)f(x)＝2cos2x－cos(2x－θ)的圖象經過點，則A．點是函數(shù)f(x)的圖象的一個對稱中心B．函數(shù)f(x)的最大值為2C．函數(shù)f(x)的最小正周期是2πD．直線x＝是y＝f(x)圖象的一條對稱軸【試題來源】海南省華僑中學2022屆高三11月第三次月考【答案】ABD【分析】根據(jù)題意求出函數(shù)的解析式，再結合函數(shù)的定義與性質判斷選項中的命題是否正確．【解析】因為函數(shù)，的圖象經過點，所以，解得，因為，所以，因為圖象的對稱中心是點，所以令得當時，所以點是函數(shù)圖象的一個對稱中心，所以A正確；因為，所以的最大值為2，所以B正確；因為函數(shù)的最小正周期，所以C錯誤；因為圖象的對稱軸方程是所以令，得，當時，，所以直線是函數(shù)圖象的一條對稱軸，所以D正確．故選ABD5．下列各式中，值為的是A． B．C． D．【試題來源】湖南省長沙市雅禮教育集團2021-2022學年高二上學期期中聯(lián)考【答案】AB【分析】結合二倍角公式和正弦的差角公式依次討論各選項即可得答案．【解析】選項A：；選項B：；選項C：；選項D：．故選AB．6．已知函數(shù)，則下列說法中正確的是A．的最小正周期為 B．在上單調遞增C．曲線關于對稱 D．曲線關于對稱【試題來源】福建省寧德市部分達標中學2022屆高三上學期期中聯(lián)合考試【答案】ABC【分析】化簡得到，計算函數(shù)周期得到A正確，將BCD選項帶入函數(shù)判斷函數(shù)單調性和對稱性得到答案．【解析】．的最小正周期為，A正確；，，函數(shù)單調遞增，B正確；，關于對稱，C正確；，D錯誤．故選ABC．7．關于函數(shù)，則下列說法中正確的是A．的最大值為B．的最小正周期為C．的圖象關于直線對稱D．在上單調遞增【試題來源】山東省濟寧市嘉祥縣第一中學2021-2022學年高三上學期期中考試【答案】ACD【分析】計算得到是的一個周期，B錯誤，時，，計算最值得到A正確，得到C正確，計算單調性得到D正確，得到答案．【解析】因為所以是的一個周期，故B錯誤；當時，，所以當時，，故A正確；因為所以的圖象關于直線對稱，故C正確；當時，，因為，所以在上單調遞增，故D正確．故選ACD．8．下列函數(shù)的周期為的是A． B．C． D．【試題來源】山東省臨沂市重點高中2021-2022學年高三上學期第一次月考【答案】BC【分析】根據(jù)三角函數(shù)的周期公式依次計算每個選項的周期得到答案．【解析】，，A不滿足；的圖象如圖所示：根據(jù)圖象知周期為，B滿足；，其中，，C滿足；，，D不滿足．故選BC．9．已知，，則A． B．為銳角C． D．【試題來源】河北省保定市部分學校2022屆高三上學期期中【答案】ACD【分析】由誘導公式可判斷A，由正切函數(shù)的定義可判斷B，由正切函數(shù)的兩角和公式可判斷C，由二倍角公式可判斷D．【解析】對于A，因為，，所以，故A正確；對于B，因為，所以為第一象限角或第三象限角，故B錯誤；對于C，因為，所以，故C正確；對于D，因為，，所以，故D正確．故選ACD10．對于函數(shù)，給出下列選項其中正確的是A．的圖象關于點對稱 B．的最小正周期為C．在區(qū)間上單調遞增 D．時，的值域為【試題來源】浙江省紹興市諸暨中學2021-2022學年高一（實驗班）上學期期中【答案】CD【分析】由輔助角公式化簡，利用正弦函數(shù)的對稱中心可判斷A；由正弦函數(shù)的周期公式可判斷B；利用正弦函數(shù)的單調性可判斷C；利用正弦函數(shù)的性質可判斷D，進而可得正確選項．【解析】，對于A：令，可得，故選項A不正確；對于B：的最小正周期為，故選項B不正確；對于C：若，則，所以在區(qū)間上單調遞增，故選項C正確；對于D：當時，，所以，所以時，的值域為，故選項D正確；故選CD．三、填空題1．若，則____________．【試題來源】河南省焦作市溫縣第一高級中學2021-2022學年高三上學期11月月考【答案】【分析】利用余弦的二倍角公式即可求解﹒【解析】，故答案為2．已知角的終邊過點P（1，2），則____________．【試題來源】滬教版（2020）必修第二冊堂堂清階段測試二【答案】【分析】先利用任意角的三角函數(shù)的定義求出的值，再利用兩角和的正切公式求解即可【解析】因為角的終邊過點P（1，2），所以，所以，故答案為3．已知為鈍角，化簡：____________．【答案】【分析】利用余弦的二倍角公式及同角之間的關系，即可得解．【解析】，因為為鈍角，則，所以原式，故答案為.4．已知，則____________．【試題來源】天津市部分區(qū)2021-2022學年高三上學期期中【答案】【分析】利用誘導公式和兩角和的正切公式可求得結果．【解析】．故答案為．5．已知，則____________．【試題來源】2022年全國著名重點中學領航高考沖刺試卷（七）【答案】【分析】由兩角和的正切公式可得，再利用二倍角公式即求．【解析】由題意得，所以，，則．故答案為．6．若，則____________．【試題來源】廣東省八校2022屆高三上學期第二次聯(lián)考【答案】【分析】依題意利用誘導公式及二倍角公式計算可得；【解析】因為，所以．故答案為．7．已知，則____________．【試題來源】四川省宜賓市普通高中2022屆高三上學期第一次診斷測試【答案】7【分析】根據(jù)已知條件求出cosθ，再求出tanθ和tan2θ，用正切的差角公式將展開，代入數(shù)值計算即可﹒【解析】，所以，所以﹒故答案為7﹒8．若，為第三象限角，則____________．【試題來源】海南熱帶海洋學院附屬中學2021屆高三10月份月考【答案】【分析】利用誘導公式化簡，求出，再因為為第三象限角，可以求出，再利用兩角和的正弦公式對進行化簡，即可求出答案．【解析】，為第三象限角，，．故答案為．9．當函數(shù)取得最大值時，____________．【試題來源】河南省焦作市溫縣第一高級中學2021-2022學年高三上學期11月月考【答案】【分析】逆用兩角差的正弦可得，利用正弦函數(shù)的單調性與最值即可求得當且取得最大值時的值．【解析】，當時，，當，即時，取得最大值為2．故答案為．10．已知，，則____________．【試題來源】河南省部分重點高中2021-2022學年高三上學期12月適應性檢測【答案】【分析】根據(jù)可知，結合兩角差的正切公式進行計算即可．【解析】由已知可得，．故答案為．11．若函數(shù)的最小正周期為，則函數(shù)在上的值域為____________．【試題來源】山東省青島市青島第五十八中學2021-2022學年高三上學期期中【答案】．【分析】求得的最小正周期，利用三角恒等變換將化簡，利用整體法再求函數(shù)值域即可．【解析】函數(shù)的最小正周期為，故；則．由，故可得，則，的值域為．故答案為．12．已知，，，，則的最小值是____________．【試題來源】廣西桂林市第十八中學2021-2022學年高二上學期期中考試【答案】【分析】由化簡得到，令，根據(jù)，求得，再由，根據(jù)，求得，結合，即可求解．【解析】由，可得，令，可得，因為，可得，即，解得，則，因為，所以，因為，可得，解得，所以，則，所以，所以的最小值為．故答案為．13．函數(shù)的最小正周期為____________．【答案】【分析】求出函數(shù)f(x)的定義域，再化簡函數(shù)并求其周期即可得解．【解析】依題意，函數(shù)定義域為，，即，由得，又，所以函數(shù)的最小正周期為．故答案為14．若，，則____________．【試題來源】滬教版（2020）必修第二冊堂堂清第六章復習檢測六【答案】【分析】利用兩角差的余弦公式可得，再利用和差化積公式得到，即可得解．【解析】，，，，即，，，故答案為15．給出下列命題：①存在實數(shù)，使；②若、是第二象限的角，且，則；③若，則；④若，且，則．其中正確的命題的序號是____________．【答案】②③④【分析】利用三角恒等變換，通過化簡變形可判斷各命題是否成立【解析】對于①，．故①錯誤對于②，若、是第二象限的角，則，因為，利用不等式的性質，則，即整理得，所以可知，因為，則所以，即．故②正確對于③，若，則，或此時（其中均為整數(shù)），所以因此．故③正確對于④，因為，所以，同時，因為，所以所以，所以，即．故④正確故答案為②③④16．已知為銳角，且滿足，則的值為____________．【試題來源】江蘇省常州市2021-2022學年高三上學期期中【答案】【分析】根據(jù)題意，結合正切的兩角和公式，即可求解．【解析】根據(jù)題意，得，因為，所以，解得，因為為銳角，所以，因此．故答案為．17．用幾種不同的樂器同時彈奏某一首樂曲時，我們有時能聽到比用單一樂器彈奏時更美妙的聲音，這實際上是幾種聲波合成后改變了單一聲波的波形．假設某美妙聲波的傳播曲線可用函數(shù)來描述，則該聲波函數(shù)的最小正周期為____________．【試題來源】江蘇省揚州市2021-2022學年高三上學期期中【答案】【分析】根據(jù)兩角和差的正余弦公式化簡函數(shù)，利用周期公式求解即可．【解析】，，故答案為18．____________．【試題來源】黑龍江省哈爾濱市第三中學2021-2022學年高三上學期第三次驗收考試【答案】【分析】由三角函數(shù)的誘導公式結合兩角和的正弦公式求解即可．【解析】，，利用兩角和的正弦公式可得，故答案為．19．____________．【試題來源】云南省昆明市第一中學2022屆高三上學期第四期聯(lián)考【答案】【分析】利用降冪公式、二倍角公式、兩角差的正弦公式，切化弦的思想求解即可．【解析】因為．故答案為20．已知，且是第一象限的角，則____________．【答案】或【分析】根據(jù)同角三角函數(shù)關系，建立方程求出sinα，cosα的值，結合正切函數(shù)的公式進行求解即可．【解析】因為α是第一象限角，，所以平方得，得，即，則或，當時，，則．當時，，則，即或．故答案為或．四、解答題1．已知，，且，．求：（1）的值；（2）的值．【試題來源】滬教版（2020）必修第二冊堂堂清第六章6．2（5）常用三角公式【答案】（1），（2）【分析】（1）由，得到，利用，即可求解．（2）由和，求得，，利用兩角差的正弦公式，即可求解．【解析】（1）因為，所以，從而，所以．（2）因為