專題09 平面向量、復數(shù)與不等式-5年（2020-2024）高考1年模擬數(shù)學真題分類匯編（北京專用）（解析版）

2020-2024年五年高考真題分類匯編PAGEPAGE1專題09平面向量、復數(shù)與不等式考點五年考情（2020-2024）命題趨勢考點1平面向量（5年幾考）2020-2024：5年五考：向量的運算；垂直及平行的向量表示；向量的坐標；向量模的運算1.平面向量問題以基礎(chǔ)性為主，突出向量的線性運算和坐標運算,特別是線性運算、夾角計算、數(shù)量積考查較多,模的計算、向量的垂直與平行也經(jīng)常出現(xiàn)見,向量的綜合問題間隔考查.平面向量重點突出其工具功能.向量備考應(yīng)重視基礎(chǔ)知識,要求考生熟練掌握基本技能。2.復數(shù)主要以課程學習情境為主,每年一題,以考查復數(shù)的四則運算為主,偶爾與其他知識交匯、難度較小,考查代數(shù)運算的同時,主要涉及考查的概念有:復數(shù)的代數(shù)形式、共軛復數(shù)、復數(shù)的模、復數(shù)的幾何意義等,考查學生的邏輯推理、數(shù)學運算等學科核心素養(yǎng)。3.不等式的性質(zhì)和基本不等式這部分內(nèi)容主要以選擇題或填空題的形式出現(xiàn)見,這類題目主要考查邏輯思維能力和運算求解能力?？键c2復數(shù)（5年幾考）2020-2024：5年五考：復數(shù)的四則運算；復數(shù)的坐標運算；共軛復數(shù)的概念及計算；復數(shù)模長的運算；復數(shù)的幾何意義考點3不等式2020-2024:5年一考：基本不等式的應(yīng)用；不等式的性質(zhì)考點01平面向量1．（2024·北京·高考真題）設(shè)，是向量，則“”是“或”的（

）．A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】B〖祥解〗根據(jù)向量數(shù)量積分析可知等價于，結(jié)合充分、必要條件分析判斷.【詳析】因為，可得，即，可知等價于，若或，可得，即，可知必要性成立；若，即，無法得出或，例如，滿足，但且，可知充分性不成立；綜上所述，“”是“且”的必要不充分條件.故選：B.2．（2022·北京·高考真題）在中，．P為所在平面內(nèi)的動點，且，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】D〖祥解〗依題意建立平面直角坐標系，設(shè)，表示出，，根據(jù)數(shù)量積的坐標表示、輔助角公式及正弦函數(shù)的性質(zhì)計算可得；【詳析】解：依題意如圖建立平面直角坐標系，則，，，因為，所以在以為圓心，為半徑的圓上運動，設(shè)，，所以，，所以，其中，，因為，所以，即；故選：D

3．（2023·北京·高考真題）已知向量滿足，則（

）A． B． C．0 D．1【答案】B〖祥解〗利用平面向量數(shù)量積的運算律，數(shù)量積的坐標表示求解作答.【詳析】向量滿足，所以.故選：B4．（2021·北京·高考真題）已知向量在正方形網(wǎng)格中的位置如圖所示．若網(wǎng)格紙上小正方形的邊長為1，則；.【答案】03〖祥解〗根據(jù)坐標求出，再根據(jù)數(shù)量積的坐標運算直接計算即可.【詳析】以交點為坐標原點，建立直角坐標系如圖所示：則，，，.故答案為：0；3.5．（2020·北京·高考真題）已知正方形的邊長為2，點P滿足，則；．【答案】〖祥解〗以點為坐標原點，、所在直線分別為、軸建立平面直角坐標系，求得點的坐標，利用平面向量數(shù)量積的坐標運算可求得以及的值.【詳析】以點為坐標原點，、所在直線分別為、軸建立如下圖所示的平面直角坐標系，則點、、、，，則點，，，因此，，.故答案為：；.【『點石成金』】本題考查平面向量的模和數(shù)量積的計算，建立平面直角坐標系，求出點的坐標是解答的關(guān)鍵，考查計算能力，屬于基礎(chǔ)題.考點02復數(shù)6．（2024·北京·高考真題）已知，則（

）．A． B． C． D．【答案】C〖祥解〗直接根據(jù)復數(shù)乘法即可得到答案.【詳析】由題意得.故選：C.7．（2023·北京·高考真題）在復平面內(nèi)，復數(shù)對應(yīng)的點的坐標是，則的共軛復數(shù)（

）A． B．C． D．【答案】D〖祥解〗根據(jù)復數(shù)的幾何意義先求出復數(shù)，然后利用共軛復數(shù)的定義計算.【詳析】在復平面對應(yīng)的點是，根據(jù)復數(shù)的幾何意義，，由共軛復數(shù)的定義可知，.故選：D8．（2022·北京·高考真題）若復數(shù)z滿足，則（

）A．1 B．5 C．7 D．25【答案】B〖祥解〗利用復數(shù)四則運算，先求出，再計算復數(shù)的模．【詳析】由題意有，故．故選：B．9．（2021·北京·高考真題）在復平面內(nèi)，復數(shù)滿足，則（

）A． B． C． D．【答案】D〖祥解〗由題意利用復數(shù)的運算法則整理計算即可求得最終結(jié)果.【詳析】由題意可得：.故選：D.10．（2020·北京·高考真題）在復平面內(nèi)，復數(shù)對應(yīng)的點的坐標是，則（

）．A． B． C． D．【答案】B〖祥解〗先根據(jù)復數(shù)幾何意義得，再根據(jù)復數(shù)乘法法則得結(jié)果.【詳析】由題意得，.故選：B.【『點石成金』】本題考查復數(shù)幾何意義以及復數(shù)乘法法則，考查基本分析求解能力，屬基礎(chǔ)題.考點03不等式11．（2024·北京·高考真題）已知，是函數(shù)的圖象上兩個不同的點，則（

）A． B．C． D．【答案】B〖祥解〗根據(jù)指數(shù)函數(shù)和對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性結(jié)合基本不等式分析判斷AB；舉例判斷CD即可.【詳析】由題意不妨設(shè)，因為函數(shù)是增函數(shù)，所以，即，對于選項AB：可得，即，根據(jù)函數(shù)是增函數(shù)，所以，故B正確，A錯誤；對于選項D：例如，則，可得，即，故D錯誤；對于選項C：例如，則，可得，即，故C錯誤，故選：B.1．（2024·北京西城·三模）在復平面，復數(shù)z對應(yīng)的點坐標為，則（

）A．i B．-i C． D．【答案】B〖祥解〗由題可得，再由復數(shù)除法法則即可求解.【詳析】z對應(yīng)的點坐標為，所以，所以故選：B.2．（2019·遼寧沈陽·模擬預(yù)測）向量在正方形網(wǎng)格中的位置如圖所示.若向量與共線，則實數(shù)（

）A．-2 B．-1 C．1 D．2【答案】D〖祥解〗先由圖得出用表示的式子，再根據(jù)向量共線的充要條件求之即得.【詳析】根據(jù)網(wǎng)格圖中的的大小與方向，易于得到，由向量與共線，可得，解得：.故選：D.3．（2024·北京順義·三模）設(shè)，，.若，，則最大值為（

）A．2 B． C．1 D．【答案】C〖祥解〗先利用指、對數(shù)的關(guān)系利用表示，再利用基本不等式求最大值.【詳析】∵，，，，∴，，∴，當且僅當，時取等號.∴的最大值為1.故選：C.4．（23-24高一下·浙江杭州·期中）若為虛數(shù)單位，復數(shù)，則（

）A． B． C． D．【答案】D〖祥解〗首先化簡復數(shù)，再求共軛復數(shù).【詳析】，則.故選：D5．（2024·黑龍江·二模）已知，，在上的投影向量為，則向量與夾角余弦值為（

）A． B． C． D．【答案】A〖祥解〗根據(jù)投影向量公式可求向量與夾角余弦值.【詳析】在上的投影向量為，故，而，故，故，故即，故選：A.6．（2024·北京通州·三模）已知，，則“”是“”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件 C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】B〖祥解〗舉出反例得到充分性不成立，再由基本不等式得到必要性成立.【詳析】不妨設(shè)，此時滿足，但不滿足，充分性不成立，兩邊平方得，由基本不等式得，當且僅當時，等號成立，故，解得，必要性成立，故“”是“”的必要不充分條件.故選：B7．（2024·黑龍江齊齊哈爾·二模）若，則（

）A． B．1 C．2 D．4【答案】A〖祥解〗借助復數(shù)的運算法則及共軛復數(shù)的概念計算即可得.【詳析】，.故選：A．8．（2024·北京海淀·二模）在中，，點滿足，且，則（

）A． B． C． D．【答案】B〖祥解〗用，表示，根據(jù)，結(jié)合已知條件，以及數(shù)量積的運算律，求解即可.【詳析】由題可知，，故，故，解得.故選：B.9．（2024·北京海淀·二模）設(shè)，且，則（

）A． B．C． D．【答案】C〖祥解〗舉反例即可求解ABD,根據(jù)導數(shù)求證即可判斷C.【詳析】對于A，取，則，故A錯誤，對于B，，則，故B錯誤，對于C，由于，故在單調(diào)遞減，故，因此，由于，所以，故，C正確，對于D,,則，故D錯誤，故選：C10．（2024·北京通州·二模）在梯形ABCD中，，，，則（

）A． B．8 C．12 D．【答案】C〖祥解〗作出圖形，結(jié)合圖形和已知，由向量數(shù)量積的定義求出即可.【詳析】

如圖，取的中點，則，且，所以四邊形為平行四邊形，則，所以為正三角形，過作于，則，所以.故選：C.11．（2024·北京通州·二模）在復平面內(nèi)，復數(shù)z對應(yīng)的點的坐標為，則（

）A． B． C． D．【答案】A〖祥解〗由復數(shù)的幾何意義和復數(shù)的運算求出結(jié)果即可.【詳析】由題意可得，所以，故選：A.12．（2024·北京房山·一模）已知，則下列命題為假命題的是（

）A．若，則 B．若，則C．若，則 D．若，則【答案】D〖祥解〗根據(jù)不等式的性質(zhì)即可判斷A；根據(jù)冪函數(shù)單調(diào)性可判斷B；根據(jù)指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)即可判斷C；利用作差法即可判斷D.【詳析】對于A，因為，所以，故A結(jié)論正確；對于B，當時，因為冪函數(shù)在上單調(diào)遞增，所以，故B結(jié)論正確；對于C，因為，所以，而函數(shù)為減函數(shù)，所以，故C結(jié)論正確；對于D，，因為，所以，所以，所以，故D結(jié)論錯誤.故選：D.13．（2024·北京房山·一模）已知i是虛數(shù)單位，若復數(shù)是純虛數(shù)，則實數(shù)m的值是（

）A． B．3 C． D．【答案】C〖祥解〗先根據(jù)復數(shù)的乘法運算求出復數(shù)，再根據(jù)純虛數(shù)的定義即可得解.【詳析】，因為復數(shù)是純虛數(shù)，所以，解得.故選：C.14．（2024·北京海淀·一模）已知向量滿足，且，則（

）A． B． C． D．【答案】C〖祥解〗將兩邊同時平方，將條件帶入計算即可.【詳析】由已知，所以，得，又，所以.故選：C.15．（15-16高二下·新疆哈密·期末）若復數(shù)滿足，則的共軛復數(shù)是A． B． C． D．【答案】B〖祥解〗根據(jù)復數(shù)代數(shù)形式的除法運算求出復數(shù)即可求解結(jié)果．【詳析】解：復數(shù)滿足，所以．所以的共軛復數(shù)是．故選：B．16．（2024·北京朝陽·一模）在中，，，點在線段上.當取得最小值時，（

）A． B． C． D．【答案】B〖祥解〗首先建立平面直角坐標系，利用坐標表示數(shù)量積，并求最小值，求得的坐標，即可求解.【詳析】如圖，以所在直線為軸，以的垂直平分線建立軸，建立平面直角坐標系，

由，，則，所以，，，設(shè)，則，，則，當時，取得最小值，此時，.故選：B17．（2024·北京朝陽·一模）復數(shù)在復平面內(nèi)對應(yīng)的點位于（

）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【答案】A〖祥解〗利用復數(shù)的除法運算，化解復數(shù)，并結(jié)合復數(shù)的幾何意義，即可求解.【詳析】復數(shù)，所以復數(shù)對應(yīng)的點為，為第一象限的點.故選：A18．（2022·北京豐臺·三模）為等邊三角形，且邊長為2，則與的夾角大小為，若，則的最小值為.【答案】/〖祥解〗根據(jù)平面向量夾角的定義直接得出結(jié)果；根據(jù)題意可知E為AC的中點，利用平面向量的線性運算和數(shù)量積的運算律計算可得，結(jié)合平面向量夾角的范圍即可得出結(jié)果.【詳析】由題意知，如圖，由為等比三角形，得，所以；因為，所以點E為AC的中點，則，又，所以，，又，所以，所以.故答案為：；.19．（2024·北京通州·三模）已知，，，則三者大小關(guān)系為（按從小到大順序）【答案】〖祥解〗根據(jù)指數(shù)函數(shù)和對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)確定出的范圍，即可求解.【詳析】因為，，且，，故，故答案為：.20．（2024·北京海淀·二模）若，則.【答案】1〖祥解〗利用復數(shù)的四則運算，結(jié)合復數(shù)相等的性質(zhì)得到關(guān)于的方程組，解之即可得解.【詳析】因為，所以，即，所以，解得.故答案為：1.21．（2024·北京朝陽·二模）已知向量，，且，則實數(shù)k=.