第八章第14節(jié)曲線系方程巧解四點共圓問題-

第14節(jié)曲線系方程巧解四點共圓問題知識與方法圓錐曲線中的四點共圓問題在高考中是一大難點，常規(guī)的做法是用垂徑定理找圓心，并通過計算得出圓心到四點的距離相等，從而證出四點共圓，再求出圓的方程.除此之外，應(yīng)用曲線系方程也可以很好地解決這類問題.1.曲線系方程：設(shè)和分別表示平面上的兩條有公共點的曲線，則經(jīng)過兩曲線交點的曲線系方程可以為.2．高考中常見的四點共圓問題是兩條直線與圓錐曲線交于不同的四點，判斷四點是否在同一圓上，如果是，需求出圓的方程.應(yīng)用曲線系方程求解這類四點共圓問題的解題步驟是：（1）設(shè)經(jīng)過圓錐曲線和兩直線交點的曲線系方程為，其中表示圓錐曲線方程，表示兩直線構(gòu)成的曲線的方程;（2）將展開，合并同類項，與圓的一般方程比較系數(shù)，求出的值；（3）將反代回方程的展開式，化為圓的標準方程，從而得出四點共圓且求出了圓的方程.3.圓錐曲線中四點共圓問題的結(jié)論：設(shè)兩條直線和圓錐曲線（橢圓、雙曲線、拋物線）交于四點，則四個交點在同一個圓上的充要條件是兩直線傾斜角互補.典型例題【例1】（2014·大綱卷）已知拋物線的焦點為F，直線與y軸的交點為P，與C的交點為Q，且（1）求C的方程；（2）過F的直線l與C相交于A、B兩點，若的垂直平分線與C相交于M、N兩點，且A、M、B、N四點在同一圓上，求l的方程.【解析】（1）聯(lián)立解得：，所以點Q的坐標為，因為，所以，解得：或（舍去），故拋物線C的方程為.（2）解法1：顯然直線l的斜率存在且不為0，故可設(shè)其方程為，設(shè),，聯(lián)立消去x整理得：①，由韋達定理，，所以，故中點為，所以直線的方程為，代入消去x整理得：②，設(shè)，，則，故，從而的中點E的坐標為，所以由A、M、B、N四點在同一圓上知圓心必為點E，所以，而，所以，，由得：，解得：，經(jīng)檢驗，均滿足方程①和②的判別式大于0，故直線l的方程為或.解法2：由題意，直線l不與y軸垂直，故可設(shè)其方程為，設(shè)，，聯(lián)立消去x整理得：，顯然，由韋達定理，，所以，故中點D的坐標為，從而直線的方程為，即，可設(shè)經(jīng)過A、M、B、N四點的曲線系方程為，整理得：①，因為A、M、B、N四點四點共圓，所以存在，使方程①表示圓，此時應(yīng)有，解得：或當，時，代入式①整理得：，從而A、M、B、N四點都在圓上，當，時，代入式①整理得：，從而A、M、B、N四點都在圓上，綜上所述，直線l的方程為或.【例2】設(shè)A、B是橢圓上的兩點，點是線段的中點，線段的垂直平分線與橢圓相交于C、D兩點.（1）確定的取值范圍，并求直線的方程；（2）證明：當取（1）中任意值時，A、B、C、D四點都在同一個圓上.【解析】解：（1）由題意，N點在橢圓內(nèi)部，故，即，設(shè)，，則，兩式作差得：，整理得：，即，所以，故直線的方程為，即.（2）解法l：由（1）可得線段的中垂線的方程為，即，設(shè)，，聯(lián)立消去y整理得：，判別式，當時，，由韋達定理，，，所以中點為，從而，，故，聯(lián)立消去y整理得：，判別式，，所以，從而，故A、B、C、D四點都在同一個圓上.解法2：由（1）可得線段的中垂線的方程為，即，設(shè)經(jīng)過A、B、C、D四點的曲線系方程為，整理得：①，若方程①表示圓，則，解得：，代入式①化簡得：配方得：，顯然對任意的，該方程都表示圓，綜上所述，當?。?）中任意值時，A、B、C、D四點都在同一個圓上.強化訓練1.（★★★★）已知，，動點P滿足直線、的斜率之積為定值1，記動點P的軌跡為曲線C.（1）求C的方程；（2）直線與C交于M、N兩點，直線與C交于S、T兩點，M、N、S、T四點是否在同一圓上？若是，求出該圓的方程；否則，說明理由.【解析】（1）設(shè)，則，整理得：，即曲線C的方程為.（2）解法1：如圖，設(shè)，，，，聯(lián)立消去y整理得：，判別式，由韋達定理，，所以，從而的中點為，且，聯(lián)立消去y整理得：，判別式，由韋達定理，，所以，從而的中點為，且，線段的中垂線為，即，線段的中垂線為，即，聯(lián)立解得：，記，則，所以，，，從而，故M、N、S、T四點都在以K為圓心，為半徑的圓上，該圓的方程為.解法2：由題意，可設(shè)經(jīng)過M、N、S、T四點的曲線系的方程為，整理得：①，令得：，代入①整理得：，該方程是圓的方程，所以M、N、S、T四點在同一圓上，其方程為.2.（★★★★）已知橢圓的離心率為，右頂點為A，O為原點，B為橢圓E上異于左、右頂點的動點，的面積的最大值為.（1）求橢圓E的方程；（2）設(shè)直線與x軸交于點P，直線交橢圓E于另一點C，直線和分別交l于點M和N，若O、A、M、N四點共圓，求t的值.【解析】（1）由題意，，，解得：，，故橢圓E的方程為.（2）解法1：由題意，，，顯然直線不與y軸垂直，可設(shè)其方程為，設(shè)，，聯(lián)立消去x整理得：，由韋達定理，，，所以，，直線的方程為，令得：，所以，同理，，因為O、A、M、N四點共圓，所以，從而，故，所以，從而，結(jié)合化簡可得.解法2：由題意，，，顯然直線、均不與坐標軸垂直，故可設(shè)其方程分別為，，其中，，聯(lián)立消去x整理得：，解得：或所以，從而，故，同理，，因為P、B、C三點共線，所以，從而，化簡得：①聯(lián)立可得，所以，同理，，顯然線段的中垂線為，線段的中垂線為，即，因為O、A、M、N四點共圓，所以該圓的圓心必為，而，，化簡得：，將式①代