2024-2025學(xué)年高中數(shù)學(xué)第二章隨機變量及其分布2.2.1條件概率學(xué)案含解析新人教A版選修2-31

PAGE2.2二項分布及其應(yīng)用2.2.1條件概率自主預(yù)習(xí)·探新知情景引入在一次英語口試中，共有10道題可選擇．從中隨機地抽取5道題供考生回答，答對其中3道題即可及格．假設(shè)作為考生的你，只會答10道題中的6道題．那么，你及格的概率是多少？在抽到的第一題不會答的狀況下你及格的概率又是多少？新知導(dǎo)學(xué)1．條件概率一般地，設(shè)A、B為兩個事務(wù)，且P(A)>0，稱P(B|A)＝__eq\f(PA∩B,PA)__為在事務(wù)A發(fā)生的條件下事務(wù)B發(fā)生的條件概率．一般把P(B|A)讀作__A發(fā)生的條件下B發(fā)生的概率__．假如事務(wù)A發(fā)生與否，會影響到事務(wù)B的發(fā)生，明顯知道了A的發(fā)生，探討事務(wù)B時，基本領(lǐng)件發(fā)生改變，從而B發(fā)生的概率也相應(yīng)的發(fā)生改變，這就是__條件概率__要探討的問題．2．條件概率的性質(zhì)性質(zhì)1：0≤P(B|A)≤1；性質(zhì)2：假如B和C是兩個互斥事務(wù)，那么P(B∪C|A)＝P(B|A)＋P(C|A)．預(yù)習(xí)自測1．已知P(AB)＝eq\f(3,10)，P(A)＝eq\f(3,5)，則P(B|A)為(B)A．eq\f(9,50) B．eq\f(1,2)C．eq\f(9,10) D．eq\f(1,4)[解析]由公式P(B|A)＝eq\f(PAB,PA)得P(B|A)＝eq\f(1,2)．2．(2024·武漢高二檢測)據(jù)某地區(qū)氣象臺統(tǒng)計，在某季節(jié)該地區(qū)下雨的概率是eq\f(4,15)，刮四級以上風(fēng)的概率為eq\f(2,15)，既刮四級以上風(fēng)又下雨的概率為eq\f(1,10)，設(shè)事務(wù)A為下雨，事務(wù)B為刮四級以上的風(fēng)，那么P(B|A)＝__eq\f(3,8)__．[解析]由題意P(A)＝eq\f(4,15)，P(B)＝eq\f(2,15)，P(A∩B)＝eq\f(1,10)，∴P(B|A)＝eq\f(PA∩B,PA)＝eq\f(3,8)．故答案為eq\f(3,8)．3．在100件產(chǎn)品中有95件合格品，5件不合格品．現(xiàn)從中不放回地取兩次，每次任取一件，則在第一次取到不合格品后，其次次再次取到不合格品的概率為__eq\f(4,99)__．[解析]解法一：在第一次取到不合格品以后，由于不放回，故還有99件產(chǎn)品，其中4件次品，故其次次再次取到不合格產(chǎn)品的概率為eq\f(4,99)．解法二：第一次取到不合格品的概率為P1＝eq\f(5,100)＝eq\f(1,20)，兩次都取到不合格產(chǎn)品的概率為P2＝eq\f(C\o\al(2,5),C\o\al(2,100))＝eq\f(1,495)，∴所求概率P＝eq\f(P2,P1)＝eq\f(\f(1,495),\f(1,20))＝eq\f(4,99)．4．在一個口袋里裝有大小相同的紅色小球3個，藍色小球5個，從中任取1球視察顏色，不放回，再任取一球，則(1)在第一次取到紅球條件下，其次次取到紅球的概率為多少？(2)在第一次取到藍球的條件下，其次次取到紅球的概率為多少？(3)在第一次取到藍球的條件下，其次次取到藍球的概率為多少？[解析]解法一：(1)第一次取到紅球不放回，此時口袋里有2個紅球，5個藍球，故其次次取到紅球的概率為P1＝eq\f(2,7)．(2)第一次取到藍球后不放回，這時口袋里有3紅4藍7個小球，從中取出一球，取到紅球的概率為eq\f(3,7)．(3)第一次取到藍球后不放回，這時口袋里有3紅4藍7個小球，從中取出一球，取到藍球的概率為P3＝eq\f(4,7)．解法二：(1)記事務(wù)A為“第一次取到紅球”，事務(wù)B為“其次次取到紅球”，∵P(A∩B)＝eq\f(C\o\al(2,3),C\o\al(2,8))＝eq\f(3,28)，P(A)＝eq\f(3,8)，∴P(B|A)＝eq\f(PA∩B,PA)＝eq\f(\f(3,28),\f(3,8))＝eq\f(2,7)．(2)設(shè)C＝“第一次取到藍球”，B＝“其次次取到紅球”，則P(CB)＝eq\f(A\o\al(1,5)A\o\al(1,3),A\o\al(2,8))＝eq\f(15,56)，P(C)＝eq\f(5,8)，∴P(B|C)＝eq\f(\f(15,56),\f(5,8))＝eq\f(3,7)．(3)記C＝“第一次取到藍球”，D＝“其次次取到藍球”，則P(CD)＝eq\f(C\o\al(2,5),C\o\al(2,8))＝eq\f(5,14)，P(C)＝eq\f(5,8)，∴P(D|C)＝eq\f(PCD,PC)＝eq\f(4,7)．互動探究·攻重難互動探究解疑命題方向?利用條件概率公式求條件概率典例1盒內(nèi)裝有除型號和顏色外完全相同的16個球，其中6個是E型玻璃球，10個是F型玻璃球．E型玻璃球中有2個是紅色的，4個是藍色的；F型玻璃球中有3個是紅色的，7個是藍色的．現(xiàn)從中任取1個，已知取到的是藍球，問該球是E型玻璃球的概率是多少？[思路分析]通過表格將數(shù)據(jù)關(guān)系表示出來，再求取到藍球是E型玻璃球的概率．[解析](1)令事務(wù)A＝{取得藍球}，B＝{取得藍色E型玻璃球}．解法一：∵P(A)＝eq\f(11,16)，P(A∩B)＝eq\f(4,16)＝eq\f(1,4)，∴P(B|A)＝eq\f(PA∩B,PA)＝eq\f(\f(1,4),\f(11,16))＝eq\f(4,11)．解法二：∵n(A)＝11，n(A∩B)＝4，∴P(B|A)＝eq\f(nA∩B,nA)＝eq\f(4,11)．『規(guī)律總結(jié)』(1)在題目條件中，若出現(xiàn)“在……發(fā)生的條件下……發(fā)生的概率”時，一般可認為是條件概率．(2)條件概率的兩種計算方法①在原樣本空間中，先計算P(AB)，P(A)，再利用公式P(B|A)＝eq\f(PAB,PA)計算求得P(B|A)；②若事務(wù)為古典概型，可利用公式P(B|A)＝eq\f(nAB,nA)，即在縮小后的樣本空間中計算事務(wù)B發(fā)生的概率．┃┃跟蹤練習(xí)1__■(1)某地區(qū)空氣質(zhì)量監(jiān)測資料表明，一天的空氣質(zhì)量為優(yōu)良的概率是0.75，連續(xù)兩天為優(yōu)良的概率是0.6，已知某天的空氣質(zhì)量為優(yōu)良，則隨后一天的空氣質(zhì)量為優(yōu)良的概率是(A)A．0.8 B．0.75C．0.6 D．0.45(2)分別用集合M＝{2,4,5,6,7,8,11,12}中隨意兩個元素作分子與分母構(gòu)成真分數(shù)，已知取出的一個元素是12，則取出的另外一個元素與之構(gòu)成可約分數(shù)的概率是__eq\f(4,7)__．[解析](1)本題考查條件概率的求法．設(shè)A＝“某一天的空氣質(zhì)量為優(yōu)良”，B＝“隨后一天的空氣質(zhì)量為優(yōu)良”，則P(B|A)＝eq\f(PA∩B,PA)＝eq\f(0.6,0.75)＝0.8，故選A．(2)設(shè)“取出的兩個元素中有一個是12”為事務(wù)A，“取出的兩個元素構(gòu)成可約分數(shù)”為事務(wù)B，則n(A)＝7，n(AB)＝4，所以P(B|A)＝eq\f(nAB,nA)＝eq\f(4,7)．命題方向?有關(guān)幾何概型的條件概率典例2一個正方形被平均分成9個部分，向大正方形區(qū)域隨機地投擲一個點(每次都能投中)．設(shè)投中最左側(cè)3個小正方形區(qū)域的事務(wù)記為A，投中最上面3個小正方形或正中間的1個小正方形區(qū)域的事務(wù)記為B，求P(AB)、P(A|B)．[解析]如圖，n(Ω)＝9，n(A)＝3，n(B)＝4，n(AB)＝1，∴P(AB)＝eq\f(1,9)，P(A|B)＝eq\f(nAB,nB)＝eq\f(1,4)．『規(guī)律總結(jié)』本題是面積型的幾何概型，和小正方形的個數(shù)來等價轉(zhuǎn)化，將樣本空間縮小為n(B)．┃┃跟蹤練習(xí)2__■如圖，四邊形EFGH是以O(shè)為圓心，半徑為1的圓的內(nèi)接正方形，將一顆豆子隨機地扔到該圓內(nèi)，用A表示事務(wù)“豆子落在正方形EFGH內(nèi)”，B表示事務(wù)“豆子落在扇形OHE(陰影部分)內(nèi)”，則(1)P(A)＝__eq\f(2,π)__；(2)P(B|A)＝__eq\f(1,4)__．[解析](1)由題意可得，事務(wù)A發(fā)生的概率P(A)＝eq\f(S正方形EFGH,S圓O)＝eq\f(\r(2)×\r(2),π×12)＝eq\f(2,π)．(2)事務(wù)AB表示“豆子落在△EOH內(nèi)”，則P(AB)＝eq\f(S△EOH,S圓O)＝eq\f(\f(1,2)×12,π×12)＝eq\f(1,2π).故P(B|A)＝eq\f(PAB,PA)＝eq\f(\f(1,2π),\f(2,π))＝eq\f(1,4)．命題方向?縮小基本領(lǐng)件范圍求概率典例3兩臺機床加工同一種機械零件如表：合格品次品總計甲機床加工的零件數(shù)35540乙機床加工的零件數(shù)501060總計8515100從這100個零件中任取一個零件，取得的零件是甲機床加工的合格品的概率是__0.875__．[思路分析]所求概率樣本空間包含的基本領(lǐng)件個數(shù)是40而不是100．[解析]記“在100個零件中任取一件是甲機床加工的零件”為事務(wù)A，記“從100個零件中任取一件取得合格品”為事務(wù)B．則P(B|A)＝eq\f(nAB,nA)＝eq\f(35,40)＝0.875．『規(guī)律總結(jié)』利用縮小基本領(lǐng)件范圍計算條件概率的方法將原來的基本領(lǐng)件全體Ω縮小為已知的條件事務(wù)A，原來的事務(wù)B縮小為AB．而A中僅包含有限個基本領(lǐng)件，每個基本領(lǐng)件發(fā)生的概率相等，從而可以在縮小的概率空間上利用古典概型公式計算條件概率，即P(B|A)＝eq\f(nAB,nA)，這里n(A)和n(AB)的計數(shù)是基于縮小的基本領(lǐng)件范圍的．┃┃跟蹤練習(xí)3__■集合A＝{1,2,3,4,5,6}，甲、乙兩人各從A中任取一個數(shù)，若甲先取(不放回)，乙后取，在甲抽到奇數(shù)的條件下，求乙抽到的數(shù)比甲抽到的數(shù)大的概率．[解析]將甲抽到數(shù)字a，乙抽到數(shù)字b，記作(a，b)，甲抽到奇數(shù)的情形有(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(1,6)，(3,1)，(3,2)，(3,4)，(3,5)，(3,6)，(5,1)，(5,2)，(5,3)，(5,4)，(5,6)，共15個，在這15個中，乙抽到的數(shù)比甲抽到的數(shù)大的有(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(1,6)，(3,4)，(3,5)，(3,6)，(5,6)，共9個，所以所求概率P＝eq\f(9,15)＝eq\f(3,5)．條件概率的性質(zhì)典例4外形相同的球分裝在三個盒子中，每盒10個．其中，第一個盒子中有7個球標(biāo)有字母A,3個球標(biāo)有字母B；其次個盒子中有紅球和白球各5個；第三個盒子中有紅球8個，白球2個．試驗按如下規(guī)則進行：先在第一個盒子中任取一個球，若取得標(biāo)有字母A的球，則在其次個盒子中任取一個球；若第一次取得標(biāo)有字母B的球，則在第三個盒子中任取一個球．若其次次取出的是紅球，則稱試驗勝利，求試驗勝利的概率．[思路分析]本題考查條件概率，先設(shè)出基本領(lǐng)件，求相應(yīng)事務(wù)的概率，再將試驗勝利分解成兩個互斥事務(wù)的和．[解析]設(shè)A＝{從第一個盒子中取得標(biāo)有字母A的球}，B＝{從第一個盒子中取得標(biāo)有字母B的球}，R＝{其次次取出的球是紅球}，W＝{其次次取出的球是白球}，易得P(A)＝eq\f(7,10)，P(B)＝eq\f(3,10)，P(R|A)＝eq\f(1,2)，P(R|B)＝eq\f(4,5)，事務(wù)“試驗勝利”表示為RA∪RB，又事務(wù)RA與事務(wù)RB互斥，故由概率的加法公式得P(RA∪RB)＝P(RA)＋P(RB)＝P(R|A)·P(A)＋P(R|B)·P(B)＝eq\f(1,2)×eq\f(7,10)＋eq\f(4,5)×eq\f(3,10)＝0.59．『規(guī)律總結(jié)』若事務(wù)B，C互斥，則P(B∪C|A)＝P(B|A)＋P(C|A)，即為了求得比較困難事務(wù)的概率，往往可以先把它分解成若干個互不相容的較簡潔事務(wù)之和，求出這些簡潔事務(wù)的概率，再利用概率加法公式求得所求的困難事務(wù)的概率．┃┃跟蹤練習(xí)4__■拋擲紅、藍兩顆骰子，記事務(wù)A為“藍色骰子的點數(shù)為4或6”，事務(wù)B為“兩顆骰子的點數(shù)之和大于8”，求：(1)事務(wù)A發(fā)生的條件下事務(wù)B發(fā)生的概率；(2)事務(wù)B發(fā)生的條件下事務(wù)A發(fā)生的概率．[解析]拋擲紅、藍兩顆骰子，事務(wù)總數(shù)為6×6＝36，事務(wù)A的基本領(lǐng)件數(shù)為6×2＝12，則P(A)＝eq\f(12,36)＝eq\f(1,3)．∵3＋6＝6＋3＝4＋5＝5＋4>8，4＋6＝6＋4＝5＋5>8，5＋6＝6＋5>8,6＋6>8，∴事務(wù)B的基本領(lǐng)件總數(shù)為4＋3＋2＋1＝10．∴P(B)＝eq\f(10,36)＝eq\f(5,18)．又4＋5>8,4＋6>8，6＋3>8,6＋4>8，6＋5>8，6＋6>8，∴事務(wù)AB的基本領(lǐng)件數(shù)為6．故P(AB)＝eq\f(6,36)＝eq\f(1,6)．由條件概率公式，得(1)P(B|A)＝eq\f(PAB,PA)＝eq\f(\f(1,6),\f(1,3))＝eq\f(1,2)．(2)P(A|B)＝eq\f(PAB,PB)＝eq\f(\f(1,6),\f(5,18))＝eq\f(3,5)．學(xué)科核心素養(yǎng)條件概率公式的推廣的應(yīng)用(1)條件概率定義的推廣P(Ak|A1A2…Ak－1)＝eq\f(PA1A2…Ak,PA1A2…Ak－1)，其中k＝1,2,3，…，P(A1A2…Ak－1)≠0．(2)乘法公式的推廣．若P(A1A2…An－1)>0，則P(A1A2…An)＝P(A1)·P(A2|A1)·P(A3|A1A2)…P(An|A1A2…An－1)．(3)全概率公式．完備事務(wù)組：若事務(wù)A1，A2，…，An互斥，又一次試驗中事務(wù)A1，A2，…，An必發(fā)生其中之一，即A1∪A2∪…∪An＝Ω，又AiAj＝?(i≠j)，則稱A1，A2，…，An為完備事務(wù)．全概率公式：若事務(wù)B1，B2，…，Bn為完備事務(wù)組，且P(Bi)>0(i＝1,2，…，n)，則對任一事務(wù)A，有P(A)＝eq\i\su(i＝1,n,P)(Bi)P(A|Bi)．典例5某倉庫有同樣規(guī)格的產(chǎn)品12箱，其中6箱、4箱、2箱依次是由甲、乙、丙三個廠生產(chǎn)的，且三個廠的次品率分別為eq\f(1,10)，eq\f(1,14)，eq\f(1,18).現(xiàn)從這12箱中任取一箱，再從取得的一箱中隨意取出一個產(chǎn)品．(1)求取得的一個產(chǎn)品是次品的概率；(2)若已知取得一個產(chǎn)品是次品，則這個次品是乙廠生產(chǎn)的概率是多少？(精確到0.001)[解析](1)設(shè)A＝{取得一個產(chǎn)品是次品}，B1＝{取得一箱是甲廠的}，B2＝{取得一箱是乙廠的}，B3＝{取得一箱是丙廠的}．明顯B1，B2，B3是導(dǎo)致A發(fā)生的一組緣由，這組緣由是完備事務(wù)組(即一個劃分)，A能且只能與B1，B2，B3之一同時發(fā)生．三個廠的次品率分別為eq\f(1,10)，eq\f(1,14)，eq\f(1,18)，∴P(A|B1)＝eq\f(1,10)，P(A|B2)＝eq\f(1,14)，P(A|B3)＝eq\f(1,18)．12箱產(chǎn)品中，甲占eq\f(6,12)，乙占eq\f(4,12)，丙占eq\f(2,12)，由全概率公式得P(A)＝eq\i\su(k＝1,3,P)(A|Bk)P(Bk)＝eq\f(6,12)×eq\f(1,10)＋eq\f(4,12)×eq\f(1,14)＋eq\f(2,12)×eq\f(1,18)≈0.083．(2)依題意，已知A發(fā)生，要求P(B2|A)，此時我們用貝葉斯公式：P(B2|A)＝eq\f(PB2PA|B2,PA)≈eq\f(\f(4,12)×\f(1,14),0.083)≈0.287．『規(guī)律總結(jié)』貝葉斯公式實質(zhì)上是條件概率公式P(Bi|A)＝eq\f(PBiA,PA)，P(BiA)＝P(Bi)·P(A|Bi)，全概率公式P(A)＝eq\i\su(i＝1,n,P)(Bi)P(A|Bi)的綜合應(yīng)用．易混易錯警示因把基本領(lǐng)件空間找錯而致錯典例6一個家庭中有兩名小孩，假定生男、生女是等可能的．已知這個家庭有一名小孩是女孩，問另一名小孩是男孩的概率是多少？[辨析]解決條件概率的方法有兩種，第一種是利用公式P(B|A)＝eq\f(PAB,PA).其次種為P(B|A)＝eq\f(nAB,nA)，其中找對基本領(lǐng)件空間是關(guān)鍵．[正解]方法一：一個家庭的兩名小孩只有4種可能：{兩名都是男孩}，{第一名是男孩，其次名是女孩}，{第一名是女孩，其次名是男孩}，{兩名都是女孩}．由題意知這4個事務(wù)是等可能的，設(shè)基本領(lǐng)件空間為Ω，“其中一名是女孩”為事務(wù)A，“其中一名是男孩”為事務(wù)B，則Ω＝{(男，男)，(男，女)，(女，男)，(女，女)}，A＝{(男，女)，(女，男)，(女，女)}，B＝{(男，男)，(男，女)，(女，男)}，AB＝{(男，女)，(女，男)}．∴P(AB)＝eq\f(2,4)＝eq\f(1,2)，P(A)＝eq\f(3,4).∴P(B|A)＝eq\f(PAB,PA)＝eq\f(\f(1,2),\f(3,4))＝eq\f(2,3)．方法二：由方法一可知n(A)＝3，n(AB)＝2.∴P(B|A)＝eq\f(nAB,nA)＝eq\f(2,3)．[誤區(qū)警示]1.條件概率易出錯點之一就是把基本領(lǐng)件空間找錯了．2．弄不清一個事務(wù)對另一事務(wù)的影響致錯．課堂達標(biāo)·固基礎(chǔ)1．已知P(AB)＝eq\f(3,13)，P(A)＝eq\f(3,7)，則P(B|A)等于(B)A．eq\f(9,91) B．eq\f(7,13)C．eq\f(9,13) D．eq\f(7,91)[解析]P(B|A)＝eq\f(PAB,PA)＝eq\f(\f(3,13),\f(3,7))＝eq\f(7,13)．2．(2024·新余二模)從1,2,3,4,5,6,7,8,9中不放回地依次取2個數(shù)，事務(wù)A＝“第一次取到的是奇數(shù)”，B＝“其次次取到的是奇數(shù)”，則P(B|A)＝(D)A．eq\f(1,5) B．eq\f(3,10)C．eq\f(2,5) D．eq\f(1,2)[解析]由題意，P(AB)＝eq\f(C\o\al(2,5),C\o\al(2,9))＝eq\f(5,18