專(zhuān)題07 數(shù)列-5年（2020-2024）高考1年模擬數(shù)學(xué)真題分類(lèi)匯編（北京專(zhuān)用）（解析版）

2020-2024年五年高考真題分類(lèi)匯編PAGEPAGE1專(zhuān)題07數(shù)列考點(diǎn)五年考情（2020-2024）命題趨勢(shì)考點(diǎn)數(shù)列（5年幾考）2020-2024：5年十三考：求數(shù)列通項(xiàng)；由遞推公式總結(jié)數(shù)列性質(zhì)；等差、等比數(shù)列的前n項(xiàng)和；數(shù)列中最大（?。╉?xiàng)；數(shù)列的單調(diào)性；基本量的計(jì)算；等差、等比中項(xiàng)；數(shù)列新定義；數(shù)列中的歸納問(wèn)題數(shù)列問(wèn)題特別突出對(duì)學(xué)生的數(shù)學(xué)思維能力的考查,所以問(wèn)題的設(shè)計(jì)要始終貫穿觀察、分析、歸納、類(lèi)比、遞推、運(yùn)算、概括、猜想、證明、應(yīng)用等能力的培養(yǎng).既通過(guò)歸納、類(lèi)比、遞推等方法的應(yīng)用突出數(shù)學(xué)探究、理性思維的培養(yǎng),又通過(guò)通項(xiàng)公式、遞推公式、前n項(xiàng)和公式等內(nèi)容進(jìn)行大量技能訓(xùn)練,培養(yǎng)邏輯思維、運(yùn)算求解能力。從近幾年的高考題可以看出、數(shù)列部分主要以考查基礎(chǔ)知識(shí)為主，同時(shí)鍛煉學(xué)生的運(yùn)算求解能力、邏輯思維能力等.重點(diǎn)考查學(xué)生對(duì)數(shù)列基礎(chǔ)知識(shí)的掌握程度及靈活應(yīng)用,同時(shí)也要重視對(duì)通性通法的培養(yǎng)?？键c(diǎn)數(shù)列1．（2023·北京·高考真題）已知數(shù)列滿足，則（

）A．當(dāng)時(shí)，為遞減數(shù)列，且存在常數(shù)，使得恒成立B．當(dāng)時(shí)，為遞增數(shù)列，且存在常數(shù)，使得恒成立C．當(dāng)時(shí)，為遞減數(shù)列，且存在常數(shù)，使得恒成立D．當(dāng)時(shí)，為遞增數(shù)列，且存在常數(shù)，使得恒成立【答案】B〖祥解〗法1：利用數(shù)列歸納法可判斷ACD正誤，利用遞推可判斷數(shù)列的性質(zhì)，故可判斷B的正誤.法2：構(gòu)造，利用導(dǎo)數(shù)求得的正負(fù)情況，再利用數(shù)學(xué)歸納法判斷得各選項(xiàng)所在區(qū)間，從而判斷的單調(diào)性；對(duì)于A，構(gòu)造，判斷得，進(jìn)而取推得不恒成立；對(duì)于B，證明所在區(qū)間同時(shí)證得后續(xù)結(jié)論；對(duì)于C，記，取推得不恒成立；對(duì)于D，構(gòu)造，判斷得，進(jìn)而取推得不恒成立.【詳析】法1：因?yàn)?，故，?duì)于A，若，可用數(shù)學(xué)歸納法證明：即，證明：當(dāng)時(shí)，，此時(shí)不等關(guān)系成立；設(shè)當(dāng)時(shí)，成立，則，故成立，由數(shù)學(xué)歸納法可得成立.而，，，故，故，故為減數(shù)列，注意故，結(jié)合，所以，故，故，若存在常數(shù)，使得恒成立，則，故，故，故恒成立僅對(duì)部分成立，故A不成立.對(duì)于B，若可用數(shù)學(xué)歸納法證明：即，證明：當(dāng)時(shí)，，此時(shí)不等關(guān)系成立；設(shè)當(dāng)時(shí)，成立，則，故成立即由數(shù)學(xué)歸納法可得成立.而，，，故，故，故為增數(shù)列，若，則恒成立，故B正確.對(duì)于C，當(dāng)時(shí)，可用數(shù)學(xué)歸納法證明：即，證明：當(dāng)時(shí)，，此時(shí)不等關(guān)系成立；設(shè)當(dāng)時(shí)，成立，則，故成立即由數(shù)學(xué)歸納法可得成立.而，故，故為減數(shù)列，又，結(jié)合可得：，所以，若，若存在常數(shù)，使得恒成立，則恒成立，故，的個(gè)數(shù)有限，矛盾，故C錯(cuò)誤.對(duì)于D，當(dāng)時(shí)，可用數(shù)學(xué)歸納法證明：即，證明：當(dāng)時(shí)，，此時(shí)不等關(guān)系成立；設(shè)當(dāng)時(shí)，成立，則，故成立由數(shù)學(xué)歸納法可得成立.而，故，故為增數(shù)列，又，結(jié)合可得：，所以，若存在常數(shù)，使得恒成立，則，故，故，這與n的個(gè)數(shù)有限矛盾，故D錯(cuò)誤.故選：B.法2：因?yàn)?，令，則，令，得或；令，得；所以在和上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，令，則，即，解得或或，注意到，，所以結(jié)合的單調(diào)性可知在和上，在和上，對(duì)于A，因?yàn)?，則，當(dāng)時(shí)，，，則，假設(shè)當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，則，綜上：，即，因?yàn)樵谏希?，則為遞減數(shù)列，因?yàn)?，令，則，因?yàn)殚_(kāi)口向上，對(duì)稱(chēng)軸為，所以在上單調(diào)遞減，故，所以在上單調(diào)遞增，故，故，即，假設(shè)存在常數(shù)，使得恒成立，取，其中，且，因?yàn)?，所以，上式相加得，，則，與恒成立矛盾，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，因?yàn)?，?dāng)時(shí)，，，假設(shè)當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，因?yàn)?，所以，則，所以，又當(dāng)時(shí)，，即，假設(shè)當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，因?yàn)椋?，則，所以，綜上：，因?yàn)樵谏希?，所以為遞增數(shù)列，此時(shí)，取，滿足題意，故B正確；對(duì)于C，因?yàn)椋瑒t，注意到當(dāng)時(shí)，，，猜想當(dāng)時(shí)，，當(dāng)與時(shí)，與滿足，假設(shè)當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，所以，綜上：，易知，則，故，所以，因?yàn)樵谏希?，則為遞減數(shù)列，假設(shè)存在常數(shù)，使得恒成立，記，取，其中，則，故，所以，即，所以，故不恒成立，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，因?yàn)?，?dāng)時(shí)，，則，假設(shè)當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，則，綜上：，因?yàn)樵谏?，所以，所以為遞增數(shù)列，因?yàn)?，令，則，因?yàn)殚_(kāi)口向上，對(duì)稱(chēng)軸為，所以在上單調(diào)遞增，故，所以，故，即，假設(shè)存在常數(shù)，使得恒成立，取，其中，且，因?yàn)?，所以，上式相加得，，則，與恒成立矛盾，故D錯(cuò)誤.故選：B.【『點(diǎn)石成金』】關(guān)鍵『點(diǎn)石成金』：本題解決的關(guān)鍵是根據(jù)首項(xiàng)給出與通項(xiàng)性質(zhì)相關(guān)的相應(yīng)的命題，再根據(jù)所得命題結(jié)合放縮法得到通項(xiàng)所滿足的不等式關(guān)系，從而可判斷數(shù)列的上界或下界是否成立.2．（2022·北京·高考真題）設(shè)是公差不為0的無(wú)窮等差數(shù)列，則“為遞增數(shù)列”是“存在正整數(shù)，當(dāng)時(shí)，”的（

）A．充分而不必要條件 B．必要而不充分條件C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】C〖祥解〗設(shè)等差數(shù)列的公差為，則，利用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式結(jié)合充分條件、必要條件的定義判斷可得出結(jié)論.【詳析】設(shè)等差數(shù)列的公差為，則，記為不超過(guò)的最大整數(shù).若為單調(diào)遞增數(shù)列，則，若，則當(dāng)時(shí)，；若，則，由可得，取，則當(dāng)時(shí)，，所以，“是遞增數(shù)列”“存在正整數(shù)，當(dāng)時(shí)，”；若存在正整數(shù)，當(dāng)時(shí)，，取且，，假設(shè)，令可得，且，當(dāng)時(shí)，，與題設(shè)矛盾，假設(shè)不成立，則，即數(shù)列是遞增數(shù)列.所以，“是遞增數(shù)列”“存在正整數(shù)，當(dāng)時(shí)，”.所以，“是遞增數(shù)列”是“存在正整數(shù)，當(dāng)時(shí)，”的充分必要條件.故選：C.3．（2021·北京·高考真題）已知是各項(xiàng)均為整數(shù)的遞增數(shù)列，且，若，則的最大值為（

）A．9 B．10 C．11 D．12【答案】C〖祥解〗使數(shù)列首項(xiàng)、遞增幅度均最小，結(jié)合等差數(shù)列的通項(xiàng)及求和公式求得可能的最大值，然后構(gòu)造數(shù)列滿足條件，即得到的最大值．【詳析】若要使n盡可能的大，則，遞增幅度要盡可能小，不妨設(shè)數(shù)列是首項(xiàng)為3，公差為1的等差數(shù)列，其前n項(xiàng)和為，則，，所以.對(duì)于，，取數(shù)列各項(xiàng)為(，,則，所以n的最大值為11．故選：C．4．（2020·北京·高考真題）在等差數(shù)列中，，．記，則數(shù)列（

）．A．有最大項(xiàng)，有最小項(xiàng) B．有最大項(xiàng)，無(wú)最小項(xiàng)C．無(wú)最大項(xiàng)，有最小項(xiàng) D．無(wú)最大項(xiàng)，無(wú)最小項(xiàng)【答案】B〖祥解〗首先求得數(shù)列的通項(xiàng)公式，然后結(jié)合數(shù)列中各個(gè)項(xiàng)數(shù)的符號(hào)和大小即可確定數(shù)列中是否存在最大項(xiàng)和最小項(xiàng).【詳析】由題意可知，等差數(shù)列的公差，則其通項(xiàng)公式為：，注意到，且由可知，由可知數(shù)列不存在最小項(xiàng)，由于，故數(shù)列中的正項(xiàng)只有有限項(xiàng)：，.故數(shù)列中存在最大項(xiàng)，且最大項(xiàng)為.故選：B.【『點(diǎn)石成金』】本題主要考查等差數(shù)列的通項(xiàng)公式，等差數(shù)列中項(xiàng)的符號(hào)問(wèn)題，分類(lèi)討論的數(shù)學(xué)思想等知識(shí)，屬于中等題.5．（2024·北京·高考真題）漢代劉歆設(shè)計(jì)的“銅嘉量”是龠、合、升、斗、斛五量合一的標(biāo)準(zhǔn)量器，其中升量器、斗量器、斛量器的形狀均可視為圓柱.若升、斗、斛量器的容積成公比為10的等比數(shù)列，底面直徑依次為，且斛量器的高為，則斗量器的高為，升量器的高為．【答案】2357.5/〖祥解〗根據(jù)體積為公比為10的等比數(shù)列可得關(guān)于高度的方程組，求出其解后可得前兩個(gè)圓柱的高度.【詳析】設(shè)升量器的高為，斗量器的高為（單位都是），則，故，.故答案為：.6．（2024·北京·高考真題）設(shè)與是兩個(gè)不同的無(wú)窮數(shù)列，且都不是常數(shù)列.記集合，給出下列4個(gè)結(jié)論：①若與均為等差數(shù)列，則M中最多有1個(gè)元素；②若與均為等比數(shù)列，則M中最多有2個(gè)元素；③若為等差數(shù)列，為等比數(shù)列，則M中最多有3個(gè)元素；④若為遞增數(shù)列，為遞減數(shù)列，則M中最多有1個(gè)元素.其中正確結(jié)論的序號(hào)是.【答案】①③④〖祥解〗利用兩類(lèi)數(shù)列的散點(diǎn)圖的特征可判斷①④的正誤，利用反例可判斷②的正誤，結(jié)合通項(xiàng)公式的特征及反證法可判斷③的正誤.【詳析】對(duì)于①，因?yàn)榫鶠榈炔顢?shù)列，故它們的散點(diǎn)圖分布在直線上，而兩條直線至多有一個(gè)公共點(diǎn)，故中至多一個(gè)元素，故①正確.對(duì)于②，取則均為等比數(shù)列，但當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，有，此時(shí)中有無(wú)窮多個(gè)元素，故②錯(cuò)誤.對(duì)于③，設(shè)，，若中至少四個(gè)元素，則關(guān)于的方程至少有4個(gè)不同的正數(shù)解，若，則由和的散點(diǎn)圖可得關(guān)于的方程至多有兩個(gè)不同的解，矛盾；若，考慮關(guān)于的方程奇數(shù)解的個(gè)數(shù)和偶數(shù)解的個(gè)數(shù)，當(dāng)有偶數(shù)解，此方程即為，方程至多有兩個(gè)偶數(shù)解，且有兩個(gè)偶數(shù)解時(shí)，否則，因單調(diào)性相反，方程至多一個(gè)偶數(shù)解，當(dāng)有奇數(shù)解，此方程即為，方程至多有兩個(gè)奇數(shù)解，且有兩個(gè)奇數(shù)解時(shí)即否則，因單調(diào)性相反，方程至多一個(gè)奇數(shù)解，因?yàn)椋豢赡芡瑫r(shí)成立，故不可能有4個(gè)不同的整數(shù)解，即M中最多有3個(gè)元素，故③正確.對(duì)于④，因?yàn)闉檫f增數(shù)列，為遞減數(shù)列，前者散點(diǎn)圖呈上升趨勢(shì)，后者的散點(diǎn)圖呈下降趨勢(shì)，兩者至多一個(gè)交點(diǎn)，故④正確.故答案為：①③④.【『點(diǎn)石成金』】思路『點(diǎn)石成金』：對(duì)于等差數(shù)列和等比數(shù)列的性質(zhì)的討論，可以利用兩者散點(diǎn)圖的特征來(lái)分析，注意討論兩者性質(zhì)關(guān)系時(shí)，等比數(shù)列的公比可能為負(fù)，此時(shí)要注意合理轉(zhuǎn)化.7．（2023·北京·高考真題）我國(guó)度量衡的發(fā)展有著悠久的歷史，戰(zhàn)國(guó)時(shí)期就已經(jīng)出現(xiàn)了類(lèi)似于砝碼的、用來(lái)測(cè)量物體質(zhì)量的“環(huán)權(quán)”．已知9枚環(huán)權(quán)的質(zhì)量（單位：銖）從小到大構(gòu)成項(xiàng)數(shù)為9的數(shù)列，該數(shù)列的前3項(xiàng)成等差數(shù)列，后7項(xiàng)成等比數(shù)列，且，則；數(shù)列所有項(xiàng)的和為．【答案】48384〖祥解〗方法一：根據(jù)題意結(jié)合等差、等比數(shù)列的通項(xiàng)公式列式求解，進(jìn)而可求得結(jié)果；方法二：根據(jù)等比中項(xiàng)求，在結(jié)合等差、等比數(shù)列的求和公式運(yùn)算求解.【詳析】方法一：設(shè)前3項(xiàng)的公差為，后7項(xiàng)公比為，則，且，可得，則，即，可得，空1：可得，空2：方法二：空1：因?yàn)闉榈缺葦?shù)列，則，且，所以；又因?yàn)椋瑒t；空2：設(shè)后7項(xiàng)公比為，則，解得，可得，所以.故答案為：48；384.8．（2022·北京·高考真題）已知數(shù)列各項(xiàng)均為正數(shù)，其前n項(xiàng)和滿足．給出下列四個(gè)結(jié)論：①的第2項(xiàng)小于3；

②為等比數(shù)列；③為遞減數(shù)列；

④中存在小于的項(xiàng)．其中所有正確結(jié)論的序號(hào)是．【答案】①③④〖祥解〗推導(dǎo)出，求出、的值，可判斷①；利用反證法可判斷②④；利用數(shù)列單調(diào)性的定義可判斷③.【詳析】由題意可知，，，當(dāng)時(shí)，，可得；當(dāng)時(shí)，由可得，兩式作差可得，所以，，則，整理可得，因?yàn)?，解得，①?duì)；假設(shè)數(shù)列為等比數(shù)列，設(shè)其公比為，則，即，所以，，可得，解得，不合乎題意，故數(shù)列不是等比數(shù)列，②錯(cuò)；當(dāng)時(shí)，，可得，所以，數(shù)列為遞減數(shù)列，③對(duì)；假設(shè)對(duì)任意的，，則，所以，，與假設(shè)矛盾，假設(shè)不成立，④對(duì).故答案為：①③④.【『點(diǎn)石成金』】關(guān)鍵點(diǎn)『點(diǎn)石成金』：本題在推斷②④的正誤時(shí)，利用正面推理較為復(fù)雜時(shí)，可采用反證法來(lái)進(jìn)行推導(dǎo).9．（2024·北京·高考真題）已知集合．給定數(shù)列，和序列，其中，對(duì)數(shù)列進(jìn)行如下變換：將的第項(xiàng)均加1，其余項(xiàng)不變，得到的數(shù)列記作；將的第項(xiàng)均加1，其余項(xiàng)不變，得到數(shù)列記作；……；以此類(lèi)推，得到，簡(jiǎn)記為．(1)給定數(shù)列和序列，寫(xiě)出；(2)是否存在序列，使得為，若存在，寫(xiě)出一個(gè)符合條件的；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由；(3)若數(shù)列的各項(xiàng)均為正整數(shù)，且為偶數(shù)，求證：“存在序列，使得的各項(xiàng)都相等”的充要條件為“”．【答案】(1)(2)不存在符合條件的，理由見(jiàn)解析(3)證明見(jiàn)解析〖祥解〗（1）直接按照的定義寫(xiě)出即可；（2）解法一：利用反證法，假設(shè)存在符合條件的，由此列出方程組，進(jìn)一步說(shuō)明方程組無(wú)解即可；解法二：對(duì)于任意序列，所得數(shù)列之和比原數(shù)列之和多4，可知序列共有8項(xiàng)，可知：，檢驗(yàn)即可；（3）解法一：分充分性和必要性兩方面論證；解法二：若，分類(lèi)討論相等得個(gè)數(shù)，結(jié)合題意證明即可；若存在序列，使得為常數(shù)列，結(jié)合定義分析證明即可.【詳析】（1）因?yàn)閿?shù)列，由序列可得；由序列可得；由序列可得；所以.（2）解法一：假設(shè)存在符合條件的，可知的第項(xiàng)之和為，第項(xiàng)之和為，則，而該方程組無(wú)解，故假設(shè)不成立，故不存在符合條件的；解法二：由題意可知：對(duì)于任意序列，所得數(shù)列之和比原數(shù)列之和多4，假設(shè)存在符合條件的，且，因?yàn)?，即序列共?項(xiàng)，由題意可知：，檢驗(yàn)可知：當(dāng)時(shí)，上式不成立，即假設(shè)不成立，所以不存在符合條件的.（3）解法一：我們?cè)O(shè)序列為，特別規(guī)定.必要性：若存在序列，使得的各項(xiàng)都相等.則，所以.根據(jù)的定義，顯然有，這里，.所以不斷使用該式就得到，必要性得證.充分性：若.由已知，為偶數(shù)，而，所以也是偶數(shù).我們?cè)O(shè)是通過(guò)合法的序列的變換能得到的所有可能的數(shù)列中，使得最小的一個(gè).上面已經(jīng)說(shuō)明，這里，.從而由可得.同時(shí)，由于總是偶數(shù)，所以和的奇偶性保持不變，從而和都是偶數(shù).下面證明不存在使得.假設(shè)存在，根據(jù)對(duì)稱(chēng)性，不妨設(shè)，，即.情況1：若，則由和都是偶數(shù)，知.對(duì)該數(shù)列連續(xù)作四次變換后，新的相比原來(lái)的減少，這與的最小性矛盾；情況2：若，不妨設(shè).情況2-1：如果，則對(duì)該數(shù)列連續(xù)作兩次變換后，新的相比原來(lái)的至少減少，這與的最小性矛盾；情況2-2：如果，則對(duì)該數(shù)列連續(xù)作兩次變換后，新的相比原來(lái)的至少減少，這與的最小性矛盾.這就說(shuō)明無(wú)論如何都會(huì)導(dǎo)致矛盾，所以對(duì)任意的都有.假設(shè)存在使得，則是奇數(shù)，所以都是奇數(shù)，設(shè)為.則此時(shí)對(duì)任意，由可知必有.而和都是偶數(shù)，故集合中的四個(gè)元素之和為偶數(shù)，對(duì)該數(shù)列進(jìn)行一次變換，則該數(shù)列成為常數(shù)列，新的等于零，比原來(lái)的更小，這與的最小性矛盾.綜上，只可能，而，故是常數(shù)列，充分性得證.解法二：由題意可知：中序列的順序不影響的結(jié)果，且相對(duì)于序列也是無(wú)序的，（ⅰ）若，不妨設(shè)，則，①當(dāng)，則，分別執(zhí)行個(gè)序列、個(gè)序列，可得，為常數(shù)列，符合題意；②當(dāng)中有且僅有三個(gè)數(shù)相等，不妨設(shè)，則，即，分別執(zhí)行個(gè)序列、個(gè)序列可得，即，因?yàn)闉榕紨?shù)，即為偶數(shù)，可知的奇偶性相同，則，分別執(zhí)行個(gè)序列，，，，可得，為常數(shù)列，符合題意；③若，則，即，分別執(zhí)行個(gè)、個(gè)，可得，因?yàn)?，可得，即轉(zhuǎn)為①，可知符合題意；④當(dāng)中有且僅有兩個(gè)數(shù)相等，不妨設(shè)，則，即，分別執(zhí)行個(gè)、個(gè)，可得，且，可得，因?yàn)闉榕紨?shù)，可知的奇偶性相同，則為偶數(shù)，即轉(zhuǎn)為②，可知符合題意；⑤若，則，即，分別執(zhí)行個(gè)、個(gè)，可得，且，可得，因?yàn)闉榕紨?shù)，則為偶數(shù)，即轉(zhuǎn)為③或④，可知符合題意；綜上所述：若，則存在序列，使得為常數(shù)列；（ⅱ）若存在序列，使得為常數(shù)列，因?yàn)閷?duì)任意，均有成立，若為常數(shù)列，則，所以；綜上所述：“存在序列，使得為常數(shù)列”的充要條件為“”.【『點(diǎn)石成金』】關(guān)鍵點(diǎn)『點(diǎn)石成金』：本題第三問(wèn)的關(guān)鍵在于對(duì)新定義的理解，以及對(duì)其本質(zhì)的分析.10．（2023·北京·高考真題）已知數(shù)列的項(xiàng)數(shù)均為m，且的前n項(xiàng)和分別為，并規(guī)定．對(duì)于，定義，其中，表示數(shù)集M中最大的數(shù).(1)若，求的值；(2)若，且，求；(3)證明：存在，滿足使得．【答案】(1)，，，(2)(3)證明見(jiàn)詳析〖祥解〗（1）先求，根據(jù)題意分析求解；（2）根據(jù)題意題意分析可得，利用反證可得，在結(jié)合等差數(shù)列運(yùn)算求解；（3）討論的大小，根據(jù)題意結(jié)合反證法分析證明.【詳析】（1）由題意可知：，當(dāng)時(shí)，則，故；當(dāng)時(shí)，則，故；當(dāng)時(shí)，則故；當(dāng)時(shí)，則，故；綜上所述：，，，.（2）由題意可知：，且，因?yàn)?，且，則對(duì)任意恒成立，所以，又因?yàn)?，則，即，可得，反證：假設(shè)滿足的最小正整數(shù)為，當(dāng)時(shí)，則；當(dāng)時(shí)，則，則，又因?yàn)?，則，假設(shè)不成立，故，即數(shù)列是以首項(xiàng)為1，公差為1的等差數(shù)列，所以.（3）因?yàn)榫鶠檎麛?shù)，則均為遞增數(shù)列，（ⅰ）若，則可取，滿足使得；（ⅱ）若，則，構(gòu)建，由題意可得：，且為整數(shù)，反證，假設(shè)存在正整數(shù)，使得，則，可得，這與相矛盾，故對(duì)任意，均有.①若存在正整數(shù)，使得，即，可取，滿足，使得；②若不存在正整數(shù)，使得，因?yàn)?，且，所以必存在，使得，即，可得，可取，滿足，使得；（ⅲ）若，定義，則，構(gòu)建，由題意可得：，且為整數(shù)，反證，假設(shè)存在正整數(shù)，使得，則，可得，這與相矛盾，故對(duì)任意，均有.①若存在正整數(shù)，使得，即，可取，即滿足，使得；②若不存在正整數(shù)，使得，因?yàn)椋?，所以必存在，使得，即，可得，可取，滿足，使得.綜上所述：存在使得．11．（2022·北京·高考真題）已知為有窮整數(shù)數(shù)列．給定正整數(shù)m，若對(duì)任意的，在Q中存在，使得，則稱(chēng)Q為連續(xù)可表數(shù)列．(1)判斷是否為連續(xù)可表數(shù)列？是否為連續(xù)可表數(shù)列？說(shuō)明理由；(2)若為連續(xù)可表數(shù)列，求證：k的最小值為4；(3)若為連續(xù)可表數(shù)列，且，求證：．【答案】(1)是連續(xù)可表數(shù)列；不是連續(xù)可表數(shù)列．(2)證明見(jiàn)解析．(3)證明見(jiàn)解析．〖祥解〗（1）直接利用定義驗(yàn)證即可；（2）先考慮不符合，再列舉一個(gè)合題即可；（3）時(shí)，根據(jù)和的個(gè)數(shù)易得顯然不行，再討論時(shí)，由可知里面必然有負(fù)數(shù)，再確定負(fù)數(shù)只能是，然后分類(lèi)討論驗(yàn)證不行即可．【詳析】（1），，，，，所以是連續(xù)可表數(shù)列；易知，不存在使得，所以不是連續(xù)可表數(shù)列．（2）若,設(shè)為,則至多，6個(gè)數(shù)字，沒(méi)有個(gè)，矛盾；當(dāng)時(shí),數(shù)列，滿足，，，，，，，，．（3），若最多有種，若，最多有種，所以最多有種，若，則至多可表個(gè)數(shù)，矛盾,從而若,則，至多可表個(gè)數(shù)，而，所以其中有負(fù)的，從而可表1~20及那個(gè)負(fù)數(shù)（恰21個(gè)），這表明中僅一個(gè)負(fù)的，沒(méi)有0，且這個(gè)負(fù)的在中絕對(duì)值最小，同時(shí)中沒(méi)有兩數(shù)相同,設(shè)那個(gè)負(fù)數(shù)為，則所有數(shù)之和，，，再考慮排序，排序中不能有和相同，否則不足個(gè)，（僅一種方式），與2相鄰，若不在兩端,則形式，若，則（有2種結(jié)果相同，方式矛盾），，同理，故在一端，不妨為形式，若,則（有2種結(jié)果相同，矛盾），同理不行，，則（有2種結(jié)果相同，矛盾），從而，由于,由表法唯一知3,4不相鄰,、故只能，①或，②這2種情形，對(duì)①：，矛盾，對(duì)②：，也矛盾，綜上，當(dāng)時(shí)，數(shù)列滿足題意，．【『點(diǎn)石成金』】關(guān)鍵『點(diǎn)石成金』，先理解題意，是否為可表數(shù)列核心就是是否存在連續(xù)的幾項(xiàng)（可以是一項(xiàng)）之和能表示從到中間的任意一個(gè)值．本題第二問(wèn)時(shí)，通過(guò)和值可能個(gè)數(shù)否定；第三問(wèn)先通過(guò)和值的可能個(gè)數(shù)否定，再驗(yàn)證時(shí)，數(shù)列中的幾項(xiàng)如果符合必然是的一個(gè)排序，可驗(yàn)證這組數(shù)不合題．12．（2021·北京·高考真題）設(shè)p為實(shí)數(shù).若無(wú)窮數(shù)列滿足如下三個(gè)性質(zhì)，則稱(chēng)為數(shù)列：①，且；②；③，．（1）如果數(shù)列的前4項(xiàng)為2，-2，-2，-1，那么是否可能為數(shù)列？說(shuō)明理由；（2）若數(shù)列是數(shù)列，求；（3）設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為.是否存在數(shù)列，使得恒成立？如果存在，求出所有的p；如果不存在，說(shuō)明理由．【答案】（1）不可以是數(shù)列；理由見(jiàn)解析；（2）；（3）存在；．〖祥解〗(1)由題意考查的值即可說(shuō)明數(shù)列不是數(shù)列；(2)由題意首先確定數(shù)列的前4項(xiàng)，然后討論計(jì)算即可確定的值；(3)構(gòu)造數(shù)列，易知數(shù)列是的，結(jié)合(2)中的結(jié)論求解不等式即可確定滿足題意的實(shí)數(shù)的值.【詳析】(1)因?yàn)樗?，因?yàn)樗运詳?shù)列，不可能是數(shù)列.(2)性質(zhì)①，由性質(zhì)③，因此或，或，若，由性質(zhì)②可知，即或，矛盾；若，由有，矛盾.因此只能是.又因?yàn)榛?，所以?若，則，不滿足，舍去.當(dāng)，則前四項(xiàng)為:0，0，0，1，下面用數(shù)學(xué)歸納法證明：當(dāng)時(shí)，經(jīng)驗(yàn)證命題成立，假設(shè)當(dāng)時(shí)命題成立，當(dāng)時(shí)：若，則，利用性質(zhì)③：，此時(shí)可得：；否則，若，取可得：，而由性質(zhì)②可得：，與矛盾.同理可得：，有；，有；，又因?yàn)?，有即?dāng)時(shí)命題成立，證畢.綜上可得：，.(3)令，由性質(zhì)③可知：，由于，因此數(shù)列為數(shù)列.由（2）可知:若；，，因此，此時(shí)，，滿足題意.【『點(diǎn)石成金』】本題屬于數(shù)列中的“新定義問(wèn)題”，“新定義”主要是指即時(shí)定義新概念、新公式、新定理、新法則、新運(yùn)算五種，然后根據(jù)此新定義去解決問(wèn)題，有時(shí)還需要用類(lèi)比的方法去理解新的定義，這樣有助于對(duì)新定義的透徹理解.但是，透過(guò)現(xiàn)象看本質(zhì)，它們考查的還是基礎(chǔ)數(shù)學(xué)知識(shí)，所以說(shuō)“新題”不一定是“難題”，掌握好三基，以不變應(yīng)萬(wàn)變才是制勝法寶.13．（2020·北京·高考真題）已知是無(wú)窮數(shù)列．給出兩個(gè)性質(zhì)：①對(duì)于中任意兩項(xiàng)，在中都存在一項(xiàng)，使；②對(duì)于中任意項(xiàng)，在中都存在兩項(xiàng)．使得．(Ⅰ)若，判斷數(shù)列是否滿足性質(zhì)①，說(shuō)明理由；(Ⅱ)若，判斷數(shù)列是否同時(shí)滿足性質(zhì)①和性質(zhì)②，說(shuō)明理由；(Ⅲ)若是遞增數(shù)列，且同時(shí)滿足性質(zhì)①和性質(zhì)②，證明：為等比數(shù)列.【答案】(Ⅰ)詳見(jiàn)解析；(Ⅱ)詳析解析；(Ⅲ)證明詳見(jiàn)解析.〖祥解〗(Ⅰ)根據(jù)定義驗(yàn)證，即可判斷；(Ⅱ)根據(jù)定義逐一驗(yàn)證，即可判斷；(Ⅲ)解法一：首先，證明數(shù)列中的項(xiàng)數(shù)同號(hào)，然后證明，最后，用數(shù)學(xué)歸納法證明數(shù)列為等比數(shù)列即可.解法二：首先假設(shè)數(shù)列中的項(xiàng)數(shù)均為正數(shù)，然后證得成等比數(shù)列，之后證得成等比數(shù)列，同理即可證得數(shù)列為等比數(shù)列，從而命題得證.【詳析】(Ⅰ)不具有性質(zhì)①；(Ⅱ)具有性質(zhì)①；具有性質(zhì)②；(Ⅲ)解法一首先，證明數(shù)列中的項(xiàng)數(shù)同號(hào)，不妨設(shè)恒為正數(shù)：顯然，假設(shè)數(shù)列中存在負(fù)項(xiàng)，設(shè)，第一種情況：若，即，由①可知：存在，滿足，存在，滿足，由可知，從而，與數(shù)列的單調(diào)性矛盾，假設(shè)不成立.第二種情況：若，由①知存在實(shí)數(shù)，滿足，由的定義可知：，另一方面，，由數(shù)列的單調(diào)性可知：，這與的定義矛盾，假設(shè)不成立.同理可證得數(shù)列中的項(xiàng)數(shù)恒為負(fù)數(shù).綜上可得，數(shù)列中的項(xiàng)數(shù)同號(hào).其次，證明：利用性質(zhì)②：取，此時(shí)，由數(shù)列的單調(diào)性可知，而，故，此時(shí)必有，即，最后，用數(shù)學(xué)歸納法證明數(shù)列為等比數(shù)列：假設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)成等比數(shù)列，不妨設(shè)，其中，（的情況類(lèi)似）由①可得：存在整數(shù)，滿足，且（*）由②得：存在，滿足：，由數(shù)列的單調(diào)性可知：，由可得：（**）由（**）和（*）式可得：，結(jié)合數(shù)列的單調(diào)性有：，注意到均為整數(shù)，故，代入（**）式，從而.總上可得，數(shù)列的通項(xiàng)公式為：.即數(shù)列為等比數(shù)列.解法二：假設(shè)數(shù)列中的項(xiàng)數(shù)均為正數(shù)：首先利用性質(zhì)②：取，此時(shí)，由數(shù)列的單調(diào)性可知，而，故，此時(shí)必有，即，即成等比數(shù)列，不妨設(shè)，然后利用性質(zhì)①：取，則，即數(shù)列中必然存在一項(xiàng)的值為，下面我們來(lái)證明，否則，由數(shù)列的單調(diào)性可知，在性質(zhì)②中，取，則，從而，與前面類(lèi)似的可知?jiǎng)t存在，滿足，若，則：，與假設(shè)矛盾；若，則：，與假設(shè)矛盾；若，則：，與數(shù)列的單調(diào)性矛盾；即不存在滿足題意的正整數(shù)，可見(jiàn)不成立，從而，然后利用性質(zhì)①：取，則數(shù)列中存在一項(xiàng)，下面我們用反證法來(lái)證明，否則，由數(shù)列的單調(diào)性可知，在性質(zhì)②中，取，則，從而，與前面類(lèi)似的可知?jiǎng)t存在，滿足，即由②可知：，若，則，與假設(shè)矛盾；若，則，與假設(shè)矛盾；若，由于為正整數(shù)，故，則，與矛盾；綜上可知，假設(shè)不成立，則.同理可得：，從而數(shù)列為等比數(shù)列，同理，當(dāng)數(shù)列中的項(xiàng)數(shù)均為負(fù)數(shù)時(shí)亦可證得數(shù)列為等比數(shù)列.由推理過(guò)程易知數(shù)列中的項(xiàng)要么恒正要么恒負(fù)，不會(huì)同時(shí)出現(xiàn)正數(shù)和負(fù)數(shù).從而題中的結(jié)論得證，數(shù)列為等比數(shù)列.【『點(diǎn)石成金』】本題主要考查數(shù)列的綜合運(yùn)用，等比數(shù)列的證明，數(shù)列性質(zhì)的應(yīng)用，數(shù)學(xué)歸納法與推理方法、不等式的性質(zhì)的綜合運(yùn)用等知識(shí)，意在考查學(xué)生的轉(zhuǎn)化能力和推理能力.1．（2024·北京西城·三模）中國(guó)古代科學(xué)家發(fā)明了一種三級(jí)漏壺記錄時(shí)間，壺形都為正四棱臺(tái)，自上而下，三個(gè)漏壺的上底寬依次遞減1寸（約3.3厘米），下底寬和深度也依次遞減1寸.設(shè)三個(gè)漏壺的側(cè)面與底面所成的銳二面角依次為，，，則（

）A． B．C． D．【答案】D〖祥解〗連接，過(guò)邊的中點(diǎn)作，垂足為，則就是漏壺的側(cè)面與底面所成銳二面角的一個(gè)平面角，記為，設(shè)漏壺上口寬為，下底寬為，高為，在中，根據(jù)等差數(shù)列即可求解.【詳析】三級(jí)漏壺，壺形都為正四棱臺(tái)，自上而下，三個(gè)漏壺的上口寬依次遞減1寸（約3.3厘米），下底寬和深度也依次遞減1寸，如圖，在正四棱臺(tái)中，為正方形的中心，是邊的中點(diǎn)，連結(jié)，過(guò)邊的中點(diǎn)作，垂足為，則就是漏壺的側(cè)面與底面所成銳二面角的一個(gè)平面角，記為，設(shè)漏壺上口寬為，下底寬為，高為，在中，，，因?yàn)樽陨隙氯齻€(gè)漏壺的上口寬成等差數(shù)列，下底寬也成等差數(shù)列，且公差相等，所以為定值，又因?yàn)槿齻€(gè)漏壺的高成等差數(shù)列，所以.故選：．【『點(diǎn)石成金』】關(guān)鍵點(diǎn)『點(diǎn)石成金』：對(duì)于情境類(lèi)問(wèn)題首先要閱讀理解題意，其次找尋數(shù)學(xué)本質(zhì)問(wèn)題，本題在新情境的基礎(chǔ)上考查等差數(shù)列的相關(guān)知識(shí).2．（2024·北京西城·三模）對(duì)于無(wú)窮數(shù)列，定義（），則“為遞增數(shù)列”是“為遞增數(shù)列”的（

）A．充分而不必要條件 B．必要而不充分條件 C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】D〖祥解〗由遞增數(shù)列的性質(zhì)，分別判斷充分性和必要性即可.【詳析】為遞增數(shù)列時(shí)，有，不能得到為遞增數(shù)列，充分性不成立；為遞增數(shù)列時(shí)，不一定有，即不能得到為遞增數(shù)列，必要性不成立.所以“為遞增數(shù)列”是“為遞增數(shù)列”的既不充分也不必要條件.故選：D.3．（21-22高三上·北京順義·期末）在等差數(shù)列中，，，則（）A． B． C． D．【答案】A〖祥解〗求出等差數(shù)列的公差，進(jìn)而可求得的值.【詳析】由題意可知，等差數(shù)列的公差為，因此，.故選：A.4．（2024·山東濟(jì)南·一模）記等差數(shù)列的前n項(xiàng)和為.若，，則（

）A．49 B．63 C．70 D．126【答案】B〖祥解〗利用等差數(shù)列的項(xiàng)的“等和性”得到，再運(yùn)用等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式計(jì)算即得.【詳析】因是等差數(shù)列，故，于是故選：B5．（2024·北京海淀·二模）設(shè)是公比為的無(wú)窮等比數(shù)列，為其前項(xiàng)和，.則“”是“存在最小值”的（

）A．充分而不必要條件 B．必要而不充分條件C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】A〖祥解〗根據(jù)充分條件、必要條件的判定以及等比數(shù)列前項(xiàng)和公式判斷即可【詳析】若且公比，則，所以單調(diào)遞增，存在最小值，故充分條件成立.若且時(shí)，，當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，，單調(diào)遞減，故最大值為時(shí)，，而,當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，，單調(diào)遞增，故最小值為，，所以的最小值為，即由，存在最小值得不到公比,故必要性不成立.故公比“”是“存在最小值”的充分不必要條件.故選：A6．（2024·北京海淀·二模）設(shè)數(shù)列的各項(xiàng)均為非零的整數(shù)，其前項(xiàng)和為.若為正偶數(shù)，均有，且，則的最小值為（

）A．0 B．22 C．26 D．31【答案】B〖祥解〗因?yàn)?，不妨設(shè)，由題意求出的最小值，的最小值，，令時(shí)，有最小值.【詳析】因?yàn)椋曰橄喾磾?shù)，不妨設(shè)，為了取最小值，取奇數(shù)項(xiàng)為正值，取偶數(shù)項(xiàng)為負(fù)值，且各項(xiàng)盡可能小，.由題意知：滿足，取的最小值；滿足，因?yàn)?，故取的最小值；滿足，取的最小值；同理，取的最小值；所以，滿足，取的最小值；滿足，因?yàn)椋?，取的最小值；滿足，因?yàn)椋?，取的最小值；同理，取的最小值；所以，所以，因?yàn)閿?shù)列的各項(xiàng)均為非零的整數(shù)，所以當(dāng)時(shí)，有最小值22.故選：B【『點(diǎn)石成金』】關(guān)鍵點(diǎn)『點(diǎn)石成金』：有最小值的條件是確保各項(xiàng)最小，根據(jù)遞推關(guān)系分析可得奇數(shù)項(xiàng)的最小值與偶數(shù)項(xiàng)的最小值，從而可得的最小值.7．（2024·北京朝陽(yáng)·二模）設(shè)等差數(shù)列的前n項(xiàng)和為，若，，則（

）A．60 B．80 C．90 D．100【答案】D〖祥解〗先求出等差數(shù)列的公差，再由等差數(shù)列的求和公式求解.【詳析】等差數(shù)列的公差為：，則.故選：D8．（2024·北京朝陽(yáng)·二模）北宋科學(xué)家沈括在《夢(mèng)溪筆談》中記載了“隙積術(shù)”，提出長(zhǎng)方臺(tái)形垛積的一般求和公式.如圖，由大小相同的小球堆成的一個(gè)長(zhǎng)方臺(tái)形垛積的第一層有個(gè)小球，第二層有個(gè)小球，第三層有個(gè)小球……依此類(lèi)推，最底層有個(gè)小球，共有層，由“隙積術(shù)”可得這些小球的總個(gè)數(shù)為若由小球堆成的某個(gè)長(zhǎng)方臺(tái)形垛積共8層，小球總個(gè)數(shù)為240，則該垛積的第一層的小球個(gè)數(shù)為（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】B〖祥解〗轉(zhuǎn)化題給條件為，再由皆為正整數(shù)分類(lèi)討論即可求解.【詳析】由題意知，，于是得最底層小球的數(shù)量為，即，.從而有，整理得，，，，，由于皆為正整數(shù)，所以（i）當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，（iii）當(dāng)時(shí)，，（iv）當(dāng)時(shí)，只有符合題意，即的值為2.故選：B.【『點(diǎn)石成金』】關(guān)鍵點(diǎn)『點(diǎn)石成金』：本題主要考查新文化背景下的數(shù)列問(wèn)題，確定是解決本題的關(guān)鍵.9．（2024·北京通州·二模）已知等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，則“”是“”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】C〖祥解〗利用等差數(shù)列通項(xiàng)和求和公式可推導(dǎo)得到充分性成立；將代入，可得，進(jìn)而得到必要性成立，從而得到結(jié)論.【詳析】設(shè)等差數(shù)列的公差為，由得：，，，，即，充分性成立；由得：，，即，，即，必要性成立；“”是“”的充分必要條件.故選：C.10．（2024·北京房山·一模）中國(guó)古代數(shù)學(xué)著作《算法統(tǒng)宗》中有這樣一個(gè)問(wèn)題：“三百七十八里關(guān)，初步健步不為難，次日腳痛減一半，六朝才得到其關(guān)，要見(jiàn)次日行里數(shù)，請(qǐng)公仔細(xì)算相還”其大意為：“有一個(gè)人走378里路，第一天健步行走，從第二天起因腳痛每天走的路程為前一天的一半，走了6天后到達(dá)目的地．”則該人第三天走的路程為（

）A．12里 B．24里 C．48里 D．96里【答案】C〖祥解〗由題意可得，此人天中每天走的路程是公比為的等比數(shù)列，再根據(jù)等比數(shù)列的前項(xiàng)和公式及通項(xiàng)公式求解即可.【詳析】由題意可得，此人天中每天走的路程是公比為的等比數(shù)列，設(shè)這個(gè)數(shù)列為，前項(xiàng)和為，則，解得，所以，即該人第三天走的路程為48里.故選：C.11．（2024·北京海淀·一模）已知為等差數(shù)列，為其前n項(xiàng)和.若，公差，則m的值為（

）A．4 B．5 C．6 D．7【答案】B〖祥解〗利用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式求出和的關(guān)系，代入計(jì)算可得m的值.【詳析】由已知，得，又，又，所以，解得或（舍去）故選：B.12．（2024·北京海淀·一模）某生物興趣小組在顯微鏡下拍攝到一種黏菌的繁殖軌跡，如圖1.通過(guò)觀察發(fā)現(xiàn)，該黏菌繁殖符合如下規(guī)律：①黏菌沿直線繁殖一段距離后，就會(huì)以該直線為對(duì)稱(chēng)軸分叉（分叉的角度約為），再沿直線繁殖，…；②每次分叉后沿直線繁殖的距離約為前一段沿直線繁殖的距離的一半.于是，該組同學(xué)將整個(gè)繁殖過(guò)程抽象為如圖2所示的一個(gè)數(shù)學(xué)模型：黏菌從圓形培養(yǎng)皿的中心O開(kāi)始，沿直線繁殖到，然后分叉向與方向繼續(xù)繁殖，其中，且與關(guān)于所在直線對(duì)稱(chēng)，….若，為保證黏菌在繁殖過(guò)程中不會(huì)碰到培養(yǎng)皿壁，則培養(yǎng)皿的半徑r（，單位：）至少為（

）

A．6 B．7 C．8 D．9【答案】C〖祥解〗根據(jù)黏菌的繁殖規(guī)律可得每次繁殖在方向上前進(jìn)的距離，結(jié)合無(wú)窮等比遞縮數(shù)列的和的計(jì)算公式，即可判斷答案.【詳析】由題意可知，，只要計(jì)算出黏菌沿直線一直繁殖下去，在方向上的距離的范圍，即可確定培養(yǎng)皿的半徑的范圍，依題意可知黏菌的繁殖規(guī)律，由此可得每次繁殖在方向上前進(jìn)的距離依次為：，則，黏菌無(wú)限繁殖下去，每次繁殖在方向上前進(jìn)的距離和即為兩個(gè)無(wú)窮等比遞縮數(shù)列的和，即，綜合可得培養(yǎng)皿的半徑r（，單位：）至少為8cm，故選：C【『點(diǎn)石成金』】關(guān)鍵點(diǎn)『點(diǎn)石成金』：本題考查了數(shù)列的應(yīng)用問(wèn)題，背景比較新穎，解答的關(guān)鍵是理解題意，能明確黏菌的繁殖規(guī)律，從而求出每次繁殖在方向上前進(jìn)的距離的和，結(jié)合等比數(shù)列求和即可.13．（2024·北京朝陽(yáng)·一模）已知等比數(shù)列的前項(xiàng)和為，且，，則（

）A．9 B．16 C．21 D．25【答案】C〖祥解〗根據(jù)等比數(shù)列的性質(zhì)求，即可求解.【詳析】由等比數(shù)列的性質(zhì)可知，，即，得，.故選：C14．（17-18高二·海南省直轄縣級(jí)單位·課后作業(yè)）設(shè)等比數(shù)列的公比，前項(xiàng)和為，則.【答案】〖祥解〗利用等比數(shù)列的求和公式以及通項(xiàng)公式可求得的值.【詳析】由等比數(shù)列求和公式以及通項(xiàng)公式可得.故答案為：.15．（2024·北京順義·三模）命題：若是等比數(shù)列，則前n項(xiàng)和不存在最大值和最小值.寫(xiě)出一組說(shuō)明此命題為假命題的首項(xiàng)和公比【答案】1（答案不唯一）2（答案不唯一）〖祥解〗由原命題為假命題可得其否定為真命題，即存在最大值或最小值，由此確定首項(xiàng)和公比.【詳析】因?yàn)槊}“若是等比數(shù)列，則前n項(xiàng)和不存在最大值和最小值”為假命題，所以可得“若是等比數(shù)列，則前n項(xiàng)和存在最大值或最小值”，因?yàn)橹恍璐_定滿足條件的一組取值，故不妨先考慮，條件下是否存在，若，則，當(dāng)時(shí)，則隨的增大而增大，此時(shí)有最小值，滿足條件，當(dāng)時(shí)，則隨的增大而減小，此時(shí)有最大值，滿足條件，若，則，當(dāng)時(shí)，若，則隨的增大而增大，此時(shí)有最小值，滿足條件，當(dāng)時(shí)，若，則隨的增大而減小，此時(shí)有最大值，滿足條件，故可取，，故答案為：1，2（答案不唯一）16．（2024·北京通州·三模）若數(shù)列、均為嚴(yán)格增數(shù)列，且對(duì)任意正整數(shù)n，都存在正整數(shù)m，使得，則稱(chēng)數(shù)列為數(shù)列的“M數(shù)列”．已知數(shù)列的前n項(xiàng)和為，則下列結(jié)論中正確的是．①存在等差數(shù)列，使得是的“M數(shù)列”②存在等比數(shù)列，使得是的“M數(shù)列”③存在等差數(shù)列，使得是的“M數(shù)列”④存在等比數(shù)列，使得是的“M數(shù)列”【答案】①②④〖祥解〗對(duì)于①取分析判斷，對(duì)于②④取分析判斷，對(duì)于③，根據(jù)題意結(jié)合等差數(shù)列的性質(zhì)分析判斷.【詳析】對(duì)于①：例如，則為等差數(shù)列，可得，則，所以，，故、均為嚴(yán)格增數(shù)列，取，則，即恒成立，所以是的“數(shù)列”，故①正確；對(duì)于②，例如，則為等比數(shù)列，可得，則，所以，，故、均為嚴(yán)格增數(shù)列，取，則，即恒成立，所以是的“數(shù)列”，故②正確；對(duì)于③，假設(shè)存在等差數(shù)列，使得是的“數(shù)列”，設(shè)等差數(shù)列的公差為，因?yàn)闉閲?yán)格增數(shù)列，則，又因?yàn)闉閲?yán)格增數(shù)列，所以，即當(dāng)時(shí)，恒成立，取，滿足，可知必存在，使得成立，又因?yàn)闉閲?yán)格增數(shù)列，所以對(duì)任意正整數(shù)，則有，即，對(duì)任意正整數(shù)，則有，即，故當(dāng)時(shí)，不存在正整數(shù)，使得，故③不成立；對(duì)于④，例如，則為等比數(shù)列，且、均為嚴(yán)格增數(shù)列，可得，所以，，故、均為嚴(yán)格增數(shù)列，取，則，即恒成立，所以是的“數(shù)列”，故④正確.故答案為：①②④.17．（2024·北京通州·二模）已知數(shù)列為等比數(shù)列，，，則；數(shù)列的前4項(xiàng)和為．【答案】8148〖祥解〗求出數(shù)列的公比，進(jìn)而求出通項(xiàng)即可求得；再利用分組求和法計(jì)算得解.【詳析】等比數(shù)列中，由，得數(shù)列的公比，通項(xiàng)，所以；數(shù)列的前4項(xiàng)和為.故答案為：81；4818．（22-23高三下·北京海淀·開(kāi)學(xué)考試）若無(wú)窮數(shù)列的各項(xiàng)均為整數(shù)．且對(duì)于，，都存在，使得，則稱(chēng)數(shù)列滿足性質(zhì)P．(1)判斷下列數(shù)列是否滿足性質(zhì)P，并說(shuō)明理由．①，，2，3，…；②，，2，3，…．(2)若數(shù)列滿足性質(zhì)P，且，求證：集合為無(wú)限集；(3)若周期數(shù)列滿足性質(zhì)P，求數(shù)列的通項(xiàng)公式．【答案】(1)數(shù)列不滿足性質(zhì)P；數(shù)列滿足性質(zhì)P，理由見(jiàn)解析(2)證明見(jiàn)解析(3)或．〖祥解〗（1）根據(jù)題意分析判斷；（2）根據(jù)題意先證為數(shù)列中的項(xiàng)，再利用反證法證明集合為無(wú)限集；（3）先根據(jù)題意證明，再分為常數(shù)列和非常數(shù)列兩種情況，分析判斷.【詳析】（1）對(duì)①，取，對(duì)，則，可得，顯然不存在，使得，所以數(shù)列不滿足性質(zhì)P；對(duì)②，對(duì)于，則，，故，因?yàn)?，則，且，所以存在，，使得，故數(shù)列滿足性質(zhì)P；（2）若數(shù)列滿足性質(zhì)，且，則有：取，均存在，使得，取，均存在，使得，取，均存在，使得，故數(shù)列中存在，使得，即，反證：假設(shè)為有限集，其元素由小到大依次為，取，均存在，使得，取，均存在，使得，取，均存在，使得，即這與假設(shè)相矛盾，故集合為無(wú)限集.（3）設(shè)周期數(shù)列的周期為，則對(duì)，均有，設(shè)周期數(shù)列的最大項(xiàng)為，最小項(xiàng)為，即對(duì)，均有，若數(shù)列滿足性質(zhì)：反證：假設(shè)時(shí)，取，則，使得，則，即，這對(duì)，均有矛盾，假設(shè)不成立；則對(duì)，均有；反證：假設(shè)時(shí)，取，則，使得，這與對(duì)，均有矛盾，假設(shè)不成立，即對(duì)，均有；綜上所述：對(duì)，均有，反證：假設(shè)1為數(shù)列中的項(xiàng)，由（2）可得：為數(shù)列中的項(xiàng)，∵，即為數(shù)列中的項(xiàng)，這與對(duì)，均有相矛盾，即對(duì)，均有，同理可證：，∵，則，當(dāng)時(shí)，即數(shù)列為常數(shù)列時(shí)，設(shè)，故對(duì)，都存在，使得，解得或，即或符合題意；當(dāng)時(shí)，即數(shù)列至少有兩個(gè)不同項(xiàng)，則有：①當(dāng)為數(shù)列中的項(xiàng)，則，即為數(shù)列中的項(xiàng)，但，不成立；②當(dāng)為數(shù)列中的項(xiàng)，則，即為數(shù)列中的項(xiàng)，但，不成立；③當(dāng)為數(shù)列中的項(xiàng)，則，即為數(shù)列中的項(xiàng)，但，不成立；綜上所述：或.【『點(diǎn)石成金』】關(guān)鍵點(diǎn)『點(diǎn)石成金』：（1）對(duì)于證明中出現(xiàn)直接證明不方便時(shí)，我們可以利用反證法證明；（2）對(duì)于周期數(shù)列滿足性質(zhì)，證明思路：先逐步縮小精確的取值可能，再檢驗(yàn)判斷.19．（2024·北京通州·三模）約數(shù)，又稱(chēng)因數(shù)．它的定義如下：若整數(shù)a除以整數(shù)m（）除得的商正好是整數(shù)而沒(méi)有余數(shù)，我們就稱(chēng)a為m的倍數(shù)，稱(chēng)m為a的約數(shù)．設(shè)正整數(shù)a有k個(gè)正約數(shù)，即為，，?，，（）．(1)當(dāng)時(shí)，是否存在，，…，構(gòu)成等比數(shù)列，若存在請(qǐng)寫(xiě)出一個(gè)滿足條件的正整數(shù)a的值，若不存在請(qǐng)說(shuō)明理由；(2)當(dāng)時(shí)，若，，?構(gòu)成等比數(shù)列，求正整數(shù)a．(3)當(dāng)時(shí)，若，，…，是a的所有正約數(shù)的一個(gè)排列，那么，，，?，是否是另一個(gè)正整數(shù)的所有正約數(shù)的一個(gè)排列？并證明你的結(jié)論．【答案】(1)存在，比如1，2，4，8，16為16的所有約數(shù)(2)(3)答案見(jiàn)解析〖祥解〗（1）根據(jù)題意可知16的所有正因數(shù)符合題意；（2）由題意可得，，，，根據(jù)等比數(shù)列的定義可得，分析得，則，，…為，，?，，即可求得結(jié)果；（3）假設(shè)，，，?，是另一個(gè)正整數(shù)b的所有正約數(shù)的一個(gè)排列，設(shè)，，可推出b是奇數(shù)，，進(jìn)而可推出b為偶數(shù)，從而可知假設(shè)錯(cuò)誤.【詳析】（1）存在，比如1，2，4，8，16為16的所有約數(shù)．（2）由題意得，，，，，依題意可知，化簡(jiǎn)可得因此可知是完全平方數(shù)，由于是整數(shù)a的最小非1因子，所以所以，，…為，，?，因此（3）假設(shè)，，，?，是另一個(gè)正整數(shù)b的所有正約數(shù)的一個(gè)排列．，，易知（），而，故又知，所以b是奇數(shù)．所以為奇數(shù)，又，故是偶數(shù)其中A中最大的兩個(gè)元素為a，，顯然B中每個(gè)元素都不超過(guò)，特別地，設(shè)，，其中（因?yàn)閍有k（）個(gè)正約數(shù)，）于是B中存在兩個(gè)元素，，它們都大于，進(jìn)而都大于且都是b的約數(shù)．這表明b可以被2整除，與b為奇數(shù)矛盾．因此假設(shè)不成立．【『點(diǎn)石成金』】關(guān)鍵點(diǎn)『點(diǎn)石成金』：此題考查等比數(shù)列，考查約數(shù)的概念，第（2）解題的關(guān)鍵是在得到可得是完全平方數(shù)，進(jìn)而得，考查推理能力和計(jì)算能力，屬于難題.20．（2024·北京海淀·二模）設(shè)正整數(shù)，，，這里.若，且，則稱(chēng)具有性質(zhì).(1)當(dāng)時(shí)，若具有性質(zhì)，且，，，令，寫(xiě)出的所有可能值；(2)若具有性質(zhì)：①求證：；②求的值.【答案】(1)27或32(2)①證明見(jiàn)解析②〖祥解〗（1）對(duì)題目中所給的，我們先通過(guò)分析集合中的元素，證明，，以及，然后通過(guò)分類(lèi)討論的方法得到小問(wèn)1的結(jié)果；（2）直接使用（1）中的這些結(jié)論解決小問(wèn)2即可.【詳析】（1）對(duì)集合，記其元素個(gè)數(shù)為.先證明2個(gè)引理.引理1：若具有性質(zhì)，則.引理1的證明：假設(shè)結(jié)論不成立.不妨設(shè)，則正整數(shù)，但，故一定屬于某個(gè)，不妨設(shè)為.則由知存在正整數(shù)，使得.這意味著對(duì)正整數(shù)，有，，但，矛盾.所以假設(shè)不成立，從而一定有，從而引理1獲證.引理2：若具有性質(zhì)，則，且.證明：取集合.注意到關(guān)于正整數(shù)的不等式等價(jià)于，而由引理1有，即.結(jié)合是正整數(shù)，知對(duì)于正整數(shù)，當(dāng)且僅當(dāng)，這意味著數(shù)列恰有項(xiàng)落入集合，即.而兩兩之間沒(méi)有公共元素，且并集為全體正整數(shù)，故中的元素屬于且僅屬于某一個(gè)，故.所以，從而，這就證明了引理2的第一個(gè)結(jié)論；再考慮集合中全體元素的和.一方面，直接由知中全體元素的和為，即.另一方面，的全部個(gè)元素可以排成一個(gè)首項(xiàng)為，公差為的等差數(shù)列.所以的所有元素之和為.最后，再將這個(gè)集合的全部元素之和相加，得到中全體元素的和為.這就得到，所以有.即，從而，這就證明了引理2的第二個(gè)結(jié)論.綜上，引理2獲證.回到原題.將從小到大排列為，則，由引理2的第一個(gè)結(jié)論，有.若，則，所以每個(gè)不等號(hào)都取等，從而，故；情況1：若，則，矛盾；情況2：若，則，所以，得.此時(shí)如果，則，矛盾；如果，則，從而，故；如果，由于，設(shè)，，則，.故對(duì)于正整數(shù)對(duì)，有，從而，這與矛盾.綜上，的取值只可能是或.當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，.所以的所有可能取值是和.（2）①由引理1的結(jié)論，即知；②由引理2的第二個(gè)結(jié)論，即知.【『點(diǎn)石成金』】關(guān)鍵點(diǎn)『點(diǎn)石成金』：本題的關(guān)鍵點(diǎn)在于，我們通過(guò)兩個(gè)方面計(jì)算了一個(gè)集合的各個(gè)元素之和，從而得到了一個(gè)等式，這種方法俗稱(chēng)“算二次”法或富比尼定理.21．（2024·北京通州·二模）從數(shù)列中選取第項(xiàng)，第項(xiàng)，，第項(xiàng)（），若數(shù)列，，，是遞增數(shù)列或遞減數(shù)列（規(guī)定時(shí)，該數(shù)列既是遞增數(shù)列，也是遞減數(shù)列），稱(chēng)，，，為數(shù)列的長(zhǎng)度為m的單調(diào)子列.已知有窮數(shù)列A：，，，（），任意兩項(xiàng)均不相同，現(xiàn)以A的每一項(xiàng)為首項(xiàng)選取長(zhǎng)度最大的遞增的單調(diào)子列，設(shè)其共有項(xiàng)，則，，，構(gòu)成一個(gè)新數(shù)列B.(1)當(dāng)數(shù)列A分別為以下數(shù)列時(shí)，直接寫(xiě)出相應(yīng)的數(shù)列B；（?。?，3，5，7；（ⅱ）4，1，2，6，3.(2)若數(shù)列A為等差數(shù)列，求證：數(shù)列B為等差數(shù)列；(3)若數(shù)列A共有（）項(xiàng)，求證：A必存在一個(gè)長(zhǎng)度為的單調(diào)子列.【答案】(1)（?。?，3，2，1；（ⅱ）2，3，2，1，1.(2)證明見(jiàn)解析(3)證明見(jiàn)解析〖祥解〗（1）理解數(shù)列新定義，從而得解；（2）對(duì)等差數(shù)列進(jìn)行分類(lèi)：即遞減等差數(shù)列和遞增等差數(shù)列，然后根據(jù)新定義推導(dǎo)新數(shù)列的元素及通項(xiàng)，就可得以證明；（3）利用反證法，結(jié)合數(shù)列的新定義即可得解.【詳析】（1）（?。└鶕?jù)題意：選，則有1，3，5，7，共有項(xiàng)；選，則有3，5，7，共有項(xiàng)；選，則有5，7，共有項(xiàng)；選，則有7，共有項(xiàng)；所以數(shù)列B為：4，3，2，1；（ⅱ）同理數(shù)列B為：2，3，2，1，1.（2）設(shè)數(shù)列A的公差為d，因?yàn)?，?dāng)時(shí)，數(shù)列A為單調(diào)遞減數(shù)列，所以，所以B為等差數(shù)列.當(dāng)時(shí)，數(shù)列A為單調(diào)遞增數(shù)列，以數(shù)列A的任意項(xiàng)為首項(xiàng)選取長(zhǎng)度最大的遞增的單調(diào)子列為，，，，.所以（，2，3，，n）.所以B為等差數(shù)列，綜上，當(dāng)數(shù)列A為等差數(shù)列時(shí)，數(shù)列B也為等差數(shù)列.（3）若，，，中有一個(gè)，那么數(shù)列A存在一個(gè)長(zhǎng)為的遞增子列.所以A存在一個(gè)長(zhǎng)度為的單調(diào)子列.若數(shù)列A不存在長(zhǎng)度超過(guò)t的遞增子列，即，，2，3，，.所以在，，，中，至少有個(gè)數(shù)是相等的.取其中項(xiàng)，不妨設(shè)為，其中.下面證明當(dāng)，且時(shí)，，假設(shè)，將加到以為首項(xiàng)長(zhǎng)度為b的遞增子列前面，構(gòu)成了以為首項(xiàng)長(zhǎng)度為的遞增子列，與為首項(xiàng)的最長(zhǎng)遞增子列的項(xiàng)數(shù)為b矛盾，假設(shè)不成立.所以，由此可知，.所以，，，，構(gòu)成了一個(gè)長(zhǎng)為的遞減子列.綜上，A必存在一個(gè)長(zhǎng)度為的單調(diào)子列.【『點(diǎn)石成金』】思路『點(diǎn)石成金』：本題主要考查“新定義”數(shù)列，主要是指即時(shí)定義新概念、新公式、新定理、新法則、新運(yùn)算五種，然后根據(jù)此新定義去解決問(wèn)題，有時(shí)還需要用類(lèi)比的方法去理解新的定義，用反證法來(lái)請(qǐng)明新結(jié)論，這樣有助于對(duì)新定義的透徹理解.22．（2024·北京房山·一模）已知無(wú)窮數(shù)列是首項(xiàng)為1，各項(xiàng)均為正整數(shù)的遞增數(shù)列，集合．若對(duì)于集合A中的元素k，數(shù)列中存在不相同的項(xiàng)，使得，則稱(chēng)數(shù)列具有性質(zhì)，記集合數(shù)列具有性質(zhì)．(1)若數(shù)列的通項(xiàng)公式為寫(xiě)出集合A與集合B；(2)若集合A與集合B都是非空集合，且集合A中的最小元素為t，集合B中的最小元素為s，當(dāng)時(shí)，證明：；(3)若滿足，證明：．【答案】(1)，(2)證明見(jiàn)解析(3)證明見(jiàn)解析〖祥解〗（1）定義，可知，結(jié)合題中通項(xiàng)公式分析求解；（2）根據(jù)題意可知，可得，即可分析證明；（3）由題意可知