專題10-2不等式選講題型歸類（講練）-2023年高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)

專題102不等式選講題型歸類目錄TOC\o"11"\h\u講高考 1題型全歸納 6【題型一】絕對值不等式恒成立求參 6【題型二】絕對值三角不等式應(yīng)用 9【題型三】絕對值不等式給解集求參數(shù) 11【題型四】絕對值不等式與均值不等式 13【題型五】柯西不等式型證明 15【題型六】柯西不等式求最值與參數(shù) 18【題型七】三元不等式證明 20【題型八】利用三元不等式求最值 23【題型九】分析法證明不等式 25【題型十】綜合法證明不等式 27專題訓(xùn)練 30講高考1．（2022年高考全國乙卷數(shù)學(xué)（文）真題）已知a，b，c都是正數(shù)，且，證明：(1)；(2)；【答案】(1)證明見解析(2)證明見解析【分析】（1）利用三元均值不等式即可證明；（2）利用基本不等式及不等式的性質(zhì)證明即可．【詳解】（1）證明：因為，，，則，，，所以，即，所以，當(dāng)且僅當(dāng)，即時取等號．（2）證明：因為，，，所以，，，所以，，當(dāng)且僅當(dāng)時取等號．2．（2022年高考全國甲卷數(shù)學(xué)（理）真題）已知a，b，c均為正數(shù)，且，證明：(1)；(2)若，則．【答案】(1)見解析(2)見解析【分析】（1）方法一：根據(jù)，利用柯西不等式即可得證；（2）由（1）結(jié)合已知可得，即可得到，再根據(jù)權(quán)方和不等式即可得證.【詳解】（1）[方法一]：【最優(yōu)解】柯西不等式由柯西不等式有，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時，取等號，所以.[方法二]：基本不等式由，，，，當(dāng)且僅當(dāng)時，取等號，所以.（2）證明：因為，，，，由（1）得，即，所以，由權(quán)方和不等式知，當(dāng)且僅當(dāng)，即，時取等號，所以.【點(diǎn)睛】（1）方法一：利用柯西不等式證明，簡潔高效，是該題的最優(yōu)解；方法二：對于柯西不等式不作為必須掌握內(nèi)容的地區(qū)同學(xué)，采用基本不等式累加，也是不錯的方法．3．已知函數(shù).（1）求的值；（2）求，求實(shí)數(shù)的取值范圍.【答案】（1）；（2）.【分析】（1）根據(jù)分段函數(shù)的解析式，代入計算即可；（2）先判斷的取值范圍，再代入分段函數(shù)解析式，得到的具體不等式寫法，解不等式即可.【詳解】解：（1）因為，所以，因為，所以.（2）因為，則，因為，所以，即，解得.4．（2021年全國高考甲卷數(shù)學(xué)（文）試題）已知函數(shù)．（1）畫出和的圖像；（2）若，求a的取值范圍．【答案】（1）圖像見解析；（2）【分析】（1）分段去絕對值即可畫出圖像；（2）根據(jù)函數(shù)圖像數(shù)形結(jié)和可得需將向左平移可滿足同角，求得過時的值可求.【詳解】（1）可得，畫出圖像如下：，畫出函數(shù)圖像如下：（2），如圖，在同一個坐標(biāo)系里畫出圖像，是平移了個單位得到，則要使，需將向左平移，即，當(dāng)過時，，解得或（舍去），則數(shù)形結(jié)合可得需至少將向左平移個單位，.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：本題考查絕對值不等式的恒成立問題，解題的關(guān)鍵是根據(jù)函數(shù)圖像數(shù)形結(jié)合求解.5．（2021年全國高考乙卷數(shù)學(xué)（理）試題）已知函數(shù)．（1）當(dāng)時，求不等式的解集;（2）若，求a的取值范圍．【答案】（1）.（2）.【分析】（1）利用絕對值的幾何意義求得不等式的解集.（2）利用絕對值不等式化簡，由此求得的取值范圍.【詳解】（1）[方法一]：絕對值的幾何意義法當(dāng)時，，表示數(shù)軸上的點(diǎn)到和的距離之和，則表示數(shù)軸上的點(diǎn)到和的距離之和不小于，當(dāng)或時所對應(yīng)的數(shù)軸上的點(diǎn)到所對應(yīng)的點(diǎn)距離之和等于6，∴數(shù)軸上到所對應(yīng)的點(diǎn)距離之和等于大于等于6得到所對應(yīng)的坐標(biāo)的范圍是或，所以的解集為.[方法二]【最優(yōu)解】：零點(diǎn)分段求解法

當(dāng)時，．當(dāng)時，，解得；當(dāng)時，，無解；當(dāng)時，，解得．綜上，的解集為．（2）[方法一]：絕對值不等式的性質(zhì)法求最小值依題意，即恒成立，，當(dāng)且僅當(dāng)時取等號，,故，所以或，解得.所以的取值范圍是.[方法二]【最優(yōu)解】：絕對值的幾何意義法求最小值由是數(shù)軸上數(shù)x表示的點(diǎn)到數(shù)a表示的點(diǎn)的距離，得，故，下同解法一.[方法三]：分類討論+分段函數(shù)法當(dāng)時，則，此時，無解．當(dāng)時，則，此時，由得，．綜上，a的取值范圍為．[方法四]：函數(shù)圖象法解不等式

由方法一求得后，構(gòu)造兩個函數(shù)和，即和，如圖，兩個函數(shù)的圖像有且僅有一個交點(diǎn)，由圖易知，則．【整體點(diǎn)評】（1）解絕對值不等式的方法有幾何意義法，零點(diǎn)分段法．方法一采用幾何意義方法，適用于絕對值部分的系數(shù)為1的情況，方法二使用零點(diǎn)分段求解法，適用于更廣泛的情況，為最優(yōu)解；（2）方法一，利用絕對值不等式的性質(zhì)求得，利用不等式恒成立的意義得到關(guān)于的不等式，然后利用絕對值的意義轉(zhuǎn)化求解；方法二與方法一不同的是利用絕對值的幾何意義求得的最小值，最有簡潔快速，為最優(yōu)解法方法三利用零點(diǎn)分區(qū)間轉(zhuǎn)化為分段函數(shù)利用函數(shù)單調(diào)性求最小值，要注意函數(shù)中的各絕對值的零點(diǎn)的大小關(guān)系，采用分類討論方法，使用與更廣泛的情況；方法四與方法一的不同在于得到函數(shù)的最小值后，構(gòu)造關(guān)于的函數(shù)，利用數(shù)形結(jié)合思想求解關(guān)于的不等式.題型全歸納【題型一】絕對值不等式恒成立求參【講題型】例題1.已知函數(shù),．（Ⅰ）當(dāng)時,求不等式的解集；（Ⅱ）設(shè),且當(dāng)時，都有,求的取值范圍．【答案】（1）（2）試題解析：（I）當(dāng)時，，故不等式可化為：或或解得：所求解集為：.（II）當(dāng)時，由有：不等式可變形為：故對恒成立，即，解得而，故.的取值范圍是：例題2.已知函數(shù).（Ⅰ）當(dāng)時，求不等式的解集；（Ⅱ）設(shè)函數(shù).當(dāng)時，恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）.試題解析：（Ⅰ）當(dāng)時，.由，解得.所以，不等式的解集為.（Ⅱ）（當(dāng)且僅當(dāng)時取等號）（當(dāng)且僅當(dāng)時取等號）.綜上，當(dāng)時，有最小值.故由題意得，解得，或.所以，實(shí)數(shù)的取值范圍為.【講技巧】【練題型】1.已知函數(shù)．（1）當(dāng)時，解不等式；（2）若對于任意非零實(shí)數(shù)以及任意實(shí)數(shù)，不等式恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍．【答案】（1）.（2）.試題解析：（1）當(dāng)時，所以的解集為.（2）由，知，即，而，所以，即，故實(shí)數(shù)的取值范圍為.2.2.已知函數(shù).（1）求不等式的解集；（2）當(dāng)時，恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.【答案】(1)(2)試題解析：（1）當(dāng)時，，∴，故；當(dāng)時，，∴，故；當(dāng)時，，∴，故；綜上可知：的解集為.（2）由（1）知：，【解法一】如圖所示：作出函數(shù)的圖象，由圖象知，當(dāng)時，，解得：，∴實(shí)數(shù)的取值范圍為.【解法二】當(dāng)時，恒成立，∴，當(dāng)時，恒成立，∴，當(dāng)時，恒成立，∴，綜上，實(shí)數(shù)的取值范圍為.【題型二】絕對值三角不等式應(yīng)用【講題型】例題1.已知函數(shù)．(1)若，求的解集；(2)若恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．【答案】(1)(2)【分析】（1）分，和三種情況求解即可，（2）問題轉(zhuǎn)化為，令，然后利用絕對值三角不等式求出的最小值，使，從而可求出實(shí)數(shù)a的取值范圍.（1）由題知，即．當(dāng)時，．當(dāng)時，，解得，；當(dāng)時，，恒成立，；當(dāng)時，，解得，，的解集為．（2）由，即．令，，當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立，，，∴，解得或，實(shí)數(shù)a的取值范圍為．例題2.．已知函數(shù).(1)求不等式的解集；(2)若關(guān)于的不等式恒成立，求的取值范圍.【答案】(1)(2)【分析】（1）分，，不同范圍討論，分別求解即可得到結(jié)果；（2）根據(jù)題意轉(zhuǎn)化為求，即可得到，求解不等式即可得到結(jié)果.【詳解】（1）由，得，當(dāng)時，由，得；當(dāng)時，由，得；當(dāng)時，由，得，綜上所述，不等式的解集為（2）不等式，即為，而，所以，解得或，所以的取值范圍是【講技巧】絕對值三角不等式||a||b||≤|a±b||a±b|≤|a|+|b【練題型】1.已知函數(shù)．(1)若，求的解集；(2)若關(guān)于的不等式有解，求實(shí)數(shù)的取值范圍．【答案】(1)(2).【分析】（1）將函數(shù)去絕對值，轉(zhuǎn)為分段函數(shù)，即可求解.（2）不等式，即轉(zhuǎn)化為，利用絕對值三角不等式化簡，求得函數(shù)的最小值即可求解.(1)解：當(dāng)時，，當(dāng)時，由，解得，當(dāng)時，由，解得.故的解集為.(2)解：當(dāng)時，恒成立，故，又，即，故，所以的取值范圍為.2.已知．(1)當(dāng)時，求的解集；(2)若的解集包含，求a的取值范圍．【答案】(1)．(2)．【分析】（1）通過討論的范圍解不等式.（2）結(jié)合的解集包含來化簡不等式，進(jìn)而解出不等式，再利用解集包含求出a的取值范圍.【詳解】（1）當(dāng)時，當(dāng)時，不等式為，解得，故；當(dāng)時，不等式為，解得，無解；當(dāng)時，不等式為，解得，故，綜上所述，不等式的解集為．故答案為：.（2）的解集包含，即在上成立，即的解集包含，

即，解得，由已知可得解得，所以的取值范圍為．故答案為：．【題型三】絕對值不等式給解集求參數(shù)【講題型】例題1.已知函數(shù).(1)當(dāng)時，求不等式的解集；(2)若不等式對恒成立，求實(shí)數(shù)a的范圍.【答案】(1)(2)【分析】（1）利用零點(diǎn)分區(qū)間法去絕對值號，即可解得；（2）利用分離參數(shù)法得到對恒成立，即可求解.【詳解】（1）由已知.當(dāng)時，，此時無解；當(dāng)時，，此時取；當(dāng)時，，此時取.綜上可得不等式的解集為.（2）由題意可得對恒成立，即對恒成立，所以當(dāng)時，，故.例題2.已知函數(shù).(1)當(dāng)時，解不等式；(2)若對任意的恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.【答案】(1)(2)【分析】（1）分段討論x的取值范圍，脫掉絕對值符號，解不等式組，求得答案;（2）將化為，將不等式恒成立問題轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最值問題，即可求得答案.（1）當(dāng)時，不等式，即，所以或,即得或,解得或,所以不等式的解集是.（2）因為對任意的恒成立，即對任意的恒成立，即，即，故只要且對任意的恒成立即可.因為，，當(dāng)且僅當(dāng)時，即時等號成立，所以.令，則在上單調(diào)遞減，所以，所以，即實(shí)數(shù)的取值范圍是.【講技巧】解絕對值不等式的方法有幾何意義法，零點(diǎn)分段法．方法一采用幾何意義方法，適用于絕對值部分的系數(shù)為1的情況，方法二使用零點(diǎn)分段求解法，適用于更廣泛的情況，為最優(yōu)解；形如（或）型的不等式主要有兩種解法：（1）分段討論法：利用絕對值號內(nèi)式子對應(yīng)的方程的根，將數(shù)軸分為，，（此處設(shè)）三個部分，在每個部分去掉絕對值號并分別列出對應(yīng)的不等式進(jìn)行求解，然后取各個不等式解集的并集．（2）圖象法：作出函數(shù)和的圖象，結(jié)合圖象求解．【練題型】1.．(1)時，解不等式；(2)若區(qū)間是不等式的解集的子集，求的取值范圍．【答案】(1)(2)【分析】（1）分類討論去掉絕對值符號后解不等式；（2）注意到上可以脫去一個絕對值符號，此后分離參數(shù)轉(zhuǎn)化為恒成立問題來做.（1）當(dāng)時，當(dāng)時，不等式，解得：當(dāng)時，不等式，解得：當(dāng)時，不等式，解得：綜上：不等式的解集為：.（2）由題意得，不等式在區(qū)間上成立等價于：，也等價于在區(qū)間上恒成立當(dāng)時，，解得：當(dāng)時，，解得：當(dāng)時，，解得：綜上：的取值范圍為：2.已知函數(shù).(1)若，求不等式的解集；(2)若，使得不等式成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.【答案】(1)(2)【分析】（1）分，和三種情況討論，去絕對值符號，再解不等式即可；（2）令，，使得不等式成立，只需要即可，分和兩種情況討論，從而可得出答案.【詳解】（1）解：若，，當(dāng)時，恒成立，當(dāng)時，無解，當(dāng)時，，解得，綜上所述不等式的解集為；（2）解：，使得不等式成立，即，使得不等式成立，令，則只要即可，當(dāng)時，，則，所以，解得，當(dāng)時，，則，所以，解得，綜上所述實(shí)數(shù)a的取值范圍為.【題型四】絕對值不等式與均值不等式【講題型】例題1.已知函數(shù).（1）當(dāng)時，解不等式；（2）若函數(shù)的最大值為2，求的最小值.【答案】（1）；（2）最小值為.【分析】（1）時不等式即，兩邊平方并化簡得到，再解一元二次不等式即可；（2）先利用絕對值三角不等式求得的最大值，即得，再利用“1”的妙用拼湊，利用基本不等式求解最小值即可.【詳解】解：（1）當(dāng)時，即，兩邊平方得即，解得故不等式的解集為；（2）函數(shù)所以，即，當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立，即時，最大值為，又因為函數(shù)的最大值為2，，即，，當(dāng)且僅當(dāng)即，取等號，的最小值為.例題2.已知函數(shù).（1）當(dāng)時，求不等式的解集；（2）當(dāng)時，函數(shù)的最小值為，（），求的最小值.【答案】(1)(2)【詳解】試題分析：（1）當(dāng)時，不等式等價于，兩邊平方即可求得解集；（2）對分類討論，去掉絕對值符號得函數(shù)的解析式，可得函數(shù)的最小值為，再結(jié)合基本不等式即可求出的最小值.試題解析：（1）當(dāng)時，不等式為兩邊平方得，解得或∴的解集為（2）當(dāng)時，，可得，∴∴，當(dāng)且僅當(dāng)，即，時取等號.【講技巧】利用基本不等式求最值時，通常有以下思路，需注意取等號條件是否成立.（1）積定，利用，求和的最小值；（2）和定，利用，求積的最大值；（3）妙用“1”拼湊基本不等式求最值.【練題型】1.關(guān)于的不等式的解集為，其中．(1)求實(shí)數(shù)，的值；(2)若正數(shù)，滿足，求的最小值．【答案】(1)，；(2)4.【分析】(1)把不等式化成一元二次不等式，再借助一元二次方程列式計算作答.(2)利用(1)的結(jié)論結(jié)合“1”的妙用計算作答.(1)依題意，不等式化為：，而，則是方程的二根，且，因此，且，解得或，當(dāng)時，，符合題意，當(dāng)時，不符合題意，所以，.(2)由(1)知，，，而，則有，當(dāng)且僅當(dāng)時取“=”，由解得：，所以當(dāng)時，取最小值4.2.已知函數(shù)．(1)求不等式的解集；(2)設(shè)函數(shù)的最小值為M，若正數(shù)a，b，c滿足，證明．【答案】(1)；(2)證明見解析.【分析】（1）根據(jù)的取值分類討論，分段求解不等式即可；（2）利用絕對值三角不等式求得，再根據(jù)基本不等式即可證明.【詳解】（1）當(dāng)時，即，解得，不等式解集為；當(dāng)時，即，不等式解集為空集；當(dāng)時，即，解得，不等式解集為；綜上所述，的解集為.（2），當(dāng)且僅當(dāng)，即時取得等號，故；則，又，則，又，當(dāng)且僅當(dāng)時取得等號；，當(dāng)且僅當(dāng)時取得等號；，當(dāng)且僅當(dāng)時取得等號；故，當(dāng)且僅當(dāng)，且，即時取得等號.故，時取得等號.【題型五】柯西不等式型證明【講題型】例題1.設(shè)、、為正實(shí)數(shù)，且.(1)證明：；(2)證明：．【答案】(1)證明見解析(2)證明見解析【分析】（1）由已知可得出，結(jié)合基本不等式可證得；（2）利用柯西不等式可得出，即可證得結(jié)論成立.【詳解】（1）證明：因為、、為正實(shí)數(shù)，由基本不等式可得，所以，，當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立，故.（2）證明：由柯西不等式可得，所以，，當(dāng)且僅當(dāng)時，即當(dāng)，，時，等號成立，故.例題2.已知正數(shù)a，b，c，d滿足，證明：(1)；(2).【答案】(1)證明見解析(2)證明見解析【分析】（1）由基本不等式證明；（2）由柯西不等式證明.（1）因為，，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立，又正數(shù)a，b，c，d滿足，所以.（2）因為正數(shù)a，b，c，d滿足，所以由柯西不等式，可得，當(dāng)且僅當(dāng)，時，等號成立，故.【講技巧】柯西不等式，可以通過觀察湊配法來準(zhǔn)確構(gòu)造：位置1和2是等價齊次。否則就是需要湊配具體可以用下邊推論來待定系數(shù)配湊【練題型】1.已知，且.（1）求的最大值；（2）若，證明：．【答案】（1）.（2）證明見解析【分析】（1）對作平方,可得,進(jìn)而利用均值不等式求解即可；（2）利用柯西不等式可得,由,可得,,則,進(jìn)而求解即可.【詳解】（1）解:,當(dāng)且僅當(dāng),即時等號成立,所以的最大值為.（2）證明:因為,,所以,,,當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立,則有,即,故.2.已知，，，，，都是實(shí)數(shù)，且，.(1)證明：；(2)若，證明：.【答案】(1)證明見解析(2)證明見解析【分析】（1）由絕對值的性質(zhì)有，再每個式子用基本不等式放大可得；（2）由已知，利用柯西不等式可得結(jié)論．（1）證明：因為，又，，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時取等號，即.（2）證明：因為，，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時取等號.所以.【題型六】柯西不等式求最值與參數(shù)【講題型】例題1.對，的最小值為.（1）若三個正數(shù)、、滿足，證明：；（2）若三個實(shí)數(shù)、、滿足，且恒成立，求的取值范圍.【答案】（1）見解析（2）【分析】（1）由絕對值不等式的性質(zhì)可得，再由基本不等式和累加法，即可得證；（2）運(yùn)用柯西不等式，化簡變形，由不等式恒成立思想，并結(jié)合絕對值不等式的解法可得所求范圍．【詳解】（1）由，，當(dāng)且僅當(dāng)時取得等號，可得，又，，同理可得，，三式相加可得，，當(dāng)且僅當(dāng)時，取得等號，則；（2）恒成立，等價為，由，當(dāng)且僅當(dāng)可取得等號．則，即，解得或，即的取值范圍是．例題2.．（1）已知x，y為正實(shí)數(shù)．證明：．（2）對任意的正實(shí)數(shù)x，y，均有成立，求k的取值范圍．【答案】（1）證明見解析；（2）.【分析】（1）由，應(yīng)用基本不等式求范圍，即可證結(jié)論；（2）應(yīng)用柯西不等式有，結(jié)合恒成立，即可求范圍.【詳解】（1）由x，y為正實(shí)數(shù)，，當(dāng)且僅當(dāng)，即等號成立，所以得證.（2）由柯西不等式有，則，當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立，又x，y為正實(shí)數(shù)，所以，而恒成立，所以.【練題型】1.柯西不等式是由數(shù)學(xué)家柯西在研究數(shù)學(xué)分析中的“流數(shù)”問題時得到的.具體表述如下：對任意實(shí)數(shù)和，（，），都.（1）證明時柯西不等式成立，并指出等號成立的條件；（2）若對任意，不等式恒成立，求實(shí)數(shù)m的取值范圍.【答案】（1）證明見解析，當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立（2）【分析】（1）構(gòu)造函數(shù)，利用判別式證明即可；（2）利用柯西不等式求出，即可求實(shí)數(shù)的取值范圍．【詳解】（1）構(gòu)造函數(shù)．注意到，所以△，即．（其中等號成立當(dāng)且僅當(dāng)，即．（2）解：由（1）可得，，對任意，不等式恒成立，．2.已知，且．（1）求的最小值；（2）若成立，求的取值范圍．【答案】(1)最小值為．(2)【分析】（1）利用柯西不等式即可求解；（2）利用柯西不等式即可求解.【詳解】（1）由柯西不等式，得：即：，，當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立，故：的最小值為．（2）由柯西不等式，得：．即：，當(dāng)且僅當(dāng)時取等號，只需，解得：．故：的取值范圍為：【題型七】三元不等式證明【講題型】例題1.已知a，b，c都是正數(shù)，且1.證明：(1)；(2)．【答案】(1)證明見解析；(2)證明見解析.【分析】（1）根據(jù)給定條件，利用三元均值不等式推理作答.（2）利用均值不等式，結(jié)合不等式的性質(zhì)推理作答.【詳解】（1）因為a，b，c都是正數(shù)，則有，當(dāng)且僅當(dāng)時取等號，所以.（2）因為c都是正數(shù)，于是，當(dāng)且僅當(dāng)時取等號，因此，當(dāng)且僅當(dāng)時取等號，同理，當(dāng)且僅當(dāng)時取等號，，當(dāng)且僅當(dāng)時取等號，則，當(dāng)且僅當(dāng)時取等號，所以.例題2.已知正數(shù)滿足．(1)求證：(2)若正數(shù)滿足，求證：【答案】(1)證明見解析(2)證明見解析【分析】（1）首先根據(jù)題意得到，，，再利用不等式的性質(zhì)即可證明.（2）首先根據(jù)三個正數(shù)均值不等式得到，再根據(jù)證明即可.【詳解】（1）因為為正數(shù)，所以（當(dāng)且僅當(dāng)時，取等號）．同理可得（當(dāng)且僅當(dāng)時取等號），（當(dāng)且僅當(dāng)時取等號）．因為正數(shù)滿足，所以（當(dāng)且僅當(dāng)時取等號）（2）因為正數(shù)滿足．所以因為正數(shù)滿足，所以=（當(dāng)且僅當(dāng)時取等號）．【講技巧】三元形式不等式較難，具有明顯的“對稱特性”特征，可用均值，柯西不等式來證明，較復(fù)雜的，可以因式分解，恒等變形，用分析法綜合法，構(gòu)造均值來證明【練題型】1.已知，求證：(1)；(2).【答案】(1)證明見解析(2)證明見解析【分析】（1）利用三元基本不等式即可得證.（2）利用基本不等式推得，，，再相加即可得證．【詳解】（1）因為，所以，即，當(dāng)且僅當(dāng)且，即時，等號成立，所以，即，故.（2）因為，因為，當(dāng)且僅當(dāng)，即取得等號，同理可得，當(dāng)且僅當(dāng)取得等號，同理可得，當(dāng)且僅當(dāng)取得等號，上面三式相加可得，即，當(dāng)且僅當(dāng)，，且，即時，等號成立，因為，所以，所以.2.設(shè)、、為正數(shù)，且.證明：(1)；(2).【答案】(1)證明見解析(2)證明見解析【分析】（1）由不等式的基本性質(zhì)可得出，利用反比例函數(shù)在上的單調(diào)性可證得結(jié)論成立；（2）利用基本不等式可得出，，，利用不等式的基本性質(zhì)可證得結(jié)論成立.【詳解】（1）證明：因為、、為正數(shù)，由可得，所以，，因為函數(shù)在上為增函數(shù)，故.（2）證明：由基本不等式可得，，，由不等式的基本性質(zhì)可得，當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立，故.【題型八】利用三元不等式求最值【講題型】例題1.已知的最小值為.(1)求的值；(2)正實(shí)數(shù)，，滿足，求的最大值.【答案】(1)；(2).【分析】（1）將絕對值函數(shù)寫成分段函數(shù)性質(zhì)，結(jié)合各分段上的函數(shù)單調(diào)性及定義域求最小值，即可確定m值.（2）由（1）有，又，結(jié)合三元基本不等式可得，即可求目標(biāo)式最值，注意等號成立條件.(1)由題設(shè)，，則，即.(2)由（1）知：，所以，而，則，∴，當(dāng)且僅當(dāng)時取等號，所以.例題2.已知函數(shù)的定義域為；（1）求實(shí)數(shù)的取值范圍；（2）設(shè)實(shí)數(shù)為的最大值，若實(shí)數(shù)滿足關(guān)系式，求的最小值.【答案】（1）；（2）.【分析】（1）由題意可得恒成立，令，去絕對值得出分段函數(shù)解析式，求出即可求解.（2）由題意可得，等式化為，再利用基本不等式即可求解.【詳解】（1）由題意可知恒成立，令，去絕對值可得：，由解析式可知在上單調(diào)遞減；在上單調(diào)遞減；在上單調(diào)遞增，所以，所以實(shí)數(shù)的取值范圍為；

（2）由（1）可知，所以，

，當(dāng)且僅當(dāng)，即等號成立，所以的最小值為.【練題型】1.已知a，b，c為正數(shù)．（1）證明；（2）求的最小值．【答案】（1）證明見解析；（2）.【分析】（1）利用基本不等式可證得命題成立；（2）三次使用不等式且等號同時成立，可求得最小值．【詳解】（1）證明a，b，c均為正數(shù)，以上三式相加，得即．（當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立）（2）因為，，，，當(dāng)且僅當(dāng)，即時等號成立．所以原式的最小值為．2.已知都是正數(shù)，且，用表示的最大值，.（1）證明；（2）求M的最小值.【答案】(1)見解析；（2）.【分析】1由已知，利用“1的代換”結(jié)合基本不等式證明；2由題意，，，，把三個式子平方作和，再由均值不等式求最值．【詳解】1證明：，，當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立，故；2解：由題意，，，，，當(dāng)且僅當(dāng)時上式等號成立．，即M的最小值為．【題型九】分析法證明不等式【講題型】例題1.已知a，b，c為正數(shù)，且滿足．(1)證明：；(2)證明：【答案】(1)證明見解析；(2)證明見解析；【分析】（1）運(yùn)用分析法，結(jié)合基本不等式進(jìn)行證明即可；（2）運(yùn)用分析法，結(jié)合柯西不等式進(jìn)行證明即可.【詳解】（1）∵a，b，c為正數(shù)，要證，∵只需證，即證，即證，∵a，b，c為正數(shù)，∴，∴，∴∴，∴當(dāng)且僅當(dāng)時取等；（2）要證，只需證，即證，根據(jù)柯西不等式可，當(dāng)且僅當(dāng)取等號．從而.例題2.已知，，.(1)求的范圍；(2)證明：.【答案】(1)；(2)證明見解析.【分析】（1）利用基本不等式可求得的取值范圍；（2）由已知可得出，令，將所證不等式等價轉(zhuǎn)化為，通分、因式分解后判斷符號，即可證得結(jié)論成立.（1）解：因為，，則，由基本不等式可得，可得，當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立，故.（2）證明：因為，所以，，要證，即證，即證，令，即證，因為，故原不等式得證.【練題型】1.已知正數(shù)，，滿足．(1)求的最大值；(2)證明：．【答案】(1)1(2)證明見解析【分析】（1）由三個正數(shù)的基本不等式進(jìn)行求解；（2）湊項后利用基本不等式進(jìn)行證明.【詳解】（1）由，當(dāng)且僅當(dāng)時，取得等號．又，所以．故當(dāng)且僅當(dāng)時，取得最大值1．（2）證明：要證，需證．因為，即，當(dāng)且僅當(dāng)時取得等號．故．2.設(shè)不等式||x+1||x1||<2的解集為A.(1)求集合A；(2)若a，b，c∈A，求證：.【答案】(1)；(2)證明見解析.【分析】(1)令，去絕對值符號化函數(shù)為分段函數(shù)，解不等式即可作答.(2)根據(jù)給定條件利用分析法即可證得不等式成立.(1)由已知，令，則原不等式等價于，即，當(dāng)時，，不等式無解，當(dāng)時，，解得，則，當(dāng)時，，不等式無解，綜上得：.(2)要證>1，只需證，只需證，只需證，只需證，由a，b，c∈A，得，，于是得恒成立，而上述推理過程可逆，所以.【題型十】綜合法證明不等式【講題型】例題1.已知，函數(shù)的最小值為3．(1)求的值；(2)求證：．【答案】(1)2(2)證明見解析【分析】（1）利用絕對值不等式即可求出；（2）利用乘“1”法求出，則，則，移項即可.【詳解】（1）因為,當(dāng)且僅當(dāng)時,等號成立,又,所以.（2）由（1）知,又,所以,當(dāng)且僅當(dāng)，聯(lián)立，即時等號成立,所以,則即例題2.已知函數(shù).(1)若，求實(shí)數(shù)的取值范圍；(2)證明：.【答案】(1)(2)證明見解析【分析】（1）由已知可得出，然后分、、三種情況解不等式，即可得出實(shí)數(shù)的取值范圍；（2）由可得出，分別證明出，，即可證得結(jié)論成立.【詳解】（1）解：因為，則，由可得.①當(dāng)時，則有，解得，此時；②當(dāng)時，則有，解得，此時；③當(dāng)時，則有，解得，此時.綜上所述，當(dāng)時，實(shí)數(shù)的取值范圍是.（2）證明：要證，即證.當(dāng)時，；當(dāng)時，；當(dāng)時，.綜上所述，，，因為，其中為銳角，且，所以，，所以，恒成立，故.【練題型】1.已知實(shí)數(shù)，，滿足，．(1)證明：．(2)用表示，，的最小值，證明：．【答案】(1)證明見解析(2)證明見解析【分析】（1）利用綜合法去證明；（2）利用均值定理構(gòu)造不等式去證明(1)由，可知，，都不為，因為，所以，因為，所以，即．(2)不妨設(shè)，則，因為，，所以，，所以，，因為，所以，所以，，即．2.設(shè)函數(shù)．（1）求函數(shù)的最小值；（2）若函數(shù)的最小值為m，且正實(shí)數(shù)a，b，c滿足，證明：．【答案】（1）；（2）證明見解析.【分析】（1）去絕對值寫出分段函數(shù)，作出函數(shù)圖象即可求解.（2）由（1）知，利用基本不等式即可證明.【詳解】解：（1）作出的圖象，如圖：∴當(dāng)時，取最小值；

（2）由（1）知，且a，b，c為正實(shí)數(shù)，∴，即，當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立．1．已知函數(shù)．(1)當(dāng)時，求不等式的解集；(2)求的最小值．【答案】(1)(2)【分析】（1）當(dāng)時，，分、、三種情況討論求解即可；（2）直接用絕對值的三角不等式可得答案.【詳解】（1）當(dāng)時，，所以當(dāng)時，，由可得，，所以此時，當(dāng)時，，由可得，，所以此時，當(dāng)時，，由可得，，所以此時無解，綜上：所以不等式的解集為，（2），當(dāng)時等號成立，所以的最小值為.2．設(shè)均不為零，且．(1)證明：；(2)求的最小值．【答案】(1)證明見解析；(2)3.【分析】（1）根據(jù)給定條件，利用三數(shù)和的完全平方公式變形，再結(jié)合放縮法證明作答.（2）利用柯西不等式求解最小值作答.【詳解】（1）依題意，，且均不為零，則，所以.（2）因為，當(dāng)且僅當(dāng)，即時取等號，因此，所以的最小值為3.3．已知函數(shù).(1)求不等式的解集；(2)當(dāng)時，求證：.【答案】(1)或(2)證明見解析【分析】（1）分，三種情況解不等式即可求出答案；（2）（方法一）當(dāng)時，要證即證，由均值不等式即可證明；（方法二）當(dāng)時，要證即證，由二次函數(shù)的性質(zhì)即可證明.【詳解】（1）解：∵∴等價于下列不等式組①；或②；或③.①的解為；②無解；③的解為.∴不等式的解集為或.（2）證明：（方法一）當(dāng)時，.∴要證即證，即證.∵.∴.當(dāng)且僅當(dāng)即時取等號.∴當(dāng)時，.（方法二）當(dāng)時，.∴要證即證，即證.∵恒成立.且時取等號.∴當(dāng)時，.4．已知函數(shù)．(1)求不等式的解集；(2)函數(shù)最小值為，求的最小值．【答案】(1)(2)12【分析】（1）對x的值分類討論開絕對值可得，作出函數(shù)的圖形，結(jié)合圖形即可求解；（2