2016年江蘇省常州市中考真題數(shù)學(xué)試題（解析版）

初中學(xué)業(yè)水平考試試題PAGEPAGE12016年江蘇省常州市中考真題一、選擇題（共8小題，每小題2分，滿(mǎn)分16分）1．（2分）﹣2的絕對(duì)值是（）A．﹣2 B．2 C．﹣ D．2．（2分）計(jì)算3﹣（﹣1）的結(jié)果是（）A．﹣4 B．﹣2 C．2 D．43．（2分）如圖所示是一個(gè)幾何體的三視圖，這個(gè)幾何體的名稱(chēng)是（）A．圓柱體 B．三棱錐 C．球體 D．圓錐體4．（2分）如圖，數(shù)軸上點(diǎn)P對(duì)應(yīng)的數(shù)為p，則數(shù)軸上與數(shù)﹣對(duì)應(yīng)的點(diǎn)是（）A．點(diǎn)A B．點(diǎn)B C．點(diǎn)C D．點(diǎn)D5．（2分）如圖，把直角三角板的直角頂點(diǎn)O放在破損玻璃鏡的圓周上，兩直角邊與圓弧分別交于點(diǎn)M、N，量得OM=8cm，ON=6cm，則該圓玻璃鏡的半徑是（）A．cm B．5cm C．6cm D．10cm6．（2分）若x＞y，則下列不等式中不一定成立的是（）A．x+1＞y+1 B．2x＞2y C．＞ D．x2＞y27．（2分）已知△ABC中，BC=6，AC=3，CP⊥AB，垂足為P，則CP的長(zhǎng)可能是（）A．2 B．4 C．5 D．78．（2分）已知一次函數(shù)y1=kx+m（k≠0）和二次函數(shù)y2=ax2+bx+c（a≠0）的自變量和對(duì)應(yīng)函數(shù)值如表：x…﹣1024…y1…0135…x…﹣1134…y2…0﹣405…當(dāng)y2＞y1時(shí)，自變量x的取值范圍是（）A．x＜﹣1 B．x＞4 C．﹣1＜x＜4 D．x＜﹣1或x＞4二、填空題（共10小題，每小題2分，滿(mǎn)分20分）9．（2分）化簡(jiǎn)：﹣=．10．（2分）若分式有意義，則x的取值范圍是．11．（2分）分解因式：x3﹣2x2+x=．12．（2分）一個(gè)多邊形的每個(gè)外角都是60°，則這個(gè)多邊形邊數(shù)為．13．（2分）若代數(shù)式x﹣5與2x﹣1的值相等，則x的值是．14．（2分）在比例尺為1：40000的地圖上，某條道路的長(zhǎng)為7cm，則該道路的實(shí)際長(zhǎng)度是km．15．（2分）已知正比例函數(shù)y=ax（a≠0）與反比例函數(shù)y=（k≠0）圖象的一個(gè)交點(diǎn)坐標(biāo)為（﹣1，﹣1），則另一個(gè)交點(diǎn)坐標(biāo)是．16．（2分）如圖，在⊙O的內(nèi)接四邊形ABCD中，∠A=70°，∠OBC=60°，則∠ODC=．17．（2分）已知x、y滿(mǎn)足2x?4y=8，當(dāng)0≤x≤1時(shí)，y的取值范圍是．18．（2分）如圖，△APB中，AB=2，∠APB=90°，在AB的同側(cè)作正△ABD、正△APE和正△BPC，則四邊形PCDE面積的最大值是．三、解答題（共10小題，滿(mǎn)分84分）19．（6分）先化簡(jiǎn)，再求值（x﹣1）（x﹣2）﹣（x+1）2，其中x=．20．（8分）解方程和不等式組：（1）+=1（2）．21．（8分）為了解某市市民晚飯后1小時(shí)內(nèi)的生活方式，調(diào)查小組設(shè)計(jì)了“閱讀”、“鍛煉”、“看電視”和“其它”四個(gè)選項(xiàng)，用隨機(jī)抽樣的方法調(diào)查了該市部分市民，并根據(jù)調(diào)查結(jié)果繪制成如下統(tǒng)計(jì)圖．根據(jù)統(tǒng)計(jì)圖所提供的信息，解答下列問(wèn)題：（1）本次共調(diào)查了名市民；（2）補(bǔ)全條形統(tǒng)計(jì)圖；（3）該市共有480萬(wàn)市民，估計(jì)該市市民晚飯后1小時(shí)內(nèi)鍛煉的人數(shù)．22．（8分）一只不透明的袋子中裝有1個(gè)紅球、1個(gè)黃球和1個(gè)白球，這些球除顏色外都相同（1）攪勻后從袋子中任意摸出1個(gè)球，求摸到紅球的概率；（2）攪勻后從袋子中任意摸出1個(gè)球，記錄顏色后放回、攪勻，再?gòu)闹腥我饷?個(gè)球，求兩次都摸到紅球的概率．23．（8分）如圖，已知△ABC中，AB=AC，BD、CE是高，BD與CE相交于點(diǎn)O（1）求證：OB=OC；（2）若∠ABC=50°，求∠BOC的度數(shù)．24．（8分）某超市銷(xiāo)售甲、乙兩種糖果，購(gòu)買(mǎi)3千克甲種糖果和1千克乙種糖果共需44元，購(gòu)買(mǎi)1千克甲種糖果和2千克乙種糖果共需38元．（1）求甲、乙兩種糖果的價(jià)格；（2）若購(gòu)買(mǎi)甲、乙兩種糖果共20千克，且總價(jià)不超過(guò)240元，問(wèn)甲種糖果最少購(gòu)買(mǎi)多少千克？25．（8分）如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，一次函數(shù)y=﹣x+1的圖象與x軸、y軸分別交于點(diǎn)A、B，把Rt△AOB繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)角α（30°＜α＜180°），得到△AO′B′．（1）當(dāng)α=60°時(shí)，判斷點(diǎn)B是否在直線O′B′上，并說(shuō)明理由；（2）連接OO′，設(shè)OO′與AB交于點(diǎn)D，當(dāng)α為何值時(shí)，四邊形ADO′B′是平行四邊形？請(qǐng)說(shuō)明理由．26．（10分）（1）閱讀材料：教材中的問(wèn)題，如圖1，把5個(gè)邊長(zhǎng)為1的小正方形組成的十字形紙板剪開(kāi)，使剪成的若干塊能夠拼成一個(gè)大正方形，小明的思考：因?yàn)榧羝辞昂蟮膱D形面積相等，且5個(gè)小正方形的總面積為5，所以拼成的大正方形邊長(zhǎng)為，故沿虛線AB剪開(kāi)可拼成大正方形的一邊，請(qǐng)?jiān)趫D1中用虛線補(bǔ)全剪拼示意圖．（2）類(lèi)比解決：如圖2，已知邊長(zhǎng)為2的正三角形紙板ABC，沿中位線DE剪掉△ADE，請(qǐng)把紙板剩下的部分DBCE剪開(kāi)，使剪成的若干塊能夠拼成一個(gè)新的正三角形．①拼成的正三角形邊長(zhǎng)為；②在圖2中用虛線畫(huà)出一種剪拼示意圖．（3）靈活運(yùn)用：如圖3，把一邊長(zhǎng)為60cm的正方形彩紙剪開(kāi)，用剪成的若干塊拼成一個(gè)軸對(duì)稱(chēng)的風(fēng)箏，其中∠BCD=90°，延長(zhǎng)DC、BC分別與AB、AD交于點(diǎn)E、F，點(diǎn)E、F分別為AB、AD的中點(diǎn)，在線段AC和EF處用輕質(zhì)鋼絲做成十字形風(fēng)箏龍骨，在圖3的正方形中畫(huà)出一種剪拼示意圖，并求出相應(yīng)輕質(zhì)鋼絲的總長(zhǎng)度．（說(shuō)明：題中的拼接都是不重疊無(wú)縫隙無(wú)剩余）27．（10分）如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，一次函數(shù)y=x與二次函數(shù)y=x2+bx的圖象相交于O、A兩點(diǎn)，點(diǎn)A（3，3），點(diǎn)M為拋物線的頂點(diǎn)．（1）求二次函數(shù)的表達(dá)式；（2）長(zhǎng)度為2的線段PQ在線段OA（不包括端點(diǎn)）上滑動(dòng)，分別過(guò)點(diǎn)P、Q作x軸的垂線交拋物線于點(diǎn)P1、Q1，求四邊形PQQ1P1面積的最大值；（3）直線OA上是否存在點(diǎn)E，使得點(diǎn)E關(guān)于直線MA的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)F滿(mǎn)足S△AOF=S△AOM？若存在，求出點(diǎn)E的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．28．（10分）如圖，正方形ABCD的邊長(zhǎng)為1，點(diǎn)P在射線BC上（異于點(diǎn)B、C），直線AP與對(duì)角線BD及射線DC分別交于點(diǎn)F、Q（1）若BP=，求∠BAP的度數(shù)；（2）若點(diǎn)P在線段BC上，過(guò)點(diǎn)F作FG⊥CD，垂足為G，當(dāng)△FGC≌△QCP時(shí)，求PC的長(zhǎng)；（3）以PQ為直徑作⊙M．①判斷FC和⊙M的位置關(guān)系，并說(shuō)明理由；②當(dāng)直線BD與⊙M相切時(shí)，直接寫(xiě)出PC的長(zhǎng)．

——★參*考*答*案★——一、選擇題（共8小題，每小題2分，滿(mǎn)分16分）1．B『解析』|﹣2|=2．故選B．2．D『解析』3﹣（﹣1）=4，故選D．3．A『解析』由于主視圖和左視圖為長(zhǎng)方形可得此幾何體為柱體，由俯視圖為圓可得為圓柱體．故選A．4．C『解析』如圖所示，1＜p＜2，則＜＜1，所以﹣1＜﹣＜﹣．則數(shù)軸上與數(shù)﹣對(duì)應(yīng)的點(diǎn)是C．故選C．5．B『解析』如圖，連接MN，∵∠O=90°，∴MN是直徑，又OM=8cm，ON=6cm，∴MN===10（cm）．∴該圓玻璃鏡的半徑是：MN=5cm．故選B．6．D『解析』A.在不等式x＞y兩邊都加上1，不等號(hào)的方向不變，故A正確；B.在不等式x＞y兩邊都乘上2，不等號(hào)的方向不變，故B正確；C.在不等式x＞y兩邊都除以2，不等號(hào)的方向不變，故C正確；D.當(dāng)x=1，y=﹣2時(shí)，x＞y，但x2＜y2，故D錯(cuò)誤．故選D.7．A『解析』如圖，根據(jù)垂線段最短可知：PC≤3，∴CP的長(zhǎng)可能是2，故選A．8．D『解析』解法一：由表可知，（﹣1，0），（0，1）在一次函數(shù)y1=kx+m的圖象上，∴，∴∴一次函數(shù)y1=x+1，由表可知，（﹣1，0），（1，﹣4），（3，0）在二次函數(shù)y2=ax2+bx+c（a≠0）的圖象上，∴，∴∴二次函數(shù)y2=x2﹣2x﹣3當(dāng)y2＞y1時(shí)，∴x2﹣2x﹣3＞x+1，∴（x﹣4）（x+1）＞0，∴x＞4或x＜﹣1，故選D.解法二：如圖，由表得出兩函數(shù)圖象的交點(diǎn)坐標(biāo)（﹣1，0），（4，5），∴x＞4或x＜﹣1，故選D．二、填空題（共10小題，每小題2分，滿(mǎn)分20分）9．『解析』原式=2﹣=．故答案為：．10．x≠﹣1『解析』∵分式有意義，∴x+1≠0，即x≠﹣﹣1故答案為：x≠﹣1．11．x（x﹣1）2『解析』x3﹣2x2+x=x（x2﹣2x+1）=x（x﹣1）2．故答案為：x（x﹣1）2．12．6『解析』360÷60=6．故這個(gè)多邊形邊數(shù)為6．故答案為：6．13．﹣4『解析』根據(jù)題意得：x﹣5=2x﹣1，解得：x=﹣4，故答案為：﹣414．2.8『解析』設(shè)這條道路的實(shí)際長(zhǎng)度為x，則：，解得x=280000cm=2.8km．∴這條道路的實(shí)際長(zhǎng)度為2.8km．故答案為：2.815．（1，1）『解析』∵反比例函數(shù)的圖象與經(jīng)過(guò)原點(diǎn)的直線的兩個(gè)交點(diǎn)一定關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，∴另一個(gè)交點(diǎn)的坐標(biāo)與點(diǎn)（﹣1，﹣1）關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，∴該點(diǎn)的坐標(biāo)為（1，1）．故答案為：（1，1）．16．50°『解析』∵∠A=70°∴∠C=180°﹣∠A=110°，∴∠BOD=2∠A=140°，∵∠OBC=60°，∴∠ODC=360°﹣110°﹣140°﹣60°=50°，故答案為：50°．17．1≤y≤『解析』∵2x?4y=8，∴2x?22y=23，即2x+2y=23，∴x+2y=3．∴x=3﹣2y，∵0≤x≤1，∴0≤3﹣2y≤1，∴1≤y≤．故答案是：1≤y≤．18．1『解析』延長(zhǎng)EP交BC于點(diǎn)F，∵∠APB=90°，∠APE=∠BPC=60°，∴∠EPC=150°，∴∠CPF=180°﹣150°=30°，∴PF平分∠BPC，又∵PB=PC，∴PF⊥BC，設(shè)Rt△ABP中，AP=a，BP=b，則CF=CP=b，a2+b2=22=4，∵△APE和△ABD都是等邊三角形，∴AE=AP，AD=AB，∠EAP=∠DAB=60°，∴∠EAD=∠PAB，∴△EAD≌△PAB（SAS），∴ED=PB=CP，同理可得：△APB≌△DCB（SAS），∴EP=AP=CD，∴四邊形CDEP是平行四邊形，∴四邊形CDEP的面積=EP×CF=a×b=ab，又∵（a﹣b）2=a2﹣2ab+b2≥0，∴2ab≤a2+b2=4，∴ab≤1，即四邊形PCDE面積的最大值為1．故答案為：1三、解答題（共10小題，滿(mǎn)分84分）19．解：（x﹣1）（x﹣2）﹣（x+1）2，=x2﹣2x﹣x+2﹣x2﹣2x﹣1=﹣5x+1當(dāng)x=時(shí)，原式=﹣5×+1=﹣．20．解：（1）原方程可化為x﹣5=2x﹣5，解得x=0，把x=0代入2x﹣5得，2x﹣5=﹣5≠0，故x=0是原分式方程的解；（2），由①得，x≤2，由②得，x＞﹣1，故不等式組的解為：﹣1＜x≤2．21．解：（1）本次共調(diào)查的人數(shù)為：800÷40%=2000，故答案為：2000．（2）晚飯后選擇其它的人數(shù)為：2000×28%=560，晚飯后選擇鍛煉的人數(shù)為：2000﹣800﹣240﹣560=400．將條形統(tǒng)計(jì)圖補(bǔ)充完整，如圖所示．（3）晚飯后選擇鍛煉的人數(shù)所占的比例為：400÷2000=20%，該市市民晚飯后1小時(shí)內(nèi)鍛煉的人數(shù)為：480×20%=96（萬(wàn)）．答：該市共有480萬(wàn)市民，估計(jì)該市市民晚飯后1小時(shí)內(nèi)鍛煉的人數(shù)為96萬(wàn)．22．解：（1）摸到紅球的概率=；（2）畫(huà)樹(shù)狀圖為：共有9種等可能的結(jié)果數(shù)，其中兩次都摸到紅球的結(jié)果數(shù)為1，所以?xún)纱味济郊t球的概率=．23．（1）證明：∵AB=AC，∴∠ABC=∠ACB，∵BD、CE是△ABC的兩條高線，∴∠BEC=∠BDC=90°∴△BEC≌△CDB∴∠DBC=∠ECB，BE=CD在△BOE和△COD中∵∠BOE=∠COD，BE=CD，∠BEC=∠BDE=90°∴△BOE≌△COD，∴OB=OC；（2）∵∠ABC=50°，AB=AC，∴∠A=180°﹣2×50°=80°，∴∠DOE+∠A=180°∴∠BOC=∠DOE=180°﹣80°=100°．24．解：（1）設(shè)超市甲種糖果每千克需x元，乙種糖果每千克需y元，依題意得：，解得．答：超市甲種糖果每千克需10元，乙種糖果每千克需14元；（2）設(shè)購(gòu)買(mǎi)甲種糖果a千克，則購(gòu)買(mǎi)乙種糖果（20﹣a）千克，依題意得：10a+14（20﹣a）≤240，解得a≥10，即a最小值=10．答：該顧客混合的糖果中甲種糖果最少10千克．25．解；（1）如圖1中，∵一次函數(shù)y=﹣x+1的圖象與x軸、y軸分別交于點(diǎn)A、B，∴A（，0），B（0，1），∴tan∠BAO=，∴∠BAO=30°，AB=2OB=2，∵旋轉(zhuǎn)角為60°，∴B′（，2），O′（，），設(shè)直線O′B′解析式為y=kx+b，∴，解得，∴直線O′B′的解析式為y=x+1，∵x=0時(shí)，y=1，∴點(diǎn)B（0，1）在直線O′B′上．（2）如圖2中，當(dāng)α=120°時(shí)，四邊形ADO′B′是平行四邊形．理由：∵AO=AO′，∠OAO′=120°，∠BAO=30°，∴∠DAO′=∠AO′B′=90°，∠O′AO=∠O′AB′=30°，∴AD∥O′B′，DO′∥AB′，∴四邊形ADO′B′是平行四邊形．26．解：（1）補(bǔ)全圖形如圖1所示，由剪拼可知，5個(gè)小正方形的面積之和等于拼成的一個(gè)大正方形的面積，∵5個(gè)小正方形的總面積為5∴大正方形的面積為5，∴大正方形的邊長(zhǎng)為，故答案為：；（2）①如圖2，∵邊長(zhǎng)為2的正三角形紙板ABC，沿中位線DE剪掉△ADE，∴DE=BC=1，BD=CE=1過(guò)點(diǎn)D作DM⊥BC，∵∠DBM=60°∴DM=，∴S梯形EDBC=（DE+BC）×DM=（1+2）×=，由剪拼可知，梯形EDBC的面積等于新拼成的等邊三角形的面積，設(shè)新等邊三角形的邊長(zhǎng)為a，∴a2=，∴a=或a=﹣（舍），∴新等邊三角形的邊長(zhǎng)為，故答案為：；②剪拼示意圖如圖3所示，（3）剪拼示意圖如圖4所示，∵正方形的邊長(zhǎng)為60cm，由剪拼可知，AC是正方形的對(duì)角線，∴AC=60cm，由剪拼可知，點(diǎn)E，F(xiàn)分別是正方形的兩鄰邊的中點(diǎn)，∴CE=CF=30cm，∵∠ECF=90°，根據(jù)勾股定理得，EF=30cm；∴輕質(zhì)鋼絲的總長(zhǎng)度為AC+EF=60+30=90cm．27．解：（1）把點(diǎn)A（3，3）代入y=x2+bx中，得：3=9+3b，解得：b=﹣2，∴二次函數(shù)的表達(dá)式為y=x2﹣2x．（2）設(shè)點(diǎn)P在點(diǎn)Q的左下方，過(guò)點(diǎn)P作PE⊥QQ1于點(diǎn)E，如圖1所示．∵PE⊥QQ1，QQ1⊥x軸，∴PE∥x軸，∵直線OA的解析式為y=x，∴∠QPE=45°，∴PE=PQ=2．設(shè)點(diǎn)P（m，m）（0＜m＜1），則Q（m+2，m+2），P1（m，m2﹣2m），Q1（m+2，m2+2m），∴PP1=3m﹣m2，QQ1=2﹣m2﹣m，∴=（PP1+QQ1）?PE=﹣2m2+2m+2=﹣2+，∴當(dāng)m=時(shí)，取最大值，最大值為．（3）存在．如圖2中，①點(diǎn)E的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為F，EF與AM交于點(diǎn)G，連接OM、MF、AF、OF．∵S△AOF=S△AOM，∴MF∥OA，∵EG=GF，=，∴AG=GM，∵M(jìn)（1，﹣1），A（3，3），∴點(diǎn)G（2，1），∵直線AM解析式為y=2x﹣3，∴線段AM的中垂線EF的解析式為y=﹣x+2，由解得，∴點(diǎn)E坐標(biāo)為（，）．②設(shè)E關(guān)于點(diǎn)A的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)E′，E′關(guān)于AM的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)F′，根據(jù)對(duì)稱(chēng)性可知，△OAF′與△AOF的面積相等，此時(shí)E′（，），綜上所述滿(mǎn)足條件的點(diǎn)E坐標(biāo)（，）或（，）．28．解：（1）∵四邊形ABCD是正方形，∴∠ABP=90°，∴tan∠BAP===，∵tan30°=，∴∠BAP=30°；（2）如圖1，設(shè)PC=x，則BP=1﹣x，∵△FGC≌△QCP，∴GC=PC=x，DG=1﹣x，∵∠BDC=45°，∠FGD=90°，∴△FGD是等腰直角三角形，∴FG=DG=CQ=1﹣x，∵AB∥DQ，∴，∴，∴x=（1﹣x）2，解得：x1=＞1（舍去），x2=，∴PC=；（3）①如圖2，當(dāng)點(diǎn)P在線段BC上時(shí)，F(xiàn)C與⊙M相切，理由是：取PQ的中點(diǎn)M，以M為圓心，以PQ為直徑畫(huà)圓，連接CM，∵