2020-2024五年高考數(shù)學真題分類匯編專題13 數(shù)列（真題10個考點精準練+模擬練）解析版

2020-2024年五年高考真題分類匯編PAGEPAGE1專題13數(shù)列（真題10個考點精準練+精選模擬練）5年考情考題示例考點分析2024年秋考12、18題2024年春考7、12題數(shù)列的應用、等比數(shù)列的性質(zhì)；數(shù)列與函數(shù)的綜合等差數(shù)列的性質(zhì)及求和公式；數(shù)列、不等式的應用2023秋考3、21題2023春考16題等比數(shù)列的前n項和公式；數(shù)列與函數(shù)的綜合應用等差數(shù)列和等比數(shù)列的性質(zhì)2022秋考10、21題2022春考16、18題等差數(shù)列的n項和公式、通項公式；數(shù)列中的遞推公式、推理問題、數(shù)列的通項公式等知識數(shù)列的應用、等比數(shù)列性質(zhì)的應用；等差數(shù)列與等比數(shù)列的前n項和、數(shù)列極限的求法、數(shù)列的函數(shù)特性及應用。2021年秋考8、12題2021年春考1、9、21題等比數(shù)列通項公式和無窮遞縮等比數(shù)列的求和公式；數(shù)列概念的理解和應用、遞推公式的應用等差數(shù)列的通項公式；無窮等比數(shù)列的概念及性質(zhì)、極限的運算；數(shù)列的綜合應用、等比數(shù)列的判定及求解。2020年秋考2、8、21題2020年春考13題數(shù)列極限的求法；等差數(shù)列的前n項和與通項公式；數(shù)列的綜合應用、不等式以及不等關系、二次函數(shù)以及函數(shù)的相關性質(zhì)綜合應用。數(shù)列極限的求法一．等差數(shù)列的通項公式（共1小題）1．（2021?上海）已知等差數(shù)列的首項為3，公差為2，則21．〖祥解〗由已知結(jié)合等差數(shù)列的通項公式即可直接求解．【解答】解：因為等差數(shù)列的首項為3，公差為2，則．故答案為：21．【點評】本題主要考查了等差數(shù)列的通項公式，屬于基礎題．二．等差數(shù)列的前n項和（共3小題）2．（2024?上海）數(shù)列，，，的取值范圍為．〖祥解〗由已知結(jié)合等差數(shù)列的求和公式及性質(zhì)的應用，屬于基礎題．【解答】解：等差數(shù)列由，知數(shù)列為等差數(shù)列，即，解得．故的取值范圍為．故答案為：．【點評】本題主要考查了等差數(shù)列的性質(zhì)及求和公式的應用，屬于基礎題．3．（2022?上海）已知等差數(shù)列的公差不為零，為其前項和，若，則，2，，中不同的數(shù)值有98個．〖祥解〗由等差數(shù)前項和公式求出，從而，由此能求出結(jié)果．【解答】解：等差數(shù)列的公差不為零，為其前項和，，，解得，，，，1，，中，，，其余各項均不相等，，，中不同的數(shù)值有：．故答案為：98．【點評】本題考查等差數(shù)列的前項和公式、通項公式等基礎知識，考查運算求解能力，是中檔題．4．（2020?上海）已知數(shù)列是公差不為零的等差數(shù)列，且，則．〖祥解〗根據(jù)等差數(shù)列的通項公式可由，得，在利用等差數(shù)列前項和公式化簡即可得出結(jié)論．【解答】解：根據(jù)題意，等差數(shù)列滿足，即，變形可得，所以．故答案為：．【點評】本題考查等差數(shù)列的前項和與等差數(shù)列通項公式的應用，注意分析與的關系，屬于基礎題．三．等比數(shù)列的性質(zhì)（共1小題）5．（2021?上海）在無窮等比數(shù)列中，，則的取值范圍是，，．〖祥解〗由無窮等比數(shù)列的概念可得公比的取值范圍，再由極限的運算知，從而得解．【解答】解：無窮等比數(shù)列，公比，，，，，，，．故答案為：，，．【點評】本題考查無窮等比數(shù)列的概念與性質(zhì)，極限的運算，考查學生的運算求解能力，屬于基礎題．四．等比數(shù)列的前n項和（共1小題）6．（2023?上海）已知首項為3，公比為2的等比數(shù)列，設等比數(shù)列的前項和為，則189．〖祥解〗直接利用等比數(shù)列的前項和公式求解．【解答】解：等比數(shù)列的首項為3，公比為2，．故答案為：189．【點評】本題主要考查了等比數(shù)列的前項和公式，屬于基礎題．五．數(shù)列的應用（共5小題）7．（2022?上海）已知等比數(shù)列的前項和為，前項積為，則下列選項判斷正確的是A．若，則數(shù)列是遞增數(shù)列 B．若，則數(shù)列是遞增數(shù)列 C．若數(shù)列是遞增數(shù)列，則 D．若數(shù)列是遞增數(shù)列，則〖祥解〗反例判斷；反例判斷；構(gòu)造等比數(shù)列，結(jié)合等比數(shù)列的性質(zhì)判斷；推出數(shù)列公比以及數(shù)列項的范圍，即可判斷．【解答】解：如果數(shù)列，公比為，滿足，但是數(shù)列不是遞增數(shù)列，所以不正確；如果數(shù)列，公比為，滿足，但是數(shù)列不是遞增數(shù)列，所以不正確；如果數(shù)列，公比為，，數(shù)列是遞增數(shù)列，但是，所以不正確；數(shù)列是遞增數(shù)列，可知，可得，所以，可得正確，所以正確；故選：．【點評】本題考查數(shù)列的應用，等比數(shù)列的性質(zhì)的應用，是中檔題．8．（2024?上海），，，，任意，，，，滿足，求有序數(shù)列，，，有48對．〖祥解〗由題意得，10，12，18，20，，設，由單調(diào)性有，，，，分類討論可求解．【解答】解：由題意得，10，12，18，20，，滿足，不妨設，由單調(diào)性有，，，，分兩種情況討論：①，，解得，，，，②，，解得，，，，所以有2種，綜上共有對．故答案為：48．【點評】本題綜合考查了數(shù)列，不等式的應用，屬于難題．9．（2024?上海）無窮等比數(shù)列滿足首項，，記，，，，若對任意正整數(shù)，集合是閉區(qū)間，則的取值范圍是，．〖祥解〗當時，不妨設，則，，，，結(jié)合為閉區(qū)間可得對任意的恒成立，故可求的取值范圍．【解答】解：由題設有，因為，，故，故，當時，，，，故，，此時為閉區(qū)間，當時，不妨設，若，，，則，，若，，，，則，，若，，，則，，綜上，，，，，又為閉區(qū)間等價于，，，為閉區(qū)間，而，故對任意恒成立，故，故，故對任意的恒成立，因為，故當時，，故即．故答案為：，．【點評】本題考查數(shù)列的應用，等比數(shù)列的性質(zhì)的應用，是中檔題．10．（2021?上海）已知數(shù)列滿足，對任意，和中存在一項使其為另一項與的等差中項．（1）已知，，，求的所有可能取值；（2）已知，、、為正數(shù)，求證：、、成等比數(shù)列，并求出公比；（3）已知數(shù)列中恰有3項為0，即，，且，，求的最大值．〖祥解〗（1）根據(jù)和中存在一項使其為另一項與的等差中項建立等式，然后將，，的值代入即可；（2）根據(jù)遞推關系求出、，然后根據(jù)等比數(shù)列的定義進行判定即可；（3）分別求出，，的通項公式，從而可求出各自的最大值，從而可求出所求．【解答】解：（1）由題意，或，解得，解得，經(jīng)檢驗，，（2）證明：，，或，經(jīng)檢驗，；，或（舍，；，或（舍，；，或（舍，；綜上，、、成等比數(shù)列，公比為；（3）由或，可知或，由第（2）問可知，，則，即，，則，，同理，，，同理，，的最大值．【點評】本題主要考查了數(shù)列的綜合應用，等比數(shù)列的判定以及通項公式的求解，同時考查了學生計算能力，屬于難題．11．（2020?上海）已知數(shù)列為有限數(shù)列，滿足，則稱滿足性質(zhì)．（1）判斷數(shù)列3、2、5、1和4、3、2、5、1是否具有性質(zhì)，請說明理由；（2）若，公比為的等比數(shù)列，項數(shù)為10，具有性質(zhì)，求的取值范圍；（3）若是1，2，3，，的一個排列，符合，2，，，、都具有性質(zhì)，求所有滿足條件的數(shù)列．〖祥解〗（1）根據(jù)定義，驗證兩個數(shù)列3、2、5、1和4、3、2、5、1是否具有性質(zhì)即可；（2）假設公比的等比數(shù)列滿足性質(zhì)，可得：，推出，通過，時，時：時，四種情況討論求解即可．（3）設，分時，當時，當時，當時，以及，4，，，，五種情況討論，判斷數(shù)列的可能情況，分別推出判斷是否滿足性質(zhì)即可．【解答】解：（1）對于數(shù)列3，2，5，1，有，，，滿足題意，該數(shù)列滿足性質(zhì)；對于第二個數(shù)列4、3、2、5、1，，，．不滿足題意，該數(shù)列不滿足性質(zhì)．（2）由題意：，可得：，，3，，，兩邊平方可得：，整理可得：，當時，得此時關于恒成立，所以等價于時，，所以，，所以，或，所以取，當時，得，此時關于恒成立，所以等價于時，，所以，所以，所以?。敃r：，當為奇數(shù)時，得，恒成立，當為偶數(shù)時，，不恒成立；故當時，矛盾，舍去．當時，得，當為奇數(shù)時，得，恒成立，當為偶數(shù)時，，恒成立；故等價于時，，所以，所以或，所以取，綜上，．（3）設，，4，，，，因為，可以取，或，可以取，或，如果或取了或，將使不滿足性質(zhì)；所以的前5項有以下組合：①，；；；；②，；；；；③，；；；；④，；；；；對于①，，，，與滿足性質(zhì)矛盾，舍去；對于②，，，，與滿足性質(zhì)矛盾，舍去；對于③，，，，與滿足性質(zhì)矛盾，舍去；對于④，，，與滿足性質(zhì)矛盾，舍去；所以，4，，，，均不能同時使、都具有性質(zhì)．當時，有數(shù)列，2，3，，，滿足題意．當時，有數(shù)列，，，3，2，1滿足題意．當時，有數(shù)列，1，3，，，滿足題意．當時，有數(shù)列，，，，，3，2，1滿足題意．所以滿足題意的數(shù)列只有以上四種．【點評】本題考查數(shù)列的綜合應用，不等式以及不等關系，二次函數(shù)的性質(zhì)以及函數(shù)的相關性質(zhì)的綜合應用，考查分析問題解決問題的能力是難度大的題目，必須由高的數(shù)學思維邏輯修養(yǎng)才能解答．六．數(shù)列的求和（共1小題）12．（2021?上海）已知為無窮等比數(shù)列，，的各項和為9，，則數(shù)列的各項和為．〖祥解〗設的公比為，由無窮遞縮等比數(shù)列的求和公式，解方程可得，進而得到，，求得數(shù)列的首項和公比，再由無窮遞縮等比數(shù)列的求和公式，可得所求和．【解答】解：設的公比為，由，的各項和為9，可得，解得，所以，，可得數(shù)列是首項為2，公比為的等比數(shù)列，則數(shù)列的各項和為．故答案為：．【點評】本題考查等比數(shù)列的通項公式和無窮遞縮等比數(shù)列的求和公式，考查方程思想和運算能力，屬于基礎題．七．數(shù)列遞推式（共2小題）13．（2021?上海）已知，2，，對任意的，或中有且僅有一個成立，，，則的最小值為31．〖祥解〗設，由題意可得，，恰有一個為1，然后分兩種情況分別求解的值，即可得到答案．【解答】解：設，由題意可得，，恰有一個為1，如果，那么，，，，同樣也有，，，，，全部加起來至少是；如果，那么，，，同樣也有，，，，，全部加起來至少是，綜上所述，最小應該是31．故答案為：31．【點評】本題考查了數(shù)列的概念的理解和應用，遞推公式的應用，考查了邏輯推理能力與運算能力，屬于中檔題．14．（2022?上海）數(shù)列對任意且，均存在正整數(shù)，，滿足，，．（1）求可能值；（2）命題：若，，，成等差數(shù)列，則，證明為真，同時寫出逆命題，并判斷命題是真是假，說明理由；（3）若，成立，求數(shù)列的通項公式．〖祥解〗（1）利用遞推關系式可得，然后計算的值即可；（2）由題意可得，則，從而命題為真命題，給出反例可得命題為假命題．（3）由題意可得，，然后利用數(shù)學歸納法證明數(shù)列單調(diào)遞增，最后分類討論即可確定數(shù)列的通項公式．【解答】解：（1），或．（2），，，，，，，為等差數(shù)列，，．逆命題：若，則，，，，，，，為等差數(shù)列是假命題，舉例：，，，，，，，，．（3）因為，，，，，以下用數(shù)學歸納法證明數(shù)列單調(diào)遞增，即證明恒成立：當，明顯成立，假設時命題成立，即，則，則，命題得證．回到原題，分類討論求解數(shù)列的通項公式：1．若，則矛盾，2．若，則，，，此時，，3．若，則，，，（由（2）知對任意成立），，事實上：矛盾．綜上可得．【點評】本題主要考查數(shù)列中的遞推關系式，數(shù)列中的推理問題，數(shù)列通項公式的求解等知識，屬于難題．八．數(shù)列與函數(shù)的綜合（共2小題）15．（2024?上海）已知．（1）若過，求的解集；（2）存在使得、、成等差數(shù)列，求的取值范圍．〖祥解〗（1）先求出函數(shù)解析式，再結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性，即可求解；（2）根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)，推得有解，再結(jié)合分離常數(shù)法，以及二次函數(shù)的性質(zhì)，即可求解．【解答】解：（1）由過可得，則，解得（負值舍去），因為在上是嚴格增函數(shù)，，則，解得，故所求解集為；（2）因為、、成等差數(shù)列，所以，即有解，化簡可得，則且，故在上有解，又，故在上，，故，解得或，又，所以，故的取值范圍為．【點評】本題主要考查數(shù)列與函數(shù)的綜合，考查轉(zhuǎn)化能力，屬于中檔題．16．（2023?上海）已知，在該函數(shù)圖像上取一點，過點，作函數(shù)的切線，該切線與軸的交點記作，若，則過點，作函數(shù)的切線，該切線與軸的交點記作，以此類推，，，直至停止，由這些項構(gòu)成數(shù)列．（1）設屬于數(shù)列，證明：；（2）試比較與的大小關系；（3）若正整數(shù)，是否存在使得、、、、依次成等差數(shù)列？若存在，求出的所有取值；若不存在，請說明理由．〖祥解〗（1）對函數(shù)求導，利用導數(shù)的幾何意義，可得過點，的切線方程，再結(jié)合題意即可得證；（2）由不等式，結(jié)合（1）即可得出結(jié)論；（3）易知公差，，考察函數(shù)，利用導數(shù)可知的單調(diào)性情況，進而得到至多存在兩個，使得，由此可知，再驗證即可．【解答】解：（1）證明：，則過點，的切線的斜率為，由點斜式可得，此時切線方程為，即，令，可得，根據(jù)題意可知，，即得證；（2）先證明不等式，設，則，易知當時，，單調(diào)遞增，當時，，單調(diào)遞減，則（1），即，結(jié)合（1）可知，；（3）假設存在這樣的符合要求，由（2）可知，數(shù)列為嚴格的遞減數(shù)列，，2，3，，，由（1）可知，公差，，先考察函數(shù)，則，易知當時，，單調(diào)遞增，當時，，單調(diào)遞減，則至多只有兩個解，即至多存在兩個，使得，若，則，矛盾，則，當時，設函數(shù)，由于，，則存在，使得，于是取，，，它們構(gòu)成等差數(shù)列．綜上，．【點評】本題考查數(shù)列與函數(shù)的綜合運用，考查邏輯推理能力和運算求解能力，屬于中檔題．九．數(shù)列的極限（共3小題）17．（2020?上海）計算：A．3 B． C． D．5〖祥解〗把分子分母同時除以，則答案可求．【解答】解：．故選：．【點評】本題考查數(shù)列極限的求法，是基礎的計算題．18．（2020?上海）計算：．〖祥解〗由極限的運算法則和重要數(shù)列的極限公式，可得所求值．【解答】解：，故答案為：．【點評】本題考查數(shù)列的極限的求法，注意運用極限的運算性質(zhì)，考查運算能力，是一道基礎題．19．（2022?上海）已知在數(shù)列中，，其前項和為．（1）若是等比數(shù)列，，求；（2）若是等差數(shù)列，，求其公差的取值范圍．〖祥解〗（1）由已知求得等比數(shù)列的公比，再求出前項和，求極限得答案；（2）求出等差數(shù)列的前項和，代入，對分類分析得答案．【解答】解：（1）在等比數(shù)列中，，，則，公比，則，；（2）若是等差數(shù)列，則，即，當時，；當時，恒成立，，，．綜上所述，，．【點評】本題考查等差數(shù)列與等比數(shù)列前項和，考查數(shù)列極限的求法，考查數(shù)列的函數(shù)特性及應用，是中檔題．一十．等差數(shù)列與等比數(shù)列的綜合（共2小題）20．（2023?上海）已知無窮數(shù)列的各項均為實數(shù)，為其前項和，若對任意正整數(shù)都有，則下列各項中可能成立的是A．，，，，，為等差數(shù)列，，，，，，為等比數(shù)列 B．，，，，，為等比數(shù)列，，，，，，為等差數(shù)列 C．，，，，為等差數(shù)列，，，，，為等比數(shù)列 D．，，，，為等比數(shù)列，，，，，為等差數(shù)列〖祥解〗由對任意正整數(shù)，都有，可以知道，，，，不可能為等差數(shù)列，若，，則，矛盾；若，，當，，使得，矛盾；若，，當，，必有使得，矛盾；若，當，，必有使得，矛盾；若，當，，，必有使得，矛盾；即可判斷．【解答】解：由對任意正整數(shù)，都有，可以知道，，，，不可能為等差數(shù)列，因為若，當，，，必有使得，矛盾；若，，則，矛盾；若，，當，，使得，矛盾；若，，當，，必有使得，矛盾；若，當，，必有使得，矛盾；所以選項中的，，，，為等差數(shù)列與上述推理矛盾，故不可能正確；選項中的，，，，為等差數(shù)列與上述推理矛盾，故不可能正確；選項中的，，，，為等差數(shù)列與上述推理矛盾，故不可能正確；由排除法可得正確．故選：．【點評】本題考查了等差數(shù)列和等比數(shù)列的性質(zhì)，屬于中檔題．21．（2020?上海）已知各項均為正數(shù)的數(shù)列，其前項和為，．（1）若數(shù)列為等差數(shù)列，，求數(shù)列的通項公式；（2）若數(shù)列為等比數(shù)列，，求滿足時的最小值．〖祥解〗（1）設等差數(shù)列的公差為，運用等差數(shù)列的求和公式，解方程可得，進而得到所求通項公式；（2）設等比數(shù)列的公比為，由等比數(shù)列的通項公式可得，再由等比數(shù)列的求和公式，解不等式可得的最小值．【解答】解：（1）數(shù)列為公差為的等差數(shù)列，，，可得，解得，則；（2）數(shù)列為公比為的等比數(shù)列，，，可得，即，則，，，即為，即，可得，即的最小值為7．【點評】本題考查等差數(shù)列和等比數(shù)列的通項公式和求和公式的運用，考查方程思想和運算能力，屬于基礎題．一．選擇題（共14小題）1．（2024?松江區(qū)校級模擬）用數(shù)學歸納法證明不等式的過程中，由遞推到時不等式左邊A．增加了 B．增加了 C．增加了，但減少了 D．增加了，但減少了〖祥解〗分別求出當，時，不等式左邊的表達式，通過比較，即可求解．【解答】解：當時，不等式左邊為，當時，不等式的左邊為，故不等式左邊增加了，但減少了．故選：．【點評】本題主要考查數(shù)學歸納法的應用，屬于基礎題．2．（2024?長寧區(qū)二模）設數(shù)列的前項和為，若存在非零常數(shù)，使得對任意正整數(shù)，都有，則稱數(shù)列具有性質(zhì)①存在等差數(shù)列具有性質(zhì)；②不存在等比數(shù)列具有性質(zhì)；對于以上兩個命題，下列判斷正確的是A．①真②真 B．①真②假 C．①假②真 D．①假②假〖祥解〗根據(jù)等差數(shù)列的求和公式，結(jié)合題中條件，即可判斷①；設等比數(shù)列的公比為，首項為，根據(jù)等比數(shù)列的求和公式，結(jié)合題中條件，即可判斷②．【解答】解：對于①，若等差數(shù)列具有性質(zhì)，則存在非零常數(shù)，使得對任意正整數(shù)，都有，令，則，即，令，則，即，令，則，即，由，得，即，化簡得，所以等差數(shù)列具有性質(zhì)，①是真命題；對于②，若等比數(shù)列具有性質(zhì)，則存在非零常數(shù)，使得對任意正整數(shù)，都有，令，則，即，令，則，即，令，則，則，由，設等比數(shù)列的公比為，則，化簡得，所以等比數(shù)列具有性質(zhì)，所以②是假命題．故選：．【點評】本題屬于新概念題，考查了等差、等比數(shù)列的求和公式及性質(zhì)，屬于中檔題．3．（2024?青浦區(qū)二模）設為是首項為，公比為的等比數(shù)列的前項和，且，則A． B． C． D．〖祥解〗根據(jù)題意算出，可得且，由此對各項的結(jié)論加以判斷，即可得到本題的答案．【解答】解：，，，即且，，兩邊都除以，得，可得．對于，由，可得，故項不正確；對于，由于，所以不成立，故不正確；對于，因為，所以，可得．結(jié)合，可得，故正確；對于，根據(jù)且，當，時，，此時不成立，故不正確．故選：．【點評】本題主要考查等比數(shù)列的通項公式及其性質(zhì)、等比數(shù)列的前項和公式等知識，考查了計算能力、邏輯推理能力，屬于中檔題．4．（2024?浦東新區(qū)校級四模）已知數(shù)列不是常數(shù)列，前項和為，且．若對任意正整數(shù)，存在正整數(shù)，使得，則稱是“可控數(shù)列”．現(xiàn)給出兩個命題：①存在等差數(shù)列是“可控數(shù)列”；②存在等比數(shù)列是“可控數(shù)列”．則下列判斷正確的是A．①與②均為真命題 B．①與②均為假命題 C．①為真命題，②為假命題 D．①為假命題，②為真命題〖祥解〗由等差數(shù)列、等比數(shù)列的通項公式和求和公式，結(jié)合“可控數(shù)列”的定義，可得結(jié)論．【解答】解：①，數(shù)列不是常數(shù)列，則，則看作是一次函數(shù)的變化，由得，看作是二次函數(shù)的變化，當足夠大時，極限的思想說明不成立；②，取，則，當時，取，可得，，滿足；當時，取，可得，而，滿足．故選：．【點評】本題考查數(shù)列的新定義和等差數(shù)列、等比數(shù)列的通項公式和求和公式，考查轉(zhuǎn)化思想和推理能力，屬于中檔題．5．（2024?黃浦區(qū)二模）設數(shù)列的前項和為，若對任意的，都是數(shù)列中的項，則稱數(shù)列為“數(shù)列”．對于命題：①存在“數(shù)列”，使得數(shù)列為公比不為1的等比數(shù)列；②對于任意的實數(shù)，都存在實數(shù)，使得以為首項、為公差的等差數(shù)列為“數(shù)列”．下列判斷正確的是A．①和②均為真命題 B．①和②均為假命題 C．①是真命題，②是假命題 D．①是假命題，②是真命題〖祥解〗根據(jù)題意，結(jié)合“數(shù)列”的定義，舉出實例說明①②正確，即可得答案．【解答】解：根據(jù)題意，依次分析兩個命題：對于①，對于數(shù)列，令，則，數(shù)列為公比不為1的等比數(shù)列，①正確；對于②，等差數(shù)列，令，有，則有，數(shù)列為“數(shù)列”，②正確．故選：．【點評】本題考查等比數(shù)列、等差數(shù)列的性質(zhì)和定義，涉及數(shù)列的求和，屬于中檔題．6．（2024?普陀區(qū)校級三模）設為無窮數(shù)列．若存在正整數(shù)，使得對任意正整數(shù)，均成立，則稱為“低調(diào)數(shù)列”．有以下兩個命題：①，是低調(diào)數(shù)列當且僅當；②若存在，使得，，，，為低調(diào)數(shù)列，則．那么A．①是真命題，②是假命題 B．①是假命題，②是真命題 C．①、②都是真命題 D．①、②都是假命題〖祥解〗根據(jù)“低調(diào)數(shù)列”的定義驗證即可．【解答】解：對于數(shù)列，由存在正整數(shù)，使得對任意正整數(shù)，均成立，則稱為“低調(diào)數(shù)列”定義可知．若該數(shù)列為低調(diào)數(shù)列，因均小于，故．反之，當時，，即該數(shù)列為低調(diào)數(shù)列．故①是真命題．對于數(shù)列，，，，，顯然．若存在使得該數(shù)列為低調(diào)數(shù)列，則對一切正整數(shù)恒成立．若，則當時，不成立；若，取即可；若，則，取即可．綜上，②是真命題．故選：．【點評】本題考查數(shù)列的應用，考查學生的運算能力，屬于中檔題．7．（2024?寶山區(qū)二模）數(shù)列中，是其前項的和，若對任意正整數(shù)，總存在正整數(shù)，使得，則稱數(shù)列為“某數(shù)列”．現(xiàn)有如下兩個命題：①等比數(shù)列為“某數(shù)列”；②對任意的等差數(shù)列，總存在兩個“某數(shù)列”和，使得．則下列選項中正確的是A．①為真命題，②為真命題 B．①為真命題，②為假命題 C．①為假命題，②為真命題 D．①為假命題，②為假命題〖祥解〗由等比數(shù)列結(jié)合新定義即可判斷①，若，設，，再由新定義可得則，即可判斷②．【解答】解：對于①，由等比數(shù)列可得，若對任意正整數(shù)，總存在正整數(shù)，使得，則，即，顯然不成立，故①為假命題；對于②，設等差數(shù)列的公差為，則．令，，則．下面證是“某數(shù)列”．設的前項和為，則．于是對任意的正整數(shù)，總存在正整數(shù)，使得，所以是“某數(shù)列”．同理，可證也是“數(shù)列”．所以對任意的等差數(shù)列，總存在兩個“某數(shù)列”和，使得成立，故②為真命題．故選：．【點評】本題考查新定義的理解和運用，考查等比數(shù)列的通項和求和，考查推理和運算能力，屬于中檔題．8．（2024?普陀區(qū)模擬）設是數(shù)列的前項和，若數(shù)列滿足：對任意的，存在大于1的整數(shù)，使得成立，則稱數(shù)列是“數(shù)列”．現(xiàn)給出如下兩個結(jié)論：①存在等差數(shù)列是“數(shù)列”；②任意等比數(shù)列都不是“數(shù)列”．則A．①成立②成立 B．①成立②不成立 C．①不成立②成立 D．①不成立②不成立〖祥解〗由題意可得任意的，存在大于1的整數(shù)，使得，對命題①，分公差或兩種情況討論可判斷結(jié)論；對于②，舉例如，可判斷結(jié)論．【解答】解：由“數(shù)列”的定義，對任意的，存在大于1的整數(shù)，使得，成立，則對于任意的，存在大于1的整數(shù)，使得，對于命題①不成立，理由如下：假設存在，當時，總存在，由于對任意正整數(shù)，都有，總存在正整數(shù)，使得與，不會存在．當時，總存在，由于對任意正整數(shù)，有，總存在整數(shù)，使得與，不存在．對于命題②不成立，理由如下：舉例說明：如，有，，，可取，可以保證不等式成立．綜上，①②均不成立．故選：．【點評】本題考查新定義，考查轉(zhuǎn)化思想與閱讀理解能力，考查分類討論思想，是中檔題．9．（2024?浦東新區(qū)校級模擬）已知數(shù)列滿足，．給出下列四個結(jié)論：①數(shù)列每一項都滿足；②數(shù)列的前項和；③數(shù)列每一項都滿足成立；④數(shù)列每一項都滿足．其中，所有正確結(jié)論的序號是A．①④ B．②④ C．①③④ D．①②④〖祥解〗通過遞推公式，判斷出數(shù)列單調(diào)性，由此得到數(shù)列的取值范圍，根據(jù)取值范圍對①③④進行判斷，算出即可判斷②．【解答】解：由，，得，，，，②錯誤；，又因為，所以，所以，①正確；由，可得，即，又，兩邊同時除以，可得，，，，累加可得，又因，所以，即有，當時，，所以，③錯誤；由，得，則當時，，則，當時，，所以，故④正確．故選：．【點評】本題主要考查數(shù)列遞推式，考查運算求解能力，屬于中檔題．10．（2024?浦東新區(qū)二模）設，，，記，2，，，令有窮數(shù)列為零點的個數(shù)，2，，，則有以下兩個結(jié)論：①存在，使得為常數(shù)列；②存在，使得為公差不為零的等差數(shù)列．那么A．①正確，②錯誤 B．①錯誤，②正確 C．①②都正確 D．①②都錯誤〖祥解〗對于①，列舉驗證，對于②，列舉驗證．【解答】解：當時，，此時，，此時，，此時，故存在，使為常數(shù)列；①正確；設，則有個零點1，2，3，，，則在，，，的每個區(qū)間內(nèi)各至少一個零點，故至少有個零點，因為是一個次函數(shù)，故最多有個零點，因此有且僅有個零點，同理，有且僅有個零點，，有且僅有個零點，故，所以是公差為的等差數(shù)列，故②正確．故選：．【點評】本題主要考查數(shù)列與函數(shù)的綜合，屬于中檔題．11．（2024?奉賢區(qū)三模）若數(shù)列的前項和為，關于正整數(shù)的方程記為，命題：對于任意的，存在等差數(shù)列使得有解；命題：對于任意的，存在等比數(shù)列使得有解；則下列說法中正確的是A．命題為真命題，命題為假命題 B．命題為假命題，命題為真命題 C．命題為假命題，命題為假命題 D．命題為真命題，命題為真命題〖祥解〗根據(jù)題意，利用等差數(shù)列與等比數(shù)列的性質(zhì)，結(jié)合有解，構(gòu)造出滿足條件的等差、等比數(shù)列，即可求解．【解答】解：當時，可得且，顯然滿足；當時，設等差數(shù)列的首項，公差為，可得，此時，，滿足，即存在等差數(shù)列；使得有解，當時，設等差數(shù)列的首項，公差為，可得，，，此時，，滿足，即存在等差數(shù)列使得有解，綜上可得，對于任意的，存在等差數(shù)列使得有解，所以命題為真命題；當時，取等比數(shù)列的首項為，公比為，可得，則，此時滿足即成立；當時，取等比數(shù)列的首項，公比，可得，此時，，滿足，即存在等比數(shù)列使得有解，當時，令，即為首項，公比為的等比數(shù)列，此時，，滿足，即存在等比數(shù)列使得有解；綜上可得，對于任意的，存在等比數(shù)列使得有解，所以命題為真命題．故選：．【點評】本題考查等差數(shù)列、等比數(shù)列的綜合應用，屬于難題．12．（2024?松江區(qū)校級模擬）數(shù)列的前項和為，若數(shù)列與函數(shù)滿足：①的定義域為；②數(shù)列與函數(shù)均單調(diào)增；③存在正整數(shù)，使成立，則稱數(shù)列與函數(shù)具有“單調(diào)偶遇關系”．給出下列兩個命題：①與數(shù)列具有“單調(diào)偶遇關系”的函數(shù)有有限個；②與數(shù)列具有“單調(diào)偶遇關系”的函數(shù)有無數(shù)個．A．①②都是真命題 B．①是真命題，②是假命題 C．①是假命題，②是真命題 D．①②都是假命題〖祥解〗以一次函數(shù)為例，可判斷①；令，通過計算可判斷②，進而可得正確選項．【解答】解：對于①：以一次函數(shù)為例，，，，即，整理得，只要方程有正整數(shù)解且即可，如方程中取，則有，即，對進行不同的取值即可保證數(shù)列具有“單調(diào)偶遇關系”的函數(shù)有無數(shù)組，故命題①是假命題；對于②：數(shù)列的前項和為，令．由得，取，即可保證恒成立，故命題②為真命題．故選：．【點評】本題主要考查數(shù)列與函數(shù)的綜合，考查運算求解能力，屬于中檔題．13．（2024?黃浦區(qū)校級三模）已知數(shù)列是1為首項，2為公差的等差數(shù)列，是1位首項，2為公比的等比數(shù)列，設，，，則當時，的最大值為A．9 B．10 C．11 D．24〖祥解〗由題設知，，由和，得，由此能求出當時的最大值．【解答】解：是以1為首項，2為公差的等差數(shù)列，，是以1為首項，2為公比的等比數(shù)列，，，，，解得：．則當時，的最大值是9．故選：．【點評】本題考查等差數(shù)列、等比數(shù)列的基本量、通項，結(jié)合含兩個變量的不等式的處理問題，對數(shù)學思維的要求比較高，有一定的探索性，綜合性強，難度大，易出錯．14．（2024?浦東新區(qū)校級四模）已知數(shù)列滿足為正整數(shù)），，設集合．有以下兩個猜想：①不論取何值，總有；②若，且數(shù)列中恰好存在連續(xù)的7項構(gòu)成等比數(shù)列，則的可能取值有6個．其中A．①正確，②正確 B．①正確，②錯誤 C．①錯誤，②正確 D．①錯誤，②錯誤〖祥解〗設出數(shù)列中的一項，，然后分被3除余1，余2，余0三種情況進行討論，借助給出的遞推關系式進行推證即可判斷①，結(jié)合遞推關系式得到符合的形式，然后保證，即可判斷②．【解答】解：（1）不妨設出數(shù)列中的一項，，①若被3除余1，則由已知可得，，，若被3除余2，則由已知可得，，，若被3除余0，則由已知可得，，所以對對任意的，，則，所以對數(shù)列中的任一項，若，則，因為，所以，所以數(shù)列中必存在某一項（否則與上述結(jié)論矛盾），若，結(jié)論得證，若，則，，結(jié)論得證，若，則，得證，所以，不論取何值，總有；故①正確；②若是3的倍數(shù)，則，若被3除余1，則由已知可得，，若被3除余2，則由已知可得，，所以連續(xù)的7項構(gòu)成等比數(shù)列的公比為，因為，所以這7項中前6項一定都量3的倍數(shù)，而第七項一定不是3的倍數(shù)（否則構(gòu)成等比數(shù)列的連接項數(shù)會多于7項）設第7項為，則是被3除余1或余2的正整數(shù)，則可推得，因為，所以，或，由遞推關系式可知，在該數(shù)列的前項中，滿足小于等于2022的項只有；，或，，或，所以首項的有可能取值的集合為，，，，，，故的可能取值有6個．故②正確．故選：．【點評】本題考查數(shù)列的遞推關系式，考進學生的抽象思維能力，屬難題．二．填空題（共35小題）15．（2024?閔行區(qū)校級三模）設某直角三角形的三個內(nèi)角的余弦值成等差數(shù)列，則最小內(nèi)角的正切值為．〖祥解〗根據(jù)題意，設該直角三角形為，且，由等差數(shù)列的性質(zhì)可得，進而分析可得答案．【解答】解：根據(jù)題意，設該直角三角形為，且，則有，即，又，則有，解得．故答案為：．【點評】本題考查等差數(shù)列的性質(zhì)，涉及三角函數(shù)的誘導公式，屬于基礎題．16．（2024?普陀區(qū)模擬）設等比數(shù)列的公比為，則“，，成等差數(shù)列”的一個充分非必要條件是（或．〖祥解〗根據(jù)已知條件，結(jié)合等差數(shù)列、等比數(shù)列的性質(zhì)，即可求解．【解答】解：，，成等差數(shù)列，則，即，解得或，故“，，成等差數(shù)列”的一個充分非必要條件是（或．故答案為：（或．【點評】本題主要考查等差數(shù)列、等比數(shù)列的性質(zhì)，屬于基礎題．17．（2024?黃浦區(qū)校級三模）數(shù)列滿足為正整數(shù)），且與的等差中項是5，則首項1．〖祥解〗根據(jù)已知條件，結(jié)合等差數(shù)列、等比數(shù)列的性質(zhì)，即可求解．【解答】解：數(shù)列滿足為正整數(shù)），則數(shù)列為等比數(shù)列，不妨設其公比為，則，與的等差中項是5，則，即，解得．故答案為：1．【點評】本題主要考查等差數(shù)列、等比數(shù)列的性質(zhì)，屬于基礎題．18．（2024?松江區(qū)校級模擬）已知等差數(shù)列的前項和為，若，，則759．〖祥解〗根據(jù)已知條件，結(jié)合等差數(shù)列的通項公式，求出公差，再結(jié)合等差數(shù)列的前項和公式，即可求解．【解答】解：由題意可得，，，，，，．故答案為：759．【點評】本題主要考查等差數(shù)列的前項和公式，屬于基礎題．19．（2024?虹口區(qū)模擬）已知數(shù)列的前項和，則9．〖祥解〗當時，，即可求解．【解答】解：數(shù)列的前項和，，則．故答案為：9．【點評】本題考查了數(shù)列的與的關系，屬于基礎題．20．（2024?浦東新區(qū)二模）已知等差數(shù)列滿足，，則5．〖祥解〗直接利用等差數(shù)列的性質(zhì)求出結(jié)果．【解答】解：根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)，，解得．故答案為：5．【點評】本題考查的知識點：等差數(shù)列的性質(zhì)，主要考查學生的運算能力，屬于基礎題．21．（2024?松江區(qū)二模）已知等差數(shù)列的公差為2，前項和為，若，則使得成立的的最大值為5．〖祥解〗利用等差數(shù)列的性質(zhì)求解．【解答】解：等差數(shù)列的公差為2，前項和為，，，解得，，，，，整理得，解得，，使得成立的的最大值為5．故答案為：5．【點評】本題考查等差數(shù)列的性質(zhì)等基礎知識，考查運算求解能力，是基礎題．22．（2024?普陀區(qū)校級模擬）已知為等比數(shù)列，公比，，且，，成等差數(shù)列，則通項公式．〖祥解〗由，，成等差數(shù)列，得，然后利用等比數(shù)列通項公式，代入求出公比即可．【解答】解：由，，成等差數(shù)列，且，得，解得或，又，所以，所以．故答案為：．【點評】本題考查等比數(shù)列的基本量運算，屬于基礎題．23．（2024?浦東新區(qū)校級模擬）已知為無窮等比數(shù)列，，，則的公比為．〖祥解〗由題意知，，再利用無窮等比數(shù)列和的公式求解即可．【解答】解：因為無窮等比數(shù)列，，則，，又，所以，解得或（舍．故答案為：．【點評】本題主要考查了等比數(shù)列的求和公式，屬于基礎題．24．（2024?楊浦區(qū)二模）各項為正的等比數(shù)列滿足：，，則通項公式為．〖祥解〗利用等比數(shù)列的性質(zhì)直接求解．【解答】解：各項為正的等比數(shù)列滿足：，，，解得，通項公式為．故答案為：．【點評】本題考查等比數(shù)列的性質(zhì)等基礎知識，考查運算求解能力，是基礎題．25．（2024?閔行區(qū)校級三模）設是等比數(shù)列的前項和，若，，則5．〖祥解〗利用等比數(shù)列的性質(zhì)求解．【解答】解：是等比數(shù)列的前項和，，，由題意得，，因為，，，，成等比數(shù)列，故，即，解得，則，所以，，故．故答案為：5．【點評】本題考查等比數(shù)列的性質(zhì)等基礎知識，考查運算求解能力，是基礎題．26．（2024?金山區(qū)二模）設公比為2的等比數(shù)列的前項和為，若，則4．〖祥解〗由已知結(jié)合等比數(shù)列的求和及等比數(shù)列的性質(zhì)即可求解．【解答】解：因為公比為2的等比數(shù)列中，，則．故答案為：4．【點評】本題主要考查了等比數(shù)列的性質(zhì)及求和公式的應用，屬于基礎題．27．（2024?楊浦區(qū)校級三模）無窮等比數(shù)列滿足：，，則的各項和為．〖祥解〗利用等比數(shù)列通項公式列方程首項和公比，由此能求出的各項和．【解答】解：因為無窮等比數(shù)列滿足：，，所以，所以，或，，當，時，的各項和為，當，時，的各項和為．的各項和為．故答案為：．【點評】本題考查等比數(shù)列的性質(zhì)等基礎知識，考查運算求解能力，是基礎檔題．28．（2024?浦東新區(qū)校級模擬）已知首項為2的等比數(shù)列的公比為，則3．．〖祥解〗根據(jù)題意判斷出等比數(shù)列是無窮遞縮等比數(shù)列，然后根據(jù)無窮遞縮等比數(shù)列的求和公式進行計算即可得到結(jié)果．【解答】解：由題意，可知等比數(shù)列是無窮遞縮等比數(shù)列，故．故答案為：3．【點評】本題主要考查無窮遞縮等比數(shù)列的求和問題，屬基礎題．29．（2024?奉賢區(qū)三模）若數(shù)列滿足對任意整數(shù)有成立，則在該數(shù)列中小于100的項一共有25項．〖祥解〗首先令，可得首項，再由作差法求得時的，由，解不等式可得所求．【解答】解：任意整數(shù)有成立，可得時，，當時，，對也成立，則，，令，解得，即有，2，，25，共有25項．故答案為：25．【點評】本題考查數(shù)列的遞推式和等差數(shù)列的通項公式，考查轉(zhuǎn)化思想和運算能力，屬于基礎題．30．（2024?寶山區(qū)校級四模）數(shù)列的最小項的值為．〖祥解〗根據(jù)題意，設，分析的單調(diào)性和函數(shù)值符號，進而分析數(shù)列的單調(diào)性，即可得答案．【解答】解：根據(jù)題意，設，可以由函數(shù)向右平移個單位得到，則在上遞減，且，在，上遞減且，對于數(shù)列，則在上遞減，且，在上遞增，且，故當時，取得最小值，其最小值為．故答案為：．【點評】本題考查數(shù)列的函數(shù)特性，涉及數(shù)列的最小項，屬于基礎題．31．（2024?虹口區(qū)二模）已知等比數(shù)列是嚴格減數(shù)列，其前項和為，，若，，成等差數(shù)列，則3．〖祥解〗先求公比，再求等比數(shù)列的前項和，最后判斷極限．【解答】解：設等比數(shù)列的公比為，則由，，成等差數(shù)列可得，即，整理得，解得，或，又等比數(shù)列是嚴格減數(shù)列，，故，，當時，，．故答案為：3．【點評】本題考查等比數(shù)列的前項和，屬于基礎題．32．（2024?浦東新區(qū)校級四模）記為等比數(shù)列的前項和．若，則的公比為．〖祥解〗先設等比數(shù)列的公比為，先令代入題干已知條件驗證可得，當時，結(jié)合等比數(shù)列的求和公式及題干已知條件列出關于公比的方程，解出的值，即可得到結(jié)果．【解答】解：由題意，設等比數(shù)列的公比為，數(shù)列是等比數(shù)列，首項，公比，①當時，，，則，，此時不滿足題干已知條件，故，②當時，則，，由，可得，化簡整理，得，解得，或，即（舍去），或，等比數(shù)列的公比為．故答案為：．【點評】本題主要考查等比數(shù)列的基本運算．考查了分類討論，方程思想，轉(zhuǎn)化與化歸思想，等比數(shù)列的求和公式的運用，以及邏輯推理能力和數(shù)學運算能力，屬中檔題．33．（2024?閔行區(qū)校級三模）數(shù)列滿足，若，，則數(shù)列的前20項的和為210．〖祥解〗數(shù)列的奇數(shù)項、偶數(shù)項都是等差數(shù)列，結(jié)合等差數(shù)列求和公式、分組求和法即可得解．【解答】解：數(shù)列滿足，若，，則，所以數(shù)列的奇數(shù)項、偶數(shù)項分別構(gòu)成以1，2為首項，公差均為2的等差數(shù)列，所以數(shù)列的前20項的和為．故答案為：210．【點評】本題主要考查數(shù)列的求和，考查運算求解能力，屬于中檔題．34．（2024?嘉定區(qū)校級模擬）已知數(shù)列是等比數(shù)列，且．設，數(shù)列的前項和為，則．〖祥解〗根據(jù)等比數(shù)列的性質(zhì)求得，根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)求得．【解答】解：因為為等比數(shù)列，，所以，又，可得（為常數(shù)），為等差數(shù)列，所以．故答案為：．【點評】本題考查了等差數(shù)列和等比數(shù)列的性質(zhì)，屬于中檔題．35．（2024?黃浦區(qū)校級模擬）若項數(shù)為的數(shù)列，滿足：，2，3，，，我們稱其為項的“對稱數(shù)列”．例如：數(shù)列1，2，2，1為4項的“對稱數(shù)列”；數(shù)列1，2，3，2，1為5項的“對稱數(shù)列”．設數(shù)列為項的“對稱數(shù)列”，其中，，，是公差為的等差數(shù)列，數(shù)列的最小項等于，記數(shù)列的前項和為，若，則的值為5或4．．〖祥解〗根據(jù)公差可得數(shù)列單調(diào)性進而可得，進而可得等差數(shù)列的通項公式，再結(jié)合對稱數(shù)列的定義列方程求解即可．【解答】解：由于，，，是公差為的等差數(shù)列，故，，，單調(diào)遞減，所以，故，則，．又，故，即，由等差數(shù)列前項和公式有，化簡得，解得或．故答案為：5或4．【點評】本題考查了等差數(shù)列的通項公式和前項和公式，屬于中檔題36．（2024?寶山區(qū)二模）在數(shù)列中，，且，則4．〖祥解〗利用遞推公式求出數(shù)列的前4項，由此猜想．再用數(shù)學歸納法證明，由此能求出．【解答】解：在數(shù)列中，，且，，，，由此猜想．下面用數(shù)學歸納法證明：①，成立，②假設成立，則成立，由①②得，則．故答案為：4．【點評】本題考查數(shù)列的遞推公式、遞推思想、數(shù)學歸納法等基礎知識，考查運算求解能力，是中檔題．37．（2024?閔行區(qū)校級模擬）已知有窮數(shù)列的首項為1，末項為12，且任意相鄰兩項之間滿足，，則符合上述要求的不同數(shù)列的個數(shù)為144．〖祥解〗先分析從首項1到末項12的運算方法的分類，然后結(jié)合組合數(shù)公式即可求解．【解答】解：從首項1到末項12的運算方法共分為以下幾類：（1）11次，方法數(shù)為1；（2）9次，2次，方法數(shù)為；（3）7次，2次，方法數(shù)為；（4）5次，3次，方法數(shù)；（5）3次，4次，方法數(shù)為；（6）1次，5次，方法數(shù)，故共有種．故答案為：144．【點評】本題主要考查了數(shù)列遞推關系的應用，組合數(shù)公式的應用及分步計數(shù)原理的應用，屬于中檔題．38．（2024?長寧區(qū)校級三模）已知數(shù)列的通項公式為，數(shù)列滿足，則．〖祥解〗把代入，整理后再求數(shù)列極限得答案．【解答】解：，，，則，．故答案為：．【點評】本題考查數(shù)列極限的求法，考查化歸與轉(zhuǎn)化思想，考查運算求解能力，是中檔題．39．（2024?黃浦區(qū)二模）已知數(shù)列是給定的等差數(shù)列，其前項和為，若，且當與時，，，取得最大值，則的值為21．〖祥解〗由已知結(jié)合等差數(shù)列的性質(zhì)及二次函數(shù)的性質(zhì)對的正負進行分類討論，分別進行求解即可．【解答】解：當時，有，所以，即為最小值，若取得最大值，則；當時，有，所以，即為最大的值，若取得最大值，則根據(jù)二次函數(shù)的對稱性可知，；所以．故答案為：21．【點評】本題主要考查了等差數(shù)列性質(zhì)的綜合應用，屬于中檔題．40．（2024?浦東新區(qū)校級模擬）已知無窮數(shù)列的前項和為，不等式對任意不等于2的正整數(shù)恒成立，且，那么這樣的數(shù)列有2個．〖祥解〗令，求得，再由與的關系，求得或，求得，結(jié)合不等式恒成立，可得所求結(jié)論．【解答】解：當時，，得或，當時，由，得，兩式相減得：，整理得，所以或，當時，由，可得，由題意可得對任意不等于2的正整數(shù)恒成立，則，，，，成立；當時，由，可得，，不合題意，舍去；當時，由，可得，由題意可得對任意不等于2的正整數(shù)恒成立，則，，，，成立；當時，若，可得，，不合題意，舍去．所以滿足題意的數(shù)列有2個．故答案為：2．【點評】本題考查數(shù)列的遞推式和等差數(shù)列、等比數(shù)列的定義，考查分類討論思想和運算能力、推理能力，屬于中檔題．41．（2024?嘉定區(qū)校級模擬）已知數(shù)列滿足，，則此數(shù)列的通項．〖祥解〗利用等差數(shù)列的通項公式即可得出．【解答】解：，即，數(shù)列是等差數(shù)列，公差為．．故答案為：．【點評】本題考查了等差數(shù)列的通項公式，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．42．（2024?徐匯區(qū)校級模擬）已知數(shù)列，是公差相等的等差數(shù)列，且，若為正整數(shù)，設，則數(shù)列的通項公式為．〖祥解〗設數(shù)列，的公差為，由可得，，代入可得答案．【解答】解：設數(shù)列，的公差為，由，可得，解得，則，，即，所以．故答案為：．【點評】本題考查了數(shù)列的遞推式，重點考查了等差數(shù)列通項公式的求法，屬中檔題．43．（2024?閔行區(qū)校級三模）已知數(shù)列滿足，點在雙曲線上，則4．〖祥解〗由雙曲線的方程求得，由數(shù)列的極限公式求得，再由兩點的距離公式，可得所求值．【解答】解：點在雙曲線上，可得，由于，可取，則，，即有，則．故答案為：4．【點評】本題考查數(shù)列極限的求法，以及兩點的距離公式，考查轉(zhuǎn)化思想和運算能力，屬于中檔題．44．（2024?寶山區(qū)二模）某區(qū)域的地形大致如圖1，某部門負責該區(qū)域的安全警戒，在哨位的正上方安裝探照燈對警戒區(qū)域進行探查掃描．假設1：警戒區(qū)域為空曠的扇環(huán)形平地；假設2：視探照燈為點，且距離地面20米；假設3：探照燈照射在地面上的光斑是橢圓．當探照燈以某一俯角從側(cè)掃描到側(cè)時，記為一次掃描，此過程中照射在地面上的光斑形成一個扇環(huán)，2，3，．由此，通過調(diào)整的俯角，逐次掃描形成扇環(huán)、、．第一次掃描時，光斑的長軸為，米，此時在探照燈處測得點的俯角為（如圖．記，經(jīng)測量知米，且是公差約為0.1米的等差數(shù)列，則至少需要經(jīng)過15次掃描，才能將整個警戒區(qū)域掃描完畢．〖祥解〗由題意可得，從而得故是以為首項，以0.1為公差的等差數(shù)列，由等差數(shù)的求和公式可得，再由求解即可．【解答】解：因為在中，，，所以，，故，故是以為首項，以0.1為公差的等差數(shù)列，故，而，，故．所以至少需要15次才能將整個警戒區(qū)域掃描完畢．故答案為：15．【點評】本題考查了數(shù)列在生活中的實際運用，屬于中檔題．45．（2024?普陀區(qū)模擬）設，，是正整數(shù)，是數(shù)列的前項和，，，若，且，，記，則7．〖祥解〗根據(jù)數(shù)列遞推式求出的通項，從而可得，進而可得，根據(jù)，即可求出．【解答】解：，，兩式相減，得：，即，而，所以，所以，則，當時，，根據(jù)數(shù)列的性質(zhì)可知，必有系數(shù)1024，512，256，128，64，32，8，則這7個數(shù)前面的系數(shù)為1，其余系數(shù)都是0，故．故答案為：7．【點評】本題主要考查數(shù)列遞推式，數(shù)列的求和，考查運算求解能力，屬于中檔題．46．（2024?浦東新區(qū)校級模擬）已知數(shù)列滿足：對任意，都有，，設數(shù)列的前項和為，若，則的最大值為．〖祥解〗首先求第二項，再找到可行數(shù)列，再證明可行性，即可求解．【解答】解：若，則，得，若，與矛盾，只能?。⒁獾揭粋€可行的數(shù)列為0，，1，，2，，3，，，下面證明該數(shù)列使達到最大．為此，我們證明：當為奇數(shù)時，．假設存在某正奇數(shù)使，則分為兩種可能：①若，則，；同時，按原數(shù)列要求，，，故．注意到該數(shù)列顯然為整數(shù)數(shù)列，故當為奇數(shù)時，不存在整數(shù)能位于該區(qū)間，因此矛盾．②若，則，，與矛盾；綜上，原假設不成立，故當為奇數(shù)時，．而已經(jīng)找到的數(shù)列0，，1，，2，，3，，，其中等號全部成立，故的最大值為．【點評】本題考查數(shù)列求和的最值，構(gòu)造可行數(shù)列是解題的關鍵，考查構(gòu)造思想和運算能力、推理能力，屬于中檔題．47．（2024?長寧區(qū)校級三模）已知數(shù)列共有5項，且滿足：①，；②；③，、2、3、4．則滿足條件的數(shù)列共有80個．〖祥解〗由特殊角的三角函數(shù)值，結(jié)合三個條件，首先寫出，，的取值，由分類討論思想，可得所求數(shù)列的個數(shù)．【解答】解：由③可得，，，，結(jié)合①②，即有，，，，，，，，，，，，，，，，，，若，或，都有；，或，都有；若，或，都有，共有．故答案為：80．【點評】本題考查數(shù)列與三角函數(shù)的綜合、數(shù)列的單調(diào)性，考查分類討論思想和運算能力，屬于中檔題．48．（2024?楊浦區(qū)校級三模）設關于的方程的從小到大的第個非負解為，2，3，，若數(shù)列是無窮等差數(shù)列，且在區(qū)間中的項恰好比在區(qū)間，中的項少2項，則的取值集合為為正整數(shù)，且．〖祥解〗設是方程的根，則也是方程的根，根據(jù)數(shù)列是無窮等差數(shù)列，求出，根據(jù)在區(qū)間中的項恰好比在區(qū)間，中的項少2項，列不等式組求出的取值集合．【解答】解：設第個正解，則的正解從小到大排列為（1），（2），（3），，由，得，因為數(shù)列是無窮等差數(shù)列，所以，所以，當時，，當，時，，，因為在區(qū)間中的項恰好比在區(qū)間，中的項少2項，所以，解得，所以為正整數(shù)，且．故答案為：為正整數(shù)，且．【點評】本題考查了等差數(shù)列與三角函數(shù)求值的應用問題，是難題．49．（2024?普陀區(qū)校級三模）等差數(shù)列滿足，則的最大值為50．〖祥解〗根據(jù)題意分析可知：存在，使得或，以為例，設等差數(shù)列的公差為，結(jié)合絕對值不等式的性質(zhì)分析可知：，且，進而可得，再根據(jù)等差數(shù)列的前項和公式，求得，從而得出，即可求解．【解答】若對任意，恒成立，則，可得，，顯然兩者不相等，不合題意；同理可得對任意，恒成立也不合題意；所以等差數(shù)列一部分為正，一部分為負，即存在，使得或，若，可得，且，當且僅當時，等號成立，即，解得；且，當且僅當時，等號成立即，解得，綜上所述：，即滿足條件的必為偶數(shù)，結(jié)合等號成立條件可知：且，設等差數(shù)列的公差為，則，，，即，，，可得，則，可得，解得，且，即有的最大值為25，的最大值為50；同理可得：當，的最大值也為50．故答案為：50．【點評】本題主要考查等差數(shù)列的前項和，屬于難題．三．解答題（共11小題）50．（2024?閔行區(qū)校級三模）如圖，已知正方體頂點處有一質(zhì)點，點每次會隨機地沿一條棱向相鄰的某個頂點移動，且向每個頂點移動的概率相同，從一個頂點沿一條棱移動到相鄰頂點稱為移動一次，若質(zhì)點的初始位置位于點處，記點移動次后仍在底面上的概率為．（1）求；（2）證明：數(shù)列是等比數(shù)列；若，求的最大值．〖祥解〗（1）由圖形可得每一個頂點有3個相鄰的頂點，其中兩個在同一底面，推得，由全概率公式可得；（2）由，結(jié)合等比數(shù)列的定義，可得證明，由是等比數(shù)列．可解得，再解不等式即可．【解答】解：（1）依題意，每一個頂點有3個相鄰的頂點，其中兩個在同一底面．所以當點在下底面時，隨機移動一次仍在下底面的概率為，在上底面時，隨機移動一次回到下底面的概率為，又因為，所以；（2）證明：因為，所以．又因為，所以，所以數(shù)列是等比數(shù)列．因為，所以，若，即，又，，所以若，的最大值為6．【點評】本題考查等比數(shù)列的定義、通項公式和求和公式，以及數(shù)列的錯位相減法求和、概率的運算，考查轉(zhuǎn)化思想和運算能力，屬于中檔題．51．（2024?閔行區(qū)校級模擬）某集團投資一工廠，第一年年初投入資金5000萬元作為初始資金，工廠每年的生產(chǎn)經(jīng)營能使資金在年初的基礎上增長．每年年底，工廠向集團上繳萬元，并將剩余資金全部作為下一年的初始資金，設第年的初始資金為萬元．（1）判斷是否為等比數(shù)列？并說明理由；（2）若工廠某年的資金不足以上繳集團的費用，則工廠在這一年轉(zhuǎn)型升級．設，則該工廠在第幾年轉(zhuǎn)型升級？〖祥解〗（1）根據(jù)已知條件，列出遞推式，再結(jié)合等比數(shù)列的性質(zhì)，即可求解；（2）結(jié)合（1）的結(jié)論，求出，再結(jié)合對數(shù)的運算性質(zhì)，即可求解．【解答】解：（1）是等比數(shù)列，理由如下：由題意可得，，，則，，由此可得，，即，當時，，故不是等比數(shù)列，當且時，故是以為首項，為公比的等比數(shù)列；（2）當時，由（1）可知：是以為首項，為公比的等比數(shù)列，故，，，設第年轉(zhuǎn)型升級，則，解得，故，綜上可知：該工廠在第9年轉(zhuǎn)型升級．【點評】本題主要考查數(shù)列的應用，考查轉(zhuǎn)化能力，屬于中檔題．52．（2024?青浦區(qū)二模）若無窮數(shù)列滿足：存在正整數(shù)，使得對一切正整數(shù)成立，則稱是周期為的周期數(shù)列．（1）若（其中正整數(shù)為常數(shù)，，，判斷數(shù)列是否為周期數(shù)列，并說明理由；（2）若，判斷數(shù)列是否為周期數(shù)列，并說明理由；（3）設是無窮數(shù)列，已知．求證：“存在，使得是周期數(shù)列”的充要條件是“是周期數(shù)列”．〖祥解〗（1）根據(jù)題設定義，利用的周期，即可得出結(jié)果；（2）分與兩種情況討論，當，易得到是周期為1的周期數(shù)列，當時，構(gòu)造，則，利用導數(shù)與函數(shù)單調(diào)性間的關系，可得出是嚴格增（或減）數(shù)列，從而可得出結(jié)果；（3）根據(jù)條件，利用充要條件的證明方法，即可證明結(jié)果．【解答】解：（1）因為，所以是為周期為的周期數(shù)列．（2）①當時，，，所以當時，是周期為1的周期數(shù)列；②當時，記，則，，當且僅當時等號成立．即，所以在上嚴格增．若，則，即，進而可得，即是嚴格增數(shù)列，不是周期數(shù)列；同理，若，可得是嚴格減數(shù)列，不是周期數(shù)列．綜上，當時，是周期為1的周期數(shù)列；當時，不是周期數(shù)列．（3）證明：充分性．若是周期數(shù)列，設它的周期為，記，則，，是關于的連續(xù)函數(shù)；，是關于的連續(xù)函數(shù)；，是關于的連續(xù)函數(shù)；，令，則是連續(xù)函數(shù)，且，，所以存在零點．于是（c），取，則（c），從而，，一般地，對任何正整數(shù)都成立，即是周期為的周期數(shù)列．必要性．若存在，使得是周期數(shù)列，設的周期為，則，所以是周期為的周期數(shù)列．【點評】本題主要考查數(shù)列的綜合應用，屬于中檔題．53．（2024?嘉定區(qū)校級模擬）已知，集合，，其中，，，．（1）求中最小的元素；（2）設，，且，求的值；（3）記，，若集合中的元素個數(shù)為，求．〖祥解〗（1）直接利用賦值法求出結(jié)果；（2）利用分類討論思想的應用①，②，③，進一步求出結(jié)果；（3）利用裂項的方法和組合數(shù)的變換求出數(shù)列的和．【解答】解：（1）中的最小元素為；（2）由題得，設，．①當時，或或或或或．經(jīng)檢驗，當時，，符合題意，所以．②當時，或或或．經(jīng)檢驗，當時，，符合題意，所以．③當時，不符合題意．因此，或10．（3）設，則，其中，，所以，設，則，因為，所以，，因為．所以，所以，又因為，所以．【點評】本題考查了數(shù)列遞推關系、等差數(shù)列的通項公式、裂項求和方法，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．54．（2024?寶山區(qū)校級四模）已知，數(shù)列的前項和為，點，均在函數(shù)的圖像上．（1）求數(shù)列的通項公式；（2）若，令，求數(shù)列的前2024項和．〖祥解〗（1）由題意可得，由與的關系，可得所求通項公式；（2）推得，再由數(shù)列的倒序相加求和，可得所求和．【解答】解：（1）由題意可得，當時，，當時，，對也成立，則，；（2）由，可得，又，可得，即有，則，又，兩式相加可得，可得．【點評】本題考查數(shù)列的遞推式和函數(shù)的對稱性、數(shù)列的倒序相加求和，考查轉(zhuǎn)化思想和運算能力，屬于中檔題．55．（2024?徐匯區(qū)模擬）已知各項均不為0的數(shù)列滿足是正整數(shù)），，定義函數(shù)，是自然對數(shù)的底數(shù)．（1）求證：數(shù)列是等差數(shù)列，并求數(shù)列的通項公式；（2）記函數(shù)，其中；證明：對任意，；數(shù)列滿足，設為數(shù)列的前項和．數(shù)列的極限的嚴格定義為：若存在一個常數(shù)，使得對任意給定的正實數(shù)（不論它多么?。偞嬖谡麛?shù)滿足：當時，恒有成立，則稱為數(shù)列的極限．試根據(jù)以上定義求出數(shù)列的極限．〖祥解〗（1）利用等差數(shù)列定義，構(gòu)造，即可證明；（2）先證，再證，分開證明．（3）取進行求解．【解答】解：（1）已知各項均不為0的數(shù)列滿足是正整數(shù)），即，得，所以是以首項，公差為1的等差數(shù)列．即．又．當時也滿足，即．（2）①先證：．根據(jù)已知，得．由，，當且僅當時等號成立，于是在，上是嚴格增函數(shù)，故成立．再證：．又，記，則，由，，故當且僅當時等號成立，于是在，上是嚴格減函數(shù)，故，于是．所以．②由題意知，，下面研究．將推廣至一般情形．．由，，，當且僅當時等號成立，于是在，上是嚴格增函數(shù)，故成立①；再證：，，記，則，由，，，故當且僅當時等號成立，于是在，上是嚴格減函數(shù)，故，于是．所以，，即對任意，．于是對，，整理得，令，得，即，故．當時，，故，即．從而．對于任意給定的正實數(shù)，令，則取為大于且不小于6的最小整數(shù)，則當時，恒成立，的極限為．【點評】本題考查了數(shù)列與不等式等綜合知識，屬于難題．56．（2024?閔行區(qū)二模）已知定義在上的函數(shù)的表達式為，其所有的零點按從小到大的順序組成數(shù)列．（1）求函數(shù)在區(qū)間上的值域；（2）求證：函數(shù)在區(qū)間，，上有且僅有一個零點；（3）求證：．〖祥解〗（1）求得的導數(shù)，判斷的單調(diào)性，可得所求值域；（2）討論為奇數(shù)，或偶數(shù)時，的單調(diào)性，結(jié)合函數(shù)零點存在定理，可得證明；（3）由（2）可知函數(shù)在，，上有且僅有一個零點，再由零點存在定理、以及正切函數(shù)的性質(zhì)和不等式的性質(zhì)，可得證明．【解答】解：（1）由，當時，，即函數(shù)在區(qū)間上是嚴格增函數(shù)，且，，所以在區(qū)間上的值域為．（2）證明：當，，時，，①當是奇數(shù)時，，函數(shù)在區(qū)間，上是嚴格減函數(shù)；②當是偶數(shù)時，，函數(shù)在區(qū)間，上是嚴格增函數(shù)；且，故，所以由零點存在定理可知，函數(shù)在區(qū)間，，上有且僅有一個零點．（3）證明：由（2）可知函數(shù)在，，上有且僅有一個零點，且滿足，即．又因為，故，所以由零點存在性定理可知，函數(shù)在上有且僅有一個零點，于是，，，①因為，得，所以，即；（或者②因為，由（1）可知，當時，有，故，所以；由①②可知．【點評】本題考查數(shù)列與函數(shù)的綜合，以及導數(shù)的運用：求單調(diào)性，考查分類討論思想、轉(zhuǎn)化思想和運算能力，屬于難題．57．（2024?普陀區(qū)校級三模）對給定的在定義域內(nèi)連續(xù)且存在導函數(shù)的函數(shù)，若對在定義域內(nèi)的給定常數(shù)，存在數(shù)列滿足在的定義域內(nèi)且，且對，，在區(qū)間的圖象上有且僅有在一個點處的切線平行于，（a）和，的連線，則稱數(shù)列為函數(shù)的“關聯(lián)切線伴隨數(shù)列”．（1）若函數(shù)，證明，都存在“關聯(lián)切線伴隨數(shù)列”；（2）若函數(shù)，數(shù)列為函數(shù)的“1關聯(lián)切線伴隨數(shù)列”，且，求的通項公式；（3）若函數(shù)，數(shù)列為函數(shù)的“關聯(lián)切線伴隨數(shù)列”，記數(shù)列的前項和為，證明：當，時，．〖祥解〗（1）根據(jù)題意分析可知：數(shù)列是以為首項，為公比的等比數(shù)列，結(jié)合等比數(shù)列分析證明