2020-2021學(xué)年高中數(shù)學(xué)-第一講-坐標(biāo)系-一-平面直角坐標(biāo)系學(xué)案新人教A版選修4-4

2020-2021學(xué)年高中數(shù)學(xué)第一講坐標(biāo)系一平面直角坐標(biāo)系學(xué)案新人教A版選修4-42020-2021學(xué)年高中數(shù)學(xué)第一講坐標(biāo)系一平面直角坐標(biāo)系學(xué)案新人教A版選修4-42021學(xué)年高中數(shù)學(xué)第一講坐標(biāo)系一平面直角坐標(biāo)系學(xué)案新人教A版選修4-42020-2021學(xué)年高中數(shù)學(xué)第一講坐標(biāo)系一平面直角坐標(biāo)系學(xué)案新人教A版選修4-4年級(jí)：姓名：一平面直角坐標(biāo)系考綱定位重難突破1.理解在平面直角坐標(biāo)系中刻畫點(diǎn)的位置的方法.2.能建立適當(dāng)?shù)闹苯亲鴺?biāo)系，解決數(shù)學(xué)問題.重點(diǎn)：平面直角坐標(biāo)系中點(diǎn)的坐標(biāo)的伸縮變換.難點(diǎn)：建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系，運(yùn)用坐標(biāo)法解決有關(guān)問題.授課提示：對應(yīng)學(xué)生用書第1頁[自主梳理]1．平面直角坐標(biāo)系(1)數(shù)軸：規(guī)定了原點(diǎn)，正方向和單位長度的直線叫數(shù)軸．?dāng)?shù)軸上的點(diǎn)與實(shí)數(shù)之間可以建立一一對應(yīng)關(guān)系．(2)平面直角坐標(biāo)系：在同一個(gè)平面上互相垂直且有公共原點(diǎn)的兩條數(shù)軸構(gòu)成平面直角坐標(biāo)系，簡稱為直角坐標(biāo)系．通常，兩條數(shù)軸分別置于水平位置與豎直位置，取向右與向上的方向分別為兩條數(shù)軸的正方向．水平的數(shù)軸叫做x軸或橫軸，豎直的數(shù)軸叫做y軸或縱軸，x軸或y軸統(tǒng)稱為坐標(biāo)軸，它們的公共原點(diǎn)O稱為直角坐標(biāo)系的原點(diǎn)．平面直角坐標(biāo)系上的點(diǎn)與有序?qū)崝?shù)對(x，y)之間可以建立一一對應(yīng)關(guān)系．(3)距離公式與中點(diǎn)坐標(biāo)公式：設(shè)平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，線段P1P2的中點(diǎn)為P，填表：兩點(diǎn)間的距離公式中點(diǎn)P的坐標(biāo)公式|P1P2|＝eq\r(x1－x22＋y1－y22)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x1＋x2,2)，\f(y1＋y2,2)))2.平面直角坐標(biāo)系中的伸縮變換設(shè)點(diǎn)P(x，y)是平面直角坐標(biāo)系中的任意一點(diǎn)，在變換φ：eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x′＝λ·x，λ>0，,y′＝μ·y，μ>0))的作用下，點(diǎn)P(x，y)對應(yīng)到點(diǎn)P′(x′，y′)，稱φ為平面直角坐標(biāo)系中的坐標(biāo)伸縮變換，簡稱伸縮變換．[雙基自測]1．兩個(gè)定點(diǎn)的距離為4，點(diǎn)M到這兩個(gè)定點(diǎn)的距離的平方和為16，則點(diǎn)M的軌跡是()A．圓 B．橢圓C．雙曲線 D．拋物線解析：設(shè)兩定點(diǎn)分別為A、B，以過A、B兩點(diǎn)的直線為x軸，線段AB的中垂線為y軸，建立平面直角坐標(biāo)系，則A(－2,0)，B(2,0)，設(shè)動(dòng)點(diǎn)M(x，y)，則由|MA|2＋|MB|2＝16，可得：(x＋2)2＋y2＋(x－2)2＋y2＝16，化簡得軌跡方程x2＋y2＝4.故選A.答案：A2．△ABC的頂點(diǎn)A，B，C的坐標(biāo)分別為(3，eq\r(3))，(3，－eq\r(3))，(0,0)，動(dòng)點(diǎn)到A，B的距離的平方和等于它到C點(diǎn)的距離的平方，則動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程為()A．(x－6)2＋y2＝12B．(x＋6)2＋y2＝12C．x2＋(y－6)2＝12D．x2＋(y＋6)2＝12解析：設(shè)動(dòng)點(diǎn)坐標(biāo)為(x，y)，則(x－3)2＋(y－eq\r(3))2＋(x－3)2＋(y＋eq\r(3))2＝x2＋y2，整理得(x－6)2＋y2＝12，故選A.答案：A3．把方程y＝cosx變?yōu)閥′＝eq\f(1,2)cos4x′的伸縮變換公式為________．解析：比較兩方程知eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝4x′，,y＝2y′，))故伸縮變換公式為eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x′＝\f(1,4)x，,y′＝\f(1,2)y.))答案：eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x′＝\f(1,4)x，,y′＝\f(1,2)y))4．在同一平面直角坐標(biāo)系中，將曲線y＝eq\f(1,3)cos2x按伸縮變換eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x′＝2x，,y′＝3y))后變換為________．解析：由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x′＝2x，,y′＝3y))得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝\f(1,2)x′，,y＝\f(1,3)y′.))代入曲線y＝eq\f(1,3)cos2x，得y′＝cosx′，即y＝cosx.答案：y＝cosx授課提示：對應(yīng)學(xué)生用書第2頁探究一運(yùn)用坐標(biāo)法解決平面幾何問題[例1]已知?ABCD，求證：|AC|2＋|BD|2＝2(|AB|2＋|AD|2)．[證明]方法一解析法以A為坐標(biāo)原點(diǎn)O，AB所在的直線為x軸，建立平面直角坐標(biāo)系xOy，則A(0,0)，設(shè)B(a,0)，C(b，c)，則AC的中點(diǎn)E(eq\f(b,2)，eq\f(c,2))，由對稱性知D(b－a，c)，所以|AB|2＝a2，|AD|2＝(b－a)2＋c2，|AC|2＝b2＋c2，|BD|2＝(b－2a)2＋c2|AC|2＋|BD|2＝4a2＋2b2＋2c2＝2(2a2＋b2＋c2－2ab)，|AB|2＋|AD|2＝2a2＋b2＋c2－2ab所以|AC|2＋|BD|2＝2(|AB|2＋|AD|2)．方法二向量法在?ABCD中，eq\o(AC,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AD,\s\up6(→))，兩邊平方得eq\o(AC2,\s\up6(→))＝|eq\o(AC,\s\up6(→))|2＝eq\o(AB2,\s\up6(→))＋eq\o(AD2,\s\up6(→))＋2eq\o(AB,\s\up6(→))·eq\o(AD,\s\up6(→))，同理得eq\o(BD2,\s\up6(→))＝|eq\o(BD,\s\up6(→))|2＝eq\o(BA2,\s\up6(→))＋eq\o(BC2,\s\up6(→))＋2eq\o(BA,\s\up6(→))·eq\o(BC,\s\up6(→))，以上兩式相加，得|eq\o(AC,\s\up6(→))|2＋|eq\o(BD,\s\up6(→))|2＝2(|eq\o(AB,\s\up6(→))|2＋|eq\o(AD,\s\up6(→))|2)＋2eq\o(BC,\s\up6(→))·(eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BA,\s\up6(→)))＝2(|eq\o(AB,\s\up6(→))|2＋|eq\o(AD,\s\up6(→))|2)，即|AC|2＋|BD|2＝2(|AB|2＋|AD|2)．建立平面直角坐標(biāo)系的技巧(1)如果平面幾何圖形有對稱中心，可以選對稱中心為坐標(biāo)原點(diǎn)．(2)如果平面幾何圖形有對稱軸，可以選擇對稱軸為坐標(biāo)軸．(3)盡量使平面幾何圖形上的特殊點(diǎn)在坐標(biāo)軸上．1．已知正三角形ABC的邊長為a，在平面上求一點(diǎn)P，使|PA|2＋|PB|2＋|PC|2最小，并求出此最小值．解析：以BC所在直線為x軸，BC的垂直平分線為y軸，建立平面直角坐標(biāo)系，如圖，則Aeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(\r(3),2)a))，Beq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(a,2)，0))，Ceq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a,2)，0)).設(shè)P(x，y)，則|PA|2＋|PB|2＋|PC|2＝x2＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(y－\f(\r(3),2)a))2＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(a,2)))2＋y2＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(a,2)))2＋y2＝3x2＋3y2－eq\r(3)ay＋eq\f(5a2,4)＝3x2＋3eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(y－\f(\r(3),6)a))2＋a2≥a2，當(dāng)且僅當(dāng)x＝0，y＝eq\f(\r(3),6)a時(shí)，等號(hào)成立．∴所求的最小值為a2，此時(shí)P點(diǎn)的坐標(biāo)為Peq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(\r(3),6)a))，即為正三角形ABC的中心．探究二用平面直角坐標(biāo)系解決實(shí)際問題[例2]已知B村莊位于A村莊的正西方向1km處，原計(jì)劃在經(jīng)過B村莊且沿著北偏東60°的方向上埋設(shè)一條地下管線l，但在A村莊的西北方向400m處，發(fā)現(xiàn)一古代文物遺址W.根據(jù)初步勘察的結(jié)果，文物管理部門將遺址W周圍100m范圍劃為禁區(qū)．試問，埋設(shè)地下管線l的計(jì)劃需要修改嗎？[解析]以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，正東方向和正北方向分別為x軸、y軸，建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系，則A(0,0)，B(－1000,0)．由W位于A的西北方向及|AW|＝400，得W(－200eq\r(2)，200eq\r(2))．由直線l過點(diǎn)B且傾斜角為90°－60°＝30°，得直線l的方程是x－eq\r(3)y＋1000＝0.于是，點(diǎn)W到直線l的距離為d＝eq\f(|－200\r(2)－200\r(6)＋1000|,\r(1＋\r(3)2))＝eq\f(1000－200\r(2)－200\r(6),2)＝500－100(eq\r(2)＋eq\r(6))≈114>100，所以埋設(shè)地下管線l的計(jì)劃不需要修改．合理建立坐標(biāo)系的作用合理建立坐標(biāo)系是解決此類問題的關(guān)鍵，如果坐標(biāo)系建立的合理，可以簡化我們的計(jì)算，并且使問題的結(jié)論清晰明了、具體形象，反之，將會(huì)帶來計(jì)算的煩瑣，結(jié)果也不明確．2.如圖所示，某村莊P處有一堆肥料，今要把此堆肥料沿道路PA或PB送到呈矩形的一塊田地ABCD中去，已知PA＝100m，PB＝150m，BC＝60m．∠APB＝60°，能否在田中確定一條界線，使位于界線一側(cè)的點(diǎn)沿道路PA送肥料較近，而另一側(cè)的點(diǎn)沿PB送肥料較近？如果能，請說明這條界線是什么曲線，并求出它的方程．解析：田地ABCD中的點(diǎn)可分為三類：第一類沿PA送肥料較近，第二類沿PB送肥料較近，第三類沿PA或PB送肥料一樣遠(yuǎn)近，由題意知，界線是第三類點(diǎn)的軌跡．設(shè)M是界線上的任一點(diǎn)，則|PA|＋|MA|＝|PB|＋|MB|，即|MA|－|MB|＝|PB|－|PA|＝50(定值)．故所求界線是以A、B為焦點(diǎn)的雙曲線的一支，若以直線AB為x軸，線段AB的中點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立直角坐標(biāo)系，則所求雙曲線方程為eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1，其中a＝25.又2c＝|AB|＝eq\r(1002＋1502－2×100×150cos60°)＝50eq\r(7)，即c＝25eq\r(7)，b2＝c2－a2＝3750.因此，雙曲線方程為eq\f(x2,625)－eq\f(y2,3750)＝1(25≤x≤25eq\r(7)，0≤y≤60)，此方程為所求界線的方程．探究三平面直角坐標(biāo)系中的伸縮變換[例3]在同一平面直角坐標(biāo)系中，將直線x－2y＝2變成直線2x′－y′＝4，求滿足圖象變換的伸縮變換．[解析]設(shè)滿足條件的伸縮變換為eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x′＝λxλ>0，,y′＝μyμ>0，))將其代入第二個(gè)方程，得2λx－μy＝4，與x－2y＝2比較，將其變成2x－4y＝4，比較系數(shù)得λ＝1，μ＝4.所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x′＝x，,y′＝4y.))直線x－2y＝2圖象上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)不變，縱坐標(biāo)擴(kuò)大到原來的4倍即可得到直線2x′－y′＝4.坐標(biāo)伸縮變換需注意的事項(xiàng)坐標(biāo)伸縮變換φ：eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x′＝λx，λ>0，,y′＝μy，μ>0，))注意變換中的系數(shù)均為正數(shù)．在伸縮變換下，平面直角坐標(biāo)系保持不變，即在同一坐標(biāo)系下只對點(diǎn)的坐標(biāo)進(jìn)行伸縮變換．利用坐標(biāo)伸縮變換φ可以求變換前和變換后的曲線方程．已知變換前后曲線方程也可求伸縮變換φ.3．求滿足下列圖形變換的伸縮變換：由曲線x2＋y2＝1變成曲線eq\f(x′2,9)＋eq\f(y′2,4)＝1.解析：設(shè)變換為eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x′＝λx，λ>0，,y′＝μy，μ>0，))代入方程eq\f(x′2,9)＋eq\f(y′2,4)＝1，得eq\f(λ2x2,9)＋eq\f(μ2y2,4)＝1.與x2＋y2＝1比較，將其變形為eq\f(λ2,9)x2＋eq\f(μ2,4)y2＝1，比較系數(shù)得λ＝3，μ＝2.∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x′＝3x，,y′＝2y，))即將圓x2＋y2＝1上所有點(diǎn)橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼?倍，縱坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼?倍，可得橢圓eq\f(x′2,9)＋eq\f(y′2,4)＝1.平面直角坐標(biāo)系下的軌跡問題[典例](本題滿分6分)如圖所示，圓O1與圓O2的半徑都是1，|O1O2|＝4，過動(dòng)點(diǎn)P分別作圓O1、圓O2的切線PM，PN(M，N分別為切點(diǎn))，使得|PM|＝eq\r(2)|PN|，試建立適當(dāng)?shù)钠矫嬷苯亲鴺?biāo)系，并求動(dòng)點(diǎn)P的軌跡方程．[解析]以O(shè)1O2的中點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，O1O2所在的直線為x軸，建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系，1分則O1(－2,0)，O2(2,0)，設(shè)P(x，y).2分由已知|PM|＝eq\r(2)|PN|，得|PM|2＝2|PN|2.因?yàn)閮蓤A的半徑均為1，所以|PO1|2－12＝2(|PO2|2－12)．則(x＋2)2＋y2－1＝2[(x－2)2＋y2－1]，即(x－6)2＋y2＝33，5分所以所求軌跡方程為(x－6)2＋y2＝33(或x2＋y2－12x＋3＝0).6分[規(guī)律探究](1)求軌跡方程的一般步驟：(2)選擇適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系，建系不同，求得的軌跡方程也不同，坐標(biāo)系的選取應(yīng)以求解過程的計(jì)算量最小，求出的軌跡方程最簡單為目標(biāo)，在求解過程中不僅要從約束條件中的等量關(guān)系求出軌跡方程，