遼寧省遼陽市燈塔市2024-2025學(xué)年九年級上學(xué)期11月期中考試數(shù)學(xué)試題

2024-2025學(xué)年燈塔市九年級（上）期中數(shù)學(xué)測試（試卷滿分120分，時(shí)間120分鐘）注意事項(xiàng):1.答題前，考生須用0.5mm黑色字跡的簽字筆在本試題卷規(guī)定位置填寫自己的姓名、準(zhǔn)考證號；2.考生須在答題卡上作答，不能在本試題卷上作答，答在本試題卷上無效；3.考試結(jié)束，將答題卡交回，進(jìn)行統(tǒng)一評卷；選擇題（每題3分，共30分）1．下列圖形中，既是軸對稱圖形，又是中心對稱圖形的是（）A． B． C． D．2．要使方程（a﹣5）x2+（b+1）x+c＝0是關(guān)于x的一元二次方程，則（）A．a(chǎn)≠0 B．a(chǎn)≠5 C．a(chǎn)≠1且b≠﹣1 D．a(chǎn)≠5且b≠﹣1且c≠03．下列命題正確的是（）A．對角線互相垂直的四邊形是菱形 B．一組對邊相等，另一組對邊平行的四邊形是平行四邊形 C．對角線相等的四邊形是矩形 D．對角線互相垂直平分且相等的四邊形是正方形4．兩個相似三角形的對應(yīng)邊上的中線比為1：，則它們面積比的為（）A．2：1 B．1：2 C．1： D．：15．已知點(diǎn)A（﹣3，y1），B（0，y2），C（3，y3）都在二次函數(shù)y＝﹣（x+2）2+4的圖象上，則y1，y2，y3的大小關(guān)系是（）A．y3＜y2＜y1 B．y1＝y(tǒng)3＜y2 C．y1＜y2＜y3 D．y1＜y3＜y26．如圖，AC是⊙O的直徑，AB，BC是⊙O的弦，CD是⊙O的切線，C為切點(diǎn)，OD與⊙O交于點(diǎn)E．若點(diǎn)C為的中點(diǎn)，∠D＝32°，則∠ACB的度數(shù)為（）A．56° B．58° C．61° D．68°7．某小組在“用頻率估計(jì)概率”的試驗(yàn)中，統(tǒng)計(jì)了某種結(jié)果出現(xiàn)的頻率，繪制了如圖所示的折線圖，那么符合這一結(jié)果的試驗(yàn)最有可能的是（）A．在“石頭、剪刀、布”的游戲中，高明輝隨機(jī)出的是“剪刀” B．?dāng)S一個質(zhì)地均勻的正六面體骰子，落地時(shí)面朝上的點(diǎn)數(shù)是6 C．一次擲兩枚質(zhì)地均勻的硬幣，出現(xiàn)兩枚硬幣都正面朝上 D．用2、3、4三個數(shù)字隨機(jī)排成一個三位數(shù)，排出的數(shù)是偶數(shù)8．如圖，若△ABC與△A1B1C1是位似圖形，則位似中心的坐標(biāo)為（）A．（1，0） B．（0，0） C．（﹣1，0） D．（0，﹣1）9．如圖，在△ABC中，EF∥CD，DE∥BC，若AB＝27，AD：BD＝2：1，則AF的長是（）A．6 B．9 C．12 D．1810．如圖，在正方形ABCD中，點(diǎn)E在BC上，點(diǎn)F在CD的延長線上．滿足BE＝DF，連接AE、AF，取AE的中點(diǎn)G，連接BG，F(xiàn)G，若BG＝4，則FG＝（）A． B． C． D．填空題（每小題3分，共15分）11．點(diǎn)A（﹣2，m）和點(diǎn)B（n，6）關(guān)于原點(diǎn)對稱，則m+n＝．12．已知關(guān)于x的一元二次方程x2+（m+3）x+m+1＝0的兩個實(shí)數(shù)根為x1，x2，若x12+x22＝4，則m的值為．13．如圖，將等邊△OAB放在平面直角坐標(biāo)系中，A點(diǎn)坐標(biāo)（1，0），將△OAB繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°，則旋轉(zhuǎn)后點(diǎn)B的對應(yīng)點(diǎn)B′的坐標(biāo)為．14．如圖，圓O的直徑AB垂直于弦CD，垂足是E，∠A＝22.5°，OC＝4，CD的長為．15．已知關(guān)于x的二次函數(shù)y＝﹣（x﹣k）2+11，當(dāng)1≤x≤4時(shí)，函數(shù)有最小值2k，則k的值為．三、解答題（本題共8小題，共75分．解答應(yīng)寫出文字說明、演算步驟或推理過程）16．(10分）解方程：（1）x2﹣4x﹣1＝0；（2）（x+3）2＝x+3．17．（8分）．如圖，方格紙中的每個小方格都是邊長為1個單位的正方形，△ABC的頂點(diǎn)均在格點(diǎn)上．以點(diǎn)O為原點(diǎn)建立平面直角坐標(biāo)系．（1）將△ABC沿y軸向下平移4個單位得到△A1B1C1，畫出△A1B1C1；（2）將△ABC繞原點(diǎn)O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到△A2B2C2，畫出△A2B2C2；（3）△A2B2C2可由△A1B1C1繞著點(diǎn)P旋轉(zhuǎn)得到，點(diǎn)P的坐標(biāo)是；線段B1C1掃過的面積是．18．（8分）已知關(guān)于x的一元二次方程x2+（2m+1）x+m2﹣2＝0．（1）若該方程有兩個實(shí)數(shù)根，求m的最小整數(shù)值；（2）若方程的兩個實(shí)數(shù)根為x1，x2，且（x1﹣x2）2+m2＝21，求m的值．19．（8分）某商場經(jīng)銷A玩具，購進(jìn)時(shí)的單價(jià)是60元．按照要求，銷售時(shí)單件利潤率不得超過40%．根據(jù)市場調(diào)查，銷售單價(jià)定為80元時(shí)，每天可以賣出200件，而銷售單價(jià)每降低1元，每天就可多售出20件．求銷售單價(jià)定為多少時(shí)，該商場每天銷售A玩具可以獲利2500元．20．（8分）如圖，在Rt△ABC中，∠BCA＝90°，點(diǎn)O是AC邊上一點(diǎn)，⊙O經(jīng)過點(diǎn)A交AB于點(diǎn)D，交AC于點(diǎn)F，過點(diǎn)D作⊙O的切線，交BC于點(diǎn)E．（1）求證：∠BED＝2∠A；（2）若∠A＝30°，AO＝DE＝4，求AB的長．21．（8分）有一座拋物線形拱橋，正常水位時(shí)，橋下水面寬度為20m，拱頂距水面4m．（1）如圖所示的直角坐標(biāo)系中，求出該拋物線的關(guān)系式．（2）在正常水位的基礎(chǔ)上，當(dāng)水位上升h（m）時(shí)，橋下水面的寬度為d（m），求出將d表示為h的函數(shù)關(guān)系式．（3）設(shè)正常水位時(shí)，橋下的水深為2m，為保證過往船只的順利通過，橋下水面的寬度不得小于18m，求水深超過多少米時(shí)就會影響過往船只在橋下順利航行？22．（12分）（1）【探究發(fā)現(xiàn)】如圖①，在等邊三角形ABC內(nèi)部，有一點(diǎn)P，若∠APB＝150°．求證：AP2+BP2＝CP2．下面是本題的部分解答過程，請補(bǔ)充完整．證明：如圖②，將△APC繞A點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得到△AP1B，連接P1A、P1B、P1P，則△APP1為等邊三角形．完成接下來的證明．（2）【類比延伸】如圖③，在等腰三角形ABC中，∠BAC＝90°，內(nèi)部有一點(diǎn)P，若∠APB＝135°，試判斷線段PA、PB、PC之間的數(shù)量關(guān)系，并證明．23．（13分）如圖，拋物線y＝ax2+bx+3（a≠0）經(jīng)過x軸上A（﹣1，0）、B兩點(diǎn)，拋物線的對稱軸是直線x＝1．（1）求拋物線的函數(shù)表達(dá)式；（2）拋物線與直線y＝﹣x﹣1交于A、E兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C．點(diǎn)P在x軸上且位于點(diǎn)B的左側(cè)，若以P，B，C為頂點(diǎn)的三角形與△ABE相似，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；（3）F是直線BC上一點(diǎn)，D為拋物線上一點(diǎn)，是否存在點(diǎn)F，使得A，E，D，F(xiàn)四點(diǎn)組成的四邊形是矩形？若存在，請求出點(diǎn)F的坐標(biāo)，若不存在，請說明理由．九年級數(shù)學(xué)參考答案一．選擇題（每題3分，共30分）ABDBACBDCA二、填空題（每小題3分，共15分）11.—412.﹣1或﹣3.13.14.15.1或．三、解答題（共8小題，共75分）16（10分）解：（1）x2﹣4x﹣1＝0，x2﹣4x＝1，x2﹣4x+4＝5，（x﹣2）2＝5，，，；（2）（x+3）2＝x+3，（x+3）2﹣（x+3）＝0，（x+3）（x+3﹣1）＝0，（x+3）（x+2）＝0，x+3＝0或x+2＝0，x1＝﹣3，x2＝﹣2．17（8分）解：（1）如圖所示，△A1B1C1即為所求；（2）如圖所示，△A2B2C2即為所求；（3）如圖所示，點(diǎn)P即為所求，P（﹣2，﹣2）；線段B1C1掃過的面積＝＝．18（8分）.解：（1）根據(jù)題意得Δ＝（2m+1）2﹣4（m2﹣2）≥0，解得m≥﹣，所以m的最小整數(shù)值為﹣2；（2）根據(jù)題意得x1+x2＝﹣（2m+1），x1x2＝m2﹣2，∵（x1﹣x2）2+m2＝21，∴（x1+x2）2﹣4x1x2+m2＝21，∴（2m+1）2﹣4（m2﹣2）+m2＝21，整理得m2+4m﹣12＝0，解得m1＝2，m2＝﹣6，∵m≥﹣，∴m的值為2．19（8分）解：設(shè)銷售單價(jià)定為x元，則每件的銷售利潤為（x﹣60）元，每天可以賣出200+20（80﹣x）＝（1800﹣20x）件，根據(jù)題意得：（x﹣60）（1800﹣20x）＝2500，整理得：x2﹣150x+5525＝0，解得：x1＝65，x2＝85，∵銷售時(shí)利潤不超過40%，∴x≤60×（1+40%）＝84，∴x＝85不符合題意，舍去．∴x＝65．答：單價(jià)定為65元時(shí)，該商場每天銷售A玩具可以獲利2500元．20.（8分）（1）證明：連接OD，如圖，∵DE與⊙O相切，∴ED⊥OD∴∠EDO＝90°，∵∠BCA＝90°∴∠BCA+∠EDO＝180°，∵∠BCA+∠EDO+∠DEC+∠DOC＝360°，∴∠DEC+∠DOC＝180°，∵∠DEC+∠BED＝180°，∴∠BED＝∠DOC，∵∠DOC＝2∠A，∴∠BED＝2∠A；（2）解：連接DF，如圖，∵AF為⊙O的直徑，∴∠ADF＝90°，在Rt△ADF中，∵∠A＝30°，∴DF＝AF＝OA＝4，∴AD＝DF＝4，∵∠B＝90°﹣∠A＝60°，∠BED＝2∠A＝60°，∴△BDE為等邊三角形，∴BD＝DE＝4，∴AB＝AD+BD＝4+4．21.（8分）解：（1）設(shè)二次函數(shù)解析式為y＝ax2，代入點(diǎn)（10，﹣4）得﹣4＝100a，解得a＝﹣，因此二次函數(shù)解析式為y＝﹣x2；（2）把點(diǎn)（，﹣4+h）代入函數(shù)解析式y(tǒng)＝﹣x2，得h＝4﹣d2；（3）當(dāng)橋下水面的寬度等于18m時(shí)，拋物線上第四象限點(diǎn)的橫坐標(biāo)為9，把x＝9代入函數(shù)解析式y(tǒng)＝﹣x2中，∴y＝﹣×92＝﹣（米），∴4+2﹣＝．答：當(dāng)水深超過米時(shí)，超過了正常水位，就會影響過往船只在橋下順利航行．22.（12分）（1）證明：如圖②，將△APC繞A點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得到△AP1B，連接P1A、P1B、P1P，如圖：由旋轉(zhuǎn)性質(zhì)可得AP＝AP1，∠PAP1＝60°，PC＝BP1，∴△APP1為等邊三角形，∴∠APP1＝60°，PA＝PP1，∵∠APB＝150°，∴∠BPP1＝∠APB﹣∠APP1＝150°﹣60°＝90°，∴+BP2＝，∴PA2+PB2＝PC2；（2）2PA2+PB2＝PC2，證明如下：如圖③，將△APC繞A點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到△AP1B，連接P1A、P1B、P1P，由旋轉(zhuǎn)性質(zhì)可得：PA＝P1A，PC＝P1B，∠PAP1＝90°，∴△APP1為等腰三角形，∴∠APP1＝45°，PP1＝PA，∵∠APB＝135°，∴∠BPP1＝∠APB﹣∠APP1＝135°﹣45°＝90°，∴+PB2＝，∴（PA）2+PB2＝PC2，∴2PA2+PB2＝PC2．23.（13分）解：（1）∵拋物線的對稱軸是直線x＝1，且過點(diǎn)A（﹣1，0），∴點(diǎn)B的坐標(biāo)為B（3，0），將A（﹣1，0）、B（3，0）代入y＝ax2+bx+3得：，解得：，∴拋物線的函數(shù)表達(dá)式為y＝﹣x2+2x+3；（2）如圖：由，解得：，，∴點(diǎn)E的坐標(biāo)為（4，﹣5），∴AE＝＝5，在y＝﹣x2+2x+3中，令x＝0得y＝3，∴點(diǎn)C的坐標(biāo)為（0，3），∵點(diǎn)B的坐標(biāo)為（3，0），∴∠CBO＝45°，BC＝3，∵直線AE的函數(shù)表達(dá)式為y＝﹣x﹣1，∴∠BAE＝45°＝∠CBO，設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（m，0），則PB＝3﹣m，∵以P，B，C為頂點(diǎn)的三角形與△ABE相似，∴＝或＝，∴＝或＝，解得：m＝或m＝﹣，∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為（，0）或（﹣，0）；（3）不存在這樣的點(diǎn)F，使A，E，D，F(xiàn)四點(diǎn)組成的四邊形是矩形，理由如下：若A，E，D，F(xiàn)四點(diǎn)組成的四邊形是矩形，存在兩種情況，①假設(shè)AE為矩形的一邊，則D，F(xiàn)必在直線AE的同側(cè)，過A，E作直線AE的垂線交直線BC于F1，F(xiàn)2，交拋物線于D1、D2，如圖：由（2）可得，直線