數(shù)學(xué)（文科）總復(fù)習(xí)演練提升同步測評兩條直線的位置關(guān)系

學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精A組專項基礎(chǔ)訓(xùn)練(時間:35分鐘)1．（2016·沈陽質(zhì)檢)已知點O（0，0)，A（0,b），B(a,a3)．若△OAB為直角三角形，則必有()A．b＝a3B．b＝a3＋eq\f(1，a)C．(b－a3)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1（b－a3－\f（1,a)））＝0D．｜b－a3|＋eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1（b－a3－\f(1,a)))＝0【解析】若以O(shè)為直角頂點，則B在x軸上，則a必為0,此時O，B重合，不符合題意；若∠A＝eq\f（π，2)，則b＝a3≠0.若∠B＝eq\f（π,2），根據(jù)垂直關(guān)系可知a2·eq\f(a3－b，a）＝－1,所以a（a3－b)＝－1，即b－a3－eq\f(1,a）＝0.以上兩種情況皆有可能,故只有C滿足條件．【答案】C2．(2016·湖南衡陽期末)若兩條直線ax＋2y＋6＝0與x＋（a－1)y＋(a2－1）＝0平行,則a的取值集合是（）A．｛－1，2}B．｛－1}C．｛2}D.eq\b\lc\{\rc\｝（\a\vs4\al\co1(\f(2,3))）【解析】∵直線ax＋2y＋6＝0與x＋（a－1）y＋(a2－1）＝0平行，∴eq\b\lc\｛(\a\vs4\al\co1（a(a－1）－2＝0,,a(a2－1)－6≠0.))解得a＝－1,∴a的取值集合是｛－1｝．故選B.【答案】B3．(2017·安徽皖南八校聯(lián)考）已知傾斜角為θ的直線與直線x－3y＋1＝0垂直,則eq\f（2，3sin2θ－cos2θ)＝()A.eq\f(10,3)B．－eq\f(10，3)C.eq\f(10，13）D．－eq\f(10，13)【解析】依題意，tanθ＝－3(θ∈[0，π))，所以eq\f（2，3sin2θ－cos2θ）＝eq\f（2（sin2θ＋cos2θ),3sin2θ－cos2θ）＝eq\f（2（tan2θ＋1），3tan2θ－1）＝eq\f(10，13）,故選C.【答案】C4．（2017·安徽皖南八校聯(lián)考）已知點A(x，5）關(guān)于點（1，y）的對稱點是(－2，－3）,則點P(x，y)到原點的距離是（）A．4B.eq\r（13）C.eq\r(15)D。eq\r（17)【解析】根據(jù)中點坐標(biāo)公式得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1（\f（x－2,2）＝1,,\f（5－3，2)＝y(tǒng)，））解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1（x＝4，，y＝1，）)所以點P的坐標(biāo)為（4，1)，所以點P（x，y）到原點的距離d＝eq\r((4－0）2＋(1－0）2)＝eq\r（17），故選D。【答案】D5．（2017·廣東佛山六校聯(lián)考)設(shè)A，B是x軸上的兩點，點P的橫坐標(biāo)為2,且|PA｜＝|PB｜，若直線PA的方程為x－y＋1＝0,則直線PB的方程是（)A．x＋y－5＝0B．2x－y－1＝0C．2y－x－4＝0D．2x＋y－7＝0【解析】因為直線PA的傾斜角為45°，且|PA｜＝｜PB|,所以直線PB的傾斜角為135°.又當(dāng)x＝2時，y＝3，即P(2，3)，所以直線PB的方程為y－3＝－(x－2),即x＋y－5＝0,故選A.【答案】A6．（2016·山東濟南一中月考）若兩平行直線3x－2y－1＝0，6x＋ay＋c＝0之間的距離為eq\f（2\r（13)，13），則eq\f(c＋2，a)的值為________．【解析】由題意得eq\f(3,6)＝eq\f（－2,a)≠eq\f（－1,c）,∴a＝－4，c≠－2。∴6x＋ay＋c＝0可化為3x－2y＋eq\f(c,2)＝0.由兩平行直線間的距離公式，得eq\f(2\r（13）,13)＝eq\f（\b\lc\｜\rc\｜(\a\vs4\al\co1(\f（c,2)＋1）），\r（13）)，解得c＝2或－6，∴eq\f(c＋2，a）＝±1。【答案】±17．（2017·忻州訓(xùn)練）已知兩直線l1：ax－by＋4＝0和l2：(a－1）x＋y＋b＝0，若l1∥l2，且坐標(biāo)原點到這兩條直線的距離相等，則a＋b＝________．【解析】由題意得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a＋b(a－1)＝0,，\f(4，\r(a2＋（－b)2))＝\f（|b|，\r（(a－1）2＋1））)）。解得eq\b\lc\{（\a\vs4\al\co1（a＝2，，b＝－2))或eq\b\lc\{（\a\vs4\al\co1（a＝\f(2,3），,b＝2））經(jīng)檢驗,兩種情況均符合題意，∴a＋b的值為0或eq\f(8，3)?！敬鸢浮?或eq\f(8,3)8．將一張坐標(biāo)紙折疊一次，使得點（0，2)與點（4,0)重合，點(7，3)與點(m，n)重合，則m＋n＝________．【解析】由題意可知紙的折痕應(yīng)是點(0，2）與點(4，0)連線的中垂線,即直線y＝2x－3，它也是點（7，3)與點（m，n)連線的中垂線，于是eq\b\lc\｛（\a\vs4\al\co1(\f(3＋n,2)＝2×\f(7＋m，2）－3，\f（n－3,m－7)＝－\f(1,2）））,解得eq\b\lc\｛(\a\vs4\al\co1(m＝\f（3，5)，n＝\f（31,5)))，故m＋n＝eq\f（34，5)?！敬鸢浮縠q\f(34,5)9．已知△ABC的頂點A（5，1)，AB邊上的中線CM所在直線方程為2x－y－5＝0，AC邊上的高BH所在直線方程為x－2y－5＝0，求直線BC的方程．【解析】依題意知：kAC＝－2，A（5，1），∴l(xiāng)AC為2x＋y－11＝0，聯(lián)立lAC、lCM得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1（2x＋y－11＝0，,2x－y－5＝0，))∴C(4,3)．設(shè)B(x0，y0)，AB的中點M為eq\b\lc\（\rc\）（\a\vs4\al\co1（\f(x0＋5，2)，\f(y0＋1,2)）)，代入2x－y－5＝0,得2x0－y0－1＝0，∴eq\b\lc\｛（\a\vs4\al\co1(2x0－y0－1＝0，,x0－2y0－5＝0,））∴B（－1，－3），∴kBC＝eq\f(6，5)，∴直線BC的方程為y－3＝eq\f（6，5)(x－4），即6x－5y－9＝0。10．已知直線l經(jīng)過直線l1：2x＋y－5＝0與l2:x－2y＝0的交點．(1)若點A（5,0)到l的距離為3，求l的方程;(2）求點A（5，0)到l的距離的最大值．【解析】(1）易知l不可能為l2，可設(shè)經(jīng)過兩已知直線交點的直線系方程為(2x＋y－5）＋λ(x－2y）＝0,即（2＋λ)x＋(1－2λ)y－5＝0，∵點A（5，0）到l的距離為3，∴eq\f(|10＋5λ－5|，\r（（2＋λ）2＋(1－2λ)2）)＝3,即2λ2－5λ＋2＝0，∴λ＝2，或λ＝eq\f(1,2），∴l(xiāng)的方程為x＝2或4x－3y－5＝0。(2）由eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(2x＋y－5＝0,，x－2y＝0,))解得交點P(2,1)，如圖，過P作任一直線l，設(shè)d為點A到l的距離，則d≤PA（當(dāng)l⊥PA時等號成立）．∴dmax＝PA＝eq\r((5－2）2＋(0－1）2)＝eq\r（10）。B組專項能力提升(時間：30分鐘）11．（2017·北京二十四中模擬）已知點M(0,－1)，點N在直線x－y＋1＝0上，若直線MN垂直于直線x＋2y－3＝0,則點N的坐標(biāo)是(）A．(－2，－1）B．（2，3）C．(2,1)D．（－2,1）【解析】∵點N在直線x－y＋1＝0上，∴可設(shè)點N坐標(biāo)為(x0，x0＋1）．根據(jù)經(jīng)過兩點的直線的斜率公式，得kMN＝eq\f（(x0＋1)＋1,x0)＝eq\f(x0＋2,x0).∵直線MN垂直于直線x＋2y－3＝0，直線x＋2y－3＝0的斜率k＝－eq\f（1,2),∴kMN×eq\b\lc\(\rc\）(\a\vs4\al\co1(－\f(1，2)))＝－1,即eq\f（x0＋2,x0）＝2，解得x0＝2.因此點N的坐標(biāo)是（2，3），故選B?！敬鸢浮緽12．（2017·上海虹口區(qū)期末質(zhì)量監(jiān)測）已知l1，l2是分別經(jīng)過A（2，1），B（0，2)兩點的兩條平行直線，當(dāng)l1，l2之間的距離最大時，直線l1的方程是________．【解析】由平面幾何知識，得當(dāng)l1⊥AB時，l1，l2之間的距離最大．∵A（2，1)，B(0，2)，∴kAB＝－eq\f(1，2)，∴kl1＝2，∴直線l1的方程是y－1＝2(x－2）,即2x－y－3＝0.【答案】2x－y－3＝013．（2016·淮安一調(diào))已知入射光線經(jīng)過點M(－3,4），被直線l：x－y＋3＝0反射，反射光線經(jīng)過點N（2，6),則反射光線所在直線的方程為________．【解析】設(shè)點M(－3，4）關(guān)于直線l：x－y＋3＝0的對稱點為M′(a，b)，則反射光線所在直線過點M′，所以eq\b\lc\{（\a\vs4\al\co1（\f（b－4,a－(－3））·1＝－1，，\f(－3＋a,2)－\f（b＋4，2)＋3＝0，)）解得a＝1,b＝0。又反射光線經(jīng)過點N（2，6），所以所求直線的方程為eq\f（y－0,6－0）＝eq\f(x－1,2－1），即6x－y－6＝0.【答案】6x－y－6＝014．已知直線l：y＝eq\f（1，2)x－1，(1)求點P（3，4）關(guān)于l對稱的點Q；(2)求l關(guān)于點（2，3）對稱的直線方程．【解析】(1）設(shè)Q(x0，y0），由于PQ⊥l，且PQ中點在l上，有eq\b\lc\｛(\a\vs4\al\co1（\f（y0－4,x0－3)＝－2，，\f(y0＋4,2)＝\f（1，2）·\f(x0＋3,2)－1，）)解得eq\b\lc\{（\a\vs4\al\co1（x0＝\f(29,5）,,y0＝－\f(8,5)，))∴Qeq\b\lc\（\rc\)（\a\vs4\al\co1（\f（29，5），－\f(8,5))）。（2)在l上任取一點，如M(0，－1)，則M關(guān)于點(2,3)對稱的點為N(4，7)．∵當(dāng)對稱點不在直線上時，關(guān)于點對稱的兩直線必平行，∴所求直線過點N且與l平行，∴所求方程為y－7＝eq\f(1，2)（x－4）,即為x－2y＋10＝0。15．已知三條直線：l1：2x－y＋a＝0（a＞0）；l2：－4x＋2y＋1＝0;l3：x＋y－1＝0，且l1與l2間的距離是eq\f(7\r(5）,10）.（1）求a的值;(2）能否找到一點P,使P同時滿足下列三個條件：①點P在第一象限；②點P到l1的距離是點P到l2的距離的eq\f(1，2)；③點P到l1的距離與點P到l3的距離之比是eq\r(2)∶eq\r（5)。若能,求點P的坐標(biāo)；若不能，說明理由．【解析】（1)直線l2：2x－y－eq\f(1,2）＝0，所以兩條平行線l1與l2間的距離為d＝eq\f（\b\lc\|\rc\｜(\a\vs4\al\co1（a－\b\lc\（\rc\）（\a\vs4\al\co1(－\f（1,2)）))),\r（22＋(－1)2）)＝eq\f（7\r(5）,10)，所以eq\f（\b\lc\|\rc\｜(\a\vs4\al\co1（a＋\f（1,2))）,\r(5)）＝eq\f(7\r(5）,10），即eq\b\lc\｜\rc\|（\a\vs4\al\co1(a＋\f（1,2）））＝eq\f(7，2),又a＞0，解得a＝3。(2）假設(shè)存在點P,設(shè)點P(x0,y0)．若P點滿足條件②,則P點在與l1，l2平行的直線l′：2x－y＋c＝0上，且eq\f(｜c－3｜,\r(5）)＝eq\f(1，2）eq\f（\b\lc\｜\rc\|(\a\vs4\al\co1(c＋\f（1,2)）),\r(5）)，即c＝eq\f(13,2)或eq\f(11,6），所以2x0－y0＋eq\f（13，2）＝0或2x0－y0＋eq\f(11，6）＝0;若P點滿足條件③,由點到直線的距離公式，有eq\f(|2x0－y0＋3|,\r(5））＝eq\f(\r（2),\r(5)）eq\f（|x0＋y0－1|,\r(2))，即｜2x0－y0＋3|＝|x0＋y0－1|，所以x