江蘇省七年級(jí)開學(xué)分班考專項(xiàng)復(fù)習(xí)06競(jìng)賽知識(shí)（原卷版）

江蘇省七年級(jí)開學(xué)分班考專項(xiàng)復(fù)習(xí)06競(jìng)賽知識(shí)（4種題型）題型一：整數(shù)的綜合運(yùn)用一、單選題1．（2021·全國·競(jìng)賽）從正整數(shù)里取出k個(gè)不同的數(shù)，使得這k個(gè)數(shù)中任意兩個(gè)數(shù)之差的絕對(duì)值是質(zhì)數(shù)，則k的最大值是（

）．A．3 B．4 C．5 D．6二、填空題2．（2021·全國·競(jìng)賽）下列豎式是1995減去一個(gè)三位數(shù)其差仍為一個(gè)三位數(shù)的算式，每個(gè)“○”內(nèi)蓋住一個(gè)數(shù)字．設(shè)被“○”蓋住的六個(gè)數(shù)字之和為a，六個(gè)數(shù)字之積為b，則的最小值是___________．3．（2021·全國·競(jìng)賽）一個(gè)十位數(shù)，其數(shù)碼只能是2或3，且沒有2個(gè)3是相鄰的，則這樣的十位數(shù)共有______個(gè)．4．（2021·全國·競(jìng)賽）一本書共有61頁，順次編號(hào)為1，2，…，61，某人將這些數(shù)相加時(shí)，有兩個(gè)兩位數(shù)的頁碼都錯(cuò)把個(gè)位數(shù)和十位數(shù)弄反了（形如的兩位數(shù)被當(dāng)成了兩位數(shù)），結(jié)果得到總和是2008，那么書上這兩個(gè)兩位數(shù)頁碼之和的最大值是_________．5．（2021·全國·競(jìng)賽）把正整數(shù)1，2，3，…，10分成兩組，其中A組：；B組：．現(xiàn)從A、B兩組中各取出一個(gè)數(shù)，把取出的數(shù)相乘，則所有不同的兩個(gè)數(shù)乘積的和的最大值為_________．6．（2021·全國·競(jìng)賽）將n個(gè)棋子放于10個(gè)盒子內(nèi)，可以找到一種放法，使每個(gè)盒子內(nèi)都有棋子，且這10個(gè)盒子內(nèi)的棋子數(shù)都不同．若將（）個(gè)棋子放入11個(gè)盒子內(nèi)，都找不到一種放法，能使每個(gè)盒子內(nèi)都有棋子，并且這11個(gè)盒子內(nèi)的棋子數(shù)都不相同，則n的最大值等于_______，最小值等于_________．三、解答題7．（2021·全國·競(jìng)賽）對(duì)某個(gè)正整數(shù)n進(jìn)行一次操作：如果為偶數(shù)，則將除以2，得到；若為奇數(shù)，則加上1再除以2，求證：對(duì)任意正整數(shù)，經(jīng)過有限次操作后必變?yōu)?8．（2021·全國·競(jìng)賽）在黑板上寫上三個(gè)整數(shù)，然后將其中一個(gè)擦去，換上其他兩個(gè)數(shù)之和與1的差．將這個(gè)過程重復(fù)若干次后得到．問一開始黑板上寫出的三個(gè)數(shù)是否可能是或？9．（2021·全國·競(jìng)賽）在格子紙的每一個(gè)方格中放上一個(gè)正整數(shù)，我們每次可進(jìn)行如下的操作：在格子紙上任取一個(gè)或的子棋盤，并將這個(gè)子棋盤內(nèi)每個(gè)數(shù)都加上1，問是否能經(jīng)過有限次這樣的操作，使得這個(gè)格子紙上的64個(gè)方格中的數(shù)均為10的倍數(shù)？10．（2021·全國·競(jìng)賽）黑板上寫著從1到1988的正整數(shù)，對(duì)這些數(shù)交替進(jìn)行操作和操作，即先后，再，再，并這樣繼續(xù)下去．操作為將黑板上寫的每一個(gè)數(shù)都減去同一個(gè)正整數(shù)（在不同次的操作中，減去的數(shù)可以不同）；操作為擦去某兩個(gè)數(shù)，然后寫上該兩數(shù)的和，操作過程一直進(jìn)行到某次之后，黑板上僅剩下一個(gè)數(shù)時(shí)為止．已知該數(shù)非負(fù)，求這個(gè)數(shù)．11．（2021·全國·競(jìng)賽）有一堆火柴共有1千萬根，甲、乙兩人進(jìn)行如下游戲：甲先取并且兩人輪流取火柴，在每一步中游戲者可從堆中取走根火柴，其中為質(zhì)數(shù)，．誰取到最后根火柴，誰就獲勝．問甲、乙兩人誰有必勝策略？怎樣獲勝？12．（2021·全國·競(jìng)賽）桌上有3堆火柴，根數(shù)分別是100，200，300，甲、乙兩人進(jìn)行游戲．甲先開始并輪流進(jìn)行如下操作：每次取走一堆火柴，再把余下的兩堆火柴中的一堆分成非空的兩堆，輪到誰不能進(jìn)行操作，就算誰輸．問在兩人都能確操作的前提下，誰有必勝策略？說明理由．13．（2021·全國·競(jìng)賽）甲、乙兩人進(jìn)行數(shù)學(xué)游戲，先寫出數(shù)0，1，2，…，1024．甲先從中勾掉512個(gè)數(shù)，然后乙從余下的數(shù)中勾去256個(gè)數(shù)，然后甲再勾掉128個(gè)．如此繼續(xù)下去，在第10步乙勾掉一個(gè)數(shù)后還剩下兩個(gè)數(shù)，此時(shí)乙應(yīng)付給甲分?jǐn)?shù)，分?jǐn)?shù)之值等于余下兩個(gè)數(shù)之差，試問怎樣勾數(shù)對(duì)甲有利，怎樣勾數(shù)對(duì)乙有利？如果兩人都以最佳的方式執(zhí)步，乙將付給甲多少分？14．（2021·全國·競(jìng)賽）2006個(gè)都不等于119的正整數(shù)排列成一行數(shù)，其中任意連續(xù)若干項(xiàng)的和都不等于119，求的最小值．15．（2021·全國·競(jìng)賽）某學(xué)生在黑板上寫出了17個(gè)自然數(shù)，每個(gè)自然數(shù)的個(gè)位數(shù)碼只能是這5個(gè)數(shù)字中的一個(gè)，求證：從這17個(gè)數(shù)中可以選出5個(gè)數(shù)，它們的和能被5整除．16．（2021·全國·競(jìng)賽）從1，2，…，205共205個(gè)正整數(shù)中，最多能取出多少個(gè)數(shù)，使得對(duì)于取出來的數(shù)中的任意三個(gè)數(shù)a，b，c（）都有．17．（2021·全國·競(jìng)賽）如果兩個(gè)整數(shù)x，y的和、差、積、商的和等于100，那么這樣的整數(shù)有幾對(duì)？并求x與y的和的最小值，及x與y的積的最大值．18．（2021·全國·競(jìng)賽）設(shè)a，b，c，，，，是七個(gè)兩兩不同的質(zhì)數(shù)，且a，b，c中兩數(shù)之和是800．設(shè)d是這七個(gè)實(shí)數(shù)中最大數(shù)與最小數(shù)的差，求d的最大可能值．19．（2021·全國·九年級(jí)競(jìng)賽）如圖，在方格內(nèi)已填有16個(gè)數(shù)字，可以對(duì)問題格中數(shù)字進(jìn)行如下的操作：將一行或一列或一條對(duì)角線上的4個(gè)數(shù)同時(shí)加上或減去同一個(gè)正整數(shù)．問能否經(jīng)過有限次操作使16個(gè)數(shù)都相等？187620103245568920．（2021·全國·競(jìng)賽）已知三個(gè)正整數(shù)倒數(shù)之和等于，求這三個(gè)數(shù)．21．（2021·全國·競(jìng)賽）從1，2，3，…，50這50個(gè)正整數(shù)中任取n個(gè)數(shù)，在這n個(gè)數(shù)中總能找到3個(gè)數(shù)，它們兩兩互質(zhì)．求n的最小值．22．（2021·全國·競(jìng)賽）設(shè)正整數(shù)n有如下性質(zhì)：1，2，…，n中任取99個(gè)不同的數(shù)，這99個(gè)數(shù)中必有兩個(gè)數(shù)的差等于7，求n的最大值．23．（2021·全國·競(jìng)賽）從1，2，3，…，2010這2010個(gè)正整數(shù)中，最多能取出多少個(gè)數(shù)，使得對(duì)于任意取出的一個(gè)數(shù)x，都有不在取出的數(shù)中？24．（2021·全國·競(jìng)賽）已知n個(gè)（）正整數(shù)，把它們從小到大排列為．若這n個(gè)正整數(shù)的和等于這n個(gè)正整數(shù)的積，求的最大值．25．（2021·全國·競(jìng)賽）（1）證明：在任意連續(xù)13個(gè)正整數(shù)中，必存在一個(gè)數(shù)，它的各位數(shù)字之和被7整除；（2）在任意連續(xù)12個(gè)正整數(shù)中，是否一定存在一個(gè)數(shù)，它的各位數(shù)字之和被7整除？如果一定存在，請(qǐng)給出證明；如果不一定存在，請(qǐng)舉出實(shí)例說明．題型二：十進(jìn)制整數(shù)及表示法一、填空題1．軍訓(xùn)基地購買蘋果慰問學(xué)員．已知蘋果總數(shù)用八進(jìn)位制表示為，七進(jìn)位制表示為．那么，蘋果的總數(shù)用十進(jìn)位制表示為________．二、解答題2．把化為十進(jìn)制小數(shù)．3．將十進(jìn)制數(shù)2002化成二進(jìn)制數(shù)．4．有一個(gè)寫成七進(jìn)制的三位數(shù)，如果把各位數(shù)碼按相反順序?qū)懗?，并把它看成是九進(jìn)制的三位數(shù)，且這兩數(shù)相等，求這個(gè)數(shù)．5．在哪種進(jìn)位制中，16324是125的平方？6．N是整數(shù)，它的b進(jìn)制表示是777，求最小的正整數(shù)b，使得N是十進(jìn)制整數(shù)的4次方．7．在哪種進(jìn)位制中，？8．化為二進(jìn)制數(shù)．9．求證：對(duì)于任意進(jìn)位制的數(shù)，10201都是合數(shù)．10．將化為下列進(jìn)位制的數(shù)：（1）二進(jìn)位制的數(shù)；（2）八進(jìn)位制的數(shù)．11．設(shè)在三進(jìn)位制中，數(shù)N的表示是20位數(shù)：12112211122211112222，求N在九進(jìn)位制中表示最左邊的一位數(shù)字．12．設(shè)1987可以在b進(jìn)位制中寫成三位數(shù)，且，試確定出所有可能的x，y，z和b．13．計(jì)算：（1）；（2）；（3）．題型三：整除性一、填空題1．大約1500年前，我國偉大的數(shù)學(xué)家祖沖之，計(jì)算出的值在3.1415926和3.1415927之間，成為世界上第一個(gè)把的值精確到7位小數(shù)的人，現(xiàn)代入利用計(jì)算機(jī)已經(jīng)將的值計(jì)算到了小數(shù)點(diǎn)后515億位以上．這些數(shù)排列既無序又無規(guī)律，但是細(xì)心的同學(xué)發(fā)現(xiàn)：由左起的第一位3是質(zhì)數(shù)，31也是質(zhì)數(shù)，但314不是質(zhì)數(shù)，那么在3141，31415，314159，3141592，31415926，31415927中，質(zhì)數(shù)是______．2．在0，1，2，…，49，50這51個(gè)數(shù)中，能同時(shí)被2，3整除的數(shù)共有______個(gè)．3．已知p，q均為質(zhì)數(shù)，其中有一個(gè)是一位數(shù)，，如果今天是星期一，且天后的那一天不是星期一，那么是星期_________．二、解答題4．已知，a，b為正整數(shù)，求a的最小值．5．任給5個(gè)整數(shù)，證明必能從中選出3個(gè)，使得它們的和被3整除．6．從1，2，3，…，2010中最多能挑出多少數(shù)，使其中的任何兩個(gè)數(shù)之和不被其差整除？7．（1）求出所有的正整數(shù)n，使被7整除．（2）求證：沒有正整數(shù)n能使2被7整除．8．能同時(shí)被6，7，8，9整除的五位數(shù)有多少個(gè)?9．p是質(zhì)數(shù)，設(shè)也是質(zhì)數(shù)，試確定q的值．10．已知p為大于3的質(zhì)數(shù)．證明：p的平方被24除的余數(shù)為1．題型四：素?cái)?shù)、合數(shù)、最大公因數(shù)與最小公倍數(shù)一、單選題1．滿足個(gè)位數(shù)字與百位數(shù)字之和是十位數(shù)字的5倍的三位數(shù)共有（

）A．8個(gè) B．9個(gè) C．18個(gè) D．29個(gè)二、填空題2．已知a是質(zhì)數(shù)，b是奇數(shù)，且，則_________．3．若a，b，c是1998的三個(gè)不同的質(zhì)因數(shù)，且，則______．4．已知都是質(zhì)數(shù)，且，那么滿足上述條件的最小質(zhì)數(shù)______，______．5．立方體的每一個(gè)面都寫著一個(gè)自然數(shù)，并且相對(duì)兩個(gè)面所寫兩個(gè)數(shù)之和相等，10，12，15是相鄰三面上的數(shù)，若10的對(duì)面寫的是質(zhì)數(shù)a，12的對(duì)面寫的是質(zhì)數(shù)b，15的對(duì)面寫的是質(zhì)數(shù)c，則的值等于_________．6．在算式中，A，B，C是三個(gè)互不相等的質(zhì)數(shù)，那么_____．7．已知，其中a，b均為小于1000的質(zhì)數(shù)，x是偶數(shù)，那么x的最大值是_______．8．9個(gè)連續(xù)的正奇數(shù)中，最多有___________個(gè)質(zhì)數(shù)．9．已知，，為素?cái)?shù)，且整除，則__________．10．若素?cái)?shù)，滿足，則______．三、解答題11．若p和q都是質(zhì)數(shù)，并且關(guān)于x的