2025年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)講義(知識(shí)梳理+真題自測(cè)+考點(diǎn)突破+分層檢測(cè))專題31復(fù)數(shù)(新高考專用)(原卷版+解析)

專題31復(fù)數(shù)（新高考專用）目錄目錄【知識(shí)梳理】 2【真題自測(cè)】 3【考點(diǎn)突破】 4【考點(diǎn)1】復(fù)數(shù)的概念 4【考點(diǎn)2】復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算 5【考點(diǎn)3】復(fù)數(shù)的幾何意義 6【考點(diǎn)4】復(fù)數(shù)與方程 7【分層檢測(cè)】 8【基礎(chǔ)篇】 8【能力篇】 9【培優(yōu)篇】 10考試要求：1.理解復(fù)數(shù)的基本概念.2.理解復(fù)數(shù)相等的充要條件.3.了解復(fù)數(shù)的代數(shù)表示法及其幾何意義.4.能進(jìn)行復(fù)數(shù)代數(shù)形式的四則運(yùn)算.5.了解復(fù)數(shù)代數(shù)形式的加、減運(yùn)算的幾何意義.知識(shí)梳理知識(shí)梳理1.復(fù)數(shù)的有關(guān)概念(1)定義：我們把集合C＝{a＋bi|a，b∈R}中的數(shù)，即形如a＋bi(a，b∈R)的數(shù)叫做復(fù)數(shù)，其中a叫做復(fù)數(shù)z的實(shí)部，b叫做復(fù)數(shù)z的虛部(i為虛數(shù)單位).(2)分類：滿足條件(a，b為實(shí)數(shù))復(fù)數(shù)的分類a＋bi為實(shí)數(shù)?b＝0a＋bi為虛數(shù)?b≠0a＋bi為純虛數(shù)?a＝0且b≠0(3)復(fù)數(shù)相等：a＋bi＝c＋di?a＝c且b＝d(a，b，c，d∈R).(4)共軛復(fù)數(shù)：a＋bi與c＋di共軛?a＝c，b＝－d(a，b，c，d∈R).(5)模：向量eq\o(OZ,\s\up6(→))的模叫做復(fù)數(shù)z＝a＋bi的模，記作|a＋bi|或|z|，即|z|＝|a＋bi|＝eq\r(a2＋b2)(a，b∈R).2.復(fù)數(shù)的幾何意義復(fù)數(shù)z＝a＋bi與復(fù)平面內(nèi)的點(diǎn)Z(a，b)及平面向量eq\o(OZ,\s\up6(→))＝(a，b)(a，b∈R)是一一對(duì)應(yīng)關(guān)系.3.復(fù)數(shù)的運(yùn)算(1)運(yùn)算法則：設(shè)z1＝a＋bi，z2＝c＋di，a，b，c，d∈R.(2)幾何意義：復(fù)數(shù)加、減法可按向量的平行四邊形或三角形法則進(jìn)行.如圖給出的平行四邊形OZ1ZZ2可以直觀地反映出復(fù)數(shù)加、減法的幾何意義，即eq\o(OZ,\s\up6(→))＝eq\o(OZ1,\s\up6(→))＋eq\o(OZ2,\s\up6(→))，eq\o(Z1Z2,\s\up6(→))＝eq\o(OZ2,\s\up6(→))－eq\o(OZ1,\s\up6(→)).1.i的乘方具有周期性i4n＝1，i4n＋1＝i，i4n＋2＝－1，i4n＋3＝－i，i4n＋i4n＋1＋i4n＋2＋i4n＋3＝0，n∈N*.2.(1±i)2＝±2i，eq\f(1＋i,1－i)＝i；eq\f(1－i,1＋i)＝－i.3.復(fù)數(shù)的模與共軛復(fù)數(shù)的關(guān)系z(mì)·eq\o(z,\s\up6(－))＝|z|2＝|eq\o(z,\s\up6(－))|2.真題自測(cè)真題自測(cè)一、單選題1．（2023·全國(guó)·高考真題）設(shè)，則（

）A．-1 B．0

· C．1 D．22．（2023·全國(guó)·高考真題）設(shè)，則（

）A． B． C． D．3．（2023·全國(guó)·高考真題）已知，則（

）A． B． C．0 D．14．（2023·全國(guó)·高考真題）在復(fù)平面內(nèi)，對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于（

）．A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限5．（2022·全國(guó)·高考真題）（

）A． B． C． D．6．（2022·全國(guó)·高考真題）若，則（

）A． B． C． D．7．（2022·全國(guó)·高考真題）已知，且，其中a，b為實(shí)數(shù)，則（

）A． B． C． D．8．（2022·全國(guó)·高考真題）若，則（

）A． B． C．1 D．29．（2021·全國(guó)·高考真題）復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)所在的象限為（

）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限10．（2021·全國(guó)·高考真題）設(shè)，則（

）A． B． C． D．11．（2021·全國(guó)·高考真題）已知，則（

）A． B． C． D．12．（2021·全國(guó)·高考真題）已知，則（

）A． B． C． D．考點(diǎn)突破考點(diǎn)突破【考點(diǎn)1】復(fù)數(shù)的概念一、單選題1．（2023·黑龍江佳木斯·三模）復(fù)數(shù)的虛部是（

）A．1012 B．1011 C． D．2．（2024·河南鄭州·三模）復(fù)數(shù)（且），若為純虛數(shù)，則（

）A． B． C． D．二、多選題3．（2024·福建莆田·三模）若z是非零復(fù)數(shù)，則下列說(shuō)法正確的是（

）A．若，則 B．若，則C．若，則 D．若，則4．（2024·山東濟(jì)寧·三模）已知復(fù)數(shù)，則下列說(shuō)法中正確的是（

）A． B．C．“”是“”的必要不充分條件D．“”是“”的充分不必要條件三、填空題5．（2024·貴州黔南·二模）為虛數(shù)單位，若是以的實(shí)部為虛部、以的虛部為實(shí)部的復(fù)數(shù)，則的共軛復(fù)數(shù)的模長(zhǎng)為.6．（2024·湖北荊州·三模）棣莫弗定理：若為正整數(shù)，則，其中為虛數(shù)單位，已知復(fù)數(shù)，則，的實(shí)部為．反思提升：1.復(fù)數(shù)z＝a＋bi(a，b∈R)，其中a，b分別是它的實(shí)部和虛部.若z為實(shí)數(shù)，則虛部b＝0，與實(shí)部a無(wú)關(guān)；若z為虛數(shù)，則虛部b≠0，與實(shí)部a無(wú)關(guān)；若z為純虛數(shù)，當(dāng)且僅當(dāng)a＝0且b≠0.2.復(fù)數(shù)z＝a＋bi(a，b∈R)的模記作|z|或|a＋bi|，即|z|＝|a＋bi|＝eq\r(a2＋b2).3.復(fù)數(shù)z＝a＋bi(a，b∈R)的共軛復(fù)數(shù)為eq\o(z,\s\up6(－))＝a－bi，則z·eq\o(z,\s\up6(－))＝|z|2＝|eq\o(z,\s\up6(－))|2，即|z|＝|eq\o(z,\s\up6(－))|＝eq\r(z·\o(z,\s\up6(－)))，若z∈R，則eq\o(z,\s\up6(－))＝z.【考點(diǎn)2】復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算一、單選題1．（2024·江西鷹潭·二模）已知，則的虛部為（

）A． B． C． D．22．（2023·云南·模擬預(yù)測(cè)）已知，是方程的兩個(gè)復(fù)根，則（

）A．2 B．4 C． D．二、多選題3．（2024·河南·二模）已知復(fù)數(shù)，是的共軛復(fù)數(shù)，則下列說(shuō)法正確的是（

）A．的實(shí)部為B．復(fù)數(shù)在復(fù)平面中對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在第四象限C．D．4．（2023·重慶·二模）已知復(fù)數(shù)，，則下列結(jié)論中正確的是（

）A．若，則 B．若，則或C．若且，則 D．若，則三、填空題5．（22-23高三上·天津南開(kāi)·期中）已知（i為虛數(shù)單位，）為純虛數(shù)，則．6．（2024·福建廈門(mén)·三模）復(fù)數(shù)滿足，，則.反思提升：(1)復(fù)數(shù)的乘法類似于多項(xiàng)式的乘法運(yùn)算；(2)復(fù)數(shù)的除法關(guān)鍵是分子分母同乘以分母的共軛復(fù)數(shù).【考點(diǎn)3】復(fù)數(shù)的幾何意義一、單選題1．（2024·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）如圖，復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)的向量為，且，則向量在向量上的投影向量的坐標(biāo)為（

）

A． B． C． D．2．（2024·湖南長(zhǎng)沙·一模）復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于（

）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限二、多選題3．（2021·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）已知是復(fù)數(shù)，且為純虛數(shù)，則（

）A． B．C．在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)不在實(shí)軸上 D．的最大值為4．（2024·江西·二模）已知復(fù)數(shù)（且，為虛數(shù)單位），若，則下列說(shuō)法正確的是（

）A．在復(fù)平面上對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于第四象限B．C．D．若復(fù)數(shù)滿足，則在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)構(gòu)成的圖形的面積為三、填空題5．（21-22高三上·北京西城·期中）在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)為，則.6．（2024·安徽·模擬預(yù)測(cè)）若復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于第三象限，則實(shí)數(shù)的取值范圍是.反思提升：1.復(fù)數(shù)z＝a＋bi(a，b∈R)Z(a，b)eq\o(OZ,\s\up6(→))＝(a，b).2.由于復(fù)數(shù)、點(diǎn)、向量之間建立了一一對(duì)應(yīng)的關(guān)系，因此解題時(shí)可運(yùn)用數(shù)形結(jié)合的方法，把復(fù)數(shù)、向量與解析幾何聯(lián)系在一起，使問(wèn)題的解決更加直觀.【考點(diǎn)4】復(fù)數(shù)與方程一、單選題1．（2024·湖南長(zhǎng)沙·二模）關(guān)于的方程在復(fù)數(shù)范圍內(nèi)的兩個(gè)根，則（

）A． B． C． D．2．（2024·河北邢臺(tái)·二模）已知復(fù)數(shù)，，下列說(shuō)法正確的有（

）A．若，則B．若是關(guān)于x的方程（p，）的一個(gè)根，則C．若，則D．若，則或二、多選題3．（2024·遼寧沈陽(yáng)·模擬預(yù)測(cè)）已知，方程有一個(gè)虛根為，為虛數(shù)單位，另一個(gè)虛根為，則（

）A． B．該方程的實(shí)數(shù)根為1C． D．4．（2024·浙江溫州·三模）已知是關(guān)于的方程的兩個(gè)根，其中，則（

）A． B． C． D．三、填空題5．（2023·河南·三模）已知（i為虛數(shù)單位），z為實(shí)系數(shù)方程的一個(gè)根，則．6．（2024·廣東廣州·二模）若（為虛數(shù)單位）是關(guān)于的實(shí)系數(shù)一元二次方程的一個(gè)虛根，則實(shí)數(shù).反思提升：(1)對(duì)實(shí)系數(shù)二次方程來(lái)說(shuō)，求根公式、韋達(dá)定理、判別式的功能沒(méi)有變化，仍然適用.(2)對(duì)復(fù)系數(shù)(至少有一個(gè)系數(shù)為虛數(shù))方程，判別式判斷根的功能失去了，其他仍適用.分層檢測(cè)分層檢測(cè)【基礎(chǔ)篇】一、單選題1．（23-24高一下·浙江·期中）若復(fù)數(shù)滿足，則的虛部為（

）A． B．C． D．2．（2024·江西景德鎮(zhèn)·三模）下列有關(guān)復(fù)數(shù)，的等式中錯(cuò)誤的是（

）A． B．C． D．3．（2024·江西宜春·模擬預(yù)測(cè)）若為純虛數(shù)，則（

）A．2 B．4 C． D．4．（2024·遼寧大連·模擬預(yù)測(cè)）已知（為虛數(shù)單位），則的虛部是（

）A． B． C．1 D．二、多選題5．（2024·河北滄州·模擬預(yù)測(cè)）復(fù)數(shù)，則下列說(shuō)法正確的有（

）A．在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)都位于第四象限B．在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在直線上C．D．的最小值為46．（2024·福建泉州·模擬預(yù)測(cè)）若則（

）A． B．C． D．是純虛數(shù)7．（2024·福建福州·三模）已知復(fù)數(shù)，下列結(jié)論正確的是（

）A．若，則 B．C．若，則或 D．若且，則三、填空題8．（2024·湖北武漢·模擬預(yù)測(cè)）已知復(fù)數(shù)滿足，則的最小值為.9．（2024·河北唐山·二模）已知為虛數(shù)單位，復(fù)數(shù)滿足，則復(fù)數(shù)的虛部為．10．（2024·北京·三模）若是純虛數(shù)，則實(shí)數(shù)a的值為.四、解答題11．（22-23高一下·福建三明·階段練習(xí)）已知復(fù)數(shù).(1)若，求的值；(2)，，求.12．（22-23高三·全國(guó)·對(duì)口高考）已知復(fù)數(shù)（a，），存在實(shí)數(shù)t，使成立.(1)求證：為定值；(2)若，求a的取值范圍．【能力篇】一、單選題1．（2024·河南商丘·模擬預(yù)測(cè)）已知復(fù)數(shù)和滿足，則（

）A．1 B． C． D．2二、多選題2．（2024·湖北武漢·模擬預(yù)測(cè)）已知復(fù)數(shù)滿足：為純虛數(shù)，，則下列結(jié)論正確的是（

）A． B．C．的最小值為3 D．的最小值為3三、填空題3．（2024·上海靜安·二模）已知是虛數(shù)單位，復(fù)數(shù)是純虛數(shù)，則實(shí)數(shù)的值為．四、解答題4．（23-24高三上·江蘇徐州·階段練習(xí)）已知復(fù)數(shù)，為z的共軛復(fù)數(shù)，且．(1)求m的值；(2)若是關(guān)于x的實(shí)系數(shù)一元二次方程的一個(gè)根，求該一元二次方程的另一復(fù)數(shù)根．【培優(yōu)篇】一、單選題1．（2022·上海奉賢·一模）復(fù)數(shù)的模為1，其中為虛數(shù)單位，，則這樣的一共有（

）個(gè).A．9 B．10 C．11 D．無(wú)數(shù)二、多選題2．（23-24高三上·遼寧·開(kāi)學(xué)考試）設(shè)復(fù)數(shù)，且,其中為確定的復(fù)數(shù)，下列說(shuō)法正確的是（

）.A．若，則是實(shí)數(shù)B．若，則存在唯一實(shí)數(shù)對(duì)使得C．若，則在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的軌跡是射線D．若，則三、填空題3．（2022·江蘇鎮(zhèn)江·模擬預(yù)測(cè)）若為虛數(shù)單位，復(fù)數(shù)滿足，則的最大值為成套的課件成套的教案成套的試題成套的微專題盡在高中數(shù)學(xué)同步資源大全QQ群552511468也可聯(lián)系微信fjshuxue加入百度網(wǎng)盤(pán)群1.5T一線老師必備資料一鍵轉(zhuǎn)存自動(dòng)更新永不過(guò)期專題31復(fù)數(shù)（新高考專用）目錄目錄【知識(shí)梳理】 2【真題自測(cè)】 3【考點(diǎn)突破】 7【考點(diǎn)1】復(fù)數(shù)的概念 7【考點(diǎn)2】復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算 10【考點(diǎn)3】復(fù)數(shù)的幾何意義 13【考點(diǎn)4】復(fù)數(shù)與方程 16【分層檢測(cè)】 19【基礎(chǔ)篇】 19【能力篇】 25【培優(yōu)篇】 27考試要求：1.理解復(fù)數(shù)的基本概念.2.理解復(fù)數(shù)相等的充要條件.3.了解復(fù)數(shù)的代數(shù)表示法及其幾何意義.4.能進(jìn)行復(fù)數(shù)代數(shù)形式的四則運(yùn)算.5.了解復(fù)數(shù)代數(shù)形式的加、減運(yùn)算的幾何意義.知識(shí)梳理知識(shí)梳理1.復(fù)數(shù)的有關(guān)概念(1)定義：我們把集合C＝{a＋bi|a，b∈R}中的數(shù)，即形如a＋bi(a，b∈R)的數(shù)叫做復(fù)數(shù)，其中a叫做復(fù)數(shù)z的實(shí)部，b叫做復(fù)數(shù)z的虛部(i為虛數(shù)單位).(2)分類：滿足條件(a，b為實(shí)數(shù))復(fù)數(shù)的分類a＋bi為實(shí)數(shù)?b＝0a＋bi為虛數(shù)?b≠0a＋bi為純虛數(shù)?a＝0且b≠0(3)復(fù)數(shù)相等：a＋bi＝c＋di?a＝c且b＝d(a，b，c，d∈R).(4)共軛復(fù)數(shù)：a＋bi與c＋di共軛?a＝c，b＝－d(a，b，c，d∈R).(5)模：向量eq\o(OZ,\s\up6(→))的模叫做復(fù)數(shù)z＝a＋bi的模，記作|a＋bi|或|z|，即|z|＝|a＋bi|＝eq\r(a2＋b2)(a，b∈R).2.復(fù)數(shù)的幾何意義復(fù)數(shù)z＝a＋bi與復(fù)平面內(nèi)的點(diǎn)Z(a，b)及平面向量eq\o(OZ,\s\up6(→))＝(a，b)(a，b∈R)是一一對(duì)應(yīng)關(guān)系.3.復(fù)數(shù)的運(yùn)算(1)運(yùn)算法則：設(shè)z1＝a＋bi，z2＝c＋di，a，b，c，d∈R.(2)幾何意義：復(fù)數(shù)加、減法可按向量的平行四邊形或三角形法則進(jìn)行.如圖給出的平行四邊形OZ1ZZ2可以直觀地反映出復(fù)數(shù)加、減法的幾何意義，即eq\o(OZ,\s\up6(→))＝eq\o(OZ1,\s\up6(→))＋eq\o(OZ2,\s\up6(→))，eq\o(Z1Z2,\s\up6(→))＝eq\o(OZ2,\s\up6(→))－eq\o(OZ1,\s\up6(→)).1.i的乘方具有周期性i4n＝1，i4n＋1＝i，i4n＋2＝－1，i4n＋3＝－i，i4n＋i4n＋1＋i4n＋2＋i4n＋3＝0，n∈N*.2.(1±i)2＝±2i，eq\f(1＋i,1－i)＝i；eq\f(1－i,1＋i)＝－i.3.復(fù)數(shù)的模與共軛復(fù)數(shù)的關(guān)系z(mì)·eq\o(z,\s\up6(－))＝|z|2＝|eq\o(z,\s\up6(－))|2.真題自測(cè)真題自測(cè)一、單選題1．（2023·全國(guó)·高考真題）設(shè)，則（

）A．-1 B．0

· C．1 D．22．（2023·全國(guó)·高考真題）設(shè)，則（

）A． B． C． D．3．（2023·全國(guó)·高考真題）已知，則（

）A． B． C．0 D．14．（2023·全國(guó)·高考真題）在復(fù)平面內(nèi)，對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于（

）．A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限5．（2022·全國(guó)·高考真題）（

）A． B． C． D．6．（2022·全國(guó)·高考真題）若，則（

）A． B． C． D．7．（2022·全國(guó)·高考真題）已知，且，其中a，b為實(shí)數(shù)，則（

）A． B． C． D．8．（2022·全國(guó)·高考真題）若，則（

）A． B． C．1 D．29．（2021·全國(guó)·高考真題）復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)所在的象限為（

）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限10．（2021·全國(guó)·高考真題）設(shè)，則（

）A． B． C． D．11．（2021·全國(guó)·高考真題）已知，則（

）A． B． C． D．12．（2021·全國(guó)·高考真題）已知，則（

）A． B． C． D．參考答案：1．C【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的代數(shù)運(yùn)算以及復(fù)數(shù)相等即可解出．【詳解】因?yàn)?，所以，解得：．故選：C.2．B【分析】由題意首先計(jì)算復(fù)數(shù)的值，然后利用共軛復(fù)數(shù)的定義確定其共軛復(fù)數(shù)即可.【詳解】由題意可得，則.故選：B.3．A【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算求出，再由共軛復(fù)數(shù)的概念得到，從而解出．【詳解】因?yàn)?，所以，即．故選：A．4．A【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的乘法結(jié)合復(fù)數(shù)的幾何意義分析判斷.【詳解】因?yàn)?，則所求復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為，位于第一象限.故選：A.5．D【分析】利用復(fù)數(shù)的乘法可求.【詳解】，故選：D.6．C【分析】由共軛復(fù)數(shù)的概念及復(fù)數(shù)的運(yùn)算即可得解.【詳解】故選：C7．A【分析】先算出,再代入計(jì)算,實(shí)部與虛部都為零解方程組即可【詳解】由,結(jié)合復(fù)數(shù)相等的充要條件為實(shí)部、虛部對(duì)應(yīng)相等，得,即故選:8．D【分析】利用復(fù)數(shù)的除法可求，從而可求.【詳解】由題設(shè)有，故，故，故選：D9．A【分析】利用復(fù)數(shù)的除法可化簡(jiǎn)，從而可求對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的位置.【詳解】，所以該復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為，該點(diǎn)在第一象限，故選：A.10．C【分析】設(shè)，利用共軛復(fù)數(shù)的定義以及復(fù)數(shù)的加減法可得出關(guān)于、的等式，解出這兩個(gè)未知數(shù)的值，即可得出復(fù)數(shù).【詳解】設(shè)，則，則，所以，，解得，因此，.故選：C.11．C【分析】利用復(fù)數(shù)的乘法和共軛復(fù)數(shù)的定義可求得結(jié)果.【詳解】因?yàn)椋?，故故選：C.12．B【分析】由已知得，根據(jù)復(fù)數(shù)除法運(yùn)算法則，即可求解.【詳解】，.故選：B.考點(diǎn)突破考點(diǎn)突破【考點(diǎn)1】復(fù)數(shù)的概念一、單選題1．（2023·黑龍江佳木斯·三模）復(fù)數(shù)的虛部是（

）A．1012 B．1011 C． D．2．（2024·河南鄭州·三模）復(fù)數(shù)（且），若為純虛數(shù)，則（

）A． B． C． D．二、多選題3．（2024·福建莆田·三模）若z是非零復(fù)數(shù)，則下列說(shuō)法正確的是（

）A．若，則 B．若，則C．若，則 D．若，則4．（2024·山東濟(jì)寧·三模）已知復(fù)數(shù)，則下列說(shuō)法中正確的是（

）A． B．C．“”是“”的必要不充分條件D．“”是“”的充分不必要條件三、填空題5．（2024·貴州黔南·二模）為虛數(shù)單位，若是以的實(shí)部為虛部、以的虛部為實(shí)部的復(fù)數(shù)，則的共軛復(fù)數(shù)的模長(zhǎng)為.6．（2024·湖北荊州·三模）棣莫弗定理：若為正整數(shù)，則，其中為虛數(shù)單位，已知復(fù)數(shù)，則，的實(shí)部為．參考答案：1．D【分析】由錯(cuò)位相減法化簡(jiǎn)復(fù)數(shù)后再由復(fù)數(shù)的運(yùn)算和復(fù)數(shù)的幾何意義求出結(jié)果即可.【詳解】因?yàn)?，，所以，①因?yàn)?，所以，，所以化?jiǎn)①可得，所以虛部為，故選：D.2．A【分析】求出，根據(jù)為純虛數(shù)即可求解.【詳解】，因?yàn)闉榧兲摂?shù)，所以，所以.故選：A.3．BCD【分析】利用共軛復(fù)數(shù)的定義可判定A、C，利用復(fù)數(shù)的乘法運(yùn)算法則結(jié)合模長(zhǎng)公式可判定B、D.【詳解】對(duì)于A，由，得，則A錯(cuò)誤.對(duì)于B，因?yàn)椋?，解得或（舍去），則B正確.對(duì)于C，設(shè)（，且），則，所以，則C正確.對(duì)于D，由，得.設(shè)（，且），則，，從而，則D正確.故選：BCD4．AC【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)加法、乘法、乘方運(yùn)算，結(jié)合復(fù)數(shù)的幾何意義計(jì)算，依次判斷選項(xiàng)即可.【詳解】A：設(shè)，則，所以，，則，故A正確；B：設(shè)，則，所以，，則，故B錯(cuò)誤；C：由選項(xiàng)A知，，，又，所以，不一定有，即推不出；由，得，則，則，即，所以“”是“”的必要不充分條件，故C正確；D：設(shè)，則，若，則，即，推不出；若，則，又，同理可得，所以，；所以“”是“”的必要不充分條件，故D錯(cuò)誤.故選：AC5．【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的實(shí)部、虛部的概念可得，再結(jié)合共軛復(fù)數(shù)和模長(zhǎng)公式運(yùn)算求解.【詳解】因?yàn)榈膶?shí)部為2，的虛部為2，由題意可知：，則，所以的共軛復(fù)數(shù)的模長(zhǎng)為.故答案為：.6．/【分析】化解復(fù)數(shù)，由棣莫弗定理可得，，根據(jù)復(fù)數(shù)模及共軛復(fù)數(shù)定義即可求解.【詳解】因?yàn)閺?fù)數(shù)，所以由棣莫弗定理可得，，所以.所以，所以的實(shí)部為.故答案為：①985；②.反思提升：1.復(fù)數(shù)z＝a＋bi(a，b∈R)，其中a，b分別是它的實(shí)部和虛部.若z為實(shí)數(shù)，則虛部b＝0，與實(shí)部a無(wú)關(guān)；若z為虛數(shù)，則虛部b≠0，與實(shí)部a無(wú)關(guān)；若z為純虛數(shù)，當(dāng)且僅當(dāng)a＝0且b≠0.2.復(fù)數(shù)z＝a＋bi(a，b∈R)的模記作|z|或|a＋bi|，即|z|＝|a＋bi|＝eq\r(a2＋b2).3.復(fù)數(shù)z＝a＋bi(a，b∈R)的共軛復(fù)數(shù)為eq\o(z,\s\up6(－))＝a－bi，則z·eq\o(z,\s\up6(－))＝|z|2＝|eq\o(z,\s\up6(－))|2，即|z|＝|eq\o(z,\s\up6(－))|＝eq\r(z·\o(z,\s\up6(－)))，若z∈R，則eq\o(z,\s\up6(－))＝z.【考點(diǎn)2】復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算一、單選題1．（2024·江西鷹潭·二模）已知，則的虛部為（

）A． B． C． D．22．（2023·云南·模擬預(yù)測(cè)）已知，是方程的兩個(gè)復(fù)根，則（

）A．2 B．4 C． D．二、多選題3．（2024·河南·二模）已知復(fù)數(shù)，是的共軛復(fù)數(shù)，則下列說(shuō)法正確的是（

）A．的實(shí)部為B．復(fù)數(shù)在復(fù)平面中對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在第四象限C．D．4．（2023·重慶·二模）已知復(fù)數(shù)，，則下列結(jié)論中正確的是（

）A．若，則 B．若，則或C．若且，則 D．若，則三、填空題5．（22-23高三上·天津南開(kāi)·期中）已知（i為虛數(shù)單位，）為純虛數(shù)，則．6．（2024·福建廈門(mén)·三模）復(fù)數(shù)滿足，，則.參考答案：1．D【分析】利用復(fù)數(shù)的乘方運(yùn)算和四則運(yùn)算法則求出復(fù)數(shù)，繼而得的虛部.【詳解】由，則，的虛部為2.故選：D.2．B【分析】利用求根公式求出兩個(gè)復(fù)根，然后利用復(fù)數(shù)的運(yùn)算法則及模的公式直接計(jì)算即可.【詳解】已知，是方程的兩個(gè)復(fù)根，所以，則設(shè)，，所以，故選：B.3．ABD【分析】先化簡(jiǎn)得到，然后用實(shí)部和共軛實(shí)數(shù)的定義判斷A和B選項(xiàng)；由于虛數(shù)不能比較大小，故C錯(cuò)誤；直接計(jì)算即知D正確.【詳解】我們有，故的實(shí)部為，A正確；由知，所以在復(fù)平面中對(duì)應(yīng)的點(diǎn)是，在第四象限，B正確；都不是實(shí)數(shù)，它們不能比較大小，C錯(cuò)誤；，D正確.故選：ABD.4．BCD【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的特征、幾何意義以及復(fù)數(shù)運(yùn)算判斷各選項(xiàng)即可.【詳解】對(duì)于A，若，例如：，則，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，若，則，所以或至少有一個(gè)成立，即或，故B正確；對(duì)于C，由，則，∵，∴，故C正確；對(duì)于D：若，則，故D正確.故選：BCD.5．【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算法則，化簡(jiǎn)復(fù)數(shù)，根據(jù)復(fù)數(shù)的概念即可求解.【詳解】因?yàn)閺?fù)數(shù)為純虛數(shù)，所以，.故答案為：-3.6．【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的運(yùn)算以及模長(zhǎng)公式求解即可.【詳解】設(shè)，則，由，，得，解得，所以，故答案為：.反思提升：(1)復(fù)數(shù)的乘法類似于多項(xiàng)式的乘法運(yùn)算；(2)復(fù)數(shù)的除法關(guān)鍵是分子分母同乘以分母的共軛復(fù)數(shù).【考點(diǎn)3】復(fù)數(shù)的幾何意義一、單選題1．（2024·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）如圖，復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)的向量為，且，則向量在向量上的投影向量的坐標(biāo)為（

）

A． B． C． D．2．（2024·湖南長(zhǎng)沙·一模）復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于（

）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限二、多選題3．（2021·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）已知是復(fù)數(shù)，且為純虛數(shù)，則（

）A． B．C．在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)不在實(shí)軸上 D．的最大值為4．（2024·江西·二模）已知復(fù)數(shù)（且，為虛數(shù)單位），若，則下列說(shuō)法正確的是（

）A．在復(fù)平面上對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于第四象限B．C．D．若復(fù)數(shù)滿足，則在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)構(gòu)成的圖形的面積為三、填空題5．（21-22高三上·北京西城·期中）在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)為，則.6．（2024·安徽·模擬預(yù)測(cè)）若復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于第三象限，則實(shí)數(shù)的取值范圍是.參考答案：1．D【分析】首先根據(jù)復(fù)數(shù)的幾何意義設(shè)出復(fù)數(shù)，再根據(jù)復(fù)數(shù)模的公式，即可求解，再代入向量的投影公式，即可求解.【詳解】由題圖可知，，則，解得（舍去），所以，，則向量在向量上的投影向量為，所以其坐標(biāo)為．故選：D2．B【分析】由復(fù)數(shù)四則運(yùn)算以及幾何意義即可得解.【詳解】由題意，所以復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于第二象限.故選：B.3．ABC【分析】先設(shè)，代入中并化簡(jiǎn)，根據(jù)為純虛數(shù)得到的關(guān)系可判斷A，C；計(jì)算判斷B；由復(fù)數(shù)模的幾何意義得到的最大值為判斷D．【詳解】由題意設(shè)，則．因?yàn)闉榧兲摂?shù)，所以，且，因此，在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)不在實(shí)軸上，所以A，C正確；，所以B正確；表示圓上的點(diǎn)到點(diǎn)的距離，且最大距離為，所以D不正確．故選：ABC．【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：本題考查復(fù)數(shù)的運(yùn)算與幾何意義，對(duì)于復(fù)數(shù)的模，共軛復(fù)數(shù)，復(fù)數(shù)的分類包括方程的復(fù)數(shù)解或?qū)崝?shù)解等問(wèn)題可以設(shè)，代入運(yùn)算后利用復(fù)數(shù)相等或復(fù)數(shù)的定義得出實(shí)數(shù)的關(guān)系，達(dá)到求解的目的．4．ACD【分析】由共軛復(fù)數(shù)的定義，根據(jù)復(fù)數(shù)乘法求得，再由復(fù)數(shù)的幾何意義及復(fù)數(shù)的運(yùn)算判斷各選項(xiàng)．【詳解】由題意可知，復(fù)數(shù)，共軛復(fù)數(shù)為，對(duì)于A，由得，所以或（舍去）.所以復(fù)數(shù)，共軛復(fù)數(shù)，則共軛復(fù)數(shù)在復(fù)平面上對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為，位于第四象限，故A正確；對(duì)于B，，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C，，故C正確；對(duì)于D，設(shè)復(fù)數(shù)，所以，即故復(fù)數(shù)在復(fù)平面對(duì)應(yīng)的點(diǎn)構(gòu)成的圖形的面積為，故D正確.故選：ACD.5．【分析】由已知求得，進(jìn)一步得到，再根據(jù)復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘法運(yùn)算法則計(jì)算可得．【詳解】解：由題意，，，．故答案為：2．6．【分析】由實(shí)部和虛部都小于零解不等式組求出即可.【詳解】由題意得，，解得，∴實(shí)數(shù)的取值范圍是.故答案為：.反思提升：1.復(fù)數(shù)z＝a＋bi(a，b∈R)Z(a，b)eq\o(OZ,\s\up6(→))＝(a，b).2.由于復(fù)數(shù)、點(diǎn)、向量之間建立了一一對(duì)應(yīng)的關(guān)系，因此解題時(shí)可運(yùn)用數(shù)形結(jié)合的方法，把復(fù)數(shù)、向量與解析幾何聯(lián)系在一起，使問(wèn)題的解決更加直觀.【考點(diǎn)4】復(fù)數(shù)與方程一、單選題1．（2024·湖南長(zhǎng)沙·二模）關(guān)于的方程在復(fù)數(shù)范圍內(nèi)的兩個(gè)根，則（

）A． B． C． D．2．（2024·河北邢臺(tái)·二模）已知復(fù)數(shù)，，下列說(shuō)法正確的有（

）A．若，則B．若是關(guān)于x的方程（p，）的一個(gè)根，則C．若，則D．若，則或二、多選題3．（2024·遼寧沈陽(yáng)·模擬預(yù)測(cè)）已知，方程有一個(gè)虛根為，為虛數(shù)單位，另一個(gè)虛根為，則（

）A． B．該方程的實(shí)數(shù)根為1C． D．4．（2024·浙江溫州·三模）已知是關(guān)于的方程的兩個(gè)根，其中，則（

）A． B． C． D．三、填空題5．（2023·河南·三模）已知（i為虛數(shù)單位），z為實(shí)系數(shù)方程的一個(gè)根，則．6．（2024·廣東廣州·二模）若（為虛數(shù)單位）是關(guān)于的實(shí)系數(shù)一元二次方程的一個(gè)虛根，則實(shí)數(shù).參考答案：1．D【分析】根據(jù)求根公式求出，在根據(jù)復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算以及復(fù)數(shù)模的公式即可逐個(gè)判斷?！驹斀狻坑深}設(shè)方程，不妨取，，根據(jù)韋達(dá)定理知，，故A，B錯(cuò)誤；，故C錯(cuò)誤；，故D正確；故選：D2．C【分析】對(duì)于A，令即可判斷；對(duì)于D，令即可判斷；對(duì)于B，由韋達(dá)定理即可驗(yàn)算；對(duì)于C，由共軛復(fù)數(shù)以及模的運(yùn)算公式即可判斷.【詳解】對(duì)于A，令，顯然，但都不等于0，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，由于一元二次方程的虛根是以共軛復(fù)數(shù)的形式成對(duì)出現(xiàn)的，所以若是關(guān)于x的方程（p，）的一個(gè)根，則也是關(guān)于x的方程（p，）的一個(gè)根，從而由韋達(dá)定理有，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C，設(shè)，而，所以，故C正確；對(duì)于D，取，顯然有，但不滿足且，故D錯(cuò)誤.故選：C.3．BD【分析】將代入方程中，結(jié)合復(fù)數(shù)相等的充要條件，即可求解，進(jìn)而結(jié)合選項(xiàng)即可逐一求解.【詳解】由是方程的根，得，整理得，而，因此，解得，對(duì)于A，，A錯(cuò)誤；對(duì)于BC，方程，變形為，顯然此方程還有一個(gè)實(shí)根1，另一個(gè)虛根，B正確，C錯(cuò)誤；對(duì)于D，，D正確.故選：BD4．ACD【分析】根據(jù)虛根成對(duì)原理得到，即可判斷A，再根據(jù)復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘法運(yùn)算判斷B，利用韋達(dá)定理判斷C、D.【詳解】因?yàn)槭顷P(guān)于的方程的兩個(gè)根且，所以，即，故A正確；，，所以，故B錯(cuò)誤；因?yàn)?，所以，故C正確；又，故D正確.故選：ACD5．【分析】由復(fù)數(shù)的除法求出，利用韋達(dá)定理求出的值即可.【詳解】已知，則，，z為實(shí)系數(shù)方程的一個(gè)根，則，，所以.故答案為：6．-2【分析】利用實(shí)系數(shù)一元二次方程的虛根成對(duì)原理和根與系數(shù)的關(guān)系即可得出.【詳解】（i為虛數(shù)單位）是關(guān)于的實(shí)系數(shù)一元二次方程的一個(gè)虛根，（i為虛數(shù)單位）也是關(guān)于的實(shí)系數(shù)一元二次方程的一個(gè)虛根，，解得.故答案為：-2.反思提升：(1)對(duì)實(shí)系數(shù)二次方程來(lái)說(shuō)，求根公式、韋達(dá)定理、判別式的功能沒(méi)有變化，仍然適用.(2)對(duì)復(fù)系數(shù)(至少有一個(gè)系數(shù)為虛數(shù))方程，判別式判斷根的功能失去了，其他仍適用.分層檢測(cè)分層檢測(cè)【基礎(chǔ)篇】一、單選題1．（23-24高一下·浙江·期中）若復(fù)數(shù)滿足，則的虛部為（

）A． B．C． D．2．（2024·江西景德鎮(zhèn)·三模）下列有關(guān)復(fù)數(shù)，的等式中錯(cuò)誤的是（

）A． B．C． D．3．（2024·江西宜春·模擬預(yù)測(cè)）若為純虛數(shù)，則（

）A．2 B．4 C． D．4．（2024·遼寧大連·模擬預(yù)測(cè)）已知（為虛數(shù)單位），則的虛部是（

）A． B． C．1 D．二、多選題5．（2024·河北滄州·模擬預(yù)測(cè)）復(fù)數(shù)，則下列說(shuō)法正確的有（

）A．在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)都位于第四象限B．在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在直線上C．D．的最小值為46．（2024·福建泉州·模擬預(yù)測(cè)）若則（

）A． B．C． D．是純虛數(shù)7．（2024·福建福州·三模）已知復(fù)數(shù)，下列結(jié)論正確的是（

）A．若，則 B．C．若，則或 D．若且，則三、填空題8．（2024·湖北武漢·模擬預(yù)測(cè)）已知復(fù)數(shù)滿足，則的最小值為.9．（2024·河北唐山·二模）已知為虛數(shù)單位，復(fù)數(shù)滿足，則復(fù)數(shù)的虛部為．10．（2024·北京·三模）若是純虛數(shù)，則實(shí)數(shù)a的值為.四、解答題11．（22-23高一下·福建三明·階段練習(xí)）已知復(fù)數(shù).(1)若，求的值；(2)，，求.12．（22-23高三·全國(guó)·對(duì)口高考）已知復(fù)數(shù)（a，），存在實(shí)數(shù)t，使成立.(1)求證：為定值；(2)若，求a的取值范圍．參考答案：1．B【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)模的運(yùn)算和商的運(yùn)算化簡(jiǎn)復(fù)數(shù)，然后根據(jù)虛部的概念求解即可.【詳解】因?yàn)?，所以，所以的虛部?故選：B2．A【分析】利用代數(shù)形式的復(fù)數(shù)加法、乘法運(yùn)算，結(jié)合復(fù)數(shù)的模及共軛計(jì)算判斷BCD；舉例說(shuō)明判斷A.【詳解】設(shè)，對(duì)于A，令，，A錯(cuò)誤；對(duì)于B，，B正確；對(duì)于C，，則，，因此，C正確；對(duì)于D，，D正確.故選：A3．A【分析】由復(fù)數(shù)的乘法和除法運(yùn)算化簡(jiǎn)復(fù)數(shù)，由題意可得且，解方程即可得出答案.【詳解】由題得，因?yàn)闉榧兲摂?shù)．所以且，解得．故選：A．4．C【分析】先化簡(jiǎn)復(fù)數(shù)，再利用復(fù)數(shù)虛部的概念求解.【詳解】因?yàn)閺?fù)數(shù)，所以的虛部是1.故選：C5．BC【分析】由復(fù)數(shù)的幾何意義，即可判斷A和B；根據(jù)共軛復(fù)數(shù)的概念及復(fù)數(shù)的加減運(yùn)算法則判斷C；由復(fù)數(shù)的模即可判斷D．【詳解】對(duì)于AB，因?yàn)?，所以在?fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為，故A錯(cuò)誤，B正確；對(duì)于C，，故C正確；對(duì)于D，，當(dāng)時(shí)，取最小值為2，故D錯(cuò)誤；故選：BC．6．AB【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的幾何意義得到復(fù)數(shù)點(diǎn)所對(duì)應(yīng)的軌跡，再利用共軛復(fù)數(shù)的概念即可判斷AB；舉反例即可判斷CD.【詳解】利用復(fù)數(shù)的幾何意義知在復(fù)平面內(nèi)，對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在對(duì)應(yīng)線段的中垂線即直線上，對(duì)A，因?yàn)橹本€上的點(diǎn)到點(diǎn)的距離相等，則A正確；對(duì)B，因?yàn)榕c關(guān)于實(shí)軸對(duì)稱，則對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在直線上，且該直線上的點(diǎn)到點(diǎn)的距離相等，所以B正確；對(duì)C，在直線上取點(diǎn)，則其所對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)為，則，則，故C錯(cuò)誤；對(duì)D，在直線上取點(diǎn)，則其所對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)為，則，故D錯(cuò)誤.故選：AB.7．BCD【分析】通過(guò)列舉特殊復(fù)數(shù)驗(yàn)證A；設(shè)，則，通過(guò)復(fù)數(shù)計(jì)算即可判斷B；由得，即可判斷C；設(shè)，通過(guò)復(fù)數(shù)計(jì)算即可判斷D.【詳解】對(duì)于A，設(shè)，則，所以，而，所以，故A不正確；對(duì)于B，設(shè)，則，故B正確；對(duì)于C，若，所以，所以，所以或，所以至少有一個(gè)為0，故C正確.對(duì)于D，設(shè)，則，所以，而，所以，故D正確.故選：BCD.8．【分析】設(shè)，由條件得，所求式消元后化成，結(jié)合點(diǎn)的軌跡圖形特征，求得的范圍，結(jié)合函數(shù)單調(diào)性即得的最小值.【詳解】設(shè)，由兩邊平方整理得：，即而，作出復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的軌跡的圖形如圖.易得，因在定義域內(nèi)為增函數(shù)，故，即當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，取最小值.故答案為:.9．/【分析】首先求出，再根據(jù)復(fù)數(shù)代數(shù)形式的除法運(yùn)算化簡(jiǎn)復(fù)數(shù)，即可判斷其虛部.【詳解】因?yàn)?，又，所以，所以?fù)數(shù)的虛部為.故答案為：10．【分析】求出復(fù)數(shù)的代數(shù)形式，然后根據(jù)純虛數(shù)的定義列方程求解即可.【詳解】，因?yàn)槭羌兲摂?shù)，所以，得.故答案為：11．(1)，(2)【分析】（1）根據(jù)復(fù)數(shù)相等的概念，即可求得答案；（2）根據(jù)復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算，可求得答案.【詳解】（1）由題意復(fù)數(shù)，則由可得；（2）當(dāng),時(shí)，，故.12．(1)證明見(jiàn)解析(2)【分析】（1）對(duì)化簡(jiǎn)整理可得，結(jié)合復(fù)數(shù)的相等分析運(yùn)算；（2）根據(jù)復(fù)數(shù)模長(zhǎng)的定義和公式，結(jié)合運(yùn)算求解.【詳解】（1）∵，則，由復(fù)數(shù)相等，消去t得，故為定值.（2）∵，且∴，又∵，即，則，整理得，∴原不等式組即為，解得，故a的取值范圍為.【能力篇】一、單選題1．（2024·河南商丘·模擬預(yù)測(cè)）已知復(fù)數(shù)和滿足，則（

）A．1 B． C． D．2二、多選題2．（2024·湖北武漢·模擬預(yù)