專題07 數(shù)列-5年（2020-2024）高考1年模擬數(shù)學真題分類匯編（北京專用）（解析版）

2020-2024年五年高考真題分類匯編PAGEPAGE1專題07數(shù)列考點五年考情（2020-2024）命題趨勢考點數(shù)列（5年幾考）2020-2024：5年十三考：求數(shù)列通項；由遞推公式總結(jié)數(shù)列性質(zhì)；等差、等比數(shù)列的前n項和；數(shù)列中最大（小）項；數(shù)列的單調(diào)性；基本量的計算；等差、等比中項；數(shù)列新定義；數(shù)列中的歸納問題數(shù)列問題特別突出對學生的數(shù)學思維能力的考查,所以問題的設計要始終貫穿觀察、分析、歸納、類比、遞推、運算、概括、猜想、證明、應用等能力的培養(yǎng).既通過歸納、類比、遞推等方法的應用突出數(shù)學探究、理性思維的培養(yǎng),又通過通項公式、遞推公式、前n項和公式等內(nèi)容進行大量技能訓練,培養(yǎng)邏輯思維、運算求解能力。從近幾年的高考題可以看出、數(shù)列部分主要以考查基礎知識為主，同時鍛煉學生的運算求解能力、邏輯思維能力等.重點考查學生對數(shù)列基礎知識的掌握程度及靈活應用,同時也要重視對通性通法的培養(yǎng)?？键c數(shù)列1．（2023·北京·高考真題）已知數(shù)列滿足，則（

）A．當時，為遞減數(shù)列，且存在常數(shù)，使得恒成立B．當時，為遞增數(shù)列，且存在常數(shù)，使得恒成立C．當時，為遞減數(shù)列，且存在常數(shù)，使得恒成立D．當時，為遞增數(shù)列，且存在常數(shù)，使得恒成立【答案】B〖祥解〗法1：利用數(shù)列歸納法可判斷ACD正誤，利用遞推可判斷數(shù)列的性質(zhì)，故可判斷B的正誤.法2：構(gòu)造，利用導數(shù)求得的正負情況，再利用數(shù)學歸納法判斷得各選項所在區(qū)間，從而判斷的單調(diào)性；對于A，構(gòu)造，判斷得，進而取推得不恒成立；對于B，證明所在區(qū)間同時證得后續(xù)結(jié)論；對于C，記，取推得不恒成立；對于D，構(gòu)造，判斷得，進而取推得不恒成立.【詳析】法1：因為，故，對于A，若，可用數(shù)學歸納法證明：即，證明：當時，，此時不等關(guān)系成立；設當時，成立，則，故成立，由數(shù)學歸納法可得成立.而，，，故，故，故為減數(shù)列，注意故，結(jié)合，所以，故，故，若存在常數(shù)，使得恒成立，則，故，故，故恒成立僅對部分成立，故A不成立.對于B，若可用數(shù)學歸納法證明：即，證明：當時，，此時不等關(guān)系成立；設當時，成立，則，故成立即由數(shù)學歸納法可得成立.而，，，故，故，故為增數(shù)列，若，則恒成立，故B正確.對于C，當時，可用數(shù)學歸納法證明：即，證明：當時，，此時不等關(guān)系成立；設當時，成立，則，故成立即由數(shù)學歸納法可得成立.而，故，故為減數(shù)列，又，結(jié)合可得：，所以，若，若存在常數(shù)，使得恒成立，則恒成立，故，的個數(shù)有限，矛盾，故C錯誤.對于D，當時，可用數(shù)學歸納法證明：即，證明：當時，，此時不等關(guān)系成立；設當時，成立，則，故成立由數(shù)學歸納法可得成立.而，故，故為增數(shù)列，又，結(jié)合可得：，所以，若存在常數(shù)，使得恒成立，則，故，故，這與n的個數(shù)有限矛盾，故D錯誤.故選：B.法2：因為，令，則，令，得或；令，得；所以在和上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，令，則，即，解得或或，注意到，，所以結(jié)合的單調(diào)性可知在和上，在和上，對于A，因為，則，當時，，，則，假設當時，，當時，，則，綜上：，即，因為在上，所以，則為遞減數(shù)列，因為，令，則，因為開口向上，對稱軸為，所以在上單調(diào)遞減，故，所以在上單調(diào)遞增，故，故，即，假設存在常數(shù)，使得恒成立，取，其中，且，因為，所以，上式相加得，，則，與恒成立矛盾，故A錯誤；對于B，因為，當時，，，假設當時，，當時，因為，所以，則，所以，又當時，，即，假設當時，，當時，因為，所以，則，所以，綜上：，因為在上，所以，所以為遞增數(shù)列，此時，取，滿足題意，故B正確；對于C，因為，則，注意到當時，，，猜想當時，，當與時，與滿足，假設當時，，當時，所以，綜上：，易知，則，故，所以，因為在上，所以，則為遞減數(shù)列，假設存在常數(shù)，使得恒成立，記，取，其中，則，故，所以，即，所以，故不恒成立，故C錯誤；對于D，因為，當時，，則，假設當時，，當時，，則，綜上：，因為在上，所以，所以為遞增數(shù)列，因為，令，則，因為開口向上，對稱軸為，所以在上單調(diào)遞增，故，所以，故，即，假設存在常數(shù)，使得恒成立，取，其中，且，因為，所以，上式相加得，，則，與恒成立矛盾，故D錯誤.故選：B.【『點石成金』】關(guān)鍵『點石成金』：本題解決的關(guān)鍵是根據(jù)首項給出與通項性質(zhì)相關(guān)的相應的命題，再根據(jù)所得命題結(jié)合放縮法得到通項所滿足的不等式關(guān)系，從而可判斷數(shù)列的上界或下界是否成立.2．（2022·北京·高考真題）設是公差不為0的無窮等差數(shù)列，則“為遞增數(shù)列”是“存在正整數(shù)，當時，”的（

）A．充分而不必要條件 B．必要而不充分條件C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】C〖祥解〗設等差數(shù)列的公差為，則，利用等差數(shù)列的通項公式結(jié)合充分條件、必要條件的定義判斷可得出結(jié)論.【詳析】設等差數(shù)列的公差為，則，記為不超過的最大整數(shù).若為單調(diào)遞增數(shù)列，則，若，則當時，；若，則，由可得，取，則當時，，所以，“是遞增數(shù)列”“存在正整數(shù)，當時，”；若存在正整數(shù)，當時，，取且，，假設，令可得，且，當時，，與題設矛盾，假設不成立，則，即數(shù)列是遞增數(shù)列.所以，“是遞增數(shù)列”“存在正整數(shù)，當時，”.所以，“是遞增數(shù)列”是“存在正整數(shù)，當時，”的充分必要條件.故選：C.3．（2021·北京·高考真題）已知是各項均為整數(shù)的遞增數(shù)列，且，若，則的最大值為（

）A．9 B．10 C．11 D．12【答案】C〖祥解〗使數(shù)列首項、遞增幅度均最小，結(jié)合等差數(shù)列的通項及求和公式求得可能的最大值，然后構(gòu)造數(shù)列滿足條件，即得到的最大值．【詳析】若要使n盡可能的大，則，遞增幅度要盡可能小，不妨設數(shù)列是首項為3，公差為1的等差數(shù)列，其前n項和為，則，，所以.對于，，取數(shù)列各項為(，,則，所以n的最大值為11．故選：C．4．（2020·北京·高考真題）在等差數(shù)列中，，．記，則數(shù)列（

）．A．有最大項，有最小項 B．有最大項，無最小項C．無最大項，有最小項 D．無最大項，無最小項【答案】B〖祥解〗首先求得數(shù)列的通項公式，然后結(jié)合數(shù)列中各個項數(shù)的符號和大小即可確定數(shù)列中是否存在最大項和最小項.【詳析】由題意可知，等差數(shù)列的公差，則其通項公式為：，注意到，且由可知，由可知數(shù)列不存在最小項，由于，故數(shù)列中的正項只有有限項：，.故數(shù)列中存在最大項，且最大項為.故選：B.【『點石成金』】本題主要考查等差數(shù)列的通項公式，等差數(shù)列中項的符號問題，分類討論的數(shù)學思想等知識，屬于中等題.5．（2024·北京·高考真題）漢代劉歆設計的“銅嘉量”是龠、合、升、斗、斛五量合一的標準量器，其中升量器、斗量器、斛量器的形狀均可視為圓柱.若升、斗、斛量器的容積成公比為10的等比數(shù)列，底面直徑依次為，且斛量器的高為，則斗量器的高為，升量器的高為．【答案】2357.5/〖祥解〗根據(jù)體積為公比為10的等比數(shù)列可得關(guān)于高度的方程組，求出其解后可得前兩個圓柱的高度.【詳析】設升量器的高為，斗量器的高為（單位都是），則，故，.故答案為：.6．（2024·北京·高考真題）設與是兩個不同的無窮數(shù)列，且都不是常數(shù)列.記集合，給出下列4個結(jié)論：①若與均為等差數(shù)列，則M中最多有1個元素；②若與均為等比數(shù)列，則M中最多有2個元素；③若為等差數(shù)列，為等比數(shù)列，則M中最多有3個元素；④若為遞增數(shù)列，為遞減數(shù)列，則M中最多有1個元素.其中正確結(jié)論的序號是.【答案】①③④〖祥解〗利用兩類數(shù)列的散點圖的特征可判斷①④的正誤，利用反例可判斷②的正誤，結(jié)合通項公式的特征及反證法可判斷③的正誤.【詳析】對于①，因為均為等差數(shù)列，故它們的散點圖分布在直線上，而兩條直線至多有一個公共點，故中至多一個元素，故①正確.對于②，取則均為等比數(shù)列，但當為偶數(shù)時，有，此時中有無窮多個元素，故②錯誤.對于③，設，，若中至少四個元素，則關(guān)于的方程至少有4個不同的正數(shù)解，若，則由和的散點圖可得關(guān)于的方程至多有兩個不同的解，矛盾；若，考慮關(guān)于的方程奇數(shù)解的個數(shù)和偶數(shù)解的個數(shù)，當有偶數(shù)解，此方程即為，方程至多有兩個偶數(shù)解，且有兩個偶數(shù)解時，否則，因單調(diào)性相反，方程至多一個偶數(shù)解，當有奇數(shù)解，此方程即為，方程至多有兩個奇數(shù)解，且有兩個奇數(shù)解時即否則，因單調(diào)性相反，方程至多一個奇數(shù)解，因為，不可能同時成立，故不可能有4個不同的整數(shù)解，即M中最多有3個元素，故③正確.對于④，因為為遞增數(shù)列，為遞減數(shù)列，前者散點圖呈上升趨勢，后者的散點圖呈下降趨勢，兩者至多一個交點，故④正確.故答案為：①③④.【『點石成金』】思路『點石成金』：對于等差數(shù)列和等比數(shù)列的性質(zhì)的討論，可以利用兩者散點圖的特征來分析，注意討論兩者性質(zhì)關(guān)系時，等比數(shù)列的公比可能為負，此時要注意合理轉(zhuǎn)化.7．（2023·北京·高考真題）我國度量衡的發(fā)展有著悠久的歷史，戰(zhàn)國時期就已經(jīng)出現(xiàn)了類似于砝碼的、用來測量物體質(zhì)量的“環(huán)權(quán)”．已知9枚環(huán)權(quán)的質(zhì)量（單位：銖）從小到大構(gòu)成項數(shù)為9的數(shù)列，該數(shù)列的前3項成等差數(shù)列，后7項成等比數(shù)列，且，則；數(shù)列所有項的和為．【答案】48384〖祥解〗方法一：根據(jù)題意結(jié)合等差、等比數(shù)列的通項公式列式求解，進而可求得結(jié)果；方法二：根據(jù)等比中項求，在結(jié)合等差、等比數(shù)列的求和公式運算求解.【詳析】方法一：設前3項的公差為，后7項公比為，則，且，可得，則，即，可得，空1：可得，空2：方法二：空1：因為為等比數(shù)列，則，且，所以；又因為，則；空2：設后7項公比為，則，解得，可得，所以.故答案為：48；384.8．（2022·北京·高考真題）已知數(shù)列各項均為正數(shù)，其前n項和滿足．給出下列四個結(jié)論：①的第2項小于3；

②為等比數(shù)列；③為遞減數(shù)列；

④中存在小于的項．其中所有正確結(jié)論的序號是．【答案】①③④〖祥解〗推導出，求出、的值，可判斷①；利用反證法可判斷②④；利用數(shù)列單調(diào)性的定義可判斷③.【詳析】由題意可知，，，當時，，可得；當時，由可得，兩式作差可得，所以，，則，整理可得，因為，解得，①對；假設數(shù)列為等比數(shù)列，設其公比為，則，即，所以，，可得，解得，不合乎題意，故數(shù)列不是等比數(shù)列，②錯；當時，，可得，所以，數(shù)列為遞減數(shù)列，③對；假設對任意的，，則，所以，，與假設矛盾，假設不成立，④對.故答案為：①③④.【『點石成金』】關(guān)鍵點『點石成金』：本題在推斷②④的正誤時，利用正面推理較為復雜時，可采用反證法來進行推導.9．（2024·北京·高考真題）已知集合．給定數(shù)列，和序列，其中，對數(shù)列進行如下變換：將的第項均加1，其余項不變，得到的數(shù)列記作；將的第項均加1，其余項不變，得到數(shù)列記作；……；以此類推，得到，簡記為．(1)給定數(shù)列和序列，寫出；(2)是否存在序列，使得為，若存在，寫出一個符合條件的；若不存在，請說明理由；(3)若數(shù)列的各項均為正整數(shù)，且為偶數(shù)，求證：“存在序列，使得的各項都相等”的充要條件為“”．【答案】(1)(2)不存在符合條件的，理由見解析(3)證明見解析〖祥解〗（1）直接按照的定義寫出即可；（2）解法一：利用反證法，假設存在符合條件的，由此列出方程組，進一步說明方程組無解即可；解法二：對于任意序列，所得數(shù)列之和比原數(shù)列之和多4，可知序列共有8項，可知：，檢驗即可；（3）解法一：分充分性和必要性兩方面論證；解法二：若，分類討論相等得個數(shù)，結(jié)合題意證明即可；若存在序列，使得為常數(shù)列，結(jié)合定義分析證明即可.【詳析】（1）因為數(shù)列，由序列可得；由序列可得；由序列可得；所以.（2）解法一：假設存在符合條件的，可知的第項之和為，第項之和為，則，而該方程組無解，故假設不成立，故不存在符合條件的；解法二：由題意可知：對于任意序列，所得數(shù)列之和比原數(shù)列之和多4，假設存在符合條件的，且，因為，即序列共有8項，由題意可知：，檢驗可知：當時，上式不成立，即假設不成立，所以不存在符合條件的.（3）解法一：我們設序列為，特別規(guī)定.必要性：若存在序列，使得的各項都相等.則，所以.根據(jù)的定義，顯然有，這里，.所以不斷使用該式就得到，必要性得證.充分性：若.由已知，為偶數(shù)，而，所以也是偶數(shù).我們設是通過合法的序列的變換能得到的所有可能的數(shù)列中，使得最小的一個.上面已經(jīng)說明，這里，.從而由可得.同時，由于總是偶數(shù)，所以和的奇偶性保持不變，從而和都是偶數(shù).下面證明不存在使得.假設存在，根據(jù)對稱性，不妨設，，即.情況1：若，則由和都是偶數(shù)，知.對該數(shù)列連續(xù)作四次變換后，新的相比原來的減少，這與的最小性矛盾；情況2：若，不妨設.情況2-1：如果，則對該數(shù)列連續(xù)作兩次變換后，新的相比原來的至少減少，這與的最小性矛盾；情況2-2：如果，則對該數(shù)列連續(xù)作兩次變換后，新的相比原來的至少減少，這與的最小性矛盾.這就說明無論如何都會導致矛盾，所以對任意的都有.假設存在使得，則是奇數(shù)，所以都是奇數(shù)，設為.則此時對任意，由可知必有.而和都是偶數(shù)，故集合中的四個元素之和為偶數(shù)，對該數(shù)列進行一次變換，則該數(shù)列成為常數(shù)列，新的等于零，比原來的更小，這與的最小性矛盾.綜上，只可能，而，故是常數(shù)列，充分性得證.解法二：由題意可知：中序列的順序不影響的結(jié)果，且相對于序列也是無序的，（?。┤?，不妨設，則，①當，則，分別執(zhí)行個序列、個序列，可得，為常數(shù)列，符合題意；②當中有且僅有三個數(shù)相等，不妨設，則，即，分別執(zhí)行個序列、個序列可得，即，因為為偶數(shù)，即為偶數(shù)，可知的奇偶性相同，則，分別執(zhí)行個序列，，，，可得，為常數(shù)列，符合題意；③若，則，即，分別執(zhí)行個、個，可得，因為，可得，即轉(zhuǎn)為①，可知符合題意；④當中有且僅有兩個數(shù)相等，不妨設，則，即，分別執(zhí)行個、個，可得，且，可得，因為為偶數(shù)，可知的奇偶性相同，則為偶數(shù)，即轉(zhuǎn)為②，可知符合題意；⑤若，則，即，分別執(zhí)行個、個，可得，且，可得，因為為偶數(shù)，則為偶數(shù)，即轉(zhuǎn)為③或④，可知符合題意；綜上所述：若，則存在序列，使得為常數(shù)列；（ⅱ）若存在序列，使得為常數(shù)列，因為對任意，均有成立，若為常數(shù)列，則，所以；綜上所述：“存在序列，使得為常數(shù)列”的充要條件為“”.【『點石成金』】關(guān)鍵點『點石成金』：本題第三問的關(guān)鍵在于對新定義的理解，以及對其本質(zhì)的分析.10．（2023·北京·高考真題）已知數(shù)列的項數(shù)均為m，且的前n項和分別為，并規(guī)定．對于，定義，其中，表示數(shù)集M中最大的數(shù).(1)若，求的值；(2)若，且，求；(3)證明：存在，滿足使得．【答案】(1)，，，(2)(3)證明見詳析〖祥解〗（1）先求，根據(jù)題意分析求解；（2）根據(jù)題意題意分析可得，利用反證可得，在結(jié)合等差數(shù)列運算求解；（3）討論的大小，根據(jù)題意結(jié)合反證法分析證明.【詳析】（1）由題意可知：，當時，則，故；當時，則，故；當時，則故；當時，則，故；綜上所述：，，，.（2）由題意可知：，且，因為，且，則對任意恒成立，所以，又因為，則，即，可得，反證：假設滿足的最小正整數(shù)為，當時，則；當時，則，則，又因為，則，假設不成立，故，即數(shù)列是以首項為1，公差為1的等差數(shù)列，所以.（3）因為均為正整數(shù)，則均為遞增數(shù)列，（?。┤?，則可取，滿足使得；（ⅱ）若，則，構(gòu)建，由題意可得：，且為整數(shù)，反證，假設存在正整數(shù)，使得，則，可得，這與相矛盾，故對任意，均有.①若存在正整數(shù)，使得，即，可取，滿足，使得；②若不存在正整數(shù)，使得，因為，且，所以必存在，使得，即，可得，可取，滿足，使得；（ⅲ）若，定義，則，構(gòu)建，由題意可得：，且為整數(shù)，反證，假設存在正整數(shù)，使得，則，可得，這與相矛盾，故對任意，均有.①若存在正整數(shù)，使得，即，可取，即滿足，使得；②若不存在正整數(shù)，使得，因為，且，所以必存在，使得，即，可得，可取，滿足，使得.綜上所述：存在使得．11．（2022·北京·高考真題）已知為有窮整數(shù)數(shù)列．給定正整數(shù)m，若對任意的，在Q中存在，使得，則稱Q為連續(xù)可表數(shù)列．(1)判斷是否為連續(xù)可表數(shù)列？是否為連續(xù)可表數(shù)列？說明理由；(2)若為連續(xù)可表數(shù)列，求證：k的最小值為4；(3)若為連續(xù)可表數(shù)列，且，求證：．【答案】(1)是連續(xù)可表數(shù)列；不是連續(xù)可表數(shù)列．(2)證明見解析．(3)證明見解析．〖祥解〗（1）直接利用定義驗證即可；（2）先考慮不符合，再列舉一個合題即可；（3）時，根據(jù)和的個數(shù)易得顯然不行，再討論時，由可知里面必然有負數(shù)，再確定負數(shù)只能是，然后分類討論驗證不行即可．【詳析】（1），，，，，所以是連續(xù)可表數(shù)列；易知，不存在使得，所以不是連續(xù)可表數(shù)列．（2）若,設為,則至多，6個數(shù)字，沒有個，矛盾；當時,數(shù)列，滿足，，，，，，，，．（3），若最多有種，若，最多有種，所以最多有種，若，則至多可表個數(shù)，矛盾,從而若,則，至多可表個數(shù)，而，所以其中有負的，從而可表1~20及那個負數(shù)（恰21個），這表明中僅一個負的，沒有0，且這個負的在中絕對值最小，同時中沒有兩數(shù)相同,設那個負數(shù)為，則所有數(shù)之和，，，再考慮排序，排序中不能有和相同，否則不足個，（僅一種方式），與2相鄰，若不在兩端,則形式，若，則（有2種結(jié)果相同，方式矛盾），，同理，故在一端，不妨為形式，若,則（有2種結(jié)果相同，矛盾），同理不行，，則（有2種結(jié)果相同，矛盾），從而，由于,由表法唯一知3,4不相鄰,、故只能，①或，②這2種情形，對①：，矛盾，對②：，也矛盾，綜上，當時，數(shù)列滿足題意，．【『點石成金』】關(guān)鍵『點石成金』，先理解題意，是否為可表數(shù)列核心就是是否存在連續(xù)的幾項（可以是一項）之和能表示從到中間的任意一個值．本題第二問時，通過和值可能個數(shù)否定；第三問先通過和值的可能個數(shù)否定，再驗證時，數(shù)列中的幾項如果符合必然是的一個排序，可驗證這組數(shù)不合題．12．（2021·北京·高考真題）設p為實數(shù).若無窮數(shù)列滿足如下三個性質(zhì)，則稱為數(shù)列：①，且；②；③，．（1）如果數(shù)列的前4項為2，-2，-2，-1，那么是否可能為數(shù)列？說明理由；（2）若數(shù)列是數(shù)列，求；（3）設數(shù)列的前項和為.是否存在數(shù)列，使得恒成立？如果存在，求出所有的p；如果不存在，說明理由．【答案】（1）不可以是數(shù)列；理由見解析；（2）；（3）存在；．〖祥解〗(1)由題意考查的值即可說明數(shù)列不是數(shù)列；(2)由題意首先確定數(shù)列的前4項，然后討論計算即可確定的值；(3)構(gòu)造數(shù)列，易知數(shù)列是的，結(jié)合(2)中的結(jié)論求解不等式即可確定滿足題意的實數(shù)的值.【詳析】(1)因為所以，因為所以所以數(shù)列，不可能是數(shù)列.(2)性質(zhì)①，由性質(zhì)③，因此或，或，若，由性質(zhì)②可知，即或，矛盾；若，由有，矛盾.因此只能是.又因為或，所以或.若，則，不滿足，舍去.當，則前四項為:0，0，0，1，下面用數(shù)學歸納法證明：當時，經(jīng)驗證命題成立，假設當時命題成立，當時：若，則，利用性質(zhì)③：，此時可得：；否則，若，取可得：，而由性質(zhì)②可得：，與矛盾.同理可得：，有；，有；，又因為，有即當時命題成立，證畢.綜上可得：，.(3)令，由性質(zhì)③可知：，由于，因此數(shù)列為數(shù)列.由（2）可知:若；，，因此，此時，，滿足題意.【『點石成金』】本題屬于數(shù)列中的“新定義問題”，“新定義”主要是指即時定義新概念、新公式、新定理、新法則、新運算五種，然后根據(jù)此新定義去解決問題，有時還需要用類比的方法去理解新的定義，這樣有助于對新定義的透徹理解.但是，透過現(xiàn)象看本質(zhì)，它們考查的還是基礎數(shù)學知識，所以說“新題”不一定是“難題”，掌握好三基，以不變應萬變才是制勝法寶.13．（2020·北京·高考真題）已知是無窮數(shù)列．給出兩個性質(zhì)：①對于中任意兩項，在中都存在一項，使；②對于中任意項，在中都存在兩項．使得．(Ⅰ)若，判斷數(shù)列是否滿足性質(zhì)①，說明理由；(Ⅱ)若，判斷數(shù)列是否同時滿足性質(zhì)①和性質(zhì)②，說明理由；(Ⅲ)若是遞增數(shù)列，且同時滿足性質(zhì)①和性質(zhì)②，證明：為等比數(shù)列.【答案】(Ⅰ)詳見解析；(Ⅱ)詳析解析；(Ⅲ)證明詳見解析.〖祥解〗(Ⅰ)根據(jù)定義驗證，即可判斷；(Ⅱ)根據(jù)定義逐一驗證，即可判斷；(Ⅲ)解法一：首先，證明數(shù)列中的項數(shù)同號，然后證明，最后，用數(shù)學歸納法證明數(shù)列為等比數(shù)列即可.解法二：首先假設數(shù)列中的項數(shù)均為正數(shù)，然后證得成等比數(shù)列，之后證得成等比數(shù)列，同理即可證得數(shù)列為等比數(shù)列，從而命題得證.【詳析】(Ⅰ)不具有性質(zhì)①；(Ⅱ)具有性質(zhì)①；具有性質(zhì)②；(Ⅲ)解法一首先，證明數(shù)列中的項數(shù)同號，不妨設恒為正數(shù)：顯然，假設數(shù)列中存在負項，設，第一種情況：若，即，由①可知：存在，滿足，存在，滿足，由可知，從而，與數(shù)列的單調(diào)性矛盾，假設不成立.第二種情況：若，由①知存在實數(shù)，滿足，由的定義可知：，另一方面，，由數(shù)列的單調(diào)性可知：，這與的定義矛盾，假設不成立.同理可證得數(shù)列中的項數(shù)恒為負數(shù).綜上可得，數(shù)列中的項數(shù)同號.其次，證明：利用性質(zhì)②：取，此時，由數(shù)列的單調(diào)性可知，而，故，此時必有，即，最后，用數(shù)學歸納法證明數(shù)列為等比數(shù)列：假設數(shù)列的前項成等比數(shù)列，不妨設，其中，（的情況類似）由①可得：存在整數(shù)，滿足，且（*）由②得：存在，滿足：，由數(shù)列的單調(diào)性可知：，由可得：（**）由（**）和（*）式可得：，結(jié)合數(shù)列的單調(diào)性有：，注意到均為整數(shù)，故，代入（**）式，從而.總上可得，數(shù)列的通項公式為：.即數(shù)列為等比數(shù)列.解法二：假設數(shù)列中的項數(shù)均為正數(shù)：首先利用性質(zhì)②：取，此時，由數(shù)列的單調(diào)性可知，而，故，此時必有，即，即成等比數(shù)列，不妨設，然后利用性質(zhì)①：取，則，即數(shù)列中必然存在一項的值為，下面我們來證明，否則，由數(shù)列的單調(diào)性可知，在性質(zhì)②中，取，則，從而，與前面類似的可知則存在，滿足，若，則：，與假設矛盾；若，則：，與假設矛盾；若，則：，與數(shù)列的單調(diào)性矛盾；即不存在滿足題意的正整數(shù)，可見不成立，從而，然后利用性質(zhì)①：取，則數(shù)列中存在一項，下面我們用反證法來證明，否則，由數(shù)列的單調(diào)性可知，在性質(zhì)②中，取，則，從而，與前面類似的可知則存在，滿足，即由②可知：，若，則，與假設矛盾；若，則，與假設矛盾；若，由于為正整數(shù)，故，則，與矛盾；綜上可知，假設不成立，則.同理可得：，從而數(shù)列為等比數(shù)列，同理，當數(shù)列中的項數(shù)均為負數(shù)時亦可證得數(shù)列為等比數(shù)列.由推理過程易知數(shù)列中的項要么恒正要么恒負，不會同時出現(xiàn)正數(shù)和負數(shù).從而題中的結(jié)論得證，數(shù)列為等比數(shù)列.【『點石成金』】本題主要考查數(shù)列的綜合運用，等比數(shù)列的證明，數(shù)列性質(zhì)的應用，數(shù)學歸納法與推理方法、不等式的性質(zhì)的綜合運用等知識，意在考查學生的轉(zhuǎn)化能力和推理能力.1．（2024·北京西城·三模）中國古代科學家發(fā)明了一種三級漏壺記錄時間，壺形都為正四棱臺，自上而下，三個漏壺的上底寬依次遞減1寸（約3.3厘米），下底寬和深度也依次遞減1寸.設三個漏壺的側(cè)面與底面所成的銳二面角依次為，，，則（

）A． B．C． D．【答案】D〖祥解〗連接，過邊的中點作，垂足為，則就是漏壺的側(cè)面與底面所成銳二面角的一個平面角，記為，設漏壺上口寬為，下底寬為，高為，在中，根據(jù)等差數(shù)列即可求解.【詳析】三級漏壺，壺形都為正四棱臺，自上而下，三個漏壺的上口寬依次遞減1寸（約3.3厘米），下底寬和深度也依次遞減1寸，如圖，在正四棱臺中，為正方形的中心，是邊的中點，連結(jié)，過邊的中點作，垂足為，則就是漏壺的側(cè)面與底面所成銳二面角的一個平面角，記為，設漏壺上口寬為，下底寬為，高為，在中，，，因為自上而下三個漏壺的上口寬成等差數(shù)列，下底寬也成等差數(shù)列，且公差相等，所以為定值，又因為三個漏壺的高成等差數(shù)列，所以.故選：．【『點石成金』】關(guān)鍵點『點石成金』：對于情境類問題首先要閱讀理解題意，其次找尋數(shù)學本質(zhì)問題，本題在新情境的基礎上考查等差數(shù)列的相關(guān)知識.2．（2024·北京西城·三模）對于無窮數(shù)列，定義（），則“為遞增數(shù)列”是“為遞增數(shù)列”的（

）A．充分而不必要條件 B．必要而不充分條件 C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】D〖祥解〗由遞增數(shù)列的性質(zhì)，分別判斷充分性和必要性即可.【詳析】為遞增數(shù)列時，有，不能得到為遞增數(shù)列，充分性不成立；為遞增數(shù)列時，不一定有，即不能得到為遞增數(shù)列，必要性不成立.所以“為遞增數(shù)列”是“為遞增數(shù)列”的既不充分也不必要條件.故選：D.3．（21-22高三上·北京順義·期末）在等差數(shù)列中，，，則（）A． B． C． D．【答案】A〖祥解〗求出等差數(shù)列的公差，進而可求得的值.【詳析】由題意可知，等差數(shù)列的公差為，因此，.故選：A.4．（2024·山東濟南·一模）記等差數(shù)列的前n項和為.若，，則（

）A．49 B．63 C．70 D．126【答案】B〖祥解〗利用等差數(shù)列的項的“等和性”得到，再運用等差數(shù)列的前n項和公式計算即得.【詳析】因是等差數(shù)列，故，于是故選：B5．（2024·北京海淀·二模）設是公比為的無窮等比數(shù)列，為其前項和，.則“”是“存在最小值”的（

）A．充分而不必要條件 B．必要而不充分條件C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】A〖祥解〗根據(jù)充分條件、必要條件的判定以及等比數(shù)列前項和公式判斷即可【詳析】若且公比，則，所以單調(diào)遞增，存在最小值，故充分條件成立.若且時，，當為奇數(shù)時，，單調(diào)遞減，故最大值為時，，而,當為偶數(shù)時，，單調(diào)遞增，故最小值為，，所以的最小值為，即由，存在最小值得不到公比,故必要性不成立.故公比“”是“存在最小值”的充分不必要條件.故選：A6．（2024·北京海淀·二模）設數(shù)列的各項均為非零的整數(shù)，其前項和為.若為正偶數(shù)，均有，且，則的最小值為（

）A．0 B．22 C．26 D．31【答案】B〖祥解〗因為，不妨設，由題意求出的最小值，的最小值，，令時，有最小值.【詳析】因為，所以互為相反數(shù)，不妨設，為了取最小值，取奇數(shù)項為正值，取偶數(shù)項為負值，且各項盡可能小，.由題意知：滿足，取的最小值；滿足，因為，故取的最小值；滿足，取的最小值；同理，取的最小值；所以，滿足，取的最小值；滿足，因為，所以，取的最小值；滿足，因為，所以，取的最小值；同理，取的最小值；所以，所以，因為數(shù)列的各項均為非零的整數(shù)，所以當時，有最小值22.故選：B【『點石成金』】關(guān)鍵點『點石成金』：有最小值的條件是確保各項最小，根據(jù)遞推關(guān)系分析可得奇數(shù)項的最小值與偶數(shù)項的最小值，從而可得的最小值.7．（2024·北京朝陽·二模）設等差數(shù)列的前n項和為，若，，則（

）A．60 B．80 C．90 D．100【答案】D〖祥解〗先求出等差數(shù)列的公差，再由等差數(shù)列的求和公式求解.【詳析】等差數(shù)列的公差為：，則.故選：D8．（2024·北京朝陽·二模）北宋科學家沈括在《夢溪筆談》中記載了“隙積術(shù)”，提出長方臺形垛積的一般求和公式.如圖，由大小相同的小球堆成的一個長方臺形垛積的第一層有個小球，第二層有個小球，第三層有個小球……依此類推，最底層有個小球，共有層，由“隙積術(shù)”可得這些小球的總個數(shù)為若由小球堆成的某個長方臺形垛積共8層，小球總個數(shù)為240，則該垛積的第一層的小球個數(shù)為（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】B〖祥解〗轉(zhuǎn)化題給條件為，再由皆為正整數(shù)分類討論即可求解.【詳析】由題意知，，于是得最底層小球的數(shù)量為，即，.從而有，整理得，，，，，由于皆為正整數(shù)，所以（i）當時，，當時，，（iii）當時，，（iv）當時，只有符合題意，即的值為2.故選：B.【『點石成金』】關(guān)鍵點『點石成金』：本題主要考查新文化背景下的數(shù)列問題，確定是解決本題的關(guān)鍵.9．（2024·北京通州·二模）已知等差數(shù)列的前項和為，則“”是“”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】C〖祥解〗利用等差數(shù)列通項和求和公式可推導得到充分性成立；將代入，可得，進而得到必要性成立，從而得到結(jié)論.【詳析】設等差數(shù)列的公差為，由得：，，，，即，充分性成立；由得：，，即，，即，必要性成立；“”是“”的充分必要條件.故選：C.10．（2024·北京房山·一模）中國古代數(shù)學著作《算法統(tǒng)宗》中有這樣一個問題：“三百七十八里關(guān)，初步健步不為難，次日腳痛減一半，六朝才得到其關(guān)，要見次日行里數(shù)，請公仔細算相還”其大意為：“有一個人走378里路，第一天健步行走，從第二天起因腳痛每天走的路程為前一天的一半，走了6天后到達目的地．”則該人第三天走的路程為（

）A．12里 B．24里 C．48里 D．96里【答案】C〖祥解〗由題意可得，此人天中每天走的路程是公比為的等比數(shù)列，再根據(jù)等比數(shù)列的前項和公式及通項公式求解即可.【詳析】由題意可得，此人天中每天走的路程是公比為的等比數(shù)列，設這個數(shù)列為，前項和為，則，解得，所以，即該人第三天走的路程為48里.故選：C.11．（2024·北京海淀·一模）已知為等差數(shù)列，為其前n項和.若，公差，則m的值為（

）A．4 B．5 C．6 D．7【答案】B〖祥解〗利用等差數(shù)列的通項公式求出和的關(guān)系，代入計算可得m的值.【詳析】由已知，得，又，又，所以，解得或（舍去）故選：B.12．（2024·北京海淀·一模）某生物興趣小組在顯微鏡下拍攝到一種黏菌的繁殖軌跡，如圖1.通過觀察發(fā)現(xiàn)，該黏菌繁殖符合如下規(guī)律：①黏菌沿直線繁殖一段距離后，就會以該直線為對稱軸分叉（分叉的角度約為），再沿直線繁殖，…；②每次分叉后沿直線繁殖的距離約為前一段沿直線繁殖的距離的一半.于是，該組同學將整個繁殖過程抽象為如圖2所示的一個數(shù)學模型：黏菌從圓形培養(yǎng)皿的中心O開始，沿直線繁殖到，然后分叉向與方向繼續(xù)繁殖，其中，且與關(guān)于所在直線對稱，….若，為保證黏菌在繁殖過程中不會碰到培養(yǎng)皿壁，則培養(yǎng)皿的半徑r（，單位：）至少為（

）

A．6 B．7 C．8 D．9【答案】C〖祥解〗根據(jù)黏菌的繁殖規(guī)律可得每次繁殖在方向上前進的距離，結(jié)合無窮等比遞縮數(shù)列的和的計算公式，即可判斷答案.【詳析】由題意可知，，只要計算出黏菌沿直線一直繁殖下去，在方向上的距離的范圍，即可確定培養(yǎng)皿的半徑的范圍，依題意可知黏菌的繁殖規(guī)律，由此可得每次繁殖在方向上前進的距離依次為：，則，黏菌無限繁殖下去，每次繁殖在方向上前進的距離和即為兩個無窮等比遞縮數(shù)列的和，即，綜合可得培養(yǎng)皿的半徑r（，單位：）至少為8cm，故選：C【『點石成金』】關(guān)鍵點『點石成金』：本題考查了數(shù)列的應用問題，背景比較新穎，解答的關(guān)鍵是理解題意，能明確黏菌的繁殖規(guī)律，從而求出每次繁殖在方向上前進的距離的和，結(jié)合等比數(shù)列求和即可.13．（2024·北京朝陽·一模）已知等比數(shù)列的前項和為，且，，則（

）A．9 B．16 C．21 D．25【答案】C〖祥解〗根據(jù)等比數(shù)列的性質(zhì)求，即可求解.【詳析】由等比數(shù)列的性質(zhì)可知，，即，得，.故選：C14．（17-18高二·海南省直轄縣級單位·課后作業(yè)）設等比數(shù)列的公比，前項和為，則.【答案】〖祥解〗利用等比數(shù)列的求和公式以及通項公式可求得的值.【詳析】由等比數(shù)列求和公式以及通項公式可得.故答案為：.15．（2024·北京順義·三模）命題：若是等比數(shù)列，則前n項和不存在最大值和最小值.寫出一組說明此命題為假命題的首項和公比【答案】1（答案不唯一）2（答案不唯一）〖祥解〗由原命題為假命題可得其否定為真命題，即存在最大值或最小值，由此確定首項和公比.【詳析】因為命題“若是等比數(shù)列，則前n項和不存在最大值和最小值”為假命題，所以可得“若是等比數(shù)列，則前n項和存在最大值或最小值”，因為只需確定滿足條件的一組取值，故不妨先考慮，條件下是否存在，若，則，當時，則隨的增大而增大，此時有最小值，滿足條件，當時，則隨的增大而減小，此時有最大值，滿足條件，若，則，當時，若，則隨的增大而增大，此時有最小值，滿足條件，當時，若，則隨的增大而減小，此時有最大值，滿足條件，故可取，，故答案為：1，2（答案不唯一）16．（2024·北京通州·三模）若數(shù)列、均為嚴格增數(shù)列，且對任意正整數(shù)n，都存在正整數(shù)m，使得，則稱數(shù)列為數(shù)列的“M數(shù)列”．已知數(shù)列的前n項和為，則下列結(jié)論中正確的是．①存在等差數(shù)列，使得是的“M數(shù)列”②存在等比數(shù)列，使得是的“M數(shù)列”③存在等差數(shù)列，使得是的“M數(shù)列”④存在等比數(shù)列，使得是的“M數(shù)列”【答案】①②④〖祥解〗對于①取分析判斷，對于②④取分析判斷，對于③，根據(jù)題意結(jié)合等差數(shù)列的性質(zhì)分析判斷.【詳析】對于①：例如，則為等差數(shù)列，可得，則，所以，，故、均為嚴格增數(shù)列，取，則，即恒成立，所以是的“數(shù)列”，故①正確；對于②，例如，則為等比數(shù)列，可得，則，所以，，故、均為嚴格增數(shù)列，取，則，即恒成立，所以是的“數(shù)列”，故②正確；對于③，假設存在等差數(shù)列，使得是的“數(shù)列”，設等差數(shù)列的公差為，因為為嚴格增數(shù)列，則，又因為為嚴格增數(shù)列，所以，即當時，恒成立，取，滿足，可知必存在，使得成立，又因為為嚴格增數(shù)列，所以對任意正整數(shù)，則有，即，對任意正整數(shù)，則有，即，故當時，不存在正整數(shù)，使得，故③不成立；對于④，例如，則為等比數(shù)列，且、均為嚴格增數(shù)列，可得，所以，，故、均為嚴格增數(shù)列，取，則，即恒成立，所以是的“數(shù)列”，故④正確.故答案為：①②④.17．（2024·北京通州·二模）已知數(shù)列為等比數(shù)列，，，則；數(shù)列的前4項和為．【答案】8148〖祥解〗求出數(shù)列的公比，進而求出通項即可求得；再利用分組求和法計算得解.【詳析】等比數(shù)列中，由，得數(shù)列的公比，通項，所以；數(shù)列的前4項和為.故答案為：81；4818．（22-23高三下·北京海淀·開學考試）若無窮數(shù)列的各項均為整數(shù)．且對于，，都存在，使得，則稱數(shù)列滿足性質(zhì)P．(1)判斷下列數(shù)列是否滿足性質(zhì)P，并說明理由．①，，2，3，…；②，，2，3，…．(2)若數(shù)列滿足性質(zhì)P，且，求證：集合為無限集；(3)若周期數(shù)列滿足性質(zhì)P，求數(shù)列的通項公式．【答案】(1)數(shù)列不滿足性質(zhì)P；數(shù)列滿足性質(zhì)P，理由見解析(2)證明見解析(3)或．〖祥解〗（1）根據(jù)題意分析判斷；（2）根據(jù)題意先證為數(shù)列中的項，再利用反證法證明集合為無限集；（3）先根據(jù)題意證明，再分為常數(shù)列和非常數(shù)列兩種情況，分析判斷.【詳析】（1）對①，取，對，則，可得，顯然不存在，使得，所以數(shù)列不滿足性質(zhì)P；對②，對于，則，，故，因為，則，且，所以存在，，使得，故數(shù)列滿足性質(zhì)P；（2）若數(shù)列滿足性質(zhì)，且，則有：取，均存在，使得，取，均存在，使得，取，均存在，使得，故數(shù)列中存在，使得，即，反證：假設為有限集，其元素由小到大依次為，取，均存在，使得，取，均存在，使得，取，均存在，使得，即這與假設相矛盾，故集合為無限集.（3）設周期數(shù)列的周期為，則對，均有，設周期數(shù)列的最大項為，最小項為，即對，均有，若數(shù)列滿足性質(zhì)：反證：假設時，取，則，使得，則，即，這對，均有矛盾，假設不成立；則對，均有；反證：假設時，取，則，使得，這與對，均有矛盾，假設不成立，即對，均有；綜上所述：對，均有，反證：假設1為數(shù)列中的項，由（2）可得：為數(shù)列中的項，∵，即為數(shù)列中的項，這與對，均有相矛盾，即對，均有，同理可證：，∵，則，當時，即數(shù)列為常數(shù)列時，設，故對，都存在，使得，解得或，即或符合題意；當時，即數(shù)列至少有兩個不同項，則有：①當為數(shù)列中的項，則，即為數(shù)列中的項，但，不成立；②當為數(shù)列中的項，則，即為數(shù)列中的項，但，不成立；③當為數(shù)列中的項，則，即為數(shù)列中的項，但，不成立；綜上所述：或.【『點石成金』】關(guān)鍵點『點石成金』：（1）對于證明中出現(xiàn)直接證明不方便時，我們可以利用反證法證明；（2）對于周期數(shù)列滿足性質(zhì)，證明思路：先逐步縮小精確的取值可能，再檢驗判斷.19．（2024·北京通州·三模）約數(shù)，又稱因數(shù)．它的定義如下：若整數(shù)a除以整數(shù)m（）除得的商正好是整數(shù)而沒有余數(shù)，我們就稱a為m的倍數(shù)，稱m為a的約數(shù)．設正整數(shù)a有k個正約數(shù)，即為，，?，，（）．(1)當時，是否存在，，…，構(gòu)成等比數(shù)列，若存在請寫出一個滿足條件的正整數(shù)a的值，若不存在請說明理由；(2)當時，若，，?構(gòu)成等比數(shù)列，求正整數(shù)a．(3)當時，若，，…，是a的所有正約數(shù)的一個排列，那么，，，?，是否是另一個正整數(shù)的所有正約數(shù)的一個排列？并證明你的結(jié)論．【答案】(1)存在，比如1，2，4，8，16為16的所有約數(shù)(2)(3)答案見解析〖祥解〗（1）根據(jù)題意可知16的所有正因數(shù)符合題意；（2）由題意可得，，，，根據(jù)等比數(shù)列的定義可得，分析得，則，，…為，，?，，即可求得結(jié)果；（3）假設，，，?，是另一個正整數(shù)b的所有正約數(shù)的一個排列，設，，可推出b是奇數(shù)，，進而可推出b為偶數(shù)，從而可知假設錯誤.【詳析】（1）存在，比如1，2，4，8，16為16的所有約數(shù)．（2）由題意得，，，，，依題意可知，化簡可得因此可知是完全平方數(shù)，由于是整數(shù)a的最小非1因子，所以所以，，…為，，?，因此（3）假設，，，?，是另一個正整數(shù)b的所有正約數(shù)的一個排列．，，易知（），而，故又知，所以b是奇數(shù)．所以為奇數(shù)，又，故是偶數(shù)其中A中最大的兩個元素為a，，顯然B中每個元素都不超過，特別地，設，，其中（因為a有k（）個正約數(shù)，）于是B中存在兩個元素，，它們都大于，進而都大于且都是b的約數(shù)．這表明b可以被2整除，與b為奇數(shù)矛盾．因此假設不成立．【『點石成金』】關(guān)鍵點『點石成金』：此題考查等比數(shù)列，考查約數(shù)的概念，第（2）解題的關(guān)鍵是在得到可得是完全平方數(shù)，進而得，考查推理能力和計算能力，屬于難題.20．（2024·北京海淀·二模）設正整數(shù)，，，這里.若，且，則稱具有性質(zhì).(1)當時，若具有性質(zhì)，且，，，令，寫出的所有可能值；(2)若具有性質(zhì)：①求證：；②求的值.【答案】(1)27或32(2)①證明見解析②〖祥解〗（1）對題目中所給的，我們先通過分析集合中的元素，證明，，以及，然后通過分類討論的方法得到小問1的結(jié)果；（2）直接使用（1）中的這些結(jié)論解決小問2即可.【詳析】（1）對集合，記其元素個數(shù)為.先證明2個引理.引理1：若具有性質(zhì)，則.引理1的證明：假設結(jié)論不成立.不妨設，則正整數(shù)，但，故一定屬于某個，不妨設為.則由知存在正整數(shù)，使得.這意味著對正整數(shù)，有，，但，矛盾.所以假設不成立，從而一定有，從而引理1獲證.引理2：若具有性質(zhì)，則，且.證明：取集合.注意到關(guān)于正整數(shù)的不等式等價于，而由引理1有，即.結(jié)合是正整數(shù)，知對于正整數(shù)，當且僅當，這意味著數(shù)列恰有項落入集合，即.而兩兩之間沒有公共元素，且并集為全體正整數(shù)，故中的元素屬于且僅屬于某一個，故.所以，從而，這就證明了引理2的第一個結(jié)論；再考慮集合中全體元素的和.一方面，直接由知中全體元素的和為，即.另一方面，的全部個元素可以排成一個首項為，公差為的等差數(shù)列.所以的所有元素之和為.最后，再將這個集合的全部元素之和相加，得到中全體元素的和為.這就得到，所以有.即，從而，這就證明了引理2的第二個結(jié)論.綜上，引理2獲證.回到原題.將從小到大排列為，則，由引理2的第一個結(jié)論，有.若，則，所以每個不等號都取等，從而，故；情況1：若，則，矛盾；情況2：若，則，所以，得.此時如果，則，矛盾；如果，則，從而，故；如果，由于，設，，則，.故對于正整數(shù)對，有，從而，這與矛盾.綜上，的取值只可能是或.當時，；當時，.所以的所有可能取值是和.（2）①由引理1的結(jié)論，即知；②由引理2的第二個結(jié)論，即知.【『點石成金』】關(guān)鍵點『點石成金』：本題的關(guān)鍵點在于，我們通過兩個方面計算了一個集合的各個元素之和，從而得到了一個等式，這種方法俗稱“算二次”法或富比尼定理.21．（2024·北京通州·二模）從數(shù)列中選取第項，第項，，第項（），若數(shù)列，，，是遞增數(shù)列或遞減數(shù)列（規(guī)定時，該數(shù)列既是遞增數(shù)列，也是遞減數(shù)列），稱，，，為數(shù)列的長度為m的單調(diào)子列.已知有窮數(shù)列A：，，，（），任意兩項均不相同，現(xiàn)以A的每一項為首項選取長度最大的遞增的單調(diào)子列，設其共有項，則，，，構(gòu)成一個新數(shù)列B.(1)當數(shù)列A分別為以下數(shù)列時，直接寫出相應的數(shù)列B；（?。?，3，5，7；（ⅱ）4，1，2，6，3.(2)若數(shù)列A為等差數(shù)列，求證：數(shù)列B為等差數(shù)列；(3)若數(shù)列A共有（）項，求證：A必存在一個長度為的單調(diào)子列.【答案】(1)（?。?，3，2，1；（ⅱ）2，3，2，1，1.(2)證明見解析(3)證明見解析〖祥解〗（1）理解數(shù)列新定義，從而得解；（2）對等差數(shù)列進行分類：即遞減等差數(shù)列和遞增等差數(shù)列，然后根據(jù)新定義推導新數(shù)列的元素及通項，就可得以證明；（3）利用反證法，結(jié)合數(shù)列的新定義即可得解.【詳析】（1）（?。└鶕?jù)題意：選，則有1，3，5，7，共有項；選，則有3，5，7，共有項；選，則有5，7，共有項；選，則有7，共有項；所以數(shù)列B為：4，3，2，1；（ⅱ）同理數(shù)列B為：2，3，2，1，1.（2）設數(shù)列A的公差為d，因為，當時，數(shù)列A為單調(diào)遞減數(shù)列，所以，所以B為等差數(shù)列.當時，數(shù)列A為單調(diào)遞增數(shù)列，以數(shù)列A的任意項為首項選取長度最大的遞增的單調(diào)子列為，，，，.所以（，2，3，，n）.所以B為等差數(shù)列，綜上，當數(shù)列A為等差數(shù)列時，數(shù)列B也為等差數(shù)列.（3）若，，，中有一個，那么數(shù)列A存在一個長為的遞增子列.所以A存在一個長度為的單調(diào)子列.若數(shù)列A不存在長度超過t的遞增子列，即，，2，3，，.所以在，，，中，至少有個數(shù)是相等的.取其中項，不妨設為，其中.下面證明當，且時，，假設，將加到以為首項長度為b的遞增子列前面，構(gòu)成了以為首項長度為的遞增子列，與為首項的最長遞增子列的項數(shù)為b矛盾，假設不成立.所以，由此可知，.所以，，，，構(gòu)成了一個長為的遞減子列.綜上，A必存在一個長度為的單調(diào)子列.【『點石成金』】思路『點石成金』：本題主要考查“新定義”數(shù)列，主要是指即時定義新概念、新公式、新定理、新法則、新運算五種，然后根據(jù)此新定義去解決問題，有時還需要用類比的方法去理解新的定義，用反證法來請明新結(jié)論，這樣有助于對新定義的透徹理解.22．（2024·北京房山·一模）已知無窮數(shù)列是首項為1，各項均為正整數(shù)的遞增數(shù)列，集合．若對于集合A中的元素k，數(shù)列中存在不相同的項，使得，則稱數(shù)列具有性質(zhì)，記集合數(shù)列具有性質(zhì)．(1)若數(shù)列的通項公式為寫出集合A與集合B；(2)若集合A與集合B都是非空集合，且集合A中的最小元素為t，集合B中的最小元素為s，當時，證明：；(3)若滿足，證明：．【答案】(1)，(2)證明見解析(3)證明見解析〖祥解〗（1）定義，可知，結(jié)合題中通項公式分析求解；（2）根據(jù)題意可知，可得，即可分析證明；（3）由題意可知