2019-2020學年八年級數學競賽講座-第四講-分式的概念性質及運算-人教新課標版

2019-2020學年八年級數學競賽講座第四講分式的概念、性質及運算人教新課標版分式包括分式的概念、分式的基本性質、分式的運算、簡單的分式方程等主要內容．從整式到分式，我們可以形象地說是從“平房”到了“樓房”．在腳手架上活動，無疑增加了難點，體現在：解分式問題總是在分式有意義的前提下進行的，因此必須考慮字母取值范圍；分式運算中的通分和約分是技巧性較強的工作，需要靈活處理．分式的運算與分數的運算相似，是以分式的基本性質、運算法則、通分和約分為基礎，是以整式的變形、因式分解為工具．分式的加減運算是分式運算的難點，突破這一難點的關鍵是能根據問題的特點恰當地通分，常用通分的策略與技巧有：1．化整為零，分組通分；2，步步為營，分步通分；3．減輕負擔，先約分再通分；4．裂項相消后通分等例題求解【例1】要使分式SKIPIF1<0有意義，則SKIPIF1<0的取值范圍是．(“希望杯”邀請賽試題)思路點撥當分式的分母不為零時，分式有意義，由于分式是繁分式，因此考慮問題應細致周密．注：在新事物面前，人們往往習慣于把它們與原有的、熟知的事物相比，這里蘊涵的思想方法就是類比．學習分式時，應注意：(1)分式與分數的概念、性質、運算的類比；(2)整數可以看做是分數的特殊情形，但整式卻不是分式的特殊情形；（3）分式需要討論宇母的取值范圍，這是分式區(qū)別于整式的關鍵所在．【例2】已知SKIPIF1<0，其中A、B為常數，則4A－B的值為（）A．7B．9C．13D．5(江蘇省競賽題)思路點撥對等式右邊通分，比較分子的對應項系數求出A、B的值．【例3】計算下列各式：(1)SKIPIF1<0；（2）SKIPIF1<0；(“五羊杯”競賽題)（3）SKIPIF1<0(江西省贛州市競賽題)（4）SKIPIF1<0(安徽省馬鞍山市競賽題)思路點撥因各分式復雜，故須觀察各式中分母的特點，恰當運用通分的相關策略與技巧．對于(1)，分步通分；對于(2)，拆項再通分；對于(3)，先約分再通分；(4)注意到分母與分子的項與項之間的關系，如x－2y+z=(x－y)－(y－z)，采用換元法簡化式子．【例4】解下列分式方程(組)：(1)SKIPIF1<0；(“五羊杯”競賽題)(2)SKIPIF1<0(“希望杯”邀請賽題)思路點撥若直接通分去分母，則使問屬復雜化，對于(1)拆分、分步運算，對于(2)取倒數，逆用加法法則．【例5】(1)n為自然數，若n+6|n3+1996，則稱n為1996的吉祥數，如4+6|43+1996，4就是1996年的一個吉祥數．試求1996年的所有吉祥數的和．(北京市競賽題)(2)計算：SKIPIF1<0(上海市“宇振杯”競賽題)思路點拔(1)由于n3+1996的次數高于n+6的次數，所以，通過變形將兩個整式整除的問屬轉化為一個分式的問題來解決，是解本例的關鍵；(2)首尾配對，考查一般情形，把數值計算轉化為分式的運算．學力訓練1．（1）要使分式SKIPIF1<0沒有意義，則a的值為．（2）若SKIPIF1<0和SKIPIF1<0互為相反數，則SKIPIF1<0的值為．(岳陽市中考題)2．已知SKIPIF1<0為整數，且SKIPIF1<0為整數，則所有符合條件的x值的和為．3．已知SKIPIF1<0與SKIPIF1<0的和等于SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0=，SKIPIF1<0＝．(山東省競賽題)4．學校用一筆錢買獎品，若以1枝鋼筆和2本日記本為一份獎品，則可買60份獎品；若以1枝鋼筆和3本日記本為一份獎品，則可買50份獎品．那么，這筆錢全部用來買鋼筆可以買枝．(江蘇省鎮(zhèn)江市中考題)5．已知式子SKIPIF1<0的值為0，則x的值為()A．±1B．－lC．8D．－1或8(江蘇省競賽題)6．化簡SKIPIF1<0的結果是()A．SKIPIF1<0B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0D．SKIPIF1<0(大連市“育英杯”競賽題)7．若x取整數，則使分式SKIPIF1<0的值為整數的x值有()A．3個B．4個C．6個D．8個(江蘇省競賽題)8．若a、b、c滿足a+b+c=0，abc=8，則SKIPIF1<0的值是()A．正數B．負數C．零D．正數或負數(“希望杯”邀請賽試題)9．計算下列各題：（1）SKIPIF1<0；（2）SKIPIF1<0；（3）SKIPIF1<0；10．(1)火車長為400米，通過隧道(從火車頭進入隧道至車尾離開隧道)需10分鐘，若每分鐘速度增加0．1千米，則只需9分鐘．求隧道長．（大原市競賽題)(2)甲、乙兩人兩次到某糧店去買大米，兩次的大米價格分別為每斤。元和6元，甲每次買100斤大米，乙每次買100元的大米，問誰兩次買的大米平均價格更低些?說明理由．(福州市中考題)ll.若x+y+z=3a(a≠O)，則SKIPIF1<0的值為．12．若關于x的方程SKIPIF1<0的解為正數，則a的取值范圍是．(湖北省選拔賽試題)13．方程4x2一2xy－12x+5y+11=O有組正整數解．(“五羊杯”競賽題)l4．已知SKIPIF1<0是正整數，則正整數a=．(“希望杯”邀請賽試題)15．設a、b、c均為正數,若SKIPIF1<0，則a、b、c三個數的大小關系是()A．c<a<bB．b<c<aC．a<b<cD．c<b<a16．已知SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0為()A．－1B．1C．2D．不能確定(江蘇省競賽題)17．分式SKIPIF1<0可取的最小值為（）A．4B．5C．6D．不存在18．設有理數a、b、c都不為零，且a+b+c=0，則SKIPIF1<0的值是（）A．正數B．負數C．零D．不能確定19．解下列方程(組)：（1）SKIPIF1<0（2）SKIPIF1<0（太原市競賽題）20．(1)某工程，甲隊單獨做所需天數是乙、丙兩隊合做所需天數的a倍，乙隊獨做所需天數是甲，丙兩隊合做所需天數的b倍，丙隊獨做所需天數是甲、乙兩隊合做所需天數的c倍，求SKIPIF1<0的值．(江蘇省競賽題)（