福建省寧德市2023-2024學年高一上學期1月期末質量檢測數(shù)學試題（解析版）

寧德市2023-2024學年度第一學期期末高一質量檢測數(shù)學試題本試卷共22題.考試時間120分鐘，滿分150分.注意事項：1.答題前考生務必在試題卷、答題卡規(guī)定的地方填寫自己的準考證號、姓名，考生要認真核對答題卡上粘貼的條形碼的“準考證號，姓名”與考生本人準考證號、姓名是否一致.2.選擇題每小題選出答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應的題目的答案標號涂黑，如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標號；填空題和解答題用0.5毫米黑色簽字筆在答題卡上書寫作答，在試題卷上作答，答案無效.3.考試結束，考生必須將試題卷和答題卡一并交回.一、單項選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，有且只有一個是符合題目要求的.1.（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】直接用兩角差的正弦公式化簡求值.【詳解】原式.故選：D2.已知命題，，則命題的否定是（）A.， B.，C.， D.，【答案】C【解析】【分析】由全稱量詞命題的否定為存在量詞命題求解.【詳解】已知命題，，其否定為存在量詞命題：，.故選：C.3.已知扇形的面積為6，圓心角為3rad，則此扇形的周長為（）A.2cm B.6cm C.10cm D.12cm【答案】C【解析】【分析】根據(jù)扇形的面積公式和弧長公式求值.【詳解】設扇形半徑為，弧長為，由題意：，解得：.所以扇形的周長為：.故選：C4.設，，，則，，的大小關系正確的是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】利用指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)性質，還有正弦函數(shù)的性質比較大小.【詳解】，，，所以a，b，c三者的大小關系為.故選：A5.已知函數(shù)的圖象是一條連續(xù)不斷的曲線，且有如下對應值表：則下列結論正確的是（）1234561082A.在內恰有3個零點 B.在內至少有3個零點C.在內最多有3個零點 D.在內不可能有4個零點【答案】B【解析】【分析】根據(jù)零點存在定理，判斷函數(shù)零點個數(shù)即可．【詳解】依題意，，根據(jù)根的存在性定理可知，在區(qū)間和及內至少含有一個零點，故函數(shù)在區(qū)間上的零點至少有3個，故選：B．6.已知且，函數(shù)與的圖象是（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】根據(jù)函數(shù)的定義域和單調性進行排除即可.【詳解】對函數(shù)得，故函數(shù)的圖象應該在軸的左側，排除BC選項；對D：由的圖象看，函數(shù)單調遞減，所以，但從的圖象看：，所以有矛盾，D選項錯誤；對A：當時，與的圖象都吻合，故A正確.故選：A7.是函數(shù)在上單調遞增的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】C【解析】【分析】由復合函數(shù)單調性結合充分必要條件的判斷即可得到答案.【詳解】令，該函數(shù)在區(qū)間上恒大于0且單調遞增，則當時，單調遞減，可得函數(shù)在上單調遞減；則當時，單調遞增，可得函數(shù)在上單調遞增；故當是函數(shù)在上單調遞增的充要條件.故選：C.8.函數(shù)和的定義域均為，且為偶函數(shù)，為奇函數(shù)，，均有，則（）A.335 B.345 C.356 D.357【答案】B【解析】【分析】根據(jù)題意，求得的圖象關于對稱，的圖象關于對稱，結合，分別求得和的值，即可求解.【詳解】由函數(shù)為偶函數(shù)，可得，所以，所以函數(shù)的圖象關于對稱，又由為奇函數(shù)，可得，即，所以函數(shù)圖象關于對稱，由，均有，，所以，因為的圖象關于對稱，可得，又因為圖象關于對稱，，可得，所以，因為，聯(lián)立方程組，可得，所以.故選：B.二、多項選擇題：本大題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的四個選項中，有多項是符合題目要求，全部選對得5分，部分選對得2分，有選錯得0分.9.已知，則下列選項正確的是（）A. B.C. D.-【答案】AC【解析】【分析】由基本初等函數(shù)的單調性可逐項判斷.【詳解】因為，由函數(shù)為R上的增函數(shù)，可得，A正確；由函數(shù)為上的減函數(shù)，可得，B錯誤；由函數(shù)為上的增函數(shù)，可得，C正確；由函數(shù)為R上的減函數(shù)，可得，D錯誤.故選：AC.10.下列函數(shù)中，在上有零點且單調遞增的函數(shù)有（）A. B.C D.【答案】BD【解析】【分析】由零點定義和基本初等函數(shù)單調性逐項判斷.【詳解】令，得，不合題意，A錯誤；令，得，且，即函數(shù)在和上單調遞增，則在上單調遞增，B正確；對于在上為減函數(shù)，不合題意，C錯誤；令，得，且由增函數(shù)+增函數(shù)為增函數(shù)，所以在上有零點且單調遞增，D正確.故選：BD.11.若將函數(shù)的圖象先向右平移個單位長度，再將所得的圖象上所有點的橫坐標縮短為原來的（縱坐標不變），得到函數(shù)的圖象，則（）A.的最小正周期為B.的定義域為C.圖象的一個單調區(qū)間為D.圖象的一條對稱軸方程為【答案】ABD【解析】【分析】依題意得，，再結合選項,依次判斷即可.【詳解】解：依題意得，，的最小正周期為，故A項正確；由，得，得的定義域為，故B項正確；在上單調遞減，在上單調遞增，故C項錯誤；由，當時，，則圖象的一條對稱軸方程為，故D項正確.故選：ABD12.已知函數(shù)，若存在四個實數(shù)，，，，使得，則（）A.的范圍為 B.的取值范圍為C.的取值范圍為 D.的取值范圍為【答案】ACD【解析】【分析】根據(jù)題意作出函數(shù)圖象，確定，，，，借助和的單調性求值域的取值范圍.【詳解】函數(shù)的圖象如圖所示：因為函數(shù)與交于4個交點，則，選項A正確；因為，則，由于，則，所以，則，且，，令，得，或，所以，又，則，所以，且，所以，則，選項B錯誤；，由，得，，由函數(shù)在為增函數(shù)，可知，則，所以，選項C正確；，設，則，，且為增函數(shù)，所以，即，選項D正確.故選：ACD【點睛】思路點睛：先數(shù)形結合，分別確定四個實數(shù)各自的取值范圍，再由已知找到，；在判斷范圍時分別用到了兩個函數(shù)和的單調性求值域.三、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分，把答案填在答題卡的相應位置13.函數(shù)（且）的圖象經(jīng)過的定點坐標為_________.【答案】【解析】【分析】由指數(shù)型函數(shù)的定點問題，令，即可得定點坐標．【詳解】由函數(shù)（且），令，得，所以，所以函數(shù)（且）的圖象經(jīng)過的定點坐標為.故答案為：.14.，恒成立，則實數(shù)的取值范圍是_________.【答案】【解析】【分析】利用基本不等式求出，從而得到，求出答案.【詳解】，，當且僅當，即時，等號成立，故，解得，故實數(shù)的取值范圍是.故答案為：15.，函數(shù)同時滿足：①，②，寫出函數(shù)的一個解析式_________.【答案】（答案不唯一）.【解析】【分析】根據(jù)題意，結合初等函數(shù)的圖象與性質，即可求解.【詳解】因為，函數(shù)同時滿足：①由，此時函數(shù)可以是指數(shù)函數(shù)型或常值函數(shù)；②由，可得函數(shù)的圖象為“凸”型函數(shù)或常值函數(shù)，所以函數(shù)的一個解析式可以為.故答案為：（答案不唯一）.16.關于的方程有且僅有1個實數(shù)根，則實數(shù)的值為_________.【答案】1【解析】【分析】根據(jù)二次函數(shù)、三角函數(shù)的對稱性進行分析，從而確定正確答案.【詳解】關于的方程有且只有1個實數(shù)根，設函數(shù)，，問題轉化：兩個函數(shù)的圖象有且只有1個公共點.且兩個函數(shù)由公共的對稱軸：.當時，函數(shù)有最小值：，且由或.若，則，，如圖，根據(jù)函數(shù)圖象，兩個函數(shù)的公共點不唯一，故不合題意.當時，，有最小值；，有最大值.且（當且僅當時取等號），而.所以兩函數(shù)的圖象只有一個公共點.故答案為：1【點睛】方法點睛：研究二次函數(shù)的最值，主要通過二次函數(shù)的開口方向和對稱軸來進行分析.研究三角函數(shù)的最值，要注意的符號對最值的影響.求解方程的根的個數(shù)問題，可轉化為兩個函數(shù)圖象交點個數(shù)問題來進行研究.四、解答題：本大題共6小題，共70分.解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟.17.已知集合，，.（1）當時，求；（2）若，求實數(shù)的取值范圍.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）將代入，利用交集和補集的定義計算即得；（2）根據(jù)題設得到，因集合含參數(shù)，故要就集合是否為空集進行分類討論，再取其并集即得.【小問1詳解】當時，，于是，故.【小問2詳解】由，可得.當時，，即，此時符合題意；當時，由可得：，解得：.故實數(shù)的取值范圍為：.18.已知.（1）若，求的值；（2）求關于的不等式的解集.【答案】18.19.詳見解析.【解析】【分析】（1）根據(jù)函數(shù)的對稱性求參數(shù)的值；（2）分解因式，對的值進行分類討論即可求解.【小問1詳解】由得函數(shù)對稱軸為：，由.【小問2詳解】由.當時，可得：;當時，可得：；當時，可得：綜上，當時，原不等式的解集為：；當時，原不等式的解集為：當時，原不等式的解集為：19.在單位圓中，已知銳角的終邊與單位圓交于點，將角的終邊按照逆時針方向旋轉交單位圓于點.（1）求的值；（2）求的值.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）由點在單位圓上，先求出的值，再根據(jù)任意角三角函數(shù)的定義得的值，從而解決問題；（2）同（1）求出的值，再由求值.【小問1詳解】已知銳角的終邊與單位圓交于點，所以，所以，則；【小問2詳解】將角的終邊按照逆時針方向旋轉交單位圓于點，可知點位于第二象限，所以，所以則.20.定義域為的奇函數(shù)只能同時滿足下列的兩個條件：①在區(qū)間上單調遞增②③（1）請寫出這兩個條件的序號，并求的解析式；（2）判斷在區(qū)間的單調性，并用定義證明.【答案】（1）①③;;（2）在區(qū)間的單調遞減，證明見解析.【解析】【分析】（1）利用奇偶性與單調性，易判斷選出①③，再利用待定系數(shù)法求出參數(shù)即可;（2）利用單調性的定義證明即可.【小問1詳解】若選①②，因為在是奇函數(shù)，所以，又，則不滿足在區(qū)間上單調遞增，故舍去；若選②③，因為在是奇函數(shù)，所以，而，不滿足，故舍去；故只能選①③，在區(qū)間上單調遞增，，且易驗證符合題意.結合題意：，解得，所以.經(jīng)驗證當時，滿足為奇函數(shù).故.【小問2詳解】結合（1）問可知.在區(qū)間的單調遞減，證明如下：任取，且，，因為，所以，,因為，所以，即，所以，即，所以在區(qū)間的單調遞減.21.如圖為某市擬建的一塊運動場地的平面圖，其中有一條運動賽道由三部分構成：賽道的前一部分為曲線段，該曲線段為函數(shù)在的圖象，且圖象的最高點為）；賽道的中間部分為長度是的水平跑道；賽道的后一部分是以為圓心的一段圓弧.（1）求，和的值；（2）若要在圓弧賽道所對應的扇形區(qū)域內建一個矩形草坪，如圖所示，記，求矩形草坪面積的最大值及此時的值.【答案】（1），,；（2）當時，.【解析】【分析】（1）根據(jù)三角形函數(shù)的圖像性質求值；（2）由題意，表示出，，，從而得到矩形草坪面積的表達式，由三角恒等變形求最值.【小問1詳解】由題意可得，則，故，將點代入，得，所以，又，所以，從而可得曲線段的解析式為，令，可得，所以，所以，則，.【小問2詳解】由(1)，可知，又易知當矩形草坪的面積最大時，點在弧上，故，由,則，，，所以矩形草坪的面積為.又，所以,故當，即時，，矩形草坪面積取得最大值．22.固定項鏈的兩端，在重力的作用下項鏈所形成的曲線是懸鏈線.1691年，萊布尼茨等得出“懸鏈線”方程，其中為參數(shù).當時，就是雙曲余弦函數(shù)，類似地我們可以定義雙曲正弦函數(shù).它們與正、余弦函數(shù)有許多類似的性質.（1）類比正弦函數(shù)的二倍角公式，請寫出雙曲正弦函數(shù)的一個正確的結論:_____________.（只寫出即可，不要求證明）；（2），不等式恒成立，求實數(shù)的取值范圍；（3）若，試比較與的大小關系，并證明你的結論.【答案】（1）；（2）；（3）.【解析】【分析】（1）利用雙曲正、余弦函數(shù)的定義，結合指數(shù)運算即可得解.（2）根據(jù)給定條件，