備戰(zhàn)2025年高考數(shù)學(xué)一輪專題復(fù)習(xí)全套考點突破和專題檢測專題18三角恒等變換7題型分類(原卷版+解析)

專題18三角恒等變換7題型分類一、兩角和與差的正余弦與正切①；②；③；注：兩角和與差正切公式變形；．二、二倍角公式①；②；③；三、降次（冪）公式注：．四、半角公式五、輔助角公式（其中）．六、其他常用變式．七、拆分角問題：①；；②；③；④；⑤．注意：特殊的角也看成已知角，如．（一）兩角和與差的正弦、余弦、正切公式1.兩角和與差的三角函數(shù)公式可看作是誘導(dǎo)公式的推廣，可用α，β的三角函數(shù)表示的三角函數(shù)，在使用兩角和與差的三角函數(shù)公式時，特別要注意角與角之間的關(guān)系，完成統(tǒng)一角和角與角轉(zhuǎn)換的目的．2.運用兩角和與差的三角函數(shù)公式時，不但要熟練、準(zhǔn)確，而且要熟悉公式的逆用及變形．公式的逆用和變形應(yīng)用更能開拓思路，增強從正向思維向逆向思維轉(zhuǎn)化的能力．題型1：兩角和與差的正弦、余弦、正切公式的應(yīng)用1-1．（2024高三下·廣東廣州·階段練習(xí)），，，則（

）A． B．C． D．1-2．（2024·安徽淮南·二模）已知，則（

）A． B． C．或 D．0或1-3．（2024高一上·廣東廣州·期末）已知，，則的值為（

）A． B． C． D．題型2：兩角和與差的正弦、余弦、正切公式的逆用與變形2-1．（2024·山東泰安·二模）已知，則.2-2．（2024高三上·山東青島·期末）已知，，則.2-3．（2024高三·全國·對口高考）的值是.2-4．（2024高一·全國·課后作業(yè)）．2-5．（2024高三下·河南平頂山·階段練習(xí)）若，則（

）A． B．C． D．（二）角的變換問題常用的拆角、配角技巧：；；；；；等．題型3：角的變換問題3-1．（2024·四川成都·模擬預(yù)測）設(shè)，則等于（

）A．-2 B．2 C．-4 D．43-2．（2024·四川·三模）若為銳角，且，則（

）A． B． C． D．3-3．（2024高一上·福建福州·期末）已知，則的值為（

）A． B． C． D．3-4．（2024高一上·黑龍江哈爾濱·期末）已知則（

）A． B． C． D．（三）給角求值（1）給角求值問題求解的關(guān)鍵在于“變角”，使其角相同或具有某種關(guān)系，借助角之間的聯(lián)系尋找轉(zhuǎn)化方法．（2）給角求值問題的一般步驟①化簡條件式子或待求式子；②觀察條件與所求之間的聯(lián)系，從函數(shù)名稱及角入手；③將已知條件代入所求式子，化簡求值．題型4：給角求值4-1．（2024高三上·重慶沙坪壩·階段練習(xí)）求值：（

）A．1 B． C． D．4-2．（2024·廣東湛江·一模）．4-3．（2024·重慶·模擬預(yù)測）式子化簡的結(jié)果為（

）A． B． C． D．4-4．（2024高一下·江蘇蘇州·期中）計算：（）A． B． C． D．（四）給值求值給值求值：給出某些角的三角函數(shù)式的值，求另外一些角的三角函數(shù)值，解題關(guān)鍵在于“變角”，使其角相同或具有某種關(guān)系，解題的基本方法是：①將待求式用已知三角函數(shù)表示；②將已知條件轉(zhuǎn)化而推出結(jié)論，其中“湊角法”是解此類問題的常用技巧，解題時首先要分析已知條件和結(jié)論中各種角之間的相互關(guān)系，并根據(jù)這些關(guān)系來選擇公式．題型5：給值求值5-1．（2024·全國）已知，tanα=2，則cos(α?π4)5-2．（2024高三上·河北·期末）已知，則的值為．5-3．（2024·山東濟(jì)寧·三模）已知，則.5-4．（2024·江西·模擬預(yù)測）已知，則．5-5．（2024·全國·模擬預(yù)測）若，則．（五）給值求角給值求角：解此類問題的基本方法是：先求出“所求角”的某一三角函數(shù)值，再確定“所求角”的范圍，最后借助三角函數(shù)圖像、誘導(dǎo)公式求角．題型6：給值求角6-1．（2024高三上·上海嘉定·期中）若為銳角，，則角.6-2．（2024高三上·黑龍江哈爾濱·階段練習(xí)）已知，，其中，．(1)求的值；(2)求的值．6-3．（2024高一上·福建三明·階段練習(xí)）已知，，，.(1)求；(2)求角.6-4．（2024高三上·江西撫州·階段練習(xí)）已知，，且，，則的值是.（六）三角恒等變換的綜合應(yīng)用（1）進(jìn)行三角恒等變換要抓住：變角、變函數(shù)名稱、變結(jié)構(gòu)，尤其是角之間的關(guān)系；注意公式的逆用和變形使用．（2）形如化為，可進(jìn)一步研究函數(shù)的周期性、單調(diào)性、最值與對稱性．題型7：三角恒等變換的綜合應(yīng)用7-1．（2024·湖南·模擬預(yù)測）已知函數(shù)．(1)求的最小正周期和單調(diào)遞增區(qū)間；(2)當(dāng)時，求的最大值，并求當(dāng)取得最大值時x的值．7-2．（2024高三上·天津·期中）已知函數(shù)，圖象的兩條相鄰對稱軸之間的距離為．(1)求的單調(diào)遞減區(qū)間；(2)若，且，求的值．7-3．（2024高三·全國·對口高考）已知．若的最小正周期為．(1)求的表達(dá)式和的遞增區(qū)間；(2)求在區(qū)間上的最大值和最小值．7-4．（2024·浙江）設(shè)函數(shù).（1）求函數(shù)的最小正周期；（2）求函數(shù)在上的最大值.7-5．（2024高三上·天津和平·階段練習(xí)）已知函數(shù)(1)求的最小正周期及單調(diào)遞減區(qū)間：(2)若，求的值.一、單選題1．（2024·安徽安慶·二模）已知，則（

）A．－1 B． C． D．2．（2024高三上·福建三明·期末）已知，則（

）A． B． C． D．3．（2024·安徽亳州·模擬預(yù)測）已知，若，則（

）A． B． C． D．4．（2024·黑龍江齊齊哈爾·三模）已知，，則的值為（

）A． B． C． D．5．（2024高三上·上海靜安·期中）已知、是不同的兩個銳角，則下列各式中一定不成立的是（

）A．B．C．D．6．（2024高三·北京海淀·階段練習(xí)）已知O為坐標(biāo)原點，點．給出下列四個結(jié)論：①；②；③；④．其中正確結(jié)論的序號是（

）A．①② B．①④ C．①③ D．③④7．（2024·安徽安慶·二模）已知第二象限角滿足，則的值為（

）A． B． C． D．8．（2024·河南·模擬預(yù)測）已知，則（

）A． B． C．1 D．9．（2024高三上·山西忻州·階段練習(xí)）已知，則（

）A． B． C． D．310．（2024·江西·二模）已知，則（

）A． B． C． D．11．（2024·山西晉中·三模）已知，為銳角，且，，則（

）A． B． C． D．12．（2024·全國·模擬預(yù)測）已知，，，，則（

）A． B． C． D．13．（2024·廣東汕頭·二模）若，則實數(shù)的值為（

）A． B． C． D．14．（2024高三·重慶沙坪壩·階段練習(xí)）（

）A． B． C． D．15．（2024高一下·湖南衡陽·階段練習(xí)）已知，，，則（

）A． B． C． D．16．（2024·全國）已知為銳角，，則（

）．A． B． C． D．17．（2024·全國）已知，則（

）．A． B． C． D．18．（2024·全國）若，則（

）A． B．C． D．19．（2024高三上·江西贛州·期末）已知函數(shù)，的最小值為a，則實數(shù)a的值為（

）A． B． C． D．120．（2024高三上·山東·階段練習(xí)）已知，，，且，則的值為（

）A． B． C． D．21．（2024·廣東廣州·一模）若，且，則下列結(jié)論正確的是（

）A． B．C． D．22．（2024高三上·重慶沙坪壩·階段練習(xí)）若，則（

）A． B． C． D．23．（2024高一上·浙江寧波·期末）已知，求（

）A． B． C． D．24．（2024·重慶·模擬預(yù)測）已知角，滿足，，則（

）．A． B． C．1 D．225．（2024·全國·模擬預(yù)測）已知，，滿足，且，，則的值為（

）A．－2 B． C． D．226．（2024·全國）已知，則（

）A． B． C． D．27．（2024·全國·模擬預(yù)測）已知角滿足，則（

）A． B． C． D．28．（2024高三上·陜西·階段練習(xí)）已知，則等于（

）A． B． C． D．129．（2024高三上·黑龍江牡丹江·期末）（

）A．1 B． C． D．230．（2024高三上·江蘇·階段練習(xí)）若，則（

）A． B． C． D．31．（2024高三下·上海金山·期中）若，則（

）A． B． C． D．32．（2024高一下·湖北荊州·期中）化簡：（

）A． B． C． D．33．（2024高二上·江西景德鎮(zhèn)·期中）已知，，且，，則（

）A． B． C． D．34．（2024·江蘇無錫·三模）已知，，若，則（

）A． B． C． D．35．（2024·全國·模擬預(yù)測）若，則（

）A．5 B． C．2 D．436．（2024高三上·河南周口·階段練習(xí)）已知函數(shù)的部分圖象如圖所示，則函數(shù)的零點個數(shù)為（

）

A．7 B．9 C．11 D．1337．（2024·全國·模擬預(yù)測）已知，則（

）A． B． C． D．38．（2024·福建泉州·模擬預(yù)測）若，則（

）A．0 B． C．3 D．7二、多選題39．（2024·全國）已知為坐標(biāo)原點，點，，，，則（

）A． B．C． D．40．（河北省石家莊市部分重點高中2024屆高三上學(xué)期期末數(shù)學(xué)試題）古希臘數(shù)學(xué)家畢達(dá)哥拉斯通過研究正五邊形和正十邊形的作圖，發(fā)現(xiàn)了黃金分割率，黃金分割率的值也可以用表示．下列結(jié)果等于黃金分割率的值的是（

）A． B．C． D．41．（2024高三上·廣東·期末）已知函數(shù)，則下列說法正確的是（

）A．最小正周期為B．函數(shù)在區(qū)間內(nèi)有6個零點C．的圖象關(guān)于點對稱D．將的圖象向左平移個單位，得到函數(shù)的圖象，若在上的最大值為，則的最大值為三、填空題42．（2024·湖北荊門·模擬預(yù)測）若，則.43．（2024高三·全國·專題練習(xí)）已知，則44．（2024·新疆烏魯木齊·二模）已知，則．45．（2024高三上·四川·期中）寫出一個使等式成立的的值為.46．（2024·北京海淀·模擬預(yù)測）若實數(shù)，滿足方程組，則的一個值是.47．（2024·全國·模擬預(yù)測）已知，，則．48．（2024高一下·上海浦東新·階段練習(xí)）已知，且，求的值為．49．（2024高一下·江蘇揚州·期中）已知，，，，則．50．（2024高三上·陜西商洛·期中）已知，滿足，則．51．（2024高三上·江蘇南通·期中）在中，若，則.52．（2024高三上·廣東廣州·開學(xué)考試）若角的終邊經(jīng)過點，且，則實數(shù).53．（2024高一·全國·課后作業(yè)）若是的內(nèi)角，且，則等于.54．（2024高一上·江蘇泰州·期末）若，為銳角，且，則；55．（2024高三上·遼寧沈陽·階段練習(xí)）已知，則.56．（2024高一上·重慶沙坪壩·期末）若，且，，則.57．（2024高三下·湖南·階段練習(xí)）若銳角、滿足，，則．58．（2024·全國·模擬預(yù)測）在平面直角坐標(biāo)系中，角的頂點為坐標(biāo)原點，始邊與軸的非負(fù)半軸重合，點為角終邊上一點.若，且，則.59．（2024·山西臨汾·模擬預(yù)測）已知為銳角，且，則．60．（2024高三上·廣東湛江·階段練習(xí)）已知，則.61．（2024·全國·模擬預(yù)測）在正三角形中，由可得到三角恒等式，其中，以此類推，在正邊形中，可得到三角恒等式；通過上述，．四、解答題62．（2024高一下·浙江紹興·期末）為了推導(dǎo)兩角和與差的三角函數(shù)公式，某同學(xué)設(shè)計了一種證明方法：在直角梯形ABCD中，，，點E為BC上一點，且，過點D作于點F，設(shè)，.

(1)利用圖中邊長關(guān)系，證明：；(2)若，求.63．（2024高一下·遼寧·期中）某數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)小組研究得到了以下的三倍角公式：①；②根據(jù)以上研究結(jié)論，回答：(1)在①和②中任選一個進(jìn)行證明：(2)求值：.64．（2024高一上·山西長治·期末）(1)試證明差角的余弦公式：；(2)利用公式推導(dǎo)：①和角的余弦公式，正弦公式，正切公式；②倍角公式，，.65．（2024高三上·廣東揭陽·期中）在推導(dǎo)很多三角恒等變換公式時，我們可以利用平面向量的有關(guān)知識來研究，在一定程度上可以簡化推理過程．如我們就可以利用平面向量來推導(dǎo)兩角差的余弦公式：．具體過程如下：如圖，在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)作單位圓，以為始邊作角，．它們的終邊與單位圓的交點分別為A，B．則，，由向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示，有．設(shè)，的夾角為，則，另一方面，由圖（1）可知，；由圖（2）可知，于是，．所以，也有；所以，對于任意角，有：．此公式給出了任意角，的正弦、余弦值與其差角的余弦值之間的關(guān)系，稱為差角的余弦公式，簡記作．有了公式以后，我們只要知道，，，的值，就可以求得的值了．閱讀以上材料，利用圖（3）單位圓及相關(guān)數(shù)據(jù)（圖中M是AB的中點），采取類似方法（用其他方法解答正確同等給分）解決下列問題：(1)判斷是否正確？（回答“正確”，“不正確”，不需要證明）(2)證明：．66．（2024·陜西咸陽·二模）已知函數(shù)(1)求函數(shù)的對稱軸和對稱中心；(2)當(dāng)，求函數(shù)的值域．67．（2024高三下·上海松江·階段練習(xí)）已知.(1)求在上的單調(diào)遞減區(qū)間；(2)若，求的值.68．（2024高三·全國·對口高考）已知函數(shù)；(1)若在中，，，求使的角．(2)求在區(qū)間上的取值范圍；69．（2024高三上·湖北省直轄縣級單位·階段練習(xí)）計算求值：(1)已知、均為銳角，，，求的值(2)計算的成套的課件成套的教案成套的試題成套的微專題盡在高中數(shù)學(xué)同步資源大全QQ群552511468也可聯(lián)系微信fjshuxue加入百度網(wǎng)盤群1.5T一線老師必備資料一鍵轉(zhuǎn)存自動更新永不過期專題18三角恒等變換7題型分類一、兩角和與差的正余弦與正切①；②；③；注：兩角和與差正切公式變形；．二、二倍角公式①；②；③；三、降次（冪）公式注：．四、半角公式五、輔助角公式（其中）．六、其他常用變式．七、拆分角問題：①；；②；③；④；⑤．注意：特殊的角也看成已知角，如．（一）兩角和與差的正弦、余弦、正切公式1.兩角和與差的三角函數(shù)公式可看作是誘導(dǎo)公式的推廣，可用α，β的三角函數(shù)表示的三角函數(shù)，在使用兩角和與差的三角函數(shù)公式時，特別要注意角與角之間的關(guān)系，完成統(tǒng)一角和角與角轉(zhuǎn)換的目的．2.運用兩角和與差的三角函數(shù)公式時，不但要熟練、準(zhǔn)確，而且要熟悉公式的逆用及變形．公式的逆用和變形應(yīng)用更能開拓思路，增強從正向思維向逆向思維轉(zhuǎn)化的能力．題型1：兩角和與差的正弦、余弦、正切公式的應(yīng)用1-1．（2024高三下·廣東廣州·階段練習(xí)），，，則（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】由同角三角函數(shù)的關(guān)系，求出，再由兩角差的正切公式求.【詳解】，，則有，，.故選：B.1-2．（2024·安徽淮南·二模）已知，則（

）A． B． C．或 D．0或【答案】A【分析】根據(jù)同角三角函數(shù)關(guān)系求出，，湊角法求出或，舍去不合題意的解，得到答案.【詳解】因為，所以，因為，所以，因為，所以當(dāng)時，，因為，所以，故滿足題意，當(dāng)時，因為，故不合題意，舍去；故選：A1-3．（2024高一上·廣東廣州·期末）已知，，則的值為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】將條件中兩式平方相加后整理即可得答案.【詳解】，，兩式相加得，.故選：C.題型2：兩角和與差的正弦、余弦、正切公式的逆用與變形2-1．（2024·山東泰安·二模）已知，則.【答案】【分析】利用輔助角公式求得，根據(jù)倍角公式和誘導(dǎo)公式化簡目標(biāo)式，即可求得結(jié)果.【詳解】因為，故可得，則故答案為：.2-2．（2024高三上·山東青島·期末）已知，，則.【答案】/【分析】將已知兩式平方相加，結(jié)合兩角差的余弦公式，即可求得答案.【詳解】因為，，故，，以上兩式相加可得，即，故，故答案為：2-3．（2024高三·全國·對口高考）的值是.【答案】1【分析】利用正切的和差公式變形即可得解.【詳解】因為，所以，故.故答案為：.2-4．（2024高一·全國·課后作業(yè)）．【答案】【分析】由正切的差角公式，可得，經(jīng)過等量代換與運算可得答案.【詳解】．故答案為：.2-5．（2024高三下·河南平頂山·階段練習(xí)）若，則（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】利用輔助角及兩角和與差的正弦公式化簡，可得，進(jìn)而求解.【詳解】由，可得，即，化簡可得，即，所以，，即，，可得．故選：C．（二）角的變換問題常用的拆角、配角技巧：；；；；；等．題型3：角的變換問題3-1．（2024·四川成都·模擬預(yù)測）設(shè)，則等于（

）A．-2 B．2 C．-4 D．4【答案】C【分析】先用兩角差的正切公式可求出的值，再用兩角和的正切公式即可求解【詳解】因為，所以，故，故選：C．3-2．（2024·四川·三模）若為銳角，且，則（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】利用同角三角函數(shù)的關(guān)系和兩角和的正弦公式計算.【詳解】由為銳角，且，所以，則.故選：D3-3．（2024高一上·福建福州·期末）已知，則的值為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】先求出，利用差角公式求解答案.【詳解】因為，所以，所以；.故選：A.3-4．（2024高一上·黑龍江哈爾濱·期末）已知則（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】先利用同角三角函數(shù)基本關(guān)系式求出和，然后利用兩角和的余弦公式展開代入即可求出cos（α+β）．【詳解】∵∴∴，∴，∴．故選：D（三）給角求值（1）給角求值問題求解的關(guān)鍵在于“變角”，使其角相同或具有某種關(guān)系，借助角之間的聯(lián)系尋找轉(zhuǎn)化方法．（2）給角求值問題的一般步驟①化簡條件式子或待求式子；②觀察條件與所求之間的聯(lián)系，從函數(shù)名稱及角入手；③將已知條件代入所求式子，化簡求值．題型4：給角求值4-1．（2024高三上·重慶沙坪壩·階段練習(xí)）求值：（

）A．1 B． C． D．【答案】D【分析】先化切為弦將轉(zhuǎn)化為，然后根據(jù)二倍角的正弦和余弦公式、輔助角公式以及誘導(dǎo)公式進(jìn)行化簡求值.【詳解】原式，故選：D.【點睛】關(guān)鍵點點睛：解答本題的關(guān)鍵在于弦切互化以及三角恒等變換公式的運用，一方面需要利用以及輔助角公式將分子化為一個整體，另一方面需要利用二倍角的正余弦公式將分母化為一個整體.4-2．（2024·廣東湛江·一模）．【答案】【分析】根據(jù)三角函數(shù)的誘導(dǎo)公式和兩角和的余弦公式，準(zhǔn)確化簡，即可求解.【詳解】由三角函數(shù)的誘導(dǎo)公式和兩角和的余弦公式，可得：.故答案為：.4-3．（2024·重慶·模擬預(yù)測）式子化簡的結(jié)果為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】利用二倍角公式以及輔助角公式可化簡所求代數(shù)式.【詳解】原式.故選：B.4-4．（2024高一下·江蘇蘇州·期中）計算：（）A． B． C． D．【答案】C【分析】利用兩角和差的正弦公式，二倍角余弦公式和同角關(guān)系化簡即可.【詳解】因為，所以原式故選：C（四）給值求值給值求值：給出某些角的三角函數(shù)式的值，求另外一些角的三角函數(shù)值，解題關(guān)鍵在于“變角”，使其角相同或具有某種關(guān)系，解題的基本方法是：①將待求式用已知三角函數(shù)表示；②將已知條件轉(zhuǎn)化而推出結(jié)論，其中“湊角法”是解此類問題的常用技巧，解題時首先要分析已知條件和結(jié)論中各種角之間的相互關(guān)系，并根據(jù)這些關(guān)系來選擇公式．題型5：給值求值5-1．（2024·全國）已知，tanα=2，則cos(α?π4)【答案】【詳解】由得，又，所以，因為，所以，因為，所以．5-2．（2024高三上·河北·期末）已知，則的值為．【答案】【分析】根據(jù)二倍角公式，結(jié)合同角商數(shù)關(guān)系即可求解，或者利用正切的二倍角公式，結(jié)合弦切互化求解.【詳解】（法一）．（法二）因為，所以，則．故答案為：．5-3．（2024·山東濟(jì)寧·三模）已知，則.【答案】/【分析】由輔助角公式和二倍角的余弦公式化簡即可得出答案.【詳解】因為，則.故答案為：.5-4．（2024·江西·模擬預(yù)測）已知，則．【答案】【分析】利用誘導(dǎo)公式結(jié)合二倍角公式即可求解.【詳解】由題意可得，.故答案為：5-5．（2024·全國·模擬預(yù)測）若，則．【答案】【分析】利用誘導(dǎo)公式、二倍角公式和輔助角公式化簡可得，然后由可解.【詳解】因為，所以，所以．故答案為：（五）給值求角給值求角：解此類問題的基本方法是：先求出“所求角”的某一三角函數(shù)值，再確定“所求角”的范圍，最后借助三角函數(shù)圖像、誘導(dǎo)公式求角．題型6：給值求角6-1．（2024高三上·上海嘉定·期中）若為銳角，，則角.【答案】【分析】結(jié)合兩角差的余弦公式、同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式求得，進(jìn)而求得.【詳解】由于為銳角，所以，所以，所以，所以.故答案為：6-2．（2024高三上·黑龍江哈爾濱·階段練習(xí)）已知，，其中，．(1)求的值；(2)求的值．【答案】(1)(2)【分析】（1）根據(jù)題意利用倍角公式可得，再結(jié)合兩角和差公式運算求解；（2）根據(jù)同角三角關(guān)系可得，利用兩角和差公式求，并結(jié)合角的范圍分析求解.【詳解】（1）因為，可得，又因為，則，可得，所以.（2）因為，則，且，可得，所以，可得，又因為，可得，所以.6-3．（2024高一上·福建三明·階段練習(xí)）已知，，，.(1)求；(2)求角.【答案】(1)7(2)【分析】（1）兩邊平方得，從而求出，得到，聯(lián)立求出正弦和余弦，得到正切值；（2）由題目條件得到，故，由同角三角函數(shù)關(guān)系求出，進(jìn)而由求出正弦值，結(jié)合角的范圍得到答案.【詳解】（1）①，兩邊平方得，所以，從而，因為，所以，故，，，所以，②聯(lián)立①②解得，，故；（2）因為，，，所以，由于在上單調(diào)遞減，所以，其中，由（1）知，，而，與矛盾，舍去，，滿足要求，故，所以，因為，所以.6-4．（2024高三上·江西撫州·階段練習(xí)）已知，，且，，則的值是.【答案】【分析】由平方關(guān)系求得，，再求出即可得解.【詳解】解：因為，，且，，所以，，且，則，所以.故答案為：.（六）三角恒等變換的綜合應(yīng)用（1）進(jìn)行三角恒等變換要抓?。鹤兘?、變函數(shù)名稱、變結(jié)構(gòu)，尤其是角之間的關(guān)系；注意公式的逆用和變形使用．（2）形如化為，可進(jìn)一步研究函數(shù)的周期性、單調(diào)性、最值與對稱性．題型7：三角恒等變換的綜合應(yīng)用7-1．（2024·湖南·模擬預(yù)測）已知函數(shù)．(1)求的最小正周期和單調(diào)遞增區(qū)間；(2)當(dāng)時，求的最大值，并求當(dāng)取得最大值時x的值．【答案】(1)最小正周期為；單調(diào)遞增區(qū)間為(2)最大值為，此時.【分析】（1）化簡函數(shù)，結(jié)合三角函數(shù)的性質(zhì)，即可求解；（2）由，求得，得到，進(jìn)而求得取得最大值時x的值.【詳解】（1）解：因為，所以的最小正周期為，令，解得，所以的單調(diào)遞增區(qū)間為．（2）解：因為，所以，所以，所以，當(dāng)，即時，，所以的最大值為，此時．7-2．（2024高三上·天津·期中）已知函數(shù)，圖象的兩條相鄰對稱軸之間的距離為．(1)求的單調(diào)遞減區(qū)間；(2)若，且，求的值．【答案】(1)(2)【分析】（1）根據(jù)題意，化簡，結(jié)合三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)，即可求解；（2）根據(jù)題意，求得，得到，結(jié)合三角函數(shù)的誘導(dǎo)公式，即可求解.【詳解】（1）解：由，因為圖象的兩條相鄰對稱軸之間的距離為，可得，即，所以，可得，令，解得，所以函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為.（2）解：由，可得，因為，可得，所以，所以.7-3．（2024高三·全國·對口高考）已知．若的最小正周期為．(1)求的表達(dá)式和的遞增區(qū)間；(2)求在區(qū)間上的最大值和最小值．【答案】(1)；的單調(diào)遞增區(qū)間為．(2)在區(qū)間上的最大值和最小值分別為1和．【分析】（1）化簡函數(shù)解析式，利用周期公式求，可得其函數(shù)解析式，再由正弦函數(shù)單調(diào)性求函數(shù)的遞增區(qū)間；（2）利用不等式性質(zhì)及正弦函數(shù)性質(zhì)求函數(shù)在區(qū)間上的最大值和最小值．【詳解】（1）因為，所以，所以，所以，因為的最小正周期為，，所以，所以，所以，令，，可得，，所以函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為，（2）因為，所以，所以，即，所以當(dāng)時，函數(shù)取最大值，最大值為，當(dāng)時，函數(shù)取最小值，最小值為.7-4．（2024·浙江）設(shè)函數(shù).（1）求函數(shù)的最小正周期；（2）求函數(shù)在上的最大值.【答案】（1）；（2）.【分析】（1）由題意結(jié)合三角恒等變換可得，再由三角函數(shù)最小正周期公式即可得解；（2）由三角恒等變換可得，再由三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)即可得解.【詳解】（1）由輔助角公式得，則，所以該函數(shù)的最小正周期;（2）由題意，，由可得，所以當(dāng)即時，函數(shù)取最大值.7-5．（2024高三上·天津和平·階段練習(xí)）已知函數(shù)(1)求的最小正周期及單調(diào)遞減區(qū)間：(2)若，求的值.【答案】(1)，；(2).【分析】（1）利用三角恒等變換先化簡函數(shù)式，再結(jié)合三角函數(shù)的性質(zhì)計算即可；（2）結(jié)合（1）得，利用同角三角函數(shù)的平方關(guān)系及正弦函數(shù)的和差公式計算即可.【詳解】（1）原函數(shù)式可化為，則其最小正周期為，令，即單調(diào)遞減區(qū)間為：；（2）由上可知，又，所以，則，故.一、單選題1．（2024·安徽安慶·二模）已知，則（

）A．－1 B． C． D．【答案】A【分析】由已知條件利用兩角和差的正弦公式展開求得，最后由二倍角公式結(jié)合齊次式化簡求值即可.【詳解】由，得，即，則，得，則，所以．故選：A．2．（2024高三上·福建三明·期末）已知，則（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】由和差角公式以及輔助角公式即可化簡求解.【詳解】根據(jù)題意，，即，故，故選：A3．（2024·安徽亳州·模擬預(yù)測）已知，若，則（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】由已知條件算出即可求解.【詳解】因為，所以，因為，所以，所以.故選：C.4．（2024·黑龍江齊齊哈爾·三模）已知，，則的值為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】由已知條件切化弦，整理得出，然后把展開可求出，從而利用兩角和的余弦公式可求解.【詳解】由于，且，則，整理得，則，整理得，所以.故選：D.5．（2024高三上·上海靜安·期中）已知、是不同的兩個銳角，則下列各式中一定不成立的是（

）A．B．C．D．【答案】B【分析】先根據(jù)題意得到與的范圍，再利用正余弦函數(shù)的和差公式，對選項逐一進(jìn)行化簡，從而利用正余弦函數(shù)的性質(zhì)即可判斷.【詳解】因為、是不同的兩個銳角，即，所以，，對于A，因為，所以一定成立，故A錯誤；對于D，可能成立，故D錯誤；對于B，因為，所以恒成立，即一定不成立，故B正確；對于C，可能成立，故C錯誤.故選：B.6．（2024高三·北京海淀·階段練習(xí)）已知O為坐標(biāo)原點，點．給出下列四個結(jié)論：①；②；③；④．其中正確結(jié)論的序號是（

）A．①② B．①④ C．①③ D．③④【答案】C【分析】根據(jù)點的坐標(biāo)，寫出向量的坐標(biāo)，根據(jù)模的計算公式求出向量的模，可判斷①②;根據(jù)數(shù)量積的坐標(biāo)表示，求出相關(guān)向量的數(shù)量積，可判斷③④.【詳解】對于①：，，所以，，故，故①正確；對于②：，，，，因為關(guān)系不定，故不一定相等，故②不正確；對于③，，，，，，故③正確；對于④，，，因為未知，所以與不一定相等，故④不正確.故選：C7．（2024·安徽安慶·二模）已知第二象限角滿足，則的值為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】由誘導(dǎo)公式和同角三角函數(shù)的基本關(guān)系求出，再由兩角和的正弦公式代入化簡所求表達(dá)式可得，即可得出答案.【詳解】因為，且為第二象限角，所以，于是.故選：D.8．（2024·河南·模擬預(yù)測）已知，則（

）A． B． C．1 D．【答案】A【分析】由題解得，再由求解即可.【詳解】由，解得，所以.故選：A.9．（2024高三上·山西忻州·階段練習(xí)）已知，則（

）A． B． C． D．3【答案】D【分析】利用兩角和的正切恒等變換公式可求得=，對所求式子利用誘導(dǎo)公式進(jìn)行化簡，再利用弦化切即可求解.【詳解】因為，所以，解得=，則，故選：D.10．（2024·江西·二模）已知，則（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】利用兩角差的正弦公式展開再平方得到，從而求出，再由兩角差的余弦公式計算可得.【詳解】因為，所以，所以，即，所以，則，所以.故選：D11．（2024·山西晉中·三模）已知，為銳角，且，，則（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】由條件，結(jié)合同角關(guān)系求，再由特殊角三角函數(shù)值求，再利用兩角差的余弦公式求.【詳解】因為，所以，又，為銳角，所以，，且．因為，為銳角，，所以，又，所以，故．故選：D.12．（2024·全國·模擬預(yù)測）已知，，，，則（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)待求式的結(jié)構(gòu)，求解即可．【詳解】解：因為=-.，；，，所以，故．故選：D.13．（2024·廣東汕頭·二模）若，則實數(shù)的值為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】利用輔助角公式以及二倍角的正弦公式、誘導(dǎo)公式化簡可得的值.【詳解】由已知可得.故選：A.14．（2024高三·重慶沙坪壩·階段練習(xí)）（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】先將代入所求式子通分化簡，再結(jié)合二倍角公式、兩角差的正弦公式，即可得解．【詳解】解：．故選：A．15．（2024高一下·湖南衡陽·階段練習(xí)）已知，，，則（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】由可得，根據(jù)角的范圍可得到答案.【詳解】由題意知，則，即，所以，即，又，，則，所以，，，則所以有即.故選：A.16．（2024·全國）已知為銳角，，則（

）．A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)二倍角公式（或者半角公式）即可求出．【詳解】因為，而為銳角，解得：．故選：D．17．（2024·全國）已知，則（

）．A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)給定條件，利用和角、差角的正弦公式求出，再利用二倍角的余弦公式計算作答.【詳解】因為，而，因此，則，所以.故選：B【點睛】方法點睛：三角函數(shù)求值的類型及方法（1）“給角求值”：一般所給出的角都是非特殊角，從表面來看較難，但非特殊角與特殊角總有一定關(guān)系．解題時，要利用觀察得到的關(guān)系，結(jié)合三角函數(shù)公式轉(zhuǎn)化為特殊角的三角函數(shù)．（2）“給值求值”：給出某些角的三角函數(shù)值，求另外一些角的三角函數(shù)值，解題關(guān)鍵在于“變角”，使其角相同或具有某種關(guān)系．（3）“給值求角”：實質(zhì)上也轉(zhuǎn)化為“給值求值”，關(guān)鍵也是變角，把所求角用含已知角的式子表示，由所得的函數(shù)值結(jié)合該函數(shù)的單調(diào)區(qū)間求得角，有時要壓縮角的取值范圍．18．（2024·全國）若，則（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】由兩角和差的正余弦公式化簡，結(jié)合同角三角函數(shù)的商數(shù)關(guān)系即可得解.【詳解】[方法一]：直接法由已知得：,即：，即：所以故選：C[方法二]：特殊值排除法解法一:設(shè)β=0則sinα+cosα=0，取，排除A,B；再取α=0則sinβ+cosβ=2sinβ，取β，排除D；選C.[方法三]：三角恒等變換所以即故選：C.19．（2024高三上·江西贛州·期末）已知函數(shù)，的最小值為a，則實數(shù)a的值為（

）A． B． C． D．1【答案】D【分析】由輔助角公式化簡得，，可得，分析取最小值的情況，求得，即可得到，進(jìn)而求出a的值.【詳解】解：，且則，解得，，，則，，即，解得，故選：D.20．（2024高三上·山東·階段練習(xí)）已知，，，且，則的值為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】先對已知等式化簡結(jié)合可求出，則可求出，然后對變形化簡可得，從而可求出的值.【詳解】因為，所以，所以．因為，所以，因為，所以，，所以．由，得，即，所以，所以．又，所以．故選：C21．（2024·廣東廣州·一模）若，且，則下列結(jié)論正確的是（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】由及二倍角的余弦公式可得，根據(jù)兩角和的余弦公式可得，由誘導(dǎo)公式及的范圍即可求解.【詳解】，.由，可得，即.，，，，且，根據(jù)函數(shù)易知：，即得：.故選：A22．（2024高三上·重慶沙坪壩·階段練習(xí)）若，則（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】結(jié)合同角三角函數(shù)關(guān)系以及輔助角公式，可化簡原式得到，再利用輔助角公式可得，由余弦的二倍角公式可得解【詳解】，則故選：D23．（2024高一上·浙江寧波·期末）已知，求（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】利用三角函數(shù)誘導(dǎo)公式化簡已知等式可得，再利用兩角和差的余弦公式結(jié)合同角三角函數(shù)關(guān)系化簡可得，繼而利用三角恒等變換，化簡求值，即得答案.【詳解】由題意知，即，故，即，故，即，故選：D【點睛】關(guān)鍵點睛：解答本題的關(guān)鍵在于利用三角函數(shù)誘導(dǎo)公式以及兩角和差的公式化簡得出的表達(dá)式之后，要利用拆角的方法，繼而結(jié)合三角恒等變換公式，化簡求值即可.24．（2024·重慶·模擬預(yù)測）已知角，滿足，，則（

）．A． B． C．1 D．2【答案】B【分析】根據(jù)和角公式可得，結(jié)合二倍角公式以及弦切互化得齊次式即可求解.【詳解】由得，進(jìn)而，所以，故選：B25．（2024·全國·模擬預(yù)測）已知，，滿足，且，，則的值為（

）A．－2 B． C． D．2【答案】B【分析】根據(jù)題意切化弦結(jié)合三角恒等變換可得，結(jié)合運算求解即可.【詳解】由，即，可得，則，可得，因為，即，可得，又因為，即，所以．故選：B．26．（2024·全國）已知，則（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】將所給的三角函數(shù)式展開變形，然后再逆用兩角和的正弦公式即可求得三角函數(shù)式的值.【詳解】由題意可得：，則：，，從而有：，即.故選：B.【點睛】本題主要考查兩角和與差的正余弦公式及其應(yīng)用，屬于中等題.27．（2024·全國·模擬預(yù)測）已知角滿足，則（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)同角的三角函數(shù)關(guān)系式，結(jié)合兩角和差的正弦公式進(jìn)行求解即可.【詳解】，，，故選：B28．（2024高三上·陜西·階段練習(xí)）已知，則等于（

）A． B． C． D．1【答案】C【分析】利用正切函數(shù)的和差公式即可得解.【詳解】因為，所以，故．故選：C.29．（2024高三上·黑龍江牡丹江·期末）（

）A．1 B． C． D．2【答案】C【分析】根據(jù)二倍角公式及兩角和的正弦公式進(jìn)行計算即可.【詳解】原式，故選：C.30．（2024高三上·江蘇·階段練習(xí)）若，則（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】利用兩角差的正切公式結(jié)合弦化切可得出，再利用二倍角的正切公式可求得的值.【詳解】因為，即，整理可得，解得，且有因此，.故選：A.31．（2024高三下·上海金山·期中）若，則（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】將式子先利用二倍角公式和平方關(guān)系配方化簡，然后增添分母()，進(jìn)行齊次化處理，化為正切的表達(dá)式，代入即可得到結(jié)果．【詳解】將式子進(jìn)行齊次化處理得：．故選：C．【點睛】易錯點睛：本題如果利用，求出的值，可能還需要分象限討論其正負(fù)，通過齊次化處理，可以避開了這一討論．32．（2024高一下·湖北荊州·期中）化簡：（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】由倍角公式結(jié)合誘導(dǎo)公式求解即可.【詳解】故選：A33．（2024高二上·江西景德鎮(zhèn)·期中）已知，，且，，則（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】易知，利用角的范圍和同角三角函數(shù)關(guān)系可求得和，分別在和兩種情況下，利用兩角和差正弦公式求得，結(jié)合的范圍可確定最終結(jié)果.【詳解】且，，.又，，.當(dāng)時，，，，不合題意，舍去；當(dāng)，同理可求得，符合題意.綜上所述：.故選：.【點睛】易錯點睛：本題中求解時，易忽略的值所確定的的更小的范圍，從而誤認(rèn)為的取值也有兩種不同的可能性，造成求解錯誤.34．（2024·江蘇無錫·三模）已知，，若，則（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】利用已知條件和兩角和的正切公式，先求出角，再利用已知條件即可求解.【詳解】因為，又因為，，所以，所以因為，所以，所以，所以當(dāng)為奇數(shù)時，，，當(dāng)為偶數(shù)時，，，因為，所以，因為，所以.故選：C.35．（2024·全國·模擬預(yù)測）若，則（

）A．5 B． C．2 D．4【答案】A【分析】先求得，然后根據(jù)同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式、二倍角公式等知識求得正確答案.【詳解】，所以，則，所以故選：A36．（2024高三上·河南周口·階段練習(xí)）已知函數(shù)的部分圖象如圖所示，則函數(shù)的零點個數(shù)為（

）

A．7 B．9 C．11 D．13【答案】C【分析】根據(jù)的圖象求出的解析式，代入化簡得，，函數(shù)的零點個數(shù)即方程的根的個數(shù)，數(shù)形結(jié)合可得解.【詳解】根據(jù)題意：，由圖可知，，，，，又，，又，所以或，又，即，，所以，，令，所以與一一對應(yīng)，故函數(shù)的零點個數(shù)即方程的根的個數(shù)即可，根據(jù)圖象不難看出，兩個函數(shù)共有11個交點，故選：C．

【點睛】思路點睛：根據(jù)圖象求出，代入的解析式化簡得，換元令，由此將函數(shù)的零點個數(shù)轉(zhuǎn)化為方程的根的個數(shù)，數(shù)形結(jié)合得解.37．（2024·全國·模擬預(yù)測）已知，則（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】利用三角函數(shù)的基本關(guān)系式得到關(guān)于的方程，再利用倍角公式即可得解.【詳解】因為，又，所以，則，即，則，即，所以或（舍去），所以.故選：B.38．（2024·福建泉州·模擬預(yù)測）若，則（

）A．0 B． C．3 D．7【答案】D【分析】由條件結(jié)合平方關(guān)系及二倍角公式可求，根據(jù)商的關(guān)系和二倍角公式及誘導(dǎo)公式化簡，代入求值即可.【詳解】因為，所以，所以，即又，所以，故選：D.二、多選題39．（2024·全國）已知為坐標(biāo)原點，點，，，，則（

）A． B．C． D．【答案】AC【分析】A、B寫出，、，的坐標(biāo)，利用坐標(biāo)公式求模，即可判斷正誤；C、D根據(jù)向量的坐標(biāo)，應(yīng)用向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示及兩角和差公式化簡，即可判斷正誤.【詳解】A：，，所以，，故，正確；B：，，所以，同理，故不一定相等，錯誤；C：由題意得：，，正確；D：由題意得：，，故一般來說故錯誤；故選：AC40．（河北省石家莊市部分重點高中2024屆高三上學(xué)期期末數(shù)學(xué)試題）古希臘數(shù)學(xué)家畢達(dá)哥拉斯通過研究正五邊形和正十邊形的作圖，發(fā)現(xiàn)了黃金分割率，黃金分割率的值也可以用表示．下列結(jié)果等于黃金分割率的值的是（

）A． B．C． D．【答案】AB【分析】利用三角恒等變換，即可化簡，即可求解.【詳解】，故A正確；故B正確；，故C錯誤；．故D錯誤；故選：AB41．（2024高三上·廣東·期末）已知函數(shù)，則下列說法正確的是（

）A．最小正周期為B．函數(shù)在區(qū)間內(nèi)有6個零點C．的圖象關(guān)于點對稱D．將的圖象向左平移個單位，得到函數(shù)的圖象，若在上的最大值為，則的最大值為【答案】AD【分析】首先化簡得，對于A：直接用周期公式求解；對于B：求出的范圍，然后結(jié)合的圖象得零點個數(shù)；對于C：直接計算的值即可判斷；對于D：求出，結(jié)合圖象來列不等式求解.【詳解】，對于A：，A正確；對于B：當(dāng)時，，則分別取時對于的的值為函數(shù)在區(qū)間上的零點，只有個，B錯誤；對于C：，故點不是的對稱中心，C錯誤；對于D：由已知，當(dāng)時，，因為在上的最大值為，所以，解得，D正確.故選：AD.三、填空題42．（2024·湖北荊門·模擬預(yù)測）若，則.【答案】/【分析】根據(jù)兩角和的正弦公式可得，從而求，再根據(jù)誘導(dǎo)公式及兩角和的正切公式即可求解.【詳解】因為，所以，所以，即.所以，解得.所以.故答案為:.43．（2024高三·全國·專題練習(xí)）已知，則【答案】【分析】由將所求角轉(zhuǎn)化為已知角，再利用誘導(dǎo)公式結(jié)合二倍角的余弦公式即可得解.【詳解】因為，所以.故答案為：.44．（2024·新疆烏魯木齊·二模）已知，則．【答案】【分析】由于要求的正切，等式左邊就將其看成整體，按照兩角差的正弦公式展開，等式右邊直接利用兩角和差的余弦公式整理化簡即可.【詳解】由兩角差與和的余弦公式，等式右邊變?yōu)椋?，等式左邊將看作整體，按照兩角差的正弦公式展開，左邊得到：.于是根據(jù)左邊等于右邊得到：，即，顯然，否則，這與矛盾，于是等式兩邊同時除以，得到.故答案為：45．（2024高三上·四川·期中）寫出一個使等式成立的的值為.【答案】（答案不唯一）【分析】利用通分，兩角和的正弦公式及正弦的二倍角公式化簡，找出條件關(guān)系，求出滿足條件的一個角即可【詳解】因為所以所以解得：當(dāng)時，所以使等式成立的的一個值為：故答案為：（答案不唯一）46．（2024·北京海淀·模擬預(yù)測）若實數(shù)，滿足方程組，則的一個值是.【答案】（滿足或的值均可）【分析】直接利用三角函數(shù)關(guān)系式的變換的應(yīng)用求出結(jié)果．【詳解】解：實數(shù)，滿足方程組，則，由于，所以，則；所以，整理得，所以或，即得或.故可以取時，．故答案為：（滿足或的值均可）47．（2024·全國·模擬預(yù)測）已知，，則．【答案】【分析】由誘導(dǎo)公式、輔助角公式、倍角公式得出，再由正弦函數(shù)的性質(zhì)結(jié)合得出.【詳解】由題知，則，即，即，即，則或，．因為，所以，所以，解得．故答案為：48．（2024高一下·上海浦東新·階段練習(xí)）已知，且，求的值為．【答案】/【分析】注意到，利用誘導(dǎo)公式和兩角和的正弦公式求解，注意范圍的確定.【詳解】，則，注意到，于是，不妨記，于是，而，于是（負(fù)值舍去），又，則（正值舍去），于是計算可得：，而，于是.故答案為：.49．（2024高一下·江蘇揚州·期中）已知，，，，則．【答案】【分析】利用同角三角函數(shù)的基本關(guān)系結(jié)合兩角差的余弦公式可求得的值，求出的取值范圍，即可得解.【詳解】因為，，則，，，所以，，，所以，，因此，.故答案為：.50．（2024高三上·陜西商洛·期中）已知，滿足，則．【答案】【分析】根據(jù)題意結(jié)合兩角和差公式整理得，進(jìn)而可得結(jié)果.【詳解】因為，即，整理得，即，所以．故答案為：．51．（2024高三上·江蘇南通·期中）在中，若，則.【答案】【分析】利用兩角和的正切公式結(jié)合誘導(dǎo)公式化簡可得的值，再利用二倍角的正切公式化簡可得的值.【詳解】因為，所以，，由題意可得，若，則，不妨設(shè)為銳角，則，則，不合乎題意，所以，，故，因此，.故答案為：.52．（2024高三上·廣東廣州·開學(xué)考試）若角的終邊經(jīng)過點，且，則實數(shù).【答案】【分析】由題意可得角是第一象限的角，且，根據(jù)誘導(dǎo)公式可得，不妨取，代入中利用兩角和的正切變形公式化簡可求出的值【詳解】因為角的終邊經(jīng)過點，所以因為，，所以角是第一象限的角，所以，不妨取，則，所以，所以，所以，所以，故答案為：53．（2024高一·全國·課后作業(yè)）若是的內(nèi)角，且，則等于.【答案】【分析】利用兩角和的正切公式求得，即可求出.【詳解】由題意知，，即，∴，又，∴.【點睛】本題主要考查兩角和的正切公式，屬基礎(chǔ)題．54．（2024高一上·江蘇泰州·期末）若，為銳角，且，則；【答案】【解析】利用兩角和差正切公式來構(gòu)造出，代入可求得結(jié)果；根據(jù)的規(guī)律可整理得到結(jié)果.【詳解】

即故答案為：；【點睛】本題考查利用兩角和差正切公式求值的問題，關(guān)鍵是能夠通過兩角和差正切公式和特殊角三角函數(shù)值構(gòu)造出所求式子的構(gòu)成部分.55．（2024高三上·遼寧沈陽·階段練習(xí)）已知，則.【答案】【分析】根據(jù)題意，化簡得到即，由，得到，結(jié)合，即可求得的值.【詳解】由，可得，兩式平方相加，可得：，即，又由，可得，所以，所以因為，且，所以.故答案為：.56．（2024高一上·重慶沙坪壩·期末）若，且，，則.【答案】【分析】由題意求出的范圍，，的值，而，由兩角差的余弦公式代入即可得出答案.【詳解】因為，所以，，所以，所以，所以，，所以，因為，，則，，，所以所以，所以.故答案為：.57．（2024高三下·湖南·階段練習(xí)）若銳角、滿足，，則．【答案】【分析】利用同角三角函數(shù)的平方關(guān)系求出、的值，再利用兩角差的余弦公式可求得的值.【詳解】因為，，則，，由、，則，，所以，，，所以.故答案為：.58．（2024·全國·模擬預(yù)測）在平面直角坐標(biāo)系中，角的頂點為坐標(biāo)原點，始邊與軸的非負(fù)半軸重合，點為角終邊上一點.若，且，則.【答案】【分析】利用三角函數(shù)定義求出，利用同角關(guān)系求出，再利用三角恒等變換求出結(jié)果.【詳解】因為點為角終邊上一點，所以.又因為，，所以.因為，所以.因為，所以，所以，所以.故答案為：59．（2024·山西臨汾·模擬預(yù)測）已知為銳角，且，則．【答案】【分析】對已知式整理可得，結(jié)合角的范圍可得，進(jìn)而以為整體，結(jié)合三角恒等變換分析求解.【詳解】因為，即，且為銳角，則，可知，則，可得，所以.故答案為：.60．（2024高三上·廣東湛江·階段練習(xí)）已知，則.【答案】【分析】化簡得到，根據(jù)得到且，從而求出答案.【詳解】由，得.因為，所以當(dāng)且僅當(dāng)兩個等號同時成立，即且時，，又，，所以，所以.故答案為：61．（2024·全國·模擬預(yù)測）在正三角形中，由可得到三角恒等式，其中，以此類推，在正邊形中，可得到三角恒等式；通過上述，．【答案】，【分析】第一個空利用類比和已知格式推斷在正邊形中可得到三角恒等式；第二個空利用誘導(dǎo)公式將化為，然后利用降冪公式化簡，結(jié)合求出結(jié)果.【詳解】記單位向量，在邊長為1的正邊形中，因為，所以，．由恒等式對任意恒成立，可知，即，．故答案為：；.四、解答題62．（2024高一下·浙江紹興·期末）為了推導(dǎo)兩角和與差的三角函數(shù)公式，某同學(xué)設(shè)計了一種證明方法：在直角梯形ABCD中，，，點E為BC上一點，且，過點D作于點F，設(shè)，.

(1)利用圖中邊長關(guān)系，證明：；(2)若，求.【答案】(1)證明見解析；(2).【分析】（1）根據(jù)給定條件，利用直角三角形的邊角關(guān)系推理作答.（2）利用（1）的信息結(jié)合已知，證得，再借助二倍角公式及同角公式計算作答.【詳解】（1）在中，，，，則，在中，，，，則，在