專題21 探究型之最值問題（解析板）

一、選擇題二、填空題1.（黔東南）在如圖所示的平面直角坐標系中，點P是直線y=x上的動點，A（1，0），B（2，0）是x軸上的兩點，則PA+PB的最小值為▲．【答案】.【解析】考點：1.軸對稱的應用（最短路線問題）；2.直線上點的坐標與方程的關系；3.勾股定理.2.（十堰）如圖，扇形OAB中，∠AOB=60°，扇形半徑為4，點C在上，CD⊥OA，垂足為點D，當△OCD的面積最大時，圖中陰影部分的面積為▲．【答案】.【解析】考點：1.勾股定理；2.扇形面積的計算；3.二次函數的最值；4.轉換思想的應用．3.（張家界）如圖，AB、CD是⊙O兩條弦，AB=8，CD=6，MN是直徑，AB⊥MN于E,CD⊥MN于點F,P為EF上任意一點,，則PA+PC的最小值為▲．【答案】.【解析】試題分析：由于A、B兩點關于MN對稱，因而PA+PC=PB+PC，即當B、C、P在一條直線上時，PA+PC的最小，即BC的值就是PA+PC的最小值．因此，如答圖，連接BC，OB，OC，過點C作CH垂直于AB于H．∵AB=8，CD=6，MN是直徑，AB⊥MN于點E，CD⊥MN于點F，∴BE=AB=4，CF=CD=3.考點：1.軸對稱的應用（最短路線問題）；2.勾股定理；3.垂徑定理．4.（南京）鐵路部門規(guī)定旅客免費攜帶行李箱的長寬高之和不超過160cm，某廠家生產符合該規(guī)定的行李箱，已知行李箱的高為30cm，長與寬之比為3:2，則該行李箱長度的最大值是▲cm.考點：一元一次不等式的應用．5.（寧夏）如下圖，將△ABC放在每個小正方形的邊長為1的網格中，點A、B、C均落在格點上，用一個圓面去覆蓋△ABC，能夠完全覆蓋這個三角形的最小圓面的半徑是▲．【答案】.【解析】考點：1.網格問題；2.三角形外心的性質；3.勾股定理；4.數形結合思想的應用.6.（濰坊）我國古代有這樣一道數學問題：“枯木一根直立地上'高二丈周三尺，有葛藤自根纏繞而上，五周而達其頂，問葛藤之長幾何？，題意是：如圖所示，把枯木看作一個圓柱體，因一丈是十尺，則該圓柱的高為20尺，底面周長為3尺，有葛藤自點A處纏繞而上，繞五周后其末端恰好到達點B處．則問題中葛藤的最短長度是尺．【答案】25.【解析】考點：1.平面展開-最短路徑問題；2.勾股定理．7.（成都）如圖，在邊長為2的菱形ABCD中，∠A=60°，M是AD邊的中點，N是AB邊上一動點，將△AMN沿MN所在的直線翻折得到△A′MN，連接A′C.則A′C長度的最小值是▲.【答案】.【解析】考點：1.單動點和折疊問題；2.菱形的性質；3.銳角三角函數定義；4.特殊角的三角函數值；5.三角形邊角關系；6.勾股定理；7.折疊對稱的性質.三、解答題1.（福州）（滿分14分）如圖，拋物線與x軸交于A，B兩點（點A在點B的左側），與y軸交于點C，頂點為D.（1）求點A，B，D的坐標；（2）連接CD，過原點O作OE⊥CD，垂足為H，OE與拋物線的對稱軸交于點E，連接AE，AD.求證：∠AEO=∠ADC；（3）以（2）中的點E為圓心，1為半徑畫圓，在對稱軸右側的拋物線上有一動點P，過點P作⊙O的切線，切點為Q，當PQ的長最小時，求點P的坐標，并直接寫出點Q的坐標.【答案】（1），，；（2）證明見解析；（3）（5，1）；（3，1）或..【解析】試題分析：（1）直接根據頂點式寫出頂點D的坐標；令y=0，解之即可求得點A，B，的坐標.（2）過D點作DG⊥y軸于點G，設拋物線對稱軸交x軸于點M，AE交CD于點F，通過△DCG∽△EOM的證明求出點E的坐標，應用勾股定理逆定理，證明△AED是直角三角形，從而得出結論.（3）由⊙E的半徑為1，根據勾股定理得，故要使切線長PQ最小，只需EP長最小，即最小，設點P的坐標為（x，y），根據勾股定理得，將化為整體代入即得到關于y的二次函數，應用二次函數的最值原理即可求得當PQ的長最小時，點P的坐標.設點Q的坐標為（m，n），則由⊙E的半徑為1，根據勾股定理可得；由切線的性質可得，即，聯立二方程解得或，從而得到點Q的坐標.由勾股定理，得，∴.∴△AED是直角三角形.設AE交CD于點F，∴∠ADC+∠AFD=90°.又∵∠AEO+∠HFE=90°，∠AFD=∠HFE，∴∠AEO=∠ADC.（3）由⊙E的半徑為1，根據勾股定理得，∴要使切線長PQ最小，只需EP長最小，即最小.設點P的坐標為（x，y），根據勾股定理得.考點：1.二次函數綜合題；2.單動點問題；3.曲線上點的坐標與方程的關系；4.直角三角形兩銳角的關系；5.相似三角形的判定和性質；6.勾股定理和逆定理；7.切線的性質；8.二次函數的性質；9.解二元二次方程組.2.（梅州）（本題滿分11分）如圖，已知拋物線與x軸的交點為A、D（A在D的右側），與y軸的交點為C.（1）直接寫出A、D、C三點的坐標；（2）在拋物線的對稱軸上找一點M，使得MD+MC的值最小，并求出點M的坐標；（3）設點C關于拋物線對稱的對稱點為B，在拋物線上是否存在點P，使得以A、B、C、P四點為頂點的四邊形為梯形？若存在，求出點P的坐標；若不存在，請說明理由.【答案】（1）A(4，0)、D(－2，0)、C(0，－3)；（2）連接AC，則AC與拋物線的對稱軸交點M即為所求，M(1，)；（3）存在，(－2，0)或(6，6).【解析】∴直線AC的解析式為.∵的對稱軸是直線，把x=1代入得`∴M(1，).（3）存在，分兩種情況：①如圖，當BC為梯形的底邊時，點P與D重合時，四邊形ADCB是梯形，此時點P為(－2，0).②如圖，當BC為梯形的腰時，過點C作CP//AB，與拋物線交于點P，∵點C，B關于拋物線對稱，∴B(2，－3)設直線AB的解析式為，則，解得.綜上所述，在拋物線上存在點P，使得以A、B、C、P四點為頂點的四邊形為梯形，點P的坐標為(－2，0)或(6，6).考點：1.二次函數綜合題；2.待定系數法的應用；3.曲線上點的坐標與方程的關系；4.軸對稱的應用（最短線路問題）；5.二次函數的性質；6.梯形存在性問題；7.分類思想的應用.3.（黔東南）（14分）如圖，直線y=x+2與拋物線y=ax2+bx+6（a≠0）相交于A和B（4，m），點P是線段AB上異于A、B的動點，過點P作PC⊥x軸于點D，交拋物線于點C．（1）求拋物線的解析式；（2）是否存在這樣的P點，使線段PC的長有最大值，若存在，求出這個最大值；若不存在，請說明理由；（3）求△PAC為直角三角形時點P的坐標．【答案】（1）y=2x2﹣8x+6；（2）當時，線段PC最大且為；（3）P（3，0）或P．【解析】試題分析：（1）已知B（4，m）在直線y=x+2上，可求得m的值，拋物線圖象上的A、B兩點坐標，可將∴拋物線的解析式為y=2x2﹣8x+6．（2）存在.設動點P的坐標為（n，n+2），則C點的坐標為（n，2n2﹣8n+6），∴.∵，∴當時，線段PC最大且為．（3）設直線AC的解析式為y=﹣x+b，考點：1.二次函數綜合題；2.單動點問題；3.待定系數法的應用；4.曲線上點的坐標與方程的關系；5.二次函數的性質；6.直角三角形的判定．4.（武漢）如圖，已知直線AB：與拋物線交于A、B兩點，（1）直線AB總經過一個定點C，請直接寫出點C坐標；（2）當時，在直線AB下方的拋物線上求點P，使△ABP的面積等于5；（3）若在拋物線上存在定點D使∠ADB＝90°，求點D到直線AB的最大距離.【答案】（1）（-2，4）；（2）（-2，2）或（1，）；（3）.【解析】聯立，解得：或．∴點A的坐標為（-3，），點B的坐標為（2，2）．如答圖1，過點P作PQ∥y軸，交AB于點Q，過點A作AM⊥PQ，垂足為M，過點B作BN⊥PQ，垂足為N．∴符合要求的點P的坐標為（-2，2）或（1，）．（3）如答圖2，過點D作x軸的平行線EF，作AE⊥EF，垂足為E，作BF⊥EF，垂足為F．∵點A、B是直線AB：與拋物線交點，∴m、n是方程即兩根．∴．∴，即，即.∴（舍）．∴點D到直線AB的最大距離為．考點：1.二次函數綜合題；2.因式分解法解一元二次方程；3.根與系數的關系；4.勾股定理；5.相似三角形的判定和性質；6.分類思想的應用．5.（襄陽）（12分）如圖，在平面直角坐標系中，矩形OCDE的三個頂點分別是C（3，0），D（3，4），E（0，4）．點A在DE上，以A為頂點的拋物線過點C，且對稱軸x=1交x軸于點B．連接EC，AC．點P，Q為動點，設運動時間為t秒．（1）填空：點A坐標為▲；拋物線的解析式為▲．（2）在圖1中，若點P在線段OC上從點O向點C以1個單位/秒的速度運動，同時，點Q在線段CE上從點C向點E以2個單位/秒的速度運動，當一個點到達終點時，另一個點隨之停止運動．當t為何值時，△PCQ為直角三角形？（3）在圖2中，若點P在對稱軸上從點A開始向點B以1個單位/秒的速度運動，過點P做PF⊥AB，交AC于點F，過點F作FG⊥AD于點G，交拋物線于點Q，連接AQ，CQ．當t為何值時，△ACQ的面積最大？最大值是多少？【答案】（1）（1，4），y=﹣x2+2x+3；（2）或；（3）當t=2時，△ACQ的面積最大，最大值是1．【解析】試題解析：（1）（1，4），y=﹣（x﹣1）2+4．（2）依題意有：OC=3，OE=4，∴.當∠QPC=90°時，∵，∴，解得.當∠PQC=90°時，∵，∴，解得.∴QF=∴.∴當t=2時，△ACQ的面積最大，最大值是1．考點：1.二次函數綜合題；2.雙動點問題；3.待定系數法的應用；4.曲線上點的坐標與方程的關系；5.二次函數的性質；6.矩形的性質；7.勾股定理；8.由實際問題列函數關系式；9.分類思想和轉換思想的應用.6.（孝感）（本題滿分12分）如圖1，矩形ABCD的邊AD在y軸上，拋物線經過點A、點B，與x軸交于點E、點F，且其頂點M在CD上．（1）請直接寫出下列各點的坐標：A▲，B▲，C▲，D▲；（4分）（2）若點P是拋物線上一動點（點P不與點A、點B重合），l與直線AB交于點G，與直線BD交于點H，如圖2．①當線段PH=2GH時，求點P的坐標；（4分）②當點P在直線BD下方時，點K在直線BD上，且滿足△KPH∽△AEF，求△KPH面積的最大值．（4分）【答案】（1）A（0，3），B（4，3），C（4，－1），D（0，－1）；（2）①或；②．【解析】試題分析：（1）令x=0，得到點A的坐標，再根據點A的縱坐標得到點B的坐標，根據拋物線的頂點式和設點P的坐標為，則點H，點G．i）當且x≠4時，點G在PH的延長線上，如答圖①．∵PH＝2GH，∴，，解得．當時，點P，H，G重合于點B，舍去．∴，此時點P的坐標為．ii）當時，點G在PH的反向延長線上，如圖②，PH＝2GH不成立．iii）當時，點G在線段PH上，如圖③．∵PH＝2GH，∴，即，解得（舍去）.∴，此時點P的坐標為．綜上所述可知，點P的坐標為或．②如圖④，令，得，∴E，F，∴EF＝2．∴．∵△KPH∽△AEF，∴.考點：1.二次函數綜合題；單動點問題；3.曲線上點的坐標與方程的關系；4.待定系數法的應用；5二次函數的性質；6.矩形的性質；7.相似三角形的判定和性質；8.分類思想的應用．7.（呼和浩特）（12分）如圖，已知直線l的解析式為，拋物線y=ax2＋bx＋2經過點A（m，0），B（2，0），D三點．（1）求拋物線的解析式及A點的坐標，并在圖示坐標系中畫出拋物線的大致圖象；（2）已知點P（x，y）為拋物線在第二象限部分上的一個動點，過點P作PE垂直x軸于點E,延長PE與直線l交于點F，請你將四邊形PAFB的面積S表示為點P的橫坐標x的函數，并求出S的最大值及S最大時點P的坐標；（3）將（2）中S最大時的點P與點B相連，求證：直線l上的任意一點關于x軸的對稱點一定在PB所在直線上．【答案】（1），（–4，0），作圖見解析；（2），其中–4<x<0，12，（–2，2）；（3）證明見解析.【解析】試題解析：（1）∵y=ax2＋bx＋2經過B（2，0），D，∴，解得（2）∵由題設知直線l的解析式為，∴.又∵AB=6，∴.∴將四邊形PAFB的面積S表示為點P的橫坐標x的函數為，其中–4<x<0.∵，∴S最大=12，此時點P的坐標為（–2，2）.（3）∵直線PB過點P（–2，2）和點B（2，0），.考點：1.二次函數與一次函數綜合題；2.待定系數法的應用；3.曲線上點的坐標與方程的關系；4.由實際問題列函數關系式；5.二次函數最值的應用.8.（寧夏）（10分）在Rt△ABC中，∠C=90°，P是BC邊上不同于B、C的一動點，過P作PQ⊥AB,垂足為Q，連接AP．（1）試說明不論點P在BC邊上何處時，都有△PBQ與△ABC相似；（2）若AC=3，BC=4，當BP為何值時，△AQP面積最大，并求出最大值；（3）在Rt△ABC中，兩條直角邊BC、AC滿足關系式BC=AC，是否存在一個的值，使Rt△AOP既與Rt△ACP全等，也與Rt△BQP全等．【答案】（1）說明見解析；（2）當BP=時，△APQ的面積最大，最大值是；（3）存在.【解析】試題分析：（1）由∠PQB=∠C=90°，∠B=∠B，根據相似三角形的判定得出結論.（2）求出△AQP面積關于BP的二次函數，應用二次函數的最值原理求解即可.（3）根據Rt△AOP≌Rt△ACP≌Rt△BQP求出的值即可.在Rt△ABC中，由勾股定理，得.∴BC=AC.∴時，Rt△AQP既與Rt△ACP全等，也與Rt△BQP.考點：1.單動點問題；2.相似三角形的性質；3.由實際問題列函數式；4.二次函數的最值；4.全等三角形的性質.9.（濱州）（本小題滿分12分）如圖，矩形ABCD中，AB=20，BC=10，點P為AB邊上一動點，DP交AC于點Q.（1）求證：△APQ∽△CDQ；（2）P點從A點出發(fā)沿AB邊以每秒1個單位的速度向B點移動，移動時間為t秒.①當t為何值時，DP⊥AC？②設，寫出y與t之間的函數解析式，并探究P點運動到第幾秒到第幾秒之間時，y取得最小值.【答案】（1）證明見解析；（2）①5；②，8-9.【解析】試題分析：（1）如圖，由矩形的性質求出∠1=∠2，∠3=∠4即可證明△APQ∽△CDQ.（2）①當DP⊥AC時，由△ADC∽△PAD列比例式可求解.（2）①當DP⊥AC時，∴∠4+∠2=90o.又∵∠5+∠2=90o，∴∠4=∠5.又∵∠ADC=∠DAP=90o，∴△ADC∽△PAD.∴，即.∴PA=5.t012345678910y10095.4891.8888.9186.678583.8583.1582.8682.9383.33t11121314151617181920y84.038586.2187.6589.2993.1195.2697.56100從表中可看出：當時；y隨t的值的增大而減?。划敃r；y隨t的值的增大而增大.∴P點運動到第8秒到第9秒之間時，y取得最小值.考點：1.單動點問題；2.相似三角形的判定和性質；3.由實際問題列函數關系式；4.列表求函數值分析函數的性質.10.（成都）（本小題滿分12分）如圖，已知拋物線（為常數，且）與軸從左至右依次交于A,B兩點，與軸交于點C，經過點B的直線與拋物線的另一交點為D.（1）若點D的橫坐標為-5，求拋物線的函數表達式；（2）若在第一象限的拋物線上有點P，使得以A，B，P為頂點的三角形與△ABC相似，求的值；（3）在（1）的條件下，設F為線段BD上一點（不含端點），連接AF，一動點M從點A出發(fā)，沿線段AF以每秒1個單位的速度運動到F，再沿線段FD以每秒2個單位的速度運動到D后停止.當點F的坐標是多少時，點M在整個運動過程中用時最少？【答案】（1）；（2）或；（3）F.【解析】試題分析：（1）根據點在曲線上點的坐標滿足方程的關系，依次求出的值得到直線的解析式、點D的縱坐標、的值得到拋物線的函數表達式.∵BM=9，AB=6，∴BF=，BD=，AF=（2）分△PAB∽△ABC和△PAB∽△BAC兩種情況討論即可.（3）過點D作DH⊥y軸于點H，過點A作AG⊥DH于點G，交BD于點F，則點F即為所求，理由是，（2）易得，點C的坐標為，則.設點P的坐標為，分兩種情況：①若△PAB∽△ABC，則∠PAB=∠ABC，.∴由∠PAB=∠ABC得，即.∴，解得.此時點P的坐標為，，∴由得，解得.②若△PAB∽△BAC，則∠PAB=∠BAC，.∴由∠PAB=∠BAC得，即.∴，解得.此時點P的坐標為，，∴由得，解得.（3）如圖，過點D作DH⊥y軸于點H，過點A作AG⊥DH于點G，交BD于點F，則點F即為所求.考點：1.單動點問題；2.二次函數和一次函數交點問題；3.曲線上點的坐標與方程的關系；4.勾股定理；5.相似三角形的判定；6.垂直線段最短的性質；7.分類思想和數形結合思想的應用.11.（天津）（本小題10分）在平面直角坐標系中，O為原點，點A（-2，0），點B（0，2），點E，點F分別為OA，OB的中點.若正方形OEDF繞點O順時針旋轉，得正方形OE’D’F’，記旋轉角為α.（1）如圖①，當α＝90°，求AE'，BF'的長；（2）如圖②，當α＝135°，求證AE'＝BF'，且AE'⊥BF'；（3）若直線AE'與直線BF'相交于點P，求點P的縱坐標的最大值（直接寫出結果即可）.【答案】（1），；（2）證明見解析；（3）.【解析】（2）當α=135°時，如圖②．∵正方形OE′D′F′是由正方形OEDF繞點O順時針旋轉135°所得，∴∠AOE′=∠BOF′=135°．在△AOE′和△BOF′中，∵，∴△AOE′≌△BOF′（SAS）．∴AE′=BF′，且∠OAE′=∠OBF′．∵∠ACB=∠CAO+∠AOC=∠CBP+∠CPB，∠CAO=∠CBP，∴∠CPB=∠AOC=90°.∴AE′⊥BF′．（3）在第一象限內，當點D′與點P重合時，點P的縱坐標最大．考點：1.面動旋轉問題；2.三角形的外角性質；3.全等三角形的判定和性質；4.含30度角的直角三角形的性質；5.勾股定理．12.（新疆、兵團）（12分）如圖，直線與x軸交于A點，與y軸交于B點，動點P從A點出發(fā)，以每秒2個單位的速度沿AO方向向點O勻速運動，同時動點Q從B點出發(fā)，以每秒1個單位的速度沿BA方向向點A勻速運動，當一個點停止運動，另一個點也隨之停止運動，連接PQ，設運動時間為t（s）（0＜t≤3）．（1）寫出A，B兩點的坐標；（2）設△AQP的面積為S，試求出S與t之間的函數關系式；并求出當t為何值時，△AQP的面積最大？（3）當t為何值時，以點A，P，Q為頂點的三角形與△ABO相似，并直接寫出此時點Q的坐標．【答案】（1）點A（6，0），B（0，8）；（2），3；（3）t=秒時，以點A，P，Q為頂點的三角形與△ABO相似，此時點Q的坐標為.【解析】∵點P的速度是每秒2個單位，點Q的速度是每秒1個單位，∴AP=2t，AQ=AB﹣BQ=10﹣t.∴點Q到AP的距離為AQ?sin∠OAB=（10﹣t）×=（10﹣t），∴△AQP的面積.∴S與t之間的函數關系式為.∵，＜0，0＜t≤3，∴當t=3時，△AQP的面積最大，.（3）若∠APQ=90°，則，∴，解得.考點：1.一次函數綜合題；2.雙動點問題；3.由實際問題列函數關系式；4.勾股定理；5.銳角三角函數定義；6.二次函數的性質；7.相似三角形的判定和性質；8.分類思想的應用．13.（重慶A）如圖，拋物線的圖象與x軸交于A、B兩點（點A在點B的左邊），與y軸交于點C，點D為拋物線的頂點.（1）求A、B、C的坐標；（2）點M為線段AB上一點（點M不與點A、B重合），過點M作x軸的垂線，與直線AC交于點E，與拋物線交于點P，過點P作PQ∥AB交拋物線于點Q，過點Q作QN⊥x軸于點N.若點P在點Q左邊，當矩形PQMN的周長最大時，求△AEM的面積；（3）在（2）的條件下，當矩形PMNQ的周長最大時，連接DQ.過拋物線上一點F作y軸的平行線，與直線AC交于點G（點G在點F的上方）.若FG=DQ，求點F的坐標.【答案】（1）A（-3，0），B（1，0），C（0，3）；（2）；（3）或（1，0）.【解析】試題分析：（1）依據拋物線的解析式直接求得C的坐標，令y=0解方程即可求得A、B點的坐標.（2）求出矩形PQMN的周長關于點M橫坐標的解析式，應用二次函數最值原理求出矩形PQMN的周長時點M橫坐標的值，求出此時△AEM的面積.（3）根據FG=DQ列關于點F橫坐標的方程求解即可．設直線AC的解析式為，則，解得.∴直線AC的解析式為.將x=-2代入，得y=1，∴.∴.（3）由（2）知，當矩形PQMN的周長最大時，x=-2，此時，，與點C重合，∴OQ=3.由得.如圖，過點D作DK⊥y軸于點K，則DK=1，OK=4，∴QK=OK-OQ=4-3=1.∴△DKQ是等腰直角三角形，.∴.設，則，∴，解得.當時，；當時，.∴點F的坐標為或（1，0）.考點：1.二次函數綜合題；2.單動點問題；3.曲線上點的坐標與方程的關系；4.三角形面積的確定；5.二次函數最值的應用；6.數形結合思想的應用．14.（重慶B）如圖，已知拋物線與x軸交于A、B兩點（點A在點B的左邊），與y軸交于點C，連接BC.（1）求A、B、C三點的坐標；（2）若點P為線段BC上的一點（不與B、C重合），PM∥y軸，且PM交拋物線于點M，交x軸于點N，當△BCM的面積最大時，求△BPN的周長；（3）在（2）的條件下，當BCM的面積最大時，在拋物線的對稱軸上存在點Q，使得△CNQ為直角三角形，求點Q的坐標.【答案】（1），C（0，3）；（2）；（3）或或或.【解析】試題分析：（1）在中分別令y=0，x=0，即可求得A、B、C三點的坐標.（2）當過點M且與BC平行的直線與拋物線只有學科網一個交點（叫直線與拋物線相切）時，△