2025年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)講義(知識(shí)梳理+真題自測+考點(diǎn)突破+分層檢測)專題13函數(shù)與方程(新高考專用)(原卷版+解析)

專題13函數(shù)與方程（新高考專用）目錄目錄【知識(shí)梳理】 2【真題自測】 2【考點(diǎn)突破】 3【考點(diǎn)1】函數(shù)零點(diǎn)所在區(qū)間的判斷 3【考點(diǎn)2】函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)的判定 4【考點(diǎn)3】函數(shù)零點(diǎn)的應(yīng)用 5【分層檢測】 7【基礎(chǔ)篇】 7【能力篇】 9【培優(yōu)篇】 10考試要求：1.理解函數(shù)的零點(diǎn)與方程的解的聯(lián)系.2.理解函數(shù)零點(diǎn)存在定理，并能簡單應(yīng)用.3.了解用二分法求方程的近似解.知識(shí)梳理知識(shí)梳理1.函數(shù)的零點(diǎn)(1)概念：對于一般函數(shù)y＝f(x)，我們把使f(x)＝0的實(shí)數(shù)x叫做函數(shù)y＝f(x)的零點(diǎn).(2)函數(shù)的零點(diǎn)、函數(shù)的圖象與x軸的交點(diǎn)、對應(yīng)方程的根的關(guān)系：2.函數(shù)零點(diǎn)存在定理(1)條件：①函數(shù)y＝f(x)在區(qū)間[a，b]上的圖象是一條連續(xù)不斷的曲線；②f(a)·f(b)<0.(2)結(jié)論：函數(shù)y＝f(x)在區(qū)間(a，b)內(nèi)至少有一個(gè)零點(diǎn)，即存在c∈(a，b)，使得f(c)＝0，這個(gè)c也就是方程f(x)＝0的解.1.若連續(xù)不斷的函數(shù)f(x)在定義域上是單調(diào)函數(shù)，則f(x)至多有一個(gè)零點(diǎn).函數(shù)的零點(diǎn)不是一個(gè)“點(diǎn)”，而是方程f(x)＝0的實(shí)根.2.由函數(shù)y＝f(x)(圖象是連續(xù)不斷的)在閉區(qū)間[a，b]上有零點(diǎn)不一定能推出f(a)·f(b)<0，如圖所示，所以f(a)·f(b)<0是y＝f(x)在閉區(qū)間[a，b]上有零點(diǎn)的充分不必要條件.3.周期函數(shù)如果有零點(diǎn)，則必有無窮多個(gè)零點(diǎn).真題自測真題自測一、單選題1．（2021·天津·高考真題）設(shè)，函數(shù)，若在區(qū)間內(nèi)恰有6個(gè)零點(diǎn)，則a的取值范圍是（

）A． B．C． D．二、多選題2．（2023·全國·高考真題）若函數(shù)既有極大值也有極小值，則（

）．A． B． C． D．三、填空題3．（2023·全國·高考真題）已知函數(shù)在區(qū)間有且僅有3個(gè)零點(diǎn)，則的取值范圍是．4．（2023·天津·高考真題）設(shè),函數(shù),若恰有兩個(gè)零點(diǎn)，則的取值范圍為．5．（2022·北京·高考真題）若函數(shù)的一個(gè)零點(diǎn)為，則；．6．（2022·天津·高考真題）設(shè)，對任意實(shí)數(shù)x，記．若至少有3個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍為.考點(diǎn)突破考點(diǎn)突破【考點(diǎn)1】函數(shù)零點(diǎn)所在區(qū)間的判斷一、單選題1．（2024·貴州貴陽·模擬預(yù)測）設(shè)方程的兩根為，，則（

）A．， B．C． D．2．（2023·寧夏銀川·三模）函數(shù)在區(qū)間上存在零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（

）A． B．C． D．二、多選題3．（2022·廣東廣州·三模）已知函數(shù)，則（

）A．當(dāng)時(shí)，函數(shù)在上單調(diào)遞增B．函數(shù)的圖象關(guān)于直線對稱C．函數(shù)的最小正周期為D．若函數(shù)在上存在零點(diǎn)，則的取值范圍是4．（2023·安徽馬鞍山·三模）已知函數(shù)的零點(diǎn)為，下列判斷正確的是（

）A． B．C． D．三、填空題5．（2021·四川成都·三模）已知函數(shù)，若，且，則的最大值為．6．（2023·浙江紹興·二模）已知函數(shù)，若在區(qū)間上有零點(diǎn)，則的最大值為.反思提升：確定函數(shù)f(x)的零點(diǎn)所在區(qū)間的常用方法：(1)利用函數(shù)零點(diǎn)存在性定理：首先看函數(shù)y＝f(x)在區(qū)間[a，b]上的圖象是否連續(xù)，再看是否有f(a)·f(b)<0.若有，則函數(shù)y＝f(x)在區(qū)間(a，b)內(nèi)必有零點(diǎn).(2)數(shù)形結(jié)合法：若一個(gè)函數(shù)(或方程)由兩個(gè)初等函數(shù)的和(或差)構(gòu)成，則可考慮用圖象法求解，如f(x)＝g(x)－h(huán)(x)，作出y＝g(x)和y＝h(x)的圖象，其交點(diǎn)的橫坐標(biāo)即為函數(shù)f(x)的零點(diǎn).【考點(diǎn)2】函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)的判定一、單選題1．（2024·山東濰坊·二模）已知函數(shù)則圖象上關(guān)于原點(diǎn)對稱的點(diǎn)有（

）A．1對 B．2對 C．3對 D．4對2．（2024·陜西安康·模擬預(yù)測）將函數(shù)的圖象向左平移個(gè)單位長度，再將所得函數(shù)圖象上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼谋?，縱坐標(biāo)不變，得到函數(shù)的圖象，若函數(shù)在上有5個(gè)零點(diǎn)，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．二、多選題3．（2024·江蘇揚(yáng)州·模擬預(yù)測）設(shè)函數(shù)，則下列結(jié)論正確的是（

）A．在上單調(diào)遞增B．若且，則C．若在上有且僅有2個(gè)不同的解，則的取值范圍為D．存在，使得的圖象向左平移個(gè)單位長度后得到的函數(shù)為奇函數(shù)4．（2024·全國·模擬預(yù)測）已知函數(shù)，則下列結(jié)論正確的是（

）A．是偶函數(shù) B．的最大值為C．在上單調(diào)遞增 D．在上有2個(gè)零點(diǎn)三、填空題5．（2024·青海西寧·二模）記是不小于的最小整數(shù),例如,則函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為.6．（2024·山東濟(jì)南·二模）已知函數(shù)，若方程有三個(gè)不相等的實(shí)數(shù)解，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為.反思提升：函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)的判定有下列幾種方法(1)直接求零點(diǎn)：令f(x)＝0，如果能求出解，那么有幾個(gè)解就有幾個(gè)零點(diǎn).(2)零點(diǎn)存在定理：利用該定理不僅要求函數(shù)在[a，b]上是連續(xù)不斷的曲線，且f(a)·f(b)＜0，還必須結(jié)合函數(shù)的圖象和性質(zhì)(如單調(diào)性)才能確定函數(shù)有多少個(gè)零點(diǎn).(3)畫兩個(gè)函數(shù)圖象，看其交點(diǎn)的個(gè)數(shù)有幾個(gè)，其中交點(diǎn)的橫坐標(biāo)有幾個(gè)不同的值，就有幾個(gè)不同的零點(diǎn).【考點(diǎn)3】函數(shù)零點(diǎn)的應(yīng)用一、單選題1．（2024·浙江麗水·二模）已知正實(shí)數(shù)滿足，，，則的大小關(guān)系是（

）A． B．C． D．2．（2024·福建泉州·模擬預(yù)測）已知函數(shù)，滿足，，若恰有個(gè)零點(diǎn)，則這個(gè)零點(diǎn)之和為（

）A． B． C． D．二、多選題3．（2024·廣東佛山·二模）已知函數(shù)與，記，其中，且．下列說法正確的是（

）A．一定為周期函數(shù)B．若，則在上總有零點(diǎn)C．可能為偶函數(shù)D．在區(qū)間上的圖象過3個(gè)定點(diǎn)4．（2023·山東菏澤·二模）已知，分別是函數(shù)和的零點(diǎn)，則（

）A． B． C．D．三、填空題5．（2024·全國·模擬預(yù)測）已知函數(shù)的圖像經(jīng)過四個(gè)象限，則實(shí)數(shù)的取值范圍是．6．（2024·北京豐臺(tái)·二模）設(shè)函數(shù)給出下列四個(gè)結(jié)論：

①當(dāng)時(shí)，函數(shù)在上單調(diào)遞減；②若函數(shù)有且僅有兩個(gè)零點(diǎn)，則；③當(dāng)時(shí)，若存在實(shí)數(shù)，使得，則的取值范圍為；④已知點(diǎn)，函數(shù)的圖象上存在兩點(diǎn)，關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)的對稱點(diǎn)也在函數(shù)的圖象上．若，則．其中所有正確結(jié)論的序號(hào)是．反思提升：(1)已知函數(shù)的零點(diǎn)求參數(shù)，主要方法有：①直接求方程的根，構(gòu)建方程(不等式)求參數(shù)；②數(shù)形結(jié)合；③分離參數(shù)，轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最值.(2)已知函數(shù)零點(diǎn)的個(gè)數(shù)求參數(shù)范圍，常利用數(shù)形結(jié)合法將其轉(zhuǎn)化為兩個(gè)函數(shù)的圖象的交點(diǎn)問題，需準(zhǔn)確畫出兩個(gè)函數(shù)的圖象，利用圖象寫出滿足條件的參數(shù)范圍.(3)函數(shù)零點(diǎn)問題一般可以轉(zhuǎn)化為兩個(gè)函數(shù)圖象的交點(diǎn)問題，通過畫圖分析圖象的特征、圖象間的關(guān)系解決問題，提升直觀想象核心素養(yǎng).分層檢測分層檢測【基礎(chǔ)篇】一、單選題1．（2024·江蘇·一模）函數(shù)在區(qū)間內(nèi)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為（

）A．2 B．3 C．4 D．52．（2023·四川綿陽·模擬預(yù)測）記函數(shù)的最小正周期為T，若，為的零點(diǎn)，則的最小值為（

）A．2 B．3 C．4 D．53．（2024·廣東湛江·二模）已知函數(shù)，，則（

）A．當(dāng)有2個(gè)零點(diǎn)時(shí)，只有1個(gè)零點(diǎn)B．當(dāng)有3個(gè)零點(diǎn)時(shí)，有2個(gè)零點(diǎn)C．當(dāng)有2個(gè)零點(diǎn)時(shí)，有2個(gè)零點(diǎn)D．當(dāng)有2個(gè)零點(diǎn)時(shí)，有4個(gè)零點(diǎn)4．（2024·廣東梅州·二模）三個(gè)函數(shù)，，的零點(diǎn)分別為，則之間的大小關(guān)系為（

）A． B．C． D．二、多選題5．（23-24高一上·云南玉溪·期末）已知函數(shù)的所有零點(diǎn)從小到大依次記為，則（

）A． B．C． D．6．（2021·全國·模擬預(yù)測）已知奇函數(shù)的定義域?yàn)椋以谏蠁握{(diào)遞減，若，則下列命題中正確的是（

）A．有兩個(gè)零點(diǎn) B．C． D．7．（2022·重慶九龍坡·模擬預(yù)測）下列選項(xiàng)中說法正確的是（

）A．若冪函數(shù)過點(diǎn)，則B．用二分法求方程在內(nèi)的近似解的過程中得到，，f(1.25)<0，則方程的根落在區(qū)間上C．某校一次高三年級數(shù)學(xué)檢測，經(jīng)抽樣分析，成績近似服從正態(tài)分布，且，若該校學(xué)生參加此次檢測，估計(jì)該校此次檢測成績不低于分的學(xué)生人數(shù)為D．位同學(xué)報(bào)名參加兩個(gè)課外活動(dòng)小組，每位同學(xué)限報(bào)其中的一個(gè)小組，則不同的報(bào)名方法共有種三、填空題8．（22-23高一下·河北石家莊·開學(xué)考試）已知函數(shù)在區(qū)間上有零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是．9．（2024·海南省直轄縣級單位·模擬預(yù)測）已知函數(shù)在內(nèi)恰有3個(gè)零點(diǎn)，則的取值范圍是．10．（2022·安徽合肥·模擬預(yù)測）已知關(guān)于x的方程在區(qū)間上有實(shí)根，那么的最小值為．四、解答題11．（2024·廣東·一模）已知，函數(shù).(1)求的單調(diào)區(qū)間.(2)討論方程的根的個(gè)數(shù).12．（2023·北京西城·二模）已知函數(shù)，其中．再從條件①、條件②、條件③中選擇一個(gè)作為已知，使存在，并完成下列兩個(gè)問題．(1)求的值；(2)當(dāng)時(shí)，若曲線與直線恰有一個(gè)公共點(diǎn)，求的取值范圍．條件①：；條件②：是的一個(gè)零點(diǎn)；條件③：．注：如果選擇多個(gè)條件分別解答，按第一個(gè)解答計(jì)分．【能力篇】一、單選題1．（2024·北京海淀·一模）已知，函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為，過點(diǎn)與曲線相切的直線的條數(shù)為，則的值分別為（

）A． B． C． D．二、多選題2．（2023·安徽·模擬預(yù)測）已知為上的奇函數(shù)，且在上單調(diào)遞增，，則下列命題中一定正確的是（

）A． B．有3個(gè)零點(diǎn)C． D．三、填空題3．（2024·陜西咸陽·三模）已知函數(shù)為偶函數(shù)，滿足，且時(shí)，，若關(guān)于的方程有兩解，則的值為.四、解答題4．（2024·湖南長沙·模擬預(yù)測）設(shè)n次多項(xiàng)式，若其滿足，則稱這些多項(xiàng)式為切比雪夫多項(xiàng)式.例如：由可得切比雪夫多項(xiàng)式，由可得切比雪夫多項(xiàng)式.(1)若切比雪夫多項(xiàng)式，求實(shí)數(shù)a，b，c，d的值；(2)對于正整數(shù)時(shí)，是否有成立？(3)已知函數(shù)在區(qū)間上有3個(gè)不同的零點(diǎn)，分別記為，證明：.【培優(yōu)篇】一、單選題1．（2024·浙江寧波·二模）已知集合且，若中的點(diǎn)均在直線的同一側(cè)，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（

）A． B．C． D．二、多選題2．（2024·重慶·三模）已知函數(shù)，.下列選項(xiàng)正確的是（

）A．B．，使得C．對任意，都有D．對任意，都有三、填空題3．（2024·全國·模擬預(yù)測）若函數(shù)有三個(gè)不同的零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是成套的課件成套的教案成套的試題成套的微專題盡在高中數(shù)學(xué)同步資源大全QQ群552511468也可聯(lián)系微信fjshuxue加入百度網(wǎng)盤群1.5T一線老師必備資料一鍵轉(zhuǎn)存自動(dòng)更新永不過期專題13函數(shù)與方程（新高考專用）目錄目錄【知識(shí)梳理】 2【真題自測】 2【考點(diǎn)突破】 8【考點(diǎn)1】函數(shù)零點(diǎn)所在區(qū)間的判斷 8【考點(diǎn)2】函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)的判定 12【考點(diǎn)3】函數(shù)零點(diǎn)的應(yīng)用 18【分層檢測】 26【基礎(chǔ)篇】 26【能力篇】 33【培優(yōu)篇】 38考試要求：1.理解函數(shù)的零點(diǎn)與方程的解的聯(lián)系.2.理解函數(shù)零點(diǎn)存在定理，并能簡單應(yīng)用.3.了解用二分法求方程的近似解.知識(shí)梳理知識(shí)梳理1.函數(shù)的零點(diǎn)(1)概念：對于一般函數(shù)y＝f(x)，我們把使f(x)＝0的實(shí)數(shù)x叫做函數(shù)y＝f(x)的零點(diǎn).(2)函數(shù)的零點(diǎn)、函數(shù)的圖象與x軸的交點(diǎn)、對應(yīng)方程的根的關(guān)系：2.函數(shù)零點(diǎn)存在定理(1)條件：①函數(shù)y＝f(x)在區(qū)間[a，b]上的圖象是一條連續(xù)不斷的曲線；②f(a)·f(b)<0.(2)結(jié)論：函數(shù)y＝f(x)在區(qū)間(a，b)內(nèi)至少有一個(gè)零點(diǎn)，即存在c∈(a，b)，使得f(c)＝0，這個(gè)c也就是方程f(x)＝0的解.1.若連續(xù)不斷的函數(shù)f(x)在定義域上是單調(diào)函數(shù)，則f(x)至多有一個(gè)零點(diǎn).函數(shù)的零點(diǎn)不是一個(gè)“點(diǎn)”，而是方程f(x)＝0的實(shí)根.2.由函數(shù)y＝f(x)(圖象是連續(xù)不斷的)在閉區(qū)間[a，b]上有零點(diǎn)不一定能推出f(a)·f(b)<0，如圖所示，所以f(a)·f(b)<0是y＝f(x)在閉區(qū)間[a，b]上有零點(diǎn)的充分不必要條件.3.周期函數(shù)如果有零點(diǎn)，則必有無窮多個(gè)零點(diǎn).真題自測真題自測一、單選題1．（2021·天津·高考真題）設(shè)，函數(shù)，若在區(qū)間內(nèi)恰有6個(gè)零點(diǎn)，則a的取值范圍是（

）A． B．C． D．二、多選題2．（2023·全國·高考真題）若函數(shù)既有極大值也有極小值，則（

）．A． B． C． D．三、填空題3．（2023·全國·高考真題）已知函數(shù)在區(qū)間有且僅有3個(gè)零點(diǎn)，則的取值范圍是．4．（2023·天津·高考真題）設(shè),函數(shù),若恰有兩個(gè)零點(diǎn)，則的取值范圍為．5．（2022·北京·高考真題）若函數(shù)的一個(gè)零點(diǎn)為，則；．6．（2022·天津·高考真題）設(shè)，對任意實(shí)數(shù)x，記．若至少有3個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍為.參考答案：1．A【分析】由最多有2個(gè)根，可得至少有4個(gè)根，分別討論當(dāng)和時(shí)兩個(gè)函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)情況，再結(jié)合考慮即可得出.【詳解】最多有2個(gè)根，所以至少有4個(gè)根，由可得，由可得，（1）時(shí)，當(dāng)時(shí)，有4個(gè)零點(diǎn)，即；當(dāng)，有5個(gè)零點(diǎn)，即；當(dāng)，有6個(gè)零點(diǎn)，即；（2）當(dāng)時(shí)，，，當(dāng)時(shí)，，無零點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，，有1個(gè)零點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，令，則，此時(shí)有2個(gè)零點(diǎn)；所以若時(shí)，有1個(gè)零點(diǎn).綜上，要使在區(qū)間內(nèi)恰有6個(gè)零點(diǎn)，則應(yīng)滿足或或，則可解得a的取值范圍是.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：解決本題的關(guān)鍵是分成和兩種情況分別討論兩個(gè)函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)情況.2．BCD【分析】求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，由已知可得在上有兩個(gè)變號(hào)零點(diǎn)，轉(zhuǎn)化為一元二次方程有兩個(gè)不等的正根判斷作答.【詳解】函數(shù)的定義域?yàn)椋髮?dǎo)得，因?yàn)楹瘮?shù)既有極大值也有極小值，則函數(shù)在上有兩個(gè)變號(hào)零點(diǎn)，而，因此方程有兩個(gè)不等的正根，于是，即有，，，顯然，即，A錯(cuò)誤，BCD正確.故選：BCD3．【分析】令，得有3個(gè)根，從而結(jié)合余弦函數(shù)的圖像性質(zhì)即可得解.【詳解】因?yàn)?，所以，令，則有3個(gè)根，令，則有3個(gè)根，其中，結(jié)合余弦函數(shù)的圖像性質(zhì)可得，故，故答案為：.4．【分析】根據(jù)絕對值的意義，去掉絕對值，求出零點(diǎn)，再根據(jù)根存在的條件即可判斷的取值范圍．【詳解】（1）當(dāng)時(shí)，，即，若時(shí)，，此時(shí)成立；若時(shí)，或，若方程有一根為，則，即且；若方程有一根為，則，解得：且；若時(shí)，，此時(shí)成立．（2）當(dāng)時(shí)，，即，若時(shí)，，顯然不成立；若時(shí)，或，若方程有一根為，則，即；若方程有一根為，則，解得：；若時(shí)，，顯然不成立；綜上，當(dāng)時(shí)，零點(diǎn)為，；當(dāng)時(shí)，零點(diǎn)為，；當(dāng)時(shí)，只有一個(gè)零點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，零點(diǎn)為，；當(dāng)時(shí)，只有一個(gè)零點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，零點(diǎn)為，；當(dāng)時(shí)，零點(diǎn)為．所以，當(dāng)函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)時(shí)，且．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題的解題關(guān)鍵是根據(jù)定義去掉絕對值，求出方程的根，再根據(jù)根存在的條件求出對應(yīng)的范圍，然后根據(jù)范圍討論根（或零點(diǎn)）的個(gè)數(shù)，從而解出．5．1【分析】先代入零點(diǎn)，求得A的值，再將函數(shù)化簡為，代入自變量，計(jì)算即可.【詳解】∵，∴∴故答案為：1，6．【分析】設(shè)，，分析可知函數(shù)至少有一個(gè)零點(diǎn)，可得出，求出的取值范圍，然后對實(shí)數(shù)的取值范圍進(jìn)行分類討論，根據(jù)題意可得出關(guān)于實(shí)數(shù)的不等式，綜合可求得實(shí)數(shù)的取值范圍.【詳解】設(shè)，，由可得.要使得函數(shù)至少有個(gè)零點(diǎn)，則函數(shù)至少有一個(gè)零點(diǎn)，則，解得或.①當(dāng)時(shí)，，作出函數(shù)、的圖象如下圖所示：此時(shí)函數(shù)只有兩個(gè)零點(diǎn)，不合乎題意；②當(dāng)時(shí)，設(shè)函數(shù)的兩個(gè)零點(diǎn)分別為、，要使得函數(shù)至少有個(gè)零點(diǎn)，則，所以，，解得；③當(dāng)時(shí)，，作出函數(shù)、的圖象如下圖所示：由圖可知，函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為，合乎題意；④當(dāng)時(shí)，設(shè)函數(shù)的兩個(gè)零點(diǎn)分別為、，要使得函數(shù)至少有個(gè)零點(diǎn)，則，可得，解得，此時(shí).綜上所述，實(shí)數(shù)的取值范圍是.故答案為：.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：已知函數(shù)有零點(diǎn)（方程有根）求參數(shù)值（取值范圍）常用的方法：（1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通過解不等式確定參數(shù)范圍；（2）分離參數(shù)法：先將參數(shù)分離，轉(zhuǎn)化成求函數(shù)的值域問題加以解決；（3）數(shù)形結(jié)合法：先對解析式變形，進(jìn)而構(gòu)造兩個(gè)函數(shù)，然后在同一平面直角坐標(biāo)系中畫出函數(shù)的圖象，利用數(shù)形結(jié)合的方法求解.考點(diǎn)突破考點(diǎn)突破【考點(diǎn)1】函數(shù)零點(diǎn)所在區(qū)間的判斷一、單選題1．（2024·貴州貴陽·模擬預(yù)測）設(shè)方程的兩根為，，則（

）A．， B．C． D．2．（2023·寧夏銀川·三模）函數(shù)在區(qū)間上存在零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（

）A． B．C． D．二、多選題3．（2022·廣東廣州·三模）已知函數(shù)，則（

）A．當(dāng)時(shí)，函數(shù)在上單調(diào)遞增B．函數(shù)的圖象關(guān)于直線對稱C．函數(shù)的最小正周期為D．若函數(shù)在上存在零點(diǎn)，則的取值范圍是4．（2023·安徽馬鞍山·三模）已知函數(shù)的零點(diǎn)為，下列判斷正確的是（

）A． B．C． D．三、填空題5．（2021·四川成都·三模）已知函數(shù)，若，且，則的最大值為．6．（2023·浙江紹興·二模）已知函數(shù)，若在區(qū)間上有零點(diǎn)，則的最大值為.參考答案：1．C【分析】由數(shù)形結(jié)合及零點(diǎn)的判定方法可確定出，即可判斷AD，計(jì)算出，可判斷BC.【詳解】由可得，在同一直角坐標(biāo)系中同時(shí)畫出函數(shù)和的圖象，如圖所示：因?yàn)?，，由圖象可知，，所以故A，D錯(cuò)誤；，因?yàn)?，所以，所以，所以，即，故B錯(cuò)誤，C正確.故選：C2．D【分析】由函數(shù)的單調(diào)性，根據(jù)零點(diǎn)存在性定理可得.【詳解】若函數(shù)在區(qū)間上存在零點(diǎn)，由函數(shù)在的圖象連續(xù)不斷，且為增函數(shù)，則根據(jù)零點(diǎn)存在定理可知，只需滿足，即，解得，所以實(shí)數(shù)的取值范圍是.故選：D.3．ABD【分析】設(shè)，由復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性即可判斷A選項(xiàng)；直接由即可判斷B選項(xiàng)；由時(shí)，即可判斷C選項(xiàng)；設(shè)，換元后參變分離得，轉(zhuǎn)化為值域問題即可判斷D選項(xiàng).【詳解】對于A，當(dāng)時(shí)，，設(shè)，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減且，又函數(shù)在上單調(diào)遞減，由復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性知，函數(shù)在上單調(diào)遞增，A正確；對于B，，所以函數(shù)的圖象關(guān)于直線對稱，B正確；對于C，，所以時(shí)，，C錯(cuò)誤；對于D，設(shè)，當(dāng)時(shí)，，函數(shù)在上存在零點(diǎn)，等價(jià)于方程在上有解，得在上有解，已知在上單調(diào)遞減，所以，D正確.故選：ABD.4．ABD【分析】求導(dǎo)，利用導(dǎo)數(shù)判斷的單調(diào)性，結(jié)合零點(diǎn)存在性定理可得，進(jìn)而逐項(xiàng)分析判斷.【詳解】由題意可得：的定義域?yàn)?，且，因?yàn)?，所以函?shù)在上單調(diào)遞增，對于A：因?yàn)?，所以，故A正確；對于B：因?yàn)?，所以，故B正確；對于C：因?yàn)?，則，，所以，故C錯(cuò)誤；對于D：因?yàn)椋?，故D正確．故選：ABD.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：對于函數(shù)零點(diǎn)的個(gè)數(shù)的相關(guān)問題，利用導(dǎo)數(shù)和數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想來求解．這類問題求解的通法是：（1）構(gòu)造函數(shù)，這是解決此類題的關(guān)鍵點(diǎn)和難點(diǎn)，并求其定義域；（2）求導(dǎo)數(shù)，得單調(diào)區(qū)間和極值點(diǎn)；（2）數(shù)形結(jié)合，挖掘隱含條件，確定函數(shù)圖象與x軸的交點(diǎn)情況進(jìn)而求解．5．【分析】由得，，把轉(zhuǎn)化為，利用二次函數(shù)求最值.【詳解】的圖像如圖示：不妨令，由圖像可知，，由，由當(dāng)時(shí)，．故答案為：.【點(diǎn)睛】二元變量問題通常可以減元，轉(zhuǎn)化為一元函數(shù)，利用函數(shù)求最值.6．【分析】設(shè)，即可求出b，繼而求出的表達(dá)式，將看作主元，配方得，記，即可求解最大值.【詳解】設(shè)，則，此時(shí)，則，令，當(dāng)時(shí)，，記，則，所以在上遞增，在上遞減，故,所以，所以的最大值為.故答案為：.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題是雙參數(shù)函數(shù)的零點(diǎn)問題，第一步消參：通過設(shè)零點(diǎn)，代入方程，得到其中一個(gè)參數(shù)的表達(dá)式，第二步主元法求最值：將所求表達(dá)式通過主元法（關(guān)于另一個(gè)參數(shù)）構(gòu)造函數(shù)求出最值，即可求解.反思提升：確定函數(shù)f(x)的零點(diǎn)所在區(qū)間的常用方法：(1)利用函數(shù)零點(diǎn)存在性定理：首先看函數(shù)y＝f(x)在區(qū)間[a，b]上的圖象是否連續(xù)，再看是否有f(a)·f(b)<0.若有，則函數(shù)y＝f(x)在區(qū)間(a，b)內(nèi)必有零點(diǎn).(2)數(shù)形結(jié)合法：若一個(gè)函數(shù)(或方程)由兩個(gè)初等函數(shù)的和(或差)構(gòu)成，則可考慮用圖象法求解，如f(x)＝g(x)－h(huán)(x)，作出y＝g(x)和y＝h(x)的圖象，其交點(diǎn)的橫坐標(biāo)即為函數(shù)f(x)的零點(diǎn).【考點(diǎn)2】函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)的判定一、單選題1．（2024·山東濰坊·二模）已知函數(shù)則圖象上關(guān)于原點(diǎn)對稱的點(diǎn)有（

）A．1對 B．2對 C．3對 D．4對2．（2024·陜西安康·模擬預(yù)測）將函數(shù)的圖象向左平移個(gè)單位長度，再將所得函數(shù)圖象上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼谋?，縱坐標(biāo)不變，得到函數(shù)的圖象，若函數(shù)在上有5個(gè)零點(diǎn)，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．二、多選題3．（2024·江蘇揚(yáng)州·模擬預(yù)測）設(shè)函數(shù)，則下列結(jié)論正確的是（

）A．在上單調(diào)遞增B．若且，則C．若在上有且僅有2個(gè)不同的解，則的取值范圍為D．存在，使得的圖象向左平移個(gè)單位長度后得到的函數(shù)為奇函數(shù)4．（2024·全國·模擬預(yù)測）已知函數(shù)，則下列結(jié)論正確的是（

）A．是偶函數(shù) B．的最大值為C．在上單調(diào)遞增 D．在上有2個(gè)零點(diǎn)三、填空題5．（2024·青海西寧·二模）記是不小于的最小整數(shù),例如,則函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為.6．（2024·山東濟(jì)南·二模）已知函數(shù)，若方程有三個(gè)不相等的實(shí)數(shù)解，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為.參考答案：1．C【分析】作出的圖象，再作出函數(shù)關(guān)于原點(diǎn)對稱的圖象，進(jìn)而數(shù)形結(jié)合判斷即可.【詳解】作出的圖象，再作出函數(shù)關(guān)于原點(diǎn)對稱的圖象如圖所示.因?yàn)楹瘮?shù)關(guān)于原點(diǎn)對稱的圖象與圖象有三個(gè)交點(diǎn)，故圖象上關(guān)于原點(diǎn)對稱的點(diǎn)有3對.

故選：C2．A【分析】先利用三角函數(shù)圖象的變換得出，再根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)得出在上有3個(gè)零點(diǎn)，法一、利用整體思想及正弦函數(shù)的性質(zhì)得其零點(diǎn)為，根據(jù)定義域取值計(jì)算即可；法二、利用整體思想得，解不等式即可.【詳解】將函數(shù)的圖像向左平移個(gè)單位長度，得到函數(shù)，再將函數(shù)的橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼谋?，縱坐標(biāo)不變，得到函數(shù)，所以，因?yàn)楫?dāng)時(shí)，有2個(gè)零點(diǎn)，所以要使在上有5個(gè)零點(diǎn)，則需在上有3個(gè)零點(diǎn).法一：令，則，解得，當(dāng)時(shí)，分別對應(yīng)3個(gè)零點(diǎn)，則，解得.故選A.法二：因?yàn)?，所以，所以，則.故選:A.3．ACD【分析】由，選項(xiàng)A：利用正弦函數(shù)的單調(diào)性判斷；選項(xiàng)B：利用正弦函數(shù)的最值、周期判斷；選項(xiàng)C：利用正弦函數(shù)的圖象判斷；選項(xiàng)D：利用三角函數(shù)的圖象變換判斷.【詳解】，，當(dāng)時(shí)，，由復(fù)合函數(shù)、正弦函數(shù)單調(diào)性可知在上單調(diào)遞增，故A正確；對于B，若且，則，故B不正確；對于C，若，則，若在上有且僅有2個(gè)不同的解，如圖所示：

可得，解得，也就是的取值范圍為，故C正確；對于D，，可知當(dāng)時(shí)，是奇函數(shù)，故D正確.故選：ACD.4．ABD【分析】根據(jù)題意，結(jié)合函數(shù)奇偶性的定義和判定方法，以及三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)，逐項(xiàng)判定，即可求解.【詳解】對于A中，因?yàn)榈亩x域?yàn)?，關(guān)于原點(diǎn)對稱，且，所以是偶函數(shù)，所以A正確.對于B中，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以，所以的最大值為，所以B正確；對于C中，當(dāng)時(shí)，，由函數(shù)在上單調(diào)遞減，所以在上單調(diào)遞減，所以C錯(cuò)誤；對于D中，因?yàn)?，且是偶函?shù)，故在和上的零點(diǎn)個(gè)數(shù)相同，當(dāng)時(shí)，令，可得，可得，所以函數(shù)在上只有一個(gè)零點(diǎn)，所以在上有2個(gè)零點(diǎn)，所以D正確.故選：ABD.5．3【分析】先將的零點(diǎn)個(gè)數(shù)轉(zhuǎn)化為和的交點(diǎn)個(gè)數(shù)，然后畫圖確定交點(diǎn)個(gè)數(shù).【詳解】令,則,令,則與的交點(diǎn)個(gè)數(shù)即為的零點(diǎn)個(gè)數(shù),當(dāng)時(shí),,又,所以是周期為1的函數(shù),在上單調(diào)遞減,且,所以可作出與的圖象如圖,所以與有3個(gè)交點(diǎn)，故的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為3,故答案為：3.6．【分析】對求導(dǎo)，利用導(dǎo)數(shù)判斷其單調(diào)性和最值，令，整理得可得，構(gòu)建，結(jié)合的圖象分析的零點(diǎn)分布，結(jié)合二次函數(shù)列式求解即可.【詳解】由題意可知：的定義域?yàn)?，則，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；可知在內(nèi)單調(diào)遞減，在內(nèi)單調(diào)遞增，可得，且當(dāng)趨近于時(shí)，趨近于；當(dāng)趨近于時(shí)，趨近于0；作出的圖象，如圖所示，對于關(guān)于x的方程，令，可得，整理得，且不為方程的根，可知方程等價(jià)于，若方程有三個(gè)不相等的實(shí)數(shù)解，可知有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，且或或，構(gòu)建，若，則，解得；若，則，解得，此時(shí)方程為，解得，不合題意；若，則，解得，此時(shí)方程為，解得，不合題意；綜上所述：實(shí)數(shù)a的取值范圍為.故答案為：.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：利用函數(shù)零點(diǎn)求參數(shù)值或取值范圍的方法（1）利用零點(diǎn)存在的判定定理構(gòu)建不等式求解．（2）分離參數(shù)后轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的值域（最值）問題求解．（3）轉(zhuǎn)化為兩熟悉的函數(shù)圖象的上、下關(guān)系問題，從而構(gòu)建不等式求解．反思提升：函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)的判定有下列幾種方法(1)直接求零點(diǎn)：令f(x)＝0，如果能求出解，那么有幾個(gè)解就有幾個(gè)零點(diǎn).(2)零點(diǎn)存在定理：利用該定理不僅要求函數(shù)在[a，b]上是連續(xù)不斷的曲線，且f(a)·f(b)＜0，還必須結(jié)合函數(shù)的圖象和性質(zhì)(如單調(diào)性)才能確定函數(shù)有多少個(gè)零點(diǎn).(3)畫兩個(gè)函數(shù)圖象，看其交點(diǎn)的個(gè)數(shù)有幾個(gè)，其中交點(diǎn)的橫坐標(biāo)有幾個(gè)不同的值，就有幾個(gè)不同的零點(diǎn).【考點(diǎn)3】函數(shù)零點(diǎn)的應(yīng)用一、單選題1．（2024·浙江麗水·二模）已知正實(shí)數(shù)滿足，，，則的大小關(guān)系是（

）A． B．C． D．2．（2024·福建泉州·模擬預(yù)測）已知函數(shù)，滿足，，若恰有個(gè)零點(diǎn)，則這個(gè)零點(diǎn)之和為（

）A． B． C． D．二、多選題3．（2024·廣東佛山·二模）已知函數(shù)與，記，其中，且．下列說法正確的是（

）A．一定為周期函數(shù)B．若，則在上總有零點(diǎn)C．可能為偶函數(shù)D．在區(qū)間上的圖象過3個(gè)定點(diǎn)4．（2023·山東菏澤·二模）已知，分別是函數(shù)和的零點(diǎn)，則（

）A． B． C．D．三、填空題5．（2024·全國·模擬預(yù)測）已知函數(shù)的圖像經(jīng)過四個(gè)象限，則實(shí)數(shù)的取值范圍是．6．（2024·北京豐臺(tái)·二模）設(shè)函數(shù)給出下列四個(gè)結(jié)論：

①當(dāng)時(shí)，函數(shù)在上單調(diào)遞減；②若函數(shù)有且僅有兩個(gè)零點(diǎn)，則；③當(dāng)時(shí)，若存在實(shí)數(shù)，使得，則的取值范圍為；④已知點(diǎn)，函數(shù)的圖象上存在兩點(diǎn)，關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)的對稱點(diǎn)也在函數(shù)的圖象上．若，則．其中所有正確結(jié)論的序號(hào)是．參考答案：1．A【分析】依題意可得，，，令，，則問題轉(zhuǎn)化為判斷函數(shù)與對應(yīng)函數(shù)的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)的大小關(guān)系，數(shù)形結(jié)合即可判斷.【詳解】因?yàn)?，，為正?shí)數(shù)，且滿足，，，則，，，所以，，，則，，，令，，由對勾函數(shù)的性質(zhì)可得在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，且，滿足的即為與的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)，滿足的即為與的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)，滿足的即為與的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)，在同一平面直角坐標(biāo)系中畫出、、、的圖象如下所示：由圖可知.故選：A【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題關(guān)鍵是將問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)與相應(yīng)的指數(shù)型函數(shù)的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)的大小關(guān)系問題，準(zhǔn)確畫出函數(shù)圖象是關(guān)鍵.2．D【分析】由解析式可知為奇函數(shù)，進(jìn)而可得的對稱中心，根據(jù)滿足的關(guān)系式，可得函數(shù)的對稱中心，由兩個(gè)函數(shù)的對稱中心相同，即可判斷出其零點(diǎn)的特征，進(jìn)而求得個(gè)零點(diǎn)的和.【詳解】因?yàn)榈亩x域?yàn)?，關(guān)于原點(diǎn)對稱，所以，所以函數(shù)為奇函數(shù)，關(guān)于原點(diǎn)中心對稱，而函數(shù)是函數(shù)向右平移兩個(gè)單位得到的函數(shù)，因而關(guān)于中心對稱，函數(shù)滿足，所以，即，所以函數(shù)關(guān)于中心對稱，且，且，所以由函數(shù)零點(diǎn)定義可知，即，由于函數(shù)和函數(shù)都關(guān)于中心對稱，所以兩個(gè)函數(shù)的交點(diǎn)也關(guān)于中心對稱，又因?yàn)榍∮袀€(gè)零點(diǎn)，即函數(shù)和函數(shù)的交點(diǎn)恰有個(gè)，且其中一個(gè)為，其余的個(gè)交點(diǎn)關(guān)于對稱分布，所以個(gè)零點(diǎn)的和滿足，故選：D.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題的關(guān)鍵點(diǎn)是能夠通過函數(shù)解析式和抽象函數(shù)關(guān)系式確定函數(shù)的對稱中心，從而可確定零點(diǎn)所具有的對稱關(guān)系.3．ABD【分析】對于A：計(jì)算，化簡即可；對于B：求出，然后計(jì)算的正負(fù)即可；對于C：計(jì)算是否恒相等即可；對于D：令，求解即可.【詳解】對于A，，，A正確；對于B，，則，，因?yàn)?，即，同?hào)，所以，由零點(diǎn)存在定理知在上總有零點(diǎn)，故B正確；對于C，，，由得對恒成立，則與題意不符，故C錯(cuò)誤；對于D，令，則，即，，故所有定點(diǎn)坐標(biāo)為，，，，又因?yàn)?，所以函?shù)的圖象過定點(diǎn)，，，故D正確；故選：ABD．4．BCD【分析】利用函數(shù)與方程思想，得到兩根滿足的方程關(guān)系，然后根據(jù)結(jié)構(gòu)構(gòu)造函數(shù)，求導(dǎo)，研究單調(diào)性，得到及，結(jié)合指對互化即可判斷選項(xiàng)A、B、C，最后再通過對勾函數(shù)單調(diào)性求解范圍即可判斷選項(xiàng)D.【詳解】令，得，即，，令，得，即，即，，記函數(shù)，，則，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，因?yàn)?，，所以，故A錯(cuò)誤；又，所以，，所以，故B正確；所以，故C正確；又，所以，結(jié)合，得，因?yàn)?，所以，且，因?yàn)樵趨^(qū)間上單調(diào)遞減，所以，即，故D正確；故選：BCD【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題考查函數(shù)的零點(diǎn)問題，解題方法是把函數(shù)的零點(diǎn)轉(zhuǎn)化為方程的根，通過結(jié)構(gòu)構(gòu)造函數(shù)，利用函數(shù)單調(diào)性及指對互化找到根的關(guān)系得出結(jié)論.5．【分析】，由題意得，在和上均至少存在一個(gè)實(shí)根，利用二次函數(shù)的性質(zhì)，即可求解．【詳解】的圖像經(jīng)過四個(gè)象限，，且當(dāng)，，令，在和上均至少存在一個(gè)實(shí)根．又,．實(shí)數(shù)的取值范圍是．故答案為：．6．②③④【分析】根據(jù)時(shí)，即可判斷①，求解方程的根，即可求解②，結(jié)合函數(shù)圖象，求解臨界狀態(tài)時(shí)，即可求解③，根據(jù)函數(shù)圖象的性質(zhì)可先判斷，繼而根據(jù)對稱性聯(lián)立方程得，，根據(jù)可得，代入即可求解④.【詳解】當(dāng)時(shí)，時(shí)，，故在上不是單調(diào)遞減，①錯(cuò)誤；對于②，當(dāng)顯然不成立，故，當(dāng)時(shí)，令，即，得，，要使有且僅有兩個(gè)零點(diǎn)，則，故，②正確，對于③,當(dāng)時(shí),,此時(shí)在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，如圖：

若，由，故，所以的取值范圍為；③正確對于④,由①③可知：時(shí)，顯然不成立,故，要使，關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)的對稱點(diǎn)也在函數(shù)的圖象上，則只需要的圖象與有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，如圖：

故，，由對稱可得，化簡可得，故，，化簡得所以由于均大于0，所以，，因此由于，為單調(diào)遞增函數(shù)，且，此時(shí)，因此，④正確，故答案為：②③④【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：函數(shù)零點(diǎn)問題常用的方法和思路（1）直接法：直接根據(jù)題設(shè)條件構(gòu)建關(guān)于參數(shù)的不等式，再通過解不等式確定參數(shù)范圍；（2）分離參數(shù)法：先將參數(shù)分離，轉(zhuǎn)化成求函數(shù)值域問題加以解決；（3）數(shù)形結(jié)合法：先對解析式變形，在同一平面直角坐標(biāo)系中，畫出函數(shù)的圖象，然后數(shù)形結(jié)合求解．反思提升：(1)已知函數(shù)的零點(diǎn)求參數(shù)，主要方法有：①直接求方程的根，構(gòu)建方程(不等式)求參數(shù)；②數(shù)形結(jié)合；③分離參數(shù)，轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最值.(2)已知函數(shù)零點(diǎn)的個(gè)數(shù)求參數(shù)范圍，常利用數(shù)形結(jié)合法將其轉(zhuǎn)化為兩個(gè)函數(shù)的圖象的交點(diǎn)問題，需準(zhǔn)確畫出兩個(gè)函數(shù)的圖象，利用圖象寫出滿足條件的參數(shù)范圍.(3)函數(shù)零點(diǎn)問題一般可以轉(zhuǎn)化為兩個(gè)函數(shù)圖象的交點(diǎn)問題，通過畫圖分析圖象的特征、圖象間的關(guān)系解決問題，提升直觀想象核心素養(yǎng).分層檢測分層檢測【基礎(chǔ)篇】一、單選題1．（2024·江蘇·一模）函數(shù)在區(qū)間內(nèi)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為（

）A．2 B．3 C．4 D．52．（2023·四川綿陽·模擬預(yù)測）記函數(shù)的最小正周期為T，若，為的零點(diǎn)，則的最小值為（

）A．2 B．3 C．4 D．53．（2024·廣東湛江·二模）已知函數(shù)，，則（

）A．當(dāng)有2個(gè)零點(diǎn)時(shí)，只有1個(gè)零點(diǎn)B．當(dāng)有3個(gè)零點(diǎn)時(shí)，有2個(gè)零點(diǎn)C．當(dāng)有2個(gè)零點(diǎn)時(shí)，有2個(gè)零點(diǎn)D．當(dāng)有2個(gè)零點(diǎn)時(shí)，有4個(gè)零點(diǎn)4．（2024·廣東梅州·二模）三個(gè)函數(shù)，，的零點(diǎn)分別為，則之間的大小關(guān)系為（

）A． B．C． D．二、多選題5．（23-24高一上·云南玉溪·期末）已知函數(shù)的所有零點(diǎn)從小到大依次記為，則（

）A． B．C． D．6．（2021·全國·模擬預(yù)測）已知奇函數(shù)的定義域?yàn)?，且在上單調(diào)遞減，若，則下列命題中正確的是（

）A．有兩個(gè)零點(diǎn) B．C． D．7．（2022·重慶九龍坡·模擬預(yù)測）下列選項(xiàng)中說法正確的是（

）A．若冪函數(shù)過點(diǎn)，則B．用二分法求方程在內(nèi)的近似解的過程中得到，，f(1.25)<0，則方程的根落在區(qū)間上C．某校一次高三年級數(shù)學(xué)檢測，經(jīng)抽樣分析，成績近似服從正態(tài)分布，且，若該校學(xué)生參加此次檢測，估計(jì)該校此次檢測成績不低于分的學(xué)生人數(shù)為D．位同學(xué)報(bào)名參加兩個(gè)課外活動(dòng)小組，每位同學(xué)限報(bào)其中的一個(gè)小組，則不同的報(bào)名方法共有種三、填空題8．（22-23高一下·河北石家莊·開學(xué)考試）已知函數(shù)在區(qū)間上有零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是．9．（2024·海南省直轄縣級單位·模擬預(yù)測）已知函數(shù)在內(nèi)恰有3個(gè)零點(diǎn)，則的取值范圍是．10．（2022·安徽合肥·模擬預(yù)測）已知關(guān)于x的方程在區(qū)間上有實(shí)根，那么的最小值為．四、解答題11．（2024·廣東·一模）已知，函數(shù).(1)求的單調(diào)區(qū)間.(2)討論方程的根的個(gè)數(shù).12．（2023·北京西城·二模）已知函數(shù)，其中．再從條件①、條件②、條件③中選擇一個(gè)作為已知，使存在，并完成下列兩個(gè)問題．(1)求的值；(2)當(dāng)時(shí)，若曲線與直線恰有一個(gè)公共點(diǎn)，求的取值范圍．條件①：；條件②：是的一個(gè)零點(diǎn)；條件③：．注：如果選擇多個(gè)條件分別解答，按第一個(gè)解答計(jì)分．參考答案：1．C【分析】利用三角函數(shù)的性質(zhì)求解即可.【詳解】令，得，則；故，，所以在共有4個(gè)零點(diǎn)，故選：C.2．B【分析】由題意，結(jié)合余弦函數(shù)的周期和零點(diǎn)，建立相關(guān)的方程求解即可．【詳解】函數(shù)的最小正周期為，若，由，得，所以，因?yàn)闉榈牧泓c(diǎn)，所以，故所以，因?yàn)?，則的最小值為3.故選：B.3．D【分析】作出函數(shù)，圖象，兩個(gè)函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)轉(zhuǎn)化為它們的圖象與的圖象的公共點(diǎn)的個(gè)數(shù)，結(jié)合圖象可得答案.【詳解】兩個(gè)函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)轉(zhuǎn)化為圖象與的圖象的公共點(diǎn)的個(gè)數(shù)，作出，的大致圖象，如圖所示.由圖可知，當(dāng)有2個(gè)零點(diǎn)時(shí)，無零點(diǎn)或只有1個(gè)零點(diǎn)；當(dāng)有3個(gè)零點(diǎn)時(shí)，只有1個(gè)零點(diǎn)；當(dāng)有2個(gè)零點(diǎn)時(shí)，有4個(gè)零點(diǎn).故選：D4．B【分析】先判斷各函數(shù)的單調(diào)性，再根據(jù)零點(diǎn)的存在性定理求出函數(shù)零點(diǎn)的范圍，即可得出答案.【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)，，，都是增函數(shù)，所以函數(shù)，，均為增函數(shù)，因?yàn)?，所以函?shù)的零點(diǎn)在上，即，因?yàn)椋院瘮?shù)的零點(diǎn)在上，即，因?yàn)?，所以函?shù)的零點(diǎn)在上，即，綜上，．故選：B．5．AC【分析】根據(jù)零點(diǎn)定義，結(jié)合正弦型函數(shù)和對數(shù)型函數(shù)的圖象進(jìn)行求解即可.【詳解】令，在同一直角坐標(biāo)系，畫出兩個(gè)函數(shù)圖象如下圖所示：由圖可知共有20個(gè)交點(diǎn)，故，則A正確，B錯(cuò)誤；又函數(shù)的圖象都關(guān)于對稱，則，故，則C正確，錯(cuò)誤，故選：AC6．BD【分析】根據(jù)奇函數(shù)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對稱的特點(diǎn)，以及單調(diào)性和函數(shù)值結(jié)合選項(xiàng)可得答案.【詳解】根據(jù)題意可得函數(shù)在上為減函數(shù)，上為減函數(shù).，由可得.對于A，由在上為減函數(shù)，且，，所以存在，，所以在上有一個(gè)零點(diǎn)，同理在上有一個(gè)零點(diǎn)，又因?yàn)?，所以有三個(gè)零點(diǎn)，故A錯(cuò)誤；對于B，因?yàn)楹瘮?shù)在上為減函數(shù).所以，故B正確；對于C，因?yàn)楹瘮?shù)在上為減函數(shù)，所以，故C錯(cuò)誤；對于D，，，所以，故D正確.故選:BD.7．ABC【分析】冪函數(shù)定義求出m，代入點(diǎn)求出，判斷A選項(xiàng)；零點(diǎn)存在性定理判斷B選項(xiàng)；根據(jù)正態(tài)分布的對稱性進(jìn)行求解，進(jìn)而判斷C選項(xiàng)，根據(jù)分步計(jì)數(shù)原理得到不同的報(bào)名方法，進(jìn)而判斷出D選項(xiàng).【詳解】由冪函數(shù)定義得：，將代入，，，故，A正確；由零點(diǎn)存在性定理，方程的根落在區(qū)間上，B正確；由正態(tài)分布的對稱性可知：，故，故估計(jì)該校此次檢測成績不低于分的學(xué)生人數(shù)為，C正確；位同學(xué)報(bào)名參加兩個(gè)課外活動(dòng)小組，每位同學(xué)限報(bào)其中的一個(gè)小組，則不同的報(bào)名方法共有種，D錯(cuò)誤.故選：ABC8．【分析】先利用基本初等函數(shù)的單調(diào)性判斷得在上都單調(diào)遞增，再利用零點(diǎn)存在定理得到，解之即可得解.【詳解】因?yàn)榕c在上都單調(diào)遞增，所以在上單調(diào)遞增，因?yàn)樵趨^(qū)間上有零點(diǎn)，所以，即，即，解得，所以實(shí)數(shù)m的取值范圍為.故答案為：.9．【分析】先由的取值范圍求出的取值范圍，再由題意結(jié)合正弦函數(shù)的性質(zhì)求解即可.【詳解】由時(shí)，所以，當(dāng)時(shí)，令，解得，又因?yàn)樵谏蟽H有三個(gè)零點(diǎn)，因此，解得.故答案為：.10．5【分析】，代入，可得答案.【詳解】因?yàn)?，所以，?dāng)且僅當(dāng)，時(shí)取等號(hào)，所以的最小值為5．故答案為：5.11．(1)減區(qū)間為：，；增區(qū)間為：.(2)【分析】（1）求導(dǎo)，利用導(dǎo)函數(shù)的符號(hào)可確定函數(shù)的單調(diào)區(qū)間.（2）利用函數(shù)的單調(diào)性，確定函數(shù)值的符號(hào)和最值，可確定方程零點(diǎn)的個(gè)數(shù).【詳解】（1）因?yàn)椋ǎ?所以：.由，又函數(shù)定義域?yàn)椋院瘮?shù)在和上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.（2）因?yàn)椋裕寒?dāng)時(shí)，，方程無解；當(dāng)，函數(shù)在上遞減，在遞增，所以，所以方程無解.綜上可知：方程的根的個(gè)數(shù)為.12．(1)答案見解析(2)【分析】（1）根據(jù)選擇的條件代入計(jì)算，結(jié)合角的范圍即可利用特殊角的三角函數(shù)值求解，（2）由和差角公式以及輔助角公式化簡，由整體法即可代入求解.【詳解】（1）選條件①：無意義，所以選條件①時(shí)不存在，故不能選①，選條件②．由題設(shè)，所以．

因?yàn)?，所以，所以?/p>

所以．

選條件③，由題設(shè)．整理得．

以下同選條件②．（2）由（1）因?yàn)?，所以?/p>

于是，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，取得最大值；

當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，取得最小值．

又，即時(shí)，．且當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增，所以曲線與直線恰有一個(gè)公共點(diǎn)，則或的取值范圍是．【能力篇】一、單選題1．（2024·北京海淀·一模）已知，函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為，過點(diǎn)與曲線相切的直線的條數(shù)為，則的值分別為（

）A． B． C． D．二、多選題2．（2023·安徽·模擬預(yù)測）已知為上的奇函數(shù)，且在上單調(diào)遞增，，則下列命題中一定正確的是（

）A． B．有3個(gè)零點(diǎn)C． D．三、填空題3．（2024·陜西咸陽·三模）已知函數(shù)為偶函數(shù)，滿足，且時(shí)，，若關(guān)于的方程有兩解，則的值為.四、解答題4．（2024·湖南長沙·模擬預(yù)測）設(shè)n次多項(xiàng)式，若其滿足，則稱這些多項(xiàng)式為切比雪夫多項(xiàng)式.例如：由可得切比雪夫多項(xiàng)式，由可得切比雪夫多項(xiàng)式.(1)若切比雪夫多項(xiàng)式，求實(shí)數(shù)a，b，c，d的值；(2)對于正整數(shù)時(shí)，是否有成立？(3)已知函數(shù)在區(qū)間上有3個(gè)不同的零點(diǎn)，分別記為，證明：.參考答案：1．B【分析】借助分段函數(shù)性質(zhì)計(jì)算可得，借助導(dǎo)數(shù)的幾何意義及零點(diǎn)的存在性定理可得.【詳解】令，即時(shí)，，解得，時(shí)，，無解，故，設(shè)過點(diǎn)與曲線相切的直線的切點(diǎn)為，當(dāng)時(shí)，，則有，有，整理可得，即，即當(dāng)時(shí)，有一條切線，當(dāng)時(shí)，，則有，有，整理可得，令，則，令，可得，故當(dāng)時(shí)，，即在上單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，即在上單調(diào)遞減，由，，故在上沒有零點(diǎn)，又，故在上必有唯一零點(diǎn)，即當(dāng)時(shí)，亦可有一條切線符合要求，故.故選：B.2．AB【分析】根據(jù)奇函數(shù)，結(jié)合單調(diào)性可以判斷A,C,D選項(xiàng)，根據(jù)零點(diǎn)存在定理判斷零點(diǎn)個(gè)數(shù)即可判斷B選項(xiàng).【詳解】由已知函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上也單調(diào)遞增，，由，得.對于A，因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞增，所以，A正確；對于B，在上單調(diào)遞增，且，，故在上有且只有一個(gè)，使，同理在上單調(diào)遞增，且，，故在上有且只有一個(gè)，使，又，所以有3個(gè)零點(diǎn)，B正確；對于C，因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞增，，C錯(cuò)誤；對于D，，，易知與無法比較大小，D不一定正確.故選：AB.3．49或【分析】由已知可得是以為周期的周期函數(shù)，結(jié)合已知可作出函數(shù)的圖象，關(guān)于的方程有兩解，可得與的圖象有兩個(gè)交點(diǎn)，數(shù)形結(jié)合可求的值.【詳解】由，可得，所以是以為周期的周期函數(shù)，又為偶函數(shù)，且，故可作出函