四川省自貢市2020年中考試題（解析版）

初中學(xué)業(yè)水平考試試題PAGEPAGE12020年自貢中考數(shù)學(xué)滿分：150分時間：120分鐘一.選擇題（共12個小題，每小題4分，共48分；在每題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的）1.如圖，∥，，則的度數(shù)為（）A.40° B.50° C.55° D.60°『答案』B『解析』〖分析〗利用平行線的性質(zhì)與對頂角相等即可求出．〖詳解〗兩平行線同位角相等，再根據(jù)對頂角相等即可得到答案.故答案為B．〖點晴〗本題主要考查了平行線的性質(zhì)與對頂角的性質(zhì)，熟練掌握平行線的性質(zhì)是解題關(guān)鍵．2.5月22日晚，中國自貢第26屆國際恐龍燈會開始網(wǎng)絡(luò)直播，有著近千年歷史自貢燈會進入“云游”時代，70余萬人通過“云觀燈”感受“天下第一燈”的璀璨，人數(shù)700000用科學(xué)記數(shù)法表示為（）A. B. C. D.『答案』C『解析』〖分析〗根據(jù)科學(xué)記數(shù)法規(guī)定，要求，即可得解.〖詳解〗由題意，得700000=，故選：C.〖點睛〗此題主要考查科學(xué)記數(shù)法應(yīng)用，熟練掌握，即可解題.3.如圖所示幾何體的左視圖是（）A. B. C. D.『答案』C『解析』〖分析〗找到從幾何體左面看得到的平面圖形即可．〖詳解〗解：從幾何體左面看得到兩列正方形的個數(shù)分別為1、3，

故選：C．〖點睛〗考查三視圖的相關(guān)知識；掌握左視圖是從幾何體左面看得到的平面圖形是解決本題的關(guān)鍵．4.關(guān)于的一元二次方程有兩個相等的實數(shù)根，則的值為（）A. B. C. D.『答案』A『解析』〖分析〗由題意，根據(jù)一元二次方程根的判別式值為零，求可解．〖詳解〗解：由一元二次方程有兩個相等實根可得，判別式等于0可得，，得，故應(yīng)選A．〖點睛〗本題考查了一元二次方程根的情況與判別式△的關(guān)系，解答時注意△=0?方程有兩個相等的實數(shù)根．5.在平面直角坐標(biāo)系中，將點向下平移3個單位長度，所得點的坐標(biāo)是（）A. B. C. D.『答案』D『解析』〖分析〗根據(jù)點的平移規(guī)律為上加下減，左減右加即可求解．〖詳解〗解：點的平移規(guī)律為上加下減，左減右加，可得橫坐標(biāo)不變，縱坐標(biāo)減3，1-3=-2，故答案為D．〖點睛〗本題考查點的坐標(biāo)平移規(guī)律，根據(jù)“上加下減，左減右加”即可求解．6.下列圖形中，是軸對稱圖形，但不是中心對稱圖形的是（）A. B. C. D.『答案』A『解析』〖分析〗根據(jù)軸對稱圖形與中心對稱圖形的概念對各圖形分析判斷后利用排除法求解．〖詳解〗解：A、圖形不是中心對稱軸圖形，是軸對稱圖形，此選項正確；

B、圖形是中心對稱軸圖形，不是軸對稱圖形，此選項錯誤；

C、圖形是中心對稱軸圖形，也是軸對稱圖形，此選項錯誤；

D、圖形不是中心對稱軸圖形，也不是軸對稱圖形，此選項錯誤；

故選：A．〖點睛〗本題考查了中心對稱圖形與軸對稱圖形的概念：軸對稱圖形的關(guān)鍵是尋找對稱軸，圖形兩部分沿對稱軸折疊后可重合；中心對稱圖形是要尋找對稱中心，旋轉(zhuǎn)180度后與原圖重合．7.對于一組數(shù)據(jù)，下列說法正確的是（）A.中位數(shù)是5 B.眾數(shù)是7 C.平均數(shù)是4 D.方差是3『答案』C『解析』〖分析〗分別計算該組數(shù)據(jù)的眾數(shù)、平均數(shù)、中位數(shù)及方差后，選擇正確的答案即可．〖詳解〗將數(shù)據(jù)按從小到大排列為，平均值，眾數(shù)是3，中位數(shù)為3，方差為，故選：C．〖點睛〗本題是一道有關(guān)統(tǒng)計的綜合題，具體考查了平均數(shù)、眾數(shù)、中位數(shù)及方差的知識，解題時分別計算出眾數(shù)、中位數(shù)、平均數(shù)及方差后找到正確的選項即可．8.如果一個角的度數(shù)比它的補角的度數(shù)2倍多30°，那么這個角的度數(shù)是（）A.50° B.70° C.130° D.160°『答案』C『解析』〖分析〗根據(jù)互為補角的定義結(jié)合已知條件列方程求解即可．〖詳解〗解：設(shè)這個角是，則它的補角是：，根據(jù)題意，得：，解得：，即這個角的度數(shù)為．故選：C．〖點睛〗此題考查了補角知識，熟悉相關(guān)性質(zhì)定義是解題的關(guān)鍵．9.如圖，在△中，,以點為圓心，長為半徑畫弧，交于點,連接;則的度數(shù)為（）A.50° B.40° C.30° D.20°『答案』D『解析』〖分析〗由作圖過程可知BC=BD，根據(jù)等邊對等角得到∠BCD=∠BDC=70°，則的度數(shù)即可求解．〖詳解〗∵∠A=50°，可得∠B=40°，∵BC=BD，∴∠BCD=∠BDC，∵∠B+∠BCD+∠BDC=180°，∴∠BCD=70°，∴∠ACD=90°-70°=20°，故選：D．〖點睛〗本題考查了等腰三角形的性質(zhì)等內(nèi)容，解題的關(guān)鍵是通過題目描述，得到BC=BD．10.函數(shù)與的圖象如圖所示，則的大致圖象為（）A. B. C. D.『答案』D『解析』〖分析〗根據(jù)反比例函數(shù)過一、三象限可確定出k的符號，根據(jù)二次函數(shù)圖像的對稱軸可以確定出a,b的符號，進而求解.詳解〗解：∵反比函數(shù)過一三象限，∴，由二次函數(shù)開口向下可得，又二次函數(shù)的對稱軸，∴，∴同號，∴，∴∴一次函數(shù)經(jīng)過第一、二、三象限，故答案為D．〖點睛〗本題考查了一次函數(shù)和二次函數(shù)圖象的知識，解題的關(guān)鍵是掌握一次和二次函數(shù)的圖象性質(zhì)，此類題屬于中考常考題型．11.某工程隊承接了80萬平方米的荒山綠化任務(wù)，為了迎接雨季的到來，實際工作時每天的工作效率比原計劃提高了35%，結(jié)果提前40天完成了這一任務(wù)；設(shè)實際工作時每天綠化的面積為萬平方米，則下面所列方程中正確的是（）A. B.C. D.『答案』A『解析』〖分析〗根據(jù)題意分別表示實際工作和原計劃工作所用的時間，再以時間為等量構(gòu)造方程即可；〖詳解〗解：由題意可得原計劃的工作效率為，所以原計劃的工作時間為，實際的工作時間為，所以原計劃的時間減去實際的時間為40天，則可得故選：A．〖點睛〗本題考查了由實際問題列出分式方程，解題關(guān)鍵是找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出分式方程．12.如圖，在平行四邊形中，，是銳角，于點，是的中點，連接；若，則的長為（）A. B. C. D.『答案』B『解析』〖分析〗延長EF，DA交于G，連接DE，先證明△AFG≌△BFE，進而得到BE=AG，F(xiàn)是GE的中點，結(jié)合條件BF⊥GE進而得到BF是線段GE的垂直平分線，得到GD=DE，最后在Rt△AED中使用勾股定理即可求解.〖詳解〗解：延長EF，DA交于G，連接DE，如下圖所示：∵F是AB的中點，∴AF=BF，∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AB∥BC，∴∠GAB=∠EBF且∠GFA=∠EFB，∴△AFG≌△BFE(ASA)，設(shè)，由GF=EF，且∠DFE=90°知，DF是線段GE的垂直平分線，∴，在Rt△GAE中，．在Rt△AED中，，∴，解得，∴，故選：B．〖點睛〗本題考查了三角形全等的判定與性質(zhì)、平行四邊形的性質(zhì)、勾股定理等知識點，能正確作出輔助線是解題的關(guān)鍵.第Ⅱ卷非選擇題（共102分）注意事項：必須使用0.5毫米黑色墨水鉛簽字筆在答題卡上題目所指示區(qū)域內(nèi)作答，作圖題可先用鉛筆繪出，確認(rèn)后用0.5毫米黑色墨水鉛簽字筆描清楚，答在試題卷上無效．二.填空題(共6個小題，每題4分，共24分)13.分解因式：=_____________．『答案』．『解析』試題分析：要將一個多項式分解因式的一般步驟是首先看各項有沒有公因式，若有公因式，則把它提取出來，之后再觀察是否是完全平方公式或平方差公式，若是就考慮用公式法繼續(xù)分解因式．因此，先提取公因式3后繼續(xù)應(yīng)用完全平方公式分解即可：．考點：提公因式法和應(yīng)用公式法因式分解．14.與最接近的自然數(shù)是________．『答案』2『解析』〖分析〗先根據(jù)得到，進而得到，因為14更接近16，所以最接近的自然數(shù)是2．〖詳解〗解：，可得，∴，∵14接近16，∴更靠近4，故最接近的自然數(shù)是2．故答案為：2．〖點睛〗本題考查無理數(shù)的估算，找到無理數(shù)相鄰的兩個整數(shù)是解題的關(guān)鍵．15.某中學(xué)新建食堂正式投入使用，為提高服務(wù)質(zhì)量，食堂管理人員對學(xué)生進行了“最受歡迎菜品”的調(diào)查統(tǒng)計，以下是打亂了的調(diào)查統(tǒng)計順序，請按正確順序重新排序（只填番號）_________________．①.繪制扇形圖；②.收集最受學(xué)生歡迎菜品的數(shù)據(jù)；③.利用扇形圖分析出受歡迎的統(tǒng)計圖；④.整理所收集的數(shù)據(jù)．『答案』②④①③『解析』〖分析〗根據(jù)統(tǒng)計的一般順序排列即可．〖詳解〗統(tǒng)計的一般步驟，一般要經(jīng)過收集數(shù)據(jù)，整理數(shù)據(jù)，繪制統(tǒng)計圖表，分析圖表得出結(jié)論，故答案為：②④①③．〖點睛〗本題考查統(tǒng)計的一般步驟，一般要經(jīng)過收集數(shù)據(jù)，整理數(shù)據(jù)，繪制統(tǒng)計圖表，分析圖表得出結(jié)論．16.如圖，我市在建高鐵的某段路基橫斷面為梯形，∥,長為6米，坡角為45°，的坡角為30°，則的長為________米（結(jié)果保留根號）『答案』『解析』〖分析〗過C作CE⊥AB于E，DF⊥AB于F，分別在Rt△CEB與Rt△DFA中使用三角函數(shù)即可求解.〖詳解〗解：過C作CE⊥AB于E，DF⊥AB于F，可得矩形CEFD和Rt△CEB與Rt△DFA，∵BC=6，∴CE=，∴DF=CE=，∴，故答案為：．〖點睛〗此題考查了解直角三角形的應(yīng)用-坡度坡角問題，難度適中，解答本題的關(guān)鍵是構(gòu)造直角三角形和矩形，注意理解坡度與坡角的定義．17.如圖，在矩形中，是上的一點，連接,將△進行翻折，恰好使點落在的中點處，在上取一點，以點為圓心，的長為半徑作半圓與相切于點;若,則圖中陰影部分的面積為____．

『答案』.『解析』〖分析〗連接OG，證明△DOG∽△DFC，得出，設(shè)OG=OF=r，進而求出圓的半徑，再證明△OFQ為等邊三角形，則可由扇形的面積公式和三角形的面積公式求出答案．〖詳解〗解：連接OG，過O點作OH⊥BC于H點，設(shè)圓O與BC交于Q點，如下圖所示：設(shè)圓的半徑為r，∵CD是圓的切線，∴OG⊥CD，∴△DOG∽△DFC，∴，由翻折前后對應(yīng)的線段相等可得DF=DA=4，∵F是BC的中點，∴CF=BF=2，代入數(shù)據(jù)：∴，∴，∴，∴，∴∠ODG=30°，∴∠DFC=60°，且OF=OQ，∴△OFQ是等邊三角形，∴∠DOQ=180°-60°=120°，同理△OGQ也為等邊三角形，∴OH=，且S扇形OGQ=S扇形OQF∴.故答案為：.〖點睛〗本題考查了扇形面積的計算，切線的性質(zhì)，翻折變換，熟練掌握基本圖形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．18.如圖，直線與軸交于點，與雙曲線在第三象限交于兩點，且；下列等邊三角形，，，……的邊，，，……在軸上，頂點……在該雙曲線第一象限的分支上，則=____，前25個等邊三角形的周長之和為_______．『答案』(1).；(2).60『解析』〖分析〗設(shè)，設(shè)直線與軸的交點為H，先求解的坐標(biāo)，得到∠HAO=30°，用含的代數(shù)式表示，聯(lián)立函數(shù)解析式利用根與系數(shù)的關(guān)系得到關(guān)于的方程，從而可得第一空的答案；過分別向軸作垂線，垂足分別為先根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)與反比例函數(shù)的性質(zhì)求解的邊長，依次同法可得后面等邊三角形的邊長，發(fā)現(xiàn)規(guī)律，再前25個等邊三角形的周長之和即可．〖詳解〗解：設(shè)，設(shè)直線與軸的交點為H，令則令則∴H（），又A（0，b），∴tan∠HAO=，∴∠HAO=30°，過作軸于過作軸于，∴AB=2BM，AC=2CN，∵BM=，，∴AB=，AC=，∴，聯(lián)立得到。∴，由已知可得，∴，∴反比例函數(shù)的解析式為，過分別向軸作垂線，垂足分別為設(shè)由等邊三角形的性質(zhì)得：得：（舍去）經(jīng)檢驗：符合題意，可得的邊長為4，同理設(shè)，解得：（舍去）經(jīng)檢驗：符合題意，的邊長為，同理可得：的邊長為，的邊長為．∴前25個等邊三角形的周長之和為=故答案為：〖點睛〗本題考查的是反比例函數(shù)的性質(zhì)，考查一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系，等邊三角形的性質(zhì)的應(yīng)用，銳角三角函數(shù)的應(yīng)用，同時考查與反比例函數(shù)相關(guān)的規(guī)律題，掌握以上知識是解題的關(guān)鍵．三.解答題(共8個題，共78分)19.計算：．『答案』『解析』〖分析〗根據(jù)實數(shù)的絕對值、零指數(shù)冪和負(fù)指數(shù)冪的知識進行計算即可．〖詳解〗解：原式=〖點睛〗本題考查了實數(shù)的絕對值、零指數(shù)冪、和負(fù)指數(shù)冪的性質(zhì)，解答關(guān)鍵是根據(jù)相關(guān)運算法則進行計算．20.先化簡，再求值：，其中為不等式組的整數(shù)解．『答案』，『解析』〖分析〗根據(jù)分式的運算法則化簡式子，再解不等式組得到不等式組的整數(shù)解，代入即可．詳解〗解：，解不等式組可得，∵，即，且為整數(shù)，∴，代入．〖點睛〗本題考查分式的化簡求值、不等式組的整數(shù)解，解題的關(guān)鍵是取值時，注意分式的分母不能為0．21.如圖，在正方形中，點在邊的延長線上，點在邊的延長線上，且,連接和相交于點．求證：．『答案』證明見解析．『解析』〖分析〗利用正方形的性質(zhì)證明：AB=BC=CD，∠ABE=∠BCF=90°，再證明BE=CF，可得三角形的全等，利用全等三角形的性質(zhì)可得答案．〖詳解〗證明：∵四邊形ABCD為正方形，∴AB=BC=CD，∠ABE=∠BCF=90°，又∵CE=DF，∴CE+BC=DF+CD即BE=CF，在△BCF和△ABE中，∴（SAS），∴AE=BF．〖點睛〗本題考查的是正方形的性質(zhì)，三角形全等的判定與性質(zhì)，掌握以上知識是解題的關(guān)鍵．22.某校為了響應(yīng)市政府號召，在“創(chuàng)文創(chuàng)衛(wèi)”活動周中，設(shè)置了“:文明禮儀；：環(huán)境保護；；衛(wèi)生保潔；:垃圾分類”四個主題，每個學(xué)生選一個主題參與；為了解活動開展情況，學(xué)校隨機抽取了部分學(xué)生進行調(diào)查，并根據(jù)調(diào)查結(jié)果繪制了如下條形統(tǒng)計圖和扇形統(tǒng)計圖．

⑴.本次調(diào)查的學(xué)生人數(shù)是人，=；⑵.請補全條形統(tǒng)計圖；⑶.學(xué)校要求每位同學(xué)從星期一至星期五選擇兩天參加活動，如果小張同學(xué)隨機選擇連續(xù)兩天，其中有一天是星期一的概率是；小李同學(xué)星期五要參加市演講比賽，他在其余四天中隨機選擇兩天，其中一天是星期三的概率是．『答案』（1）60，30；（2）畫圖見解析；（3），『解析』〖分析〗(1)由B的人數(shù)是12人，所占的百分比為20%即可求出總的學(xué)生人數(shù)，再用18除以總?cè)藬?shù)即可得到m的值；(2)總?cè)藬?shù)減去A、B、D的人數(shù)即可得到C的人數(shù)；(3)采用列舉的形式，將所有可能的情況按照從星期一到星期五的順序列出來，然后再用符合題意要求的情況除以總的情況即可得到概率.〖詳解〗（1），∴本次調(diào)查的學(xué)生人數(shù)為60人，，故m=30．故答案為：60，m=30.（2）C的人數(shù)為：60-18-12-9=21(人)，補全圖形如下所示：

（3）星期一到星期五連續(xù)的兩天為（星期一、星期二），（星期二、星期三），（星期三、星期四），（星期四、星期五）共4種情況，符合題意的只有（星期一、星期二）這一種情況，故概率為；在星期一到星期四任選兩天的所有情況如下：（星期一、星期二），（星期一、星期三），（星期一、星期四），（星期二、星期三）、（星期二、星期四），（星期三、星期四）共6種情況，其中有一天是星期三的情況有：（星期一、星期三），（星期二、星期三），（星期三、星期四）共3種情況，所以概率是.故答案為：，.〖點睛〗本題考查了列表法、扇形統(tǒng)計圖、條形統(tǒng)計圖以及概率公式：通過列表法或樹狀圖法展示所有等可能的結(jié)果求出n，再從中選出符合事件A或B的結(jié)果數(shù)目m，然后根據(jù)概率公式求出事件A或B的概率．23.甲、乙兩家商場平時以同樣價格出售相同的商品，新冠疫情期間，為了減少庫存，甲、乙兩家商場打折促銷，甲商場所有商品按9折出售，乙商場對一次購物中超過100元后的價格部分打8折．⑴.以（單位：元）表示商品原價，（單位：元）表示實際購物金額，分別就兩家商場的讓利方式寫出關(guān)于的函數(shù)關(guān)系式；⑵.新冠疫情期間如何選擇這兩家商場去購物更省錢？『答案』（1）；（2）當(dāng)購買商品原價金額小于200時，選擇甲商場更劃算；當(dāng)購買商品原價金額等于200時，選擇甲商場和乙商場購物一樣劃算；當(dāng)購買商品原價金額大于200時，選擇乙商場更劃算.『解析』〖分析〗（1）根據(jù)題意，可以分別寫出兩家商場對應(yīng)的關(guān)于的函數(shù)解析式；（2）根據(jù)（1）中函數(shù)關(guān)系式，可以得到相應(yīng)的不等式，從而可以得到新冠疫情期間如何選擇這兩家商場去購物更省錢．〖詳解〗解：（1）由題意可得，，當(dāng)時，，當(dāng)時，，由上可得，；（2）由題意可知，當(dāng)購買商品原價小于等于100時，甲商場打9折，乙商場不打折，所以甲商場購物更加劃算；當(dāng)購買商品原價超過100元時，若，即此時甲商場花費更低，購物選擇甲商場；若，即，此時甲乙商場購物花費一樣；若，即時，此時乙商場花費更低，購物選擇乙商場；綜上所述：當(dāng)購買商品原價金額小于200時，選擇甲商場更劃算；當(dāng)購買商品原價金額等于200時，選擇甲商場和乙商場購物一樣劃算；當(dāng)購買商品原價金額大于200時，選擇乙商場更劃算．〖點睛〗本題考查一次函數(shù)的應(yīng)用、一元一次不等式的應(yīng)用，解答本題的關(guān)鍵是明確題意，利用一次函數(shù)的性質(zhì)和不等式的性質(zhì)解答．24.我國著名數(shù)學(xué)家華羅庚說過“數(shù)缺形時少直觀，形少數(shù)時難入微”；數(shù)形結(jié)合是解決數(shù)學(xué)問題的重要思想方法.例如，代數(shù)式的幾何意義是數(shù)軸上所對應(yīng)的點與2所對應(yīng)的點之間的距離；因為，所以的幾何意義就是數(shù)軸上所對應(yīng)的點與所對應(yīng)的點之間的距離．⑴.發(fā)現(xiàn)問題：代數(shù)式的最小值是多少？⑵.探究問題：如圖，點分別表示的是，．∵的幾何意義是線段與的長度之和∴當(dāng)點在線段上時，;當(dāng)點點在點的左側(cè)或點的右側(cè)時∴的最小值是3．⑶.解決問題：①.的最小值是；②.利用上述思想方法解不等式：③.當(dāng)為何值時，代數(shù)式的最小值是2．『答案』①6；②或；③或『解析』〖分析〗(3)①根據(jù)絕對值的幾何意義可知，變成數(shù)軸上的點到-2的距離和到4的距離之和的最小值；②根據(jù)題意畫出相應(yīng)的圖形，確定出所求不等式的解集即可；③根據(jù)原式的最小值為2，得到3左邊和右邊，且到3距離為2的點即可．〖詳解〗解：(3)①設(shè)A表示的數(shù)為4，B表示的數(shù)為-2，P表示的數(shù)為x，∴表示數(shù)軸上的點P到4的距離，用線段PA表示，表示數(shù)軸上的點P到-2的距離，用線段PB表示，∴的幾何意義表示為PA+PB，當(dāng)P在線段AB上時取得最小值為AB，且線段AB的長度為6，∴的最小值為6.故答案為：6.②設(shè)A表示-3，B表示1，P表示x，∴線段AB的長度為4，則，的幾何意義表示為PA+PB，∴不等式的幾何意義是PA+PB＞AB，∴P不能在線段AB上，應(yīng)該在A的左側(cè)或者B的右側(cè)，即不等式的解集為或．故答案為：或．③設(shè)A表示-a，B表示3，P表示x，則線段AB的長度為，的幾何意義表示為PA+PB，當(dāng)P在線段AB上時PA+PB取得最小值，∴∴或，即或；故答案為：或.〖點睛〗此題考查了解一元一次不等式，數(shù)軸，絕對值，以及數(shù)學(xué)常識，掌握絕對值的幾何意義，學(xué)會分類討論是解決本題的關(guān)鍵．25.如圖，⊙是△的外接圓，為直徑，點是⊙外一點，且，連接交于點，延長交⊙于點．⑴.證明：=；⑵.若，證明：是⊙的切線；⑶.在⑵的條件下，連接交⊙于點,連接;若，求的長．『答案』（1）證明過程見解析；（2）證明過程見解析；（3）『解析』〖分析〗（1）連接CO，易證△PCO≌△PAO，得PO為∠APC的角平分線，根據(jù)條件證出F為優(yōu)弧中點，即可證明=；（2）因為AB是直徑，所以∠ACB=90°，由tan∠ABC=可求得∠ABC的正弦和余弦，設(shè)⊙O的半徑為r，則AB=2r，根據(jù)三角函數(shù)表示出BC，AC的長度，由勾股定理表示出OD的長度，易得PA=PC=，，PO=PD+OD=3r，由可得PA⊥OA，即可證明是⊙的切線；（3）連接AE，過E作EN⊥PD于N，過B作BH⊥PF于H，由（2）可得，，PB=，證出△PEA∽△PAB，可得，證出四邊形BCDH是矩形，得BH=CD=，在Rt△BPH和Rt△PEN中表示出sin∠BPH，可得，，ND=PD-PN=，在Rt△NED中，DE=，代入r=3即可〖詳解〗解：（1）證明：如圖，連接CO，在△PCO和△PAO中，∴△PCO≌△PAO（SSS），∴∠CPO=∠APO，即PO為∠APC的角平分線，∵PA=PC，∴CD=AD，PF⊥AC，∵AC為⊙O的弦，PF過圓心O，∴F為優(yōu)弧中點，∴=，（2）證明：∵AB是⊙O的直徑，且弦AB所對圓周角為∠ACB，∴∠ACB=90°，∵tan∠ABC=，∴sin∠ABC=，cos∠ABC=，設(shè)⊙O的半徑為r，則AB=2r，∴BC=ABcos∠ABC=，AC=ABsin∠ABC=，∴，∵PA=PC=AB，∴PA=PC=，∴，∴PO=PD+OD=3r，∴，即PA⊥OA，又∵OA是⊙O半徑，∴PA是⊙O的切線；（3）由（2）可得，∴，在Rt△PBA中，，連接AE，可得∠AEB=90°，∴∠PEA=∠PAB=90°，又∠APE=∠APB，∴△PEA∽△PAB，∴，∴，過E作EN⊥PD于N，過B作BH⊥PF于H，如圖所示，∴∠BCD=∠CDF=∠BHD=90°，∴四邊形BCDH是矩形，∴BH=CD=，在Rt△BPH中，sin∠BPH=，在Rt△PEN中，sin∠BPH=，∴，∴，∴ND=PD-