圖形的平移與旋轉

第十單元

圖形的變換第39講圖形的平移與旋轉內容索引備考基礎溫故知新，明確考向重點突破分類講練，以例求法易錯防范辨析錯因，提升考能備考基礎返回

考點梳理

圖形的平移1.定義：在平面內，一個圖形沿某個方向移動，在移動的過程中，原圖形

上所有的點都沿同一個方向移動相等的距離，這樣的圖形運動叫做圖形

的平移.2.性質：(1)平移后，對應線段相等，對應角相等，對應點所連的線段平行(或在

同一直線上)且相等.(2)平移不改變圖形的形狀和大小，只改變圖形的位置.特別提醒

畫平移后的圖形的步驟方法：(1)首先作出平移的方向；(2)確定平移的距離；(3)畫出和已知圖形相對應的對應點，順次連接對應點；(4)按原來圖形的連接方式補充為完整圖形.

圖形的旋轉1.定義：在平面內，一個圖形變?yōu)榱硪粋€圖形，在運動的過程中，原圖形

上的所有點都繞一個固定的點，按同一方向，轉動同一個角度，這樣的

圖形運動叫做圖形的旋轉，這個固定的點叫做旋轉中心.2.性質：(1)對應點到旋轉中心的距離相等.(2)對應點與旋轉中心所連線段的夾角等于旋轉角.(3)旋轉前、后的圖形全等.特別提醒

旋轉作圖的步驟方法：(1)分析題目要求，找出旋轉中心、旋轉角；(2)分析所作圖形，找出構成圖形的關鍵點；(3)沿一定的方向，按一定的角度，通過截取線段的方法作出旋轉各個關鍵點；(4)連接所作的各個關鍵點，并標上相應的字母；(5)寫出結論.1.如圖，△ABC經過怎樣的平移得到△DEF(

)基礎診斷AA.把△ABC向左平移4個單位，再向下平移2個單位B.把△ABC向右平移4個單位，再向下平移2個單位C.把△ABC向右平移4個單位，再向上平移2個單位D.把△ABC向左平移4個單位，再向上平移2個單位2.如圖，將周長為8的△ABC沿BC方向平移1個單位得到△DEF，則四邊

形ABFD的周長為(

)A.6 B.8

C.10 D.12C解

根據題意，將周長為8的△ABC沿邊BC向右平移1個單位得到△DEF，∴AD＝1，BF＝BC＋CF＝BC＋1，DF＝AC，∵AB＋BC＋AC＝8，∴四邊形ABFD的周長＝AD＋AB＋BF＋DF＝1＋AB＋BC＋1＋AC＝10.3.如圖，△ODC是由△OAB繞點O順時針旋轉31°后得到的圖形，若點D

恰好落在AB上，且∠AOC的度數為100°，則∠DOB的度數是(

)A.34° B.36° C.38° D.40°C解

由題意得，∠AOD＝∠BOC＝31°，∵∠AOC＝100°，∴∠DOB＝100°－31°－31°＝38°.4.在平面直角坐標系中，線段OP的兩個端點坐標分別是O(0,0)，P(4,3)，

將線段OP繞點O逆時針旋轉90°到OP′位置，則點P′的坐標為(

)A.(3,4) B.(－4,3)

C.(－3,4) D.(4,－3)C解

如圖，OA＝3，PA＝4，∵線段OP繞點O逆時針旋轉90°到OP′位置，∴OA旋轉到x軸負半軸OA′的位置，∠P′A′O＝∠PAO＝90°，OA′＝OA＝3，P′A′＝PA＝4，∴點P′的坐標為(－3,4).5.如圖，A、B、C三點在正方形網格線的交點處.若將

△ACB繞著點A逆時針旋轉得到△AC′B′，則tanB′

的值為____.解

過點C作CD⊥AB，垂足為D.根據旋轉性質可知，∠B′＝∠B.返回重點突破返回【例1】

(2017·海南)如圖，在平面直角坐標系中，

△ABC位于第二象限，點A的坐標是(－2,3)，先把

△ABC向右平移4個單位長度得到△A1B1C1，再作與

△A1B1C1關于x軸對稱的△A2B2C2，則點A的對應點A2

的坐標是(

)類型一

圖形的平移點撥

首先利用平移的性質得到△A1B1C1，進而利用關于x軸對稱點的性質得到△A2B2C2，即可得出答案.A.(－3,2) B.(2，－3)

C.(1，－2) D.(－1,2)答案解點撥解

如圖所示，點A的對應點A2的坐標是(2，－3).【例1】

(2017·海南)如圖，在平面直角坐標系中，

△ABC位于第二象限，點A的坐標是(－2,3)，先把

△ABC向右平移4個單位長度得到△A1B1C1，再作與

△A1B1C1關于x軸對稱的△A2B2C2，則點A的對應點A2

的坐標是(

)類型一

圖形的平移點撥

首先利用平移的性質得到△A1B1C1，進而利用關于x軸對稱點的性質得到△A2B2C2，即可得出答案.BA.(－3,2) B.(2，－3)

C.(1，－2) D.(－1,2)答案解點撥答案解【變式1】

(2017·大連)在平面直角坐標系xOy中，線段AB的兩個端點坐

標分別為A(－1，－1)，B(1,2)，平移線段AB，得到線段A′B′，已

知A′的坐標為(3，－1)，則點B′的坐標為(

)

A.(4，2) B.(5，2) C.(6，2) D.(5，3)B解

∵A(－1，－1)平移后得到點A′的坐標為(3，－1)，∴向右平移4個單位，∴B(1，2)的對應點坐標為(1＋4，2)，即(5，2).解題要領

圖形平移有兩個基本條件：①圖形平移的方法就是這個圖形上的某一點到平移后圖形對應點的方向；②圖形平移的距離就是連接一對對應點的線段的長度.【例2】

(1)(2017·棗莊)將數字“6”旋轉180°，得到數字“9”，將數

字“9”旋轉180°，得到數字“6”，現(xiàn)將數字“69”旋轉180°，得

到的數字是(

)A.96 B.69 C.66 D.99類型二

圖形的旋轉B點撥

直接利用中心對稱圖形的性質結合“69”的特點得出答案.解

現(xiàn)將數字“69”旋轉180°，得到的數字是69.答案解點撥(2)(2017·寧波)在4×4的方格紙中，△ABC的三個頂點都在格點上.①在圖1中畫出與△ABC成軸對稱且與△ABC有公共邊的格點三角形(畫出一個即可)；點撥

根據軸對稱圖形的概念，分別以邊AC、BC所在的直線為對稱軸作出圖形即可；解點撥解

如圖所示；②將圖2中的△ABC繞著點C按順時針方向旋轉90°，畫出經旋轉后的三角形.點撥

根據網格結構找出點A、B繞著點C按順時針方向旋轉90°后的對應點的位置，再與點C順次連接即可.解點撥解

如圖所示；答案解【變式2】

(2017·福建)如圖，網格紙上正方形小格的邊長為1.圖中線段AB和點P繞著同一個點做相同的旋轉，分別得到線段A′B′和點P′，則點P′所在的單位正方形區(qū)域是(

)A.1區(qū)

B.2區(qū)

C.3區(qū)

D.4區(qū)解

如圖，連接AA′、BB′，分別作AA′、BB′的中垂線，兩直線的交點即為旋轉中心，由圖可知，線段AB和點P繞著同一個點按逆時針方向旋轉90°，∴點P逆時針旋轉90°后所得對應點P′落在4區(qū).答案解【變式2】

(2017·福建)如圖，網格紙上正方形小格的邊長為1.圖中線段AB和點P繞著同一個點做相同的旋轉，分別得到線段A′B′和點P′，則點P′所在的單位正方形區(qū)域是(

)DA.1區(qū)

B.2區(qū)

C.3區(qū)

D.4區(qū)解題要領

旋轉前后圖形上的每一點都繞著旋轉中心轉了相同的角度，對應點到旋轉中心的距離相等，對應線段相等，對應角相等.解題時，要注意是順時針還是逆時針旋轉多少度，要正確利用旋轉的性質，抓住其中的不變量是解決問題的關鍵.解點撥類型三

網格或直角坐標系中的圖形變換【例3】

(2017·金華)如圖，在平面直角坐標系中，△ABC各頂點的坐標

分別為A(－2，－2)，B(－4，－1)，C(－4，－4).(1)作出△ABC關于原點O成中心對稱的△A1B1C1；點撥

分別作出點A、B、C關于原點O成中心對稱的對應點，順次連接即可；解

如圖所示，△A1B1C1即為所求；(2)作出點A關于x軸的對稱點A′，若把點A′向右平移a個單位長度后落在△A1B1C1的內部(不包括頂點和邊界)，求a的取值范圍.點撥

由點A′坐標為(－2，2)可知要使向右平移后的A′落在△A1B1C1的內部，最少平移4個單位，最多平移6個單位，據此可得a的取值范圍.解

∵點A′坐標為(－2，2)，∴若要使向右平移后的A′落在△A1B1C1的內部，最少平移4個單位，最多平移6個單位，即4＜a＜6.解點撥解【變式3】

(2017·寧夏)在平面直角坐標系中，△ABC三個頂點的坐標分

別為A(2，3)，B(1，1)，C(5，1).

(1)把△ABC平移后，其中點A移到點A1(4，5)，畫出平移后得到的

△A1B1C1；解

如圖，△A1B1C1即為所求；(2)把△A1B1C1繞點A1按逆時針方向旋轉90°，畫出旋轉后的△A2B2C2.解

如圖，△A2B2C2即為所求.解解題要領

解題時，體會圖形變換中的轉化思想，會利用其中的全等關系，通過變換，使圖形中的條件得以重新分布和結合，實現(xiàn)變難為易、變未知為已知，從而解決問題.【例4】

(2017·齊齊哈爾)如圖，平面直角坐標系內，

小正方形網格的邊長為1個單位長度，△ABC的

三個頂點的坐標分別為A(－3,4)，B(－5,2)，C(－2,1).(1)畫出△ABC關于y軸對稱圖形△A1B1C1；類型四

與旋轉有關的證明、計算問題點撥

分別作出各點關于y軸的對稱點，再順次連接即可；解點撥解

如圖，△A1B1C1即為所求；(2)畫出將△ABC繞原點O逆時針方向旋轉90°得到的△A2B2C2；點撥

根據圖形旋轉的性質畫出旋轉后的圖形△A2B2C2即可；解點撥解

如圖，△A2B2C2即為所求；(3)求(2)中線段OA掃過的圖形面積.點撥

利用扇形的面積公式即可得出結論.解點撥【變式4】

(2017·鹽城)如圖，在邊長為1的小正方形網格中，將△ABC

繞某點旋轉到△A′B′C′的位置，則點B運動的最短路徑長為_______.答案解解

如圖，作線段AA′、CC′的垂直平分線，相交于點P，點P即為旋轉中心.觀察圖象可知，旋轉角為90°(逆時針旋轉)時B運動的路徑長最短，【變式4】

(2017·鹽城)如圖，在邊長為1的小正方形網格中，將△ABC

繞某點旋轉到△A′B′C′的位置，則點B運動的最短路徑長為_______.答案解解題要領

旋轉變換是幾何證明題中一種很重要的解題技巧，在同一平面內，將圖形的某一部分按特定的條件旋轉一個角度，把分散的條件和結論相對集中，使圖形中的相關部分發(fā)生新的聯(lián)系，從而使問題化難為易，迎刃而解.返回易錯防范返回試題如圖，有一條河流，兩岸分別有A、B兩地，

假設河岸為兩條平行線，現(xiàn)要在河上造一座垂直

于河岸的橋MN.問橋造在何處，才能使從A到B的

路徑AM＋MN＋NB最短？易錯警示系列

39利用平行變換確定兩點間的最短距離正確解答分析與反思剖析錯誤答案展示