專題04-相似三角形中的最值問(wèn)題專練(二)(解析版)九下數(shù)學(xué)專題培優(yōu)訓(xùn)練

第=page22頁(yè)，共=sectionpages22頁(yè)專題04相似三角形中的最值問(wèn)題專練（二）班級(jí)：___________姓名：___________得分：___________一、選擇題如圖，在△ABC中，AB=AC=5，BC=45，D為邊AB上一動(dòng)點(diǎn)(B點(diǎn)除外)，以CD為一邊作正方形CDEF，連接BE，則△BDE面積的最大值為(????)．A.5 B.45 C.8 D.【答案】C【分析】

本題考查了正方形，熟練運(yùn)用正方形的性質(zhì)與相似三角形的判定與性質(zhì)以及全等三角形的判定與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.過(guò)點(diǎn)C作CG⊥BA于點(diǎn)G，作EH⊥AB于點(diǎn)H，作AM⊥BC于點(diǎn)M.由AB=AC=5，BC=45，得到BM=CM=25，易證△AMB∽△CGB，求得GB=8，設(shè)BD=x，則DG=8?x，易證△EDH≌△DCG，EH=DG=8?x，所以S△BDE=12BD?EH=12x(8?x)=?12(x?4)2+8，當(dāng)x=4時(shí)，△BDE面積的最大值為8．

【解答】

解：過(guò)點(diǎn)C作CG⊥BA于點(diǎn)G，作EH⊥AB于點(diǎn)H，作AM⊥BC于點(diǎn)M．

∵AB=AC=5，BC=45，

∴BM=CM=25，

∵∠BGC=90°，AM⊥BC，

∴∠AMB=90°，

∴∠BGC=∠AMB，

又∵∠ABM=∠CBG，

∴△AMB∽△CGB，

∴BMGB=ABCB，

即25GB=545，

∴GB=8，

設(shè)BD=x，則DG=8?x，

易證△EDH≌△DCG(AAS)，如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，四邊形OABC的頂點(diǎn)坐標(biāo)分別為O(0,0)，A(12,0)，B(8,6)，C(0,6).動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)O出發(fā)，以每秒3個(gè)單位長(zhǎng)度的速度沿邊OA向終點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)；動(dòng)點(diǎn)Q從點(diǎn)B同時(shí)出發(fā)，以每秒2個(gè)單位長(zhǎng)度的速度沿邊BC向終點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)．設(shè)運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t秒，作AG⊥PQ于點(diǎn)G，則AG的最大值為(

)A.73 B.1855 C.365 【答案】B【分析】

本題主要考查坐標(biāo)與圖形的知識(shí)，相似三角形的判定和性質(zhì)，兩點(diǎn)之間的距離.根據(jù)相似三角形得出PQ經(jīng)過(guò)一個(gè)定點(diǎn)是解題的關(guān)鍵．

連接OB交PQ于點(diǎn)D，連接AD，先證△BDQ∽△ODP，確定D點(diǎn)坐標(biāo)，即可解答．

【解答】

解：如圖：連接OB交PQ于點(diǎn)D，連接AD，

當(dāng)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t時(shí)，OP=3t，BQ=2t，

∵?O(0,0)，A(12,0)，B(8,6)，C(0,6)，

∴OA//BC，

∴△BDQ∽△ODP，

∴BDOD=BQOP=23

∴PQ恒過(guò)點(diǎn)D，

∴D的坐標(biāo)為8×35,6×35，即D245如圖，線段AB為⊙O的直徑，點(diǎn)C在AB的延長(zhǎng)線上，AB=4，BC=2，點(diǎn)P是⊙O上一動(dòng)點(diǎn)，連接CP，以CP為斜邊在PC的上方作Rt△PCD，且使∠DCP=60°，連接OD，則OD長(zhǎng)的最大值為(????)A.19 B.23 C.23+1 【答案】C【分析】如圖，作△COE，使得∠CEO=90°，∠ECO=60°，則CO=2CE，OE=23，∠OCP=∠ECD，由△COP∽△CED，得比例式，從而求得ED=1(定長(zhǎng))，由點(diǎn)E是定點(diǎn)，DE是定長(zhǎng)，推出點(diǎn)D在半徑為1的⊙E上，由此即可解決問(wèn)題．

本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)及圓的有關(guān)概念及性質(zhì)，熟練掌握相關(guān)性質(zhì)及定理是解題的關(guān)鍵．

【解答】解：如圖，作△COE，使得∠CEO=90°，∠ECO=60°，則

CO=2CE，OE=23，∠OCP=∠ECD，

∵∠CDP=90°，∠DCP=60°，

∴CP=2CD，

∴COCE=CPCD=2

∴△COP∽△CED，

∴OPED=CPCD=2，

即

ED=12OP=1(

定長(zhǎng)

)，

∵點(diǎn)

E

是定點(diǎn)，DE

是定長(zhǎng)，

∴點(diǎn)D在半徑為如圖，矩形DEFG的邊EF在△ABC的邊BC上，頂點(diǎn)D，G分別在邊AB，AC上，AH⊥BC，垂足為H，AH交DG于點(diǎn)P，已知BC=6，AH=4.當(dāng)矩形DEFG面積最大時(shí)，HP的長(zhǎng)是(A.1 B.2 C.3 D.4【答案】B【分析】

本題考查了矩形的性質(zhì)，相似三角形的性質(zhì)和判定，二次函數(shù)的最值等知識(shí)點(diǎn)，能求出關(guān)于x的二次函數(shù)的解析式是解此題的關(guān)鍵．

設(shè)HP=x，則DE=GF=x，根據(jù)矩形的性質(zhì)得出DG=EF，DE=GF=HP=x，DG//EF，求出△ADG∽△ABC，根據(jù)相似求出DG=6?32x，再根據(jù)面積公式得出二次函數(shù)的解析式，最后求出最值即可．

【解答】

解：設(shè)HP=x，則DE=GF=x，

∵四邊形DEFG是矩形，

∴DG=EF，DE=GF=HP=x，DG//EF，

∵AH⊥BC，

∴AH⊥DG，

∵DG//EF，

∴△ADG∽△ABC，

∴DGBC=APAH，

∴DG6=4?x4，

解得：DG=6?32x，

∴矩形DEFG的面積S=DG×DE=(6?32x)x=?32有一等腰三角形紙片ABC，AB=AC，裁剪方式及相關(guān)數(shù)據(jù)如圖所示，則得到的甲、乙、丙、丁四張紙片中，面積最大的是(????)

A.甲 B.乙 C.丙 D.丁【答案】D【分析】

本題主要考查了等腰三角形的性質(zhì)，三角形面積的求法及相似三角形的判定與性質(zhì)，首先由圖可得等腰三角形的面積為21，根據(jù)相關(guān)數(shù)據(jù)及相似三角形的性質(zhì)得出甲的面積和丙的面積，再求出乙和丁的面積即可．

【解答】

解：如圖，

等腰三角形的底為14，高為3，

所以等腰三角形的面積為12×14×3=21，

設(shè)三角形的高為AD，

∴△ABD的面積=△ACD的面積=212，

因?yàn)槿切渭着c△ABD相似，且相似比為5:7，

∴三角形甲的面積：三角形ABD的面積=25:49，

解得三角形甲的面積為7514，

則圖形乙的面積為212?7514=367，

同理求得三角形丙的面積為143，如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)B為(3,4)，BA⊥x軸于點(diǎn)A，BC⊥y軸于點(diǎn)C.拋物線y=ax2+bx+c經(jīng)過(guò)點(diǎn)B，C，且頂點(diǎn)在x軸的正半軸，連接OB，點(diǎn)D是線段OB上的動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)D作DE//OA交拋物線于點(diǎn)E(在對(duì)稱軸右側(cè))，過(guò)點(diǎn)E作EF⊥OB于點(diǎn)F，則△DEF周長(zhǎng)的最大值為

(????)

A.2716 B.4 C.8120 【答案】C【分析】

本題考查了二次函數(shù)的性質(zhì)，二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，待定系數(shù)法求二次函數(shù)與一次函數(shù)的解析式，相似三角形的判定與性質(zhì)，矩形的性質(zhì)，勾股定理等知識(shí)．

首先證明△DEF∽△OBA，得出當(dāng)DE取最大值時(shí)，△DEF周長(zhǎng)最大．再利用待定系數(shù)法求出拋物線的解析式為y=169(x?32)2，即y=169x2?163x+4.直線OB的解析式為y=43x.設(shè)E(x,169x2?163x+4)，則D(43x2?4x+3,169x2?163x+4)，那么DE=x?(43x2?4x+3)=?43x2+5x?3，利用配方法求出x=158時(shí)，DE有最大值2716，然后根據(jù)相似三角形對(duì)應(yīng)周長(zhǎng)的比等于相似比即可求解．

【解答】

解：∵DE//OA，EF⊥OB，

∴∠EDF=∠BOA，∠DFE=∠OAB=90°，

∴△DEF∽△OBA，

∴當(dāng)DE取最大值時(shí)，△DEF周長(zhǎng)最大．

∵BA⊥x軸于點(diǎn)A，BC⊥y軸于點(diǎn)C，點(diǎn)B為(3,4)，

∴四邊形OABC為矩形，

∴點(diǎn)C(0,4)，點(diǎn)A(3,0)．

∵拋物線y=ax2+b+c經(jīng)過(guò)點(diǎn)B、C，且頂點(diǎn)在x軸的正半軸，

∴拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為(32,0)．二、填空題一個(gè)三角形的各邊之比為2：5：6，和它相似的另一個(gè)三角形的最大邊為24，它的最小邊為_(kāi)_____．【答案】8【分析】首先設(shè)它的最小邊為x，由一個(gè)三角形的各邊之比為2：5：6，和它相似的另一個(gè)三角形的最大邊為24，根據(jù)相似三角形的對(duì)應(yīng)邊成比例，即可得方程2：6=x：24，解此方程即可求得答案．

此題考查了相似三角形的性質(zhì)．此題難度不大，注意掌握方程思想的應(yīng)用．

【解答】解：設(shè)它的最小邊為x，

∵一個(gè)三角形的各邊之比為2：5：6，和它相似的另一個(gè)三角形的最大邊為24，

∴2：6=x：24，

解得：x=8，

∴它的最小邊為8．

如圖，圖中所有四邊形都是正方形，其中左上角的n個(gè)小正方形與右下角的1個(gè)小正方形邊長(zhǎng)相等，若最大正方形邊長(zhǎng)是最小正方形邊長(zhǎng)的m倍，則用含n的代數(shù)式表示m的結(jié)果為m=______．【答案】2n+5【分析】

本題考查了列代數(shù)式，相似三角形的性質(zhì)和判定，正方形的性質(zhì)，正確的作出輔助線構(gòu)造相似三角形是解題的關(guān)鍵．如圖，過(guò)A作AB⊥FG于B，證明根據(jù)△ABC∽△CDE，相似三角形的性質(zhì)得到ABCD=BCDE=ACCE=2，設(shè)小正方形的邊長(zhǎng)為1，則答正方形的邊長(zhǎng)為m，求得BC=2DE=2，CD=12AB=12(m?1)，列方程即可得到結(jié)論．

【解答】

解：如圖，過(guò)A作AB⊥FG于B，

∵∠BAC+∠ACB=90°，∠ACB+∠DCE=90°，

∴∠BAC=∠DCE，

又∵∠ABC=∠CDE=90°，

∴△ABC∽△CDE，

∴ABCD=BCDE=ACCE=2，

設(shè)小正方形的邊長(zhǎng)為1，則大正方形的邊長(zhǎng)為如圖，在矩形ABCD中，AB=?8，AD=?6，以點(diǎn)C為圓心作⊙C與直線BD相切，點(diǎn)P是⊙C上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連接AP交BD于點(diǎn)T，則APAT的最大值是_______________．【答案】3【分析】

此題主要考查了矩形的性質(zhì)，圓的切線的性質(zhì)，相似三角形的性質(zhì)，構(gòu)造出相似三角形是解本題的關(guān)鍵．過(guò)點(diǎn)A作BD的垂線AG，AG為定值；過(guò)點(diǎn)P作BD的垂線PE，只要PE最大即可，進(jìn)而求出PE最大，即可得出結(jié)論．

【解答】

解：如圖，過(guò)點(diǎn)A作AG⊥BD于G，

∵BD是矩形的對(duì)角線，

∴∠BAD=90°，

∴BD=AD2+AB2=10，

∵12AB?AD=12BD?AG，

∴AG=245，

∵BD是⊙C的切線，

∴⊙C的半徑為245，

過(guò)點(diǎn)P作PE⊥BD于E，

∴∠AGT=∠PET，

∵∠ATG=∠PTE，

∴△AGT∽△PET，

∴AGPE=ATPT，

∴PTAT=524×PE

∵APAT如圖，在扇形OAB中，∠AOB=60°，扇形半徑為r，點(diǎn)C在AB?上，CD⊥OA于點(diǎn)D.當(dāng)△OCD的面積最大值時(shí)，AC?的長(zhǎng)為_(kāi)_______．

【答案】1【解答】∵OC=r，點(diǎn)C在AB?上，CD⊥OA，∴DC=OC2?OD2=r2?OD2.∴(S?OCD)如圖，在△ABC中，AB=3，D是AB上的一點(diǎn)(不與點(diǎn)A、B重合)，DE?//?BC，交AC于點(diǎn)E，則S△DECS△ABC的最大值為_(kāi)___【答案】1【分析】

本題主要考查了相似三角形的性質(zhì)和判定，三角形的面積的計(jì)算方法，二次函數(shù)的最值問(wèn)題，熟練掌握相似三角形的判定和性質(zhì)定理是解題的關(guān)鍵．

先設(shè)AD=x，由DE//BC，得△ADE∽△ABC，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)得

S△ADES△ABC

=ADAB2=x29，再根據(jù)S△ADES△DEC=AECE=x3?x得S△DECS△ABC=?19x2+13x

再根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)即可解答．

【解答】

解：設(shè)AD=x，

∵DE//BC，

∴△ADE∽△ABC，

∴S△ADES△ABC

=ADAB2=x29①，

∴AD：AB=AE：AC，

∵AB=3，AD=x如圖，矩形ABCD中，AB=6，BC=10，點(diǎn)P在邊BC上運(yùn)動(dòng)，過(guò)點(diǎn)P作PQ⊥AP，交邊CD于點(diǎn)Q，則CQ的最大值為_(kāi)_____．【答案】25【分析】根據(jù)矩形的性質(zhì)得到∠B=∠C=90°，根據(jù)余角的性質(zhì)得到∠BAP=∠CPQ，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)得到CQ=?16PB2+53PB=?16(PB?5)2+256，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)即可得到結(jié)論．

本題考查了相似三角形的性質(zhì)，矩形的性質(zhì)，二次函數(shù)的最值，熟練掌握相似三角形的判定和性質(zhì)定理是解題的關(guān)鍵．

【解答】解：∵四邊形ABCD是矩形，

∴∠B=∠C=90°，

∵PQ⊥AP，

∴∠APQ=90°，

∴∠BAP+∠APB=∠APB+∠CPQ=90°，

∴∠BAP=∠CPQ，

∴△ABP∽△QCP，

∴ABCP如圖，矩形ODEF的一邊落在矩形ABCO的一邊上，并且矩形ODEF∽矩形ABCO，其相似比為1：4，矩形ABCO的邊AB=4，BC=43.將矩形ODEF繞點(diǎn)O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)一周，連接EC、EA，則整個(gè)旋轉(zhuǎn)過(guò)程中△ACE的最大面積為_(kāi)________．

【答案】8【分析】

本題主要考查了相似多邊形的性質(zhì)，矩形的性質(zhì)，勾股定理，圓上的點(diǎn)到直線的距離的取值范圍，理解AC邊上的高的最大值為點(diǎn)O到AC的距離與圓的半徑的和是解本題的關(guān)鍵．先根據(jù)相似多邊形對(duì)應(yīng)邊的比相等的性質(zhì)求出OF=3，OD=1，由勾股定理得到OE=OF2+OD2=2，將矩形ODEF繞點(diǎn)O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)一周，點(diǎn)E的軌跡是以點(diǎn)O為圓心以2為半徑的圓，所以△ACE的AC邊上的高就是點(diǎn)E到AC的距離，也就是AC到圓上的點(diǎn)的距離，最大值為點(diǎn)O到AC的距離與圓的半徑的和，再利用三角形的面積公式求解即可．

【解答】

解：∵矩形ODEF∽矩形ABCO，其相似比為1：4，矩形ABCO的邊AB=4，BC=43，

∴OF=3，OD=1，

∴OE=OF2+OD2=32+12=2，

所以點(diǎn)E的軌跡為以點(diǎn)O為圓心，以2為半徑的圓，

設(shè)點(diǎn)O到AC的距離為h，

AC=A三、解答題銳角△ABC中，BC=6，BC邊上的高AD=4，兩動(dòng)點(diǎn)M，N分別在邊AB，AC上滑動(dòng)(M不與A、B重合)，且MN//BC，以MN為邊向下作正方形MPQN，設(shè)其邊長(zhǎng)為x，正方形MPQN與△ABC公共部分的面積為y(y>0)．

(1)因?yàn)開(kāi)_____，所以△AMN∽△ABC；

(2)當(dāng)X為何值時(shí)，PQ恰好落在邊BC上(如圖1)；

(3)當(dāng)PQ在△ABC外部時(shí)(如圖2)，求y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式(注明x的取值范圍)并求出x為何值時(shí)y最大，最大值是多少？

【答案】(1)MN//BC；

(2)當(dāng)PQ恰好落在邊BC上時(shí)，

∵M(jìn)N//BC，∴△AMN∽△ABC．

∴MNBC=AGAD，

即x6=4?x4，x=125；

(3)設(shè)BC分別交MP，NQ于E，F(xiàn)，則四邊形MEFN為矩形．

設(shè)ME=NF=h，AD交MN于G(如圖2)GD=NF=h，AG=4?h．

∵M(jìn)N//BC，

∴△AMN∽△ABC．

∴MNBC=AGAD，即x6=4?h4，【分析】

(1)根據(jù)MN//BC，得△AMN∽△ABC；

(2)因?yàn)檎叫蔚奈恢迷谧兓?，但是△AMN∽△ABC沒(méi)有改變，利用相似三角形對(duì)應(yīng)邊上高的比等于相似比，得出等量關(guān)系，代入解析式，

(3)用含x的式子表示矩形MEFN邊長(zhǎng)，從而求出面積的表達(dá)式．

本題結(jié)合相似三角形的性質(zhì)及矩形面積計(jì)算方法，考查二次函數(shù)的綜合應(yīng)用，解題時(shí)，要始終抓住相似三角形對(duì)應(yīng)邊上高的比等于相似比，表示相關(guān)邊的長(zhǎng)度．

【解答】解：(1)∵M(jìn)N//BC，

∴△AMN∽△ABC；

故答案為：MN//BC；

(2)見(jiàn)答案；

(3)見(jiàn)答案．

如圖，在△ABC中，∠C=90°，AC=8cm，BC：AB=3：5.動(dòng)點(diǎn)P、Q分別從點(diǎn)B，C同時(shí)出發(fā)，點(diǎn)P以lcm/s的速度沿BC向點(diǎn)C移動(dòng)，點(diǎn)Q以2cm/s的速度沿CA向點(diǎn)A移動(dòng)，當(dāng)其中一點(diǎn)到達(dá)終點(diǎn)時(shí)，另一點(diǎn)也停止運(yùn)動(dòng)，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒．

(1)經(jīng)過(guò)多少秒，以C，P，Q為頂點(diǎn)的三角形與△ABC相似？

(2)在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，設(shè)△PCQ的面積為s；

①求s與t之間的函數(shù)關(guān)系式，并寫出自變量的取值范圍；

②當(dāng)s最大時(shí)，過(guò)點(diǎn)P作直線交AB于點(diǎn)D，將△ABC沿直線PD折疊，使點(diǎn)B落在直線PC上，請(qǐng)直接寫出折疊后的△BPD與△PCQ重疊部分的面積．【分析】(1)分兩種情形分別構(gòu)建方程即可解決問(wèn)題；

(2)①根據(jù)三角形的面積公式列出式子即可；

②利用二次函數(shù)的性質(zhì)求出s最大時(shí)t的值，易知△ABC沿直線PD折疊后與點(diǎn)C重合，PD//AC，理由平行線分線段成比例定理即可解決問(wèn)題；

本題考查相似形綜合題、相似三角形的判定和性質(zhì)、二次函數(shù)的應(yīng)用、平行線分線段成比例定理等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)用分類討論的思想思考問(wèn)題，學(xué)會(huì)構(gòu)建二次函數(shù)解決最值問(wèn)題，屬于中考?jí)狠S題．

【解答】解：(1)在Rt△ABC中，∵∠C=90°，AC=8cm，BC：AB=3：5，

∴可得BC=6，AB=10，

由題意：PB=t，CQ=2t，PC=6?t．

①當(dāng)PCAC=CQBC時(shí)，△PCQ∽△ACB．

∴6?t8=2t6，

∴t=1811．

②當(dāng)PCBC=CQAC時(shí)，△PCQ∽△BCA，

∴6?t6=2t8，

∴t=125，

綜上所述，當(dāng)t=1811或125s時(shí)，以C，P，Q為頂點(diǎn)的三角形與△ABC相似．

(2)①S=12?(6?t)?2t=?t2+6t(0<t≤4)．

②∵S=?(t?3)2+9，

∴t=3時(shí)，S的值最大，

∴PB=PC=3，CQ=6，

∵過(guò)點(diǎn)P作直線交AB于點(diǎn)D，將△ABC已知，等邊△ABC邊長(zhǎng)為6，P為BC邊上一點(diǎn)，且BP=4，點(diǎn)E、F分別在邊AB、AC上，且∠EPF=60°，設(shè)BE=x，CF=y．

(1)求y與x的函數(shù)關(guān)系式，并寫出x的取值范圍；(2)①若四邊形AEPF的面積為43時(shí)，求x②四邊形AEPF的面積是否存在最大值？若存在，請(qǐng)直接寫出面積的最大值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．(提示：若a≥0、b≥0，則a+b2≥ab，當(dāng)且僅當(dāng)【分析】本題考查了解直角三角形，等邊三角形性質(zhì)，相似三角形的性質(zhì)和判定，三角形的面積，勾股定理，函數(shù)的最值等知識(shí)點(diǎn)的應(yīng)用，題目綜合性比較強(qiáng)，難度偏大．

(1)求出△BEP∽△CPF，得出比例式，代入求出即可；

(2)①過(guò)A作AD⊥BC于D，過(guò)E作EN⊥BC于N，過(guò)F作FM⊥BC于M，求出AD=33，EN=32x，CF=y=8x，F(xiàn)M=43x，根據(jù)S四邊形AEPF=S△ABC?S△BEP?S△CFP得出方程，求出x即可；

②四邊形AEPF的面積存在最大值，把93?3x?43x化成?3(2x?x)2+53，即可得出答案．

【解答】解：(1)∵∠EPF=60°，

∴∠BPE+∠CPF=120°，

∵等邊三角形ABC，

∴∠B=60°，

∴∠BPE+∠BEP=120°，

∴∠BEP=∠CPF，

∵∠B=∠C=60°，

∴△BEP∽△CPF，

∴BECP=BPCF，

∴4y=x6?4，

∴y=8x，

∵當(dāng)F和A重合時(shí)，y=CF=6，x=43，

即x的取值范圍是43≤x≤6；

(2)①過(guò)A作AD⊥BC于D，

過(guò)E作EN⊥BC于N，過(guò)F作FM⊥BC于M，

∵∠B=60°，AB=6，BE=x，

∴AD=sin60°×6=33，如圖，在平面直角坐