數(shù)學(xué)學(xué)案：第一章第節(jié)回歸分析（第課時）

學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精1.2相關(guān)系數(shù)1．了解回歸分析的概念和最小二乘法的求法及作用．2．理解相關(guān)系數(shù)的含義及求法．3．了解回歸分析的基本思想．會建立回歸模型，并能利用回歸分析進行有效預(yù)測．1．變量間的關(guān)系往往會表現(xiàn)出某種不確定性，________就是研究這種變量之間的關(guān)系的一種方法，通過對變量之間關(guān)系的研究，從而發(fā)現(xiàn)蘊涵在事物或現(xiàn)象中的某些規(guī)律．【做一做1】下列兩變量中具有相關(guān)關(guān)系的是（)．A．正方體的體積與邊長 B．人的身高與體重C．勻速行駛的車輛的行駛距離與時間 D．球的半徑與體積2．假設(shè)樣本點為(x1，y1)，（x2，y2)，…，(xn，yn）,我們可用____________求變量之間的線性回歸方程y＝a＋bx，即求a，b，使這n個點與直線y＝a＋bx的“距離”平方之和最小，即使得Q（a，b)＝(y1－a－bx1)2＋（y2－a－bx2)2＋…＋（yn－a－bxn)2達到最?。?．Q(a，b)＝lyy＋n[eq\x\to(y）－（a＋beq\x\to（x)）]2＋lxxeq\b\lc\（\rc\）(\a\vs4\al\co1(b－\f(lxy,lxx)）)2－.其中eq\x\to（x)＝eq\f(x1＋x2＋…＋xn，n）＝eq\f（1，n)eq\i\su（i＝1，n,x)i，eq\x\to(y）＝eq\f（y1＋y2＋…＋yn,n）＝eq\f(1，n）eq\i\su(i＝1,n，y)i，lxx＝eq\i\su(i＝1，n,）（xi－eq\x\to（x）)2＝eq\i\su（i＝1，n,x)eq\o\al(2,i)－neq\x\to(x)2，lxy＝eq\i\su（i＝1,n,)（xi－eq\x\to（x））（yi－eq\x\to（y））＝eq\i\su（i＝1，n,x）iyi－neq\x\to(x)eq\x\to(y），lyy＝eq\i\su（i＝1，n,)(yi－eq\x\to(y))2＝eq\i\su(i＝1，n,y)eq\o\al（2，i)－neq\x\to（y）2.當(dāng)Q(a，b）取最小值時，b＝____________，a＝________.y對x的線性回歸方程為__________，此直線一定過點______．公式比較復(fù)雜難記，只需記住a,b的求值公式即可．做題要細心,不可遺漏數(shù)據(jù)，使用公式計算時,可通過列出表格，進行計算，表格如下：ixiyixeq\o\al（2,i)xiyi123…n∑eq\i\su（i＝1,n,x)ieq\i\su（i＝1，n，y）ieq\i\su（i＝1，n，x）eq\o\al(2，i）eq\i\su(i＝1，n，x）iyi【做一做2－1】已知x與y之間的一組數(shù)據(jù)如下表，則y與x的線性回歸方程y＝bx＋a必過點__________．x0123y1357【做一做2－2】已知三個樣本點（3,10），(7,20）,(11,24)，求出其線性回歸方程．4．判斷兩個變量之間的線性相關(guān)關(guān)系的方法有（1）________________________;（2)______________________．兩個變量之間是否有線性相關(guān)關(guān)系，可以通過畫散點圖直觀判斷，但是在某些情況下，從散點圖中不容易判斷變量之間的線性相關(guān)關(guān)系，特別是當(dāng)數(shù)據(jù)量較大時，畫散點圖比較麻煩，此時就可以通過計算，用線性相關(guān)系數(shù)r來作出判斷，比較容易實施．5。假設(shè)兩個隨機變量的數(shù)據(jù)分別為(x1，y1)，（x2，y2），…，（xn，yn），則變量間線性相關(guān)系數(shù)r的計算公式為r＝__________________.線性相關(guān)系數(shù)｜r｜≤1，|r|越大，變量之間的線性相關(guān)程度越高，用直線擬合的效果就越好．線性相關(guān)系數(shù)r的計算公式雖然比較復(fù)雜，但是可以分開計算．因為在求線性回歸方程時，也要計算eq\x\to(x)，eq\x\to（y)，eq\i\su(i＝1,n，x）iyi和eq\i\su（i＝1,n,x）eq\o\al（2，i)等量，只需再把eq\i\su(i＝1,n，y)eq\o\al(2,i）計算出來即可．通常是通過列表格來完成上述各項的計算．【做一做3】在建立兩個變量y與x的線性回歸模型中,分別選擇了4個不同的模型，它們的相關(guān)系數(shù)r如下，其中擬合得最好的模型是（）．A．模型1的相關(guān)系數(shù)r為0.98B．模型2的相關(guān)系數(shù)r為0.80C．模型3的相關(guān)系數(shù)r為0.50D．模型4的相關(guān)系數(shù)r為0.25答案：1．回歸分析【做一做1】B選項A中正方體的體積為邊長的立方，有固定的函數(shù)關(guān)系;選項C中勻速行駛的車輛的行駛距離與時間成正比,也有函數(shù)關(guān)系；選項D中球的體積是eq\f(4,3）π與半徑的立方相乘，有固定的函數(shù)關(guān)系．所以只有選項B中人的身高與體重具有相關(guān)關(guān)系．2．最小二乘法3.eq\f（lxy,lxx)＝eq\f(\i\su(i＝1,n，）xi－\x\to(x)yi－\x\to（y)，\i\su（i＝1,n，）xi－\x\to(x)2）＝eq\f（\i\su（i＝1,n，x）iyi－n\x\to(x)\x\to(y）,\i\su（i＝1，n，x）\o\al（2，i)－n\x\to(x)2）eq\x\to(y）－beq\x\to(x)y＝a＋bx（eq\x\to（x)，eq\x\to（y))【做一做2－1】eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2）,4））線性回歸方程一定過點（eq\x\to（x)，eq\x\to（y)),又eq\x\to（x）＝eq\f（1，4）×(0＋1＋2＋3）＝eq\f（3，2)，eq\x\to(y)＝eq\f(1,4)×（1＋3＋5＋7)＝4，∴線性回歸方程必過點eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1（\f(3,2）,4)）。【做一做2－2】分析:樣本點共有三個，可以直接計算．解：由所給數(shù)據(jù)可得：eq\x\to(x)＝7,eq\x\to（y）＝18，eq\i\su（i＝1，3，x)iyi＝434，＝179，進而可以求得b＝eq\f（\i\su(i＝1,3，x)iyi－3\x\to(x)\x\to(y）,\i\su(i＝1,3,x)\o\al（2,i)－3\x\to（x)2）＝eq\f(434－3×7×18,179－3×49)＝1。75，a＝eq\x\to（y)－beq\x\to（x）＝18－1。75×7＝5.75。∴線性回歸方程為y＝5.75＋1.75x.4．(1)畫散點圖(2)計算線性相關(guān)系數(shù)5.eq\f（\i\su(i＝1，n，x)iyi－n\x\to（x）\x\to(y）,\r（\i\su(i＝1,n，x)\o\al(2，i)－n\x\to（x）2）\r(\i\su（i＝1,n,y)\o\al（2,i）－n\x\to（y）2）)【做一做3】A1．求線性回歸方程的一般步驟剖析：（1)作散點圖：對于樣本點（x1，y1),（x2，y2)，…,（xn，yn)，在坐標(biāo)系內(nèi)作出散點圖，并觀察各樣本點是否呈條狀分布，是否都分布在一條直線的兩側(cè)．若是，則可設(shè)其線性回歸方程為y＝a＋bx.(2)列表：對于所給出的數(shù)據(jù)x，y列成相應(yīng)的表格。ixiyixeq\o\al（2，i）xiyi1x1y1xeq\o\al（2,1)x1y12x2y2xeq\o\al（2，2)x2y2……………nxnynxeq\o\al（2，n)xnyn∑eq\o(∑，\s\up6（n)，\s\do4(i＝1））xieq\o(∑,\s\up6(n)，\s\do4（i＝1）)yieq\o（∑，\s\up6（n）,\s\do4（i＝1）)xeq\o\al（2,i)eq\o（∑，\s\up6（n)，\s\do4(i＝1)）xiyi（3)計算：eq\x\to(x）＝eq\f(1，n)eq\o（∑，\s\up6（n），\s\do4(i＝1))xi，eq\x\to(y）＝eq\f(1,n)eq\o(∑，\s\up6（n），\s\do4(i＝1))yi，b＝，a＝eq\x\to（y)－beq\x\to（x).（4）寫出回歸方程：y＝a＋bx.2．樣本的選取是否影響兩個變量的線性回歸方程剖析：會影響．這是因為我們所采集的樣本只是兩個變量之間的部分?jǐn)?shù)據(jù)的關(guān)系，而且它們的散點圖分布在某一條直線的附近，不一定就在直線上，所以不能用某個一次函數(shù)y＝a＋bx來準(zhǔn)確地表達它們之間的關(guān)系，我們只能近似地看作兩個變量之間滿足線性關(guān)系，符合一個一次函數(shù)y＝a＋bx，而將x＝xi代入時，得到y(tǒng)的值與所測得的yi之間存在著一定的誤差，誤差為yi－y＝y(tǒng)i－(a＋bxi）＝y(tǒng)i－a－bxi（i＝1,2,…，n)，那么,我們要想用y＝a＋bx擬合得好一點,就要使誤差小一點．但不能把這些誤差直接相加，這是因為它們有正有負(fù)，相加可能抵消一部分，為了不使誤差之和正負(fù)抵消，我們可設(shè)全部誤差的平方和為Q(a,b)，即Q(a，b）＝eq\o(∑,\s\up6（n)，\s\do4（i＝1））（yi－a－bxi)2，用Q的大小來度量總的誤差大小，Q是a，b的二元函數(shù)．當(dāng)b＝eq\f（\o(∑,\s\up6（n),\s\do4（i＝1）)xiyi－n\x\to（x）\x\to（y），\o（∑，\s\up6(n），\s\do4（i＝1)）x\o\al（2,i）－n\x\to(x)2）時，Q(a，b)最小,此時a＝eq\x\to(y）－beq\x\to(x)。由此看來，所取的樣本點不同，有可能得到的線性回歸方程不同．題型一求線性回歸方程【例題1】一個車間為了規(guī)定工時定額，需要確定加工零件所花費的時間,為此進行了10次試驗．測得的數(shù)據(jù)如下表所示：零件數(shù)x/個102030405060708090100加工時間y/分626875818995102108115122(1)求y對x的線性回歸方程；(2)據(jù)此估計加工200個零件所用的時間是多少？反思：計算線性回歸方程比較麻煩,對于樣本點較少的情況可直接代入公式計算求值．實際問題中的數(shù)據(jù)都不好算，一般要借助計算器來完成．題型二計算線性相關(guān)系數(shù)【例題2】某工廠有一大型機器設(shè)備,其使用年限x(年)與所支出的維修費用y(萬元)有如下的統(tǒng)計資料:使用年限x/年2345678維修費用y/萬元2。23.55。26.77.88。19。8請問維修費用y與使用年限x之間是否具有線性相關(guān)關(guān)系？如果具有，請求出線性回歸方程．分析：本題為探索兩個變量之間是否具有線性相關(guān)關(guān)系的題型，可通過計算線性相關(guān)系數(shù)來加以判斷，因為數(shù)據(jù)比較多，可列表分項計算．反思：對于數(shù)量比較多的數(shù)據(jù)判斷它們相應(yīng)的變量是否線性相關(guān),可通過計算線性相關(guān)系數(shù)來判斷．題型三利用回歸分析進行有效預(yù)測【例題3】為了了解某地母親身高x與女兒身高y的相關(guān)關(guān)系，現(xiàn)隨機測得10對母女的身高，所得數(shù)據(jù)如下表所示：母親身高x/cm159160160163159154159158159157女兒身高y/cm158159160161161155162157162156（1)試對x與y進行線性回歸分析，并預(yù)測當(dāng)母親身高為161cm時，（2）求相關(guān)系數(shù)r，并分析模型的擬合效果．分析：通過觀察兩變量對應(yīng)的數(shù)據(jù)，可判斷x與y之間存在線性相關(guān)關(guān)系，通過列表計算,求出回歸方程,并通過計算線性相關(guān)系數(shù)來判斷兩變量的線性相關(guān)程度．反思：一個模型擬合得好不好，可通過計算線性相關(guān)系數(shù)r來判斷，|r｜的值越接近于1，變量之間的線性相關(guān)程度越高，擬合得越好．答案:【例題1】解：(1)列出下表，并用科學(xué)計算器進行計算.i12345678910xi102030405060708090100yi626875818995102108115122xiyi62013602250324044505700714086401035012200eq\x\to（x）＝55,eq\x\to(y)＝91.7，eq\o（∑，\s\up6(10)，\s\do4（i＝1)）xeq\o\al（2，i)＝38500，eq\o（∑，\s\up6(10），\s\do4(i＝1）)xiyi＝55950設(shè)所求的回歸直線方程為y＝bx＋a。同時，利用上表可得b＝eq\f（\o(∑,\s\up6（10）,\s\do4(i＝1))xiyi－10\x\to（x）\x\to(y），\o（∑，\s\up6(10),\s\do4（i＝1）)x\o\al（2,i)－10\x\to（x)2)＝eq\f（55950－10×55×91.7,38500－10×552)≈0。668，a＝eq\x\to（y)－beq\x\to(x）≈91.7－0.668×55＝54.96,即所求的線性回歸方程為y＝0。668x＋54。96.（2）這個線性回歸方程的意義是當(dāng)x增大1時，y的值約增加0。668，而54。96是y不隨x增大而變化的部分．因此當(dāng)x＝200時，y的估計值為y＝54.96＋0。668×200＝188。56≈189.故加工200個零件時所用的時間約為189分．【例題2】解：列表：ixiyixeq\o\al(2，i)yeq\o\al(2，i)xiyi122。244。844。4233。5912。2510.5345。21627。0420。8456.72544.8933.5567.83660.8446。8678。14965。6156.7789。86496.0478。4∑3543。3203311。51251.1由此可得：eq\x\to（x）＝5,eq\x\to（y）≈6.1857，eq\i\su（i＝1,7，x)iyi＝251.1，eq\i\su（i＝1,7，x)eq\o\al(2，i)＝203,eq\i\su(i＝1,7,y)eq\o\al(2,i)＝311.51.∴線性相關(guān)系數(shù)r＝eq\f(\i\su（i＝1，7,x)iyi－7\x\to（x)\x\to（y)，\r（\i\su（i＝1，7，x）\o\al（2，i）－7\x\to(x)2）\r（\i\su（i＝1，7,y）\o\al（2，i）－7\x\to(y）2））≈eq\f（251。1－7×5×6。1857,\r(203－7×52）×\r(311.51－7×6.18572）)≈0。9895?！嗑S修費用與使用年限之間存在線性相關(guān)關(guān)系．b＝eq\f(\i\su(i＝1,7,x）iyi－7\x\to（x)\x\to(y）,\i\su(i＝1,7,x)\o\al(2,i)－7\x\to(x)2)≈eq\f(251。1－7×5×6.1857，203－7×52)≈1.2357,a＝eq\x\to(y）－beq\x\to（x）≈6。1857－1.2357×5＝0。0072,∴線性回歸方程為y＝0.0072＋1。2357x?！纠}3】解:列表：ixiyixeq\o\al(2，i）yeq\o\al（2,i)xiyi11591582528124964251222160159256002528125440316016025600256002560041631612656925921262435159161252812592125599615415523716240252387071591622528126244257588158157249642464924806915916225281262442575810157156246492433624492∑15881591252222253185252688(1）由表可得eq\x\to（x）＝158。8，eq\x\to(y）＝159。1,eq\i\su(i＝1,10，x)eq\o\al(2，i)＝252222，eq\i\su(i＝1，10,y)eq\o\al（2，i）＝253185，eq\i\su(i＝1，10，x)iyi＝252688，進而可以求得b＝eq\f(\o(∑，\s\up6（10），\s\do4（i＝1)）xiyi－10\x\to（x）\x\to（y)，\o（∑,\s\up6(10),\s\do4(i＝1））x\o\al（2,i）－10\x\to（x)2）＝eq\f（252688－10×158.8×159.1,252222－10×158。82）≈0。78，a＝eq\x\to(y）－beq\x\to(x）＝159.1－0。78×158.8≈35，∴線性回歸方程為y＝35＋0.78x。當(dāng)x＝161cm時，y＝160。58(2）r＝eq\f(\o（∑,\s\up6（10）,\s\do4(i＝1））xiyi－10\x\to（x）\x\to（y)，\r(\o(∑,\s\up6(10），\s\do4(i＝1))x\o\al（2，i)－10\x\to(x）2）\r(\o(∑，\s\up6(10），\s\do4(i＝1))y\o\al（2，i)－10\x\to（y）2）)＝eq\f（252688－10×158。8×159.1，\r(252222－10×158。82）×\r（253185－10×159。12))≈0。715，說明模型擬合得效果較好．1由一組數(shù)據(jù)(x1，y1），(x2，y2）,…，(xn,yn)得到的線性回歸方程為y＝a＋bx，則下列說法正確的是（）．A．直線y＝a＋bx必過點（，）B．直線y＝a＋bx至少經(jīng)過點（x1，y1)，(x2,y2)，…,（xn，yn）中的一點C．直線y＝a＋bx是由(x1，y1），（x2，y2),…，（xn,yn）中的兩點確定的D．(x1,y1)，（x2，y2）,…，（xn，yn）這n個點到直線y＝a＋bx的距離之和最小答案:A正確理解線性回歸方程的含義，所求的線性回歸方程并不一定要經(jīng)過這n個樣本點中的某些點，而是這n個點到直線的距離的平方和最小，即用最小二乘法求出線性回歸方程中a，b的值,由于a＝，即，由此可以看出（，)適合線性回歸方程y＝a＋bx，所以直線y＝a＋bx必過點(，）．2對于線性相關(guān)系數(shù)r，下列說法正確的是（)．A．r∈（－∞，＋∞)，