11空間向量及其運(yùn)算

1.1空間向量及其運(yùn)算【知識(shí)點(diǎn)梳理】知識(shí)點(diǎn)一：空間向量的有關(guān)概念1．空間向量(1)定義：在空間，具有大小和方向的量叫做空間向量．(2)長度或模：空間向量的大?。?3)表示方法：①幾何表示法：空間向量用有向線段表示；②字母表示法：用字母a，b，c，…表示；若向量a的起點(diǎn)是A，終點(diǎn)是B，也可記作：eq\o(AB,\s\up8(→))，其模記為|a|或|eq\o(AB,\s\up8(→))|.知識(shí)點(diǎn)詮釋：（1）空間中點(diǎn)的一個(gè)平移就是一個(gè)向量；（2）數(shù)學(xué)中討論的向量與向量的起點(diǎn)無關(guān)，只與大小和方向有關(guān)，只要不改變大小和方向，空間向量可在空間內(nèi)任意平移，故我們稱之為自由向量。2．幾類常見的空間向量名稱方向模記法零向量任意00單位向量任意1相反向量相反相等a的相反向量：－aeq\o(AB,\s\up8(→))的相反向量：eq\o(BA,\s\up8(→))相等向量相同相等a＝b知識(shí)點(diǎn)二：空間向量的線性運(yùn)算(1)向量的加法、減法空間向量的運(yùn)算加法eq\o(OB,\s\up8(→))＝eq\o(OA,\s\up8(→))＋eq\o(OC,\s\up8(→))＝a＋b減法eq\o(CA,\s\up8(→))＝eq\o(OA,\s\up8(→))－eq\o(OC,\s\up8(→))＝a－b加法運(yùn)算律①交換律：a＋b＝b＋a②結(jié)合律：(a＋b)＋c＝a＋(b＋c)(2)空間向量的數(shù)乘運(yùn)算①定義：實(shí)數(shù)λ與空間向量a的乘積λa仍然是一個(gè)向量，稱為向量的數(shù)乘運(yùn)算．當(dāng)λ>0時(shí)，λa與向量a方向相同；當(dāng)λ<0時(shí)，λa與向量a方向相反；當(dāng)λ＝0時(shí)，λa＝0；λa的長度是a的長度的|λ|倍．②運(yùn)算律結(jié)合律：λ(μa)＝μ(λa)＝(λμ)a.分配律：(λ＋μ)a＝λa＋μa，λ(a＋b)＝λa＋λb.知識(shí)點(diǎn)詮釋：（1）空間向量的運(yùn)算是平面向量運(yùn)算的延展，空間向量的加法運(yùn)算仍然滿足平行四邊形法則和三角形法則．而且滿足交換律、結(jié)合律，這樣就可以自由結(jié)合運(yùn)算，可以將向量合并；（2）向量的減法運(yùn)算是向量加法運(yùn)算的逆運(yùn)算，滿足三角形法則．（3）空間向量加法的運(yùn)算的小技巧：①首尾相接的若干向量之和，等于由起始向量的起點(diǎn)指向末尾向量的終點(diǎn)的向量，即：因此，求空間若干向量之和時(shí)，可通過平移使它們轉(zhuǎn)化為首尾相接的向量；②首尾相接的若干向量若構(gòu)成一個(gè)封閉圖形，則它們的和為零向量，即：；知識(shí)點(diǎn)三：共線問題共線向量(1)定義：表示若干空間向量的有向線段所在的直線互相平行或重合，則這些向量叫做共線向量或平行向量．(2)方向向量：在直線l上取非零向量a，與向量a平行的非零向量稱為直線l的方向向量．規(guī)定：零向量與任意向量平行，即對(duì)任意向量a，都有0∥a.(3)共線向量定理：對(duì)于空間任意兩個(gè)向量a，b(b≠0)，a∥b的充要條件是存在實(shí)數(shù)λ使a＝λb.(4)如圖，O是直線l上一點(diǎn)，在直線l上取非零向量a，則對(duì)于直線l上任意一點(diǎn)P，由數(shù)乘向量定義及向量共線的充要條件可知，存在實(shí)數(shù)λ，使得eq\o(OP,\s\up8(→))＝λa.知識(shí)點(diǎn)詮釋：此定理可分解為以下兩個(gè)命題：（1）存在唯一實(shí)數(shù)，使得；（2）存在唯一實(shí)數(shù)，使得，則．注意：不可丟掉，否則實(shí)數(shù)就不唯一．（3）共線向量定理的用途：①判定兩條直線平行；（進(jìn)而證線面平行）②證明三點(diǎn)共線。注意：證明平行時(shí)，先從兩直線上取有向線段表示兩個(gè)向量，然后利用向量的線性運(yùn)算證明向量共線，進(jìn)而可以得到線線平行，這是證明平行問題的一種重要方法。證明三點(diǎn)共線問題，通常不用圖形，直接利用向量的線性運(yùn)算即可，但一定要注意所表示的向量必須有一個(gè)公共點(diǎn)。知識(shí)點(diǎn)四：向量共面問題共面向量(1)定義：平行于同一個(gè)平面的向量叫做共面向量．(2)共面向量定理：若兩個(gè)向量a，b不共線，則向量p與向量a，b共面的充要條件是存在唯一的有序?qū)崝?shù)對(duì)(x，y)，使p＝xa＋yb.(3)空間一點(diǎn)P位于平面ABC內(nèi)的充要條件：存在有序?qū)崝?shù)對(duì)(x，y),使eq\o(AP,\s\up8(→))＝xeq\o(AB,\s\up8(→))＋yeq\o(AC,\s\up8(→))或?qū)臻g任意一點(diǎn)O，有eq\o(OP,\s\up8(→))＝eq\o(OA,\s\up8(→))＋xeq\o(AB,\s\up8(→))＋yeq\o(AC,\s\up8(→)).（4）共面向量定理的用途：①證明四點(diǎn)共面②線面平行（進(jìn)而證面面平行）。知識(shí)點(diǎn)五：空間向量數(shù)量積的運(yùn)算空間向量的數(shù)量積(1)定義：已知兩個(gè)非零向量a，b，則|a||b|cos〈a，b〉叫做a，b的數(shù)量積，記作a·b.即a·b＝|a||b|cos〈a，b〉．規(guī)定：零向量與任何向量的數(shù)量積為0.(2)常用結(jié)論(a，b為非零向量)①a⊥b?a·b＝0.②a·a＝|a||a|cos〈a，a〉＝|a|2.③cos〈a，b〉＝eq\f(a·b,|a||b|).(3)數(shù)量積的運(yùn)算律數(shù)乘向量與數(shù)量積的結(jié)合律(λa)·b＝λ(a·b)＝a·(λb)交換律a·b＝b·a分配律a·(b＋c)＝a·b＋a·c知識(shí)點(diǎn)詮釋：（1）由于空間任意兩個(gè)向量都可以轉(zhuǎn)化為共面向量，所以空間兩個(gè)向量的夾角的定義和取值范圍、兩個(gè)向量垂直的定義和表示符號(hào)及向量的模的概念和表示符號(hào)等，都與平面向量相同．（2）兩向量的數(shù)量積，其結(jié)果是數(shù)而非向量，它的值為兩向量的模與兩向量夾角的余弦的乘積，其符號(hào)由夾角的余弦值決定．（3）兩個(gè)向量的數(shù)量積是兩向量的點(diǎn)乘，與以前學(xué)過的向量之間的乘法是有區(qū)別的，在書寫時(shí)一定要將它們區(qū)別開來，不可混淆．知識(shí)點(diǎn)六：利用數(shù)量積證明空間垂直關(guān)系當(dāng)a⊥b時(shí)，a·b＝0.知識(shí)點(diǎn)七：夾角問題1.定義：已知兩個(gè)非零向量、，在空間任取一點(diǎn)D，作，則∠AOB叫做向量與的夾角，記作，如下圖。根據(jù)空間兩個(gè)向量數(shù)量積的定義：，那么空間兩個(gè)向量、的夾角的余弦。知識(shí)點(diǎn)詮釋：（1）規(guī)定:（2）特別地，如果，那么與同向；如果，那么與反向;如果,那么與垂直,記作。2.利用空間向量求異面直線所成的角異面直線所成的角可以通過選取直線的方向向量，計(jì)算兩個(gè)方向向量的夾角得到。在求異面直線所成的角時(shí)，應(yīng)注意異面直線所成的角與向量夾角的區(qū)別：如果兩向量夾角為銳角或直角，則異面直線所成的角等于兩向量的夾角；如果兩向的夾角為鈍角，則異面直線所成的角為兩向量的夾角的補(bǔ)角。知識(shí)點(diǎn)八：空間向量的長度定義：在空間兩個(gè)向量的數(shù)量積中，特別地，所以向量的模：將其推廣：；。2.利用向量求線段的長度。將所求線段用向量表示，轉(zhuǎn)化為求向量的模的問題。一般可以先選好基底，用基向量表示所求向量，然后利用來求解?！绢}型歸納目錄】【典型例題】題型一：空間向量的有關(guān)概念及線性運(yùn)算例1．（2022·全國·高二課時(shí)練習(xí)）下列說法正確的是（

）A．零向量沒有方向B．空間向量不可以平行移動(dòng)C．如果兩個(gè)向量不相同，那么它們的長度不相等D．同向且等長的有向線段表示同一向量【答案】D【解析】【分析】根據(jù)零向量的規(guī)定可以確定A錯(cuò)誤；根據(jù)空間向量是自由向量可以確定B；根據(jù)相等向量的定義可以確定C、D.【詳解】對(duì)于A：零向量的方向是任意的，A錯(cuò)誤；對(duì)于B：空間向量是自由向量可以平移，B錯(cuò)誤；對(duì)于C、D：大小相等方向相同的兩個(gè)向量為相等向量即同一向量，所以C中向量大小可以相等，只要方向不同即為向量不同，C錯(cuò)誤；D符合定義，正確.故選：D.例2．（2022·全國·高二課時(shí)練習(xí)）下列命題為真命題的是（

）A．若兩個(gè)空間向量所在的直線是異面直線，則這兩個(gè)向量不是共面向量B．若，則?的長度相等且方向相同C．若向量?滿足，且與同向，則D．若兩個(gè)非零向量與滿足，則.【答案】D【解析】【分析】由空間向量的模長、共線、共面等相關(guān)概念依次判斷4個(gè)選項(xiàng)即可.【詳解】空間中任意兩個(gè)向量必然共面，A錯(cuò)誤；若，則?的長度相等但方向不確定，B錯(cuò)誤；向量不能比較大小，C錯(cuò)誤；由可得向量與長度相等，方向相反，故，D正確.故選：D.例3．（2022·四川成都·高二期中（理））如圖所示，在平行六面體中，M為與的交點(diǎn)，若，，，則（

）A． B．C． D．【答案】D【解析】【分析】根據(jù)空間向量的運(yùn)算法則和空間向量基本定理相關(guān)知識(shí)求解即可.【詳解】由題意得，.故選：D例4．（2022·四川·閬中中學(xué)高二階段練習(xí)（理））在平行六面體中，點(diǎn)P在上，若，則（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】【分析】利用空間向量基本定理，結(jié)合空間向量加法的法則進(jìn)行求解即可.【詳解】因?yàn)?，，所以有，因此，故選：C例5．（2022·全國·高二課時(shí)練習(xí)）若、、、為空間不同的四點(diǎn)，則下列各式為零向量的序號(hào)是_______．①；②；③；④．【答案】②④【解析】【分析】利用空間向量加法與減法法則化簡①②③④中的向量，可得結(jié)果.【詳解】對(duì)于①，；對(duì)于②，；對(duì)于③，；對(duì)于④，.故答案為：②④.例6．（2022·全國·高二課時(shí)練習(xí)）如圖所示，在長方體中，，，，則在以八個(gè)頂點(diǎn)中的兩個(gè)分別為起點(diǎn)和終點(diǎn)的向量中：（1）模為的向量是______；（2）的相等向量是______；（3）的相反向量是______；（4）的共線向量（平行向量）為______；（5）向量，，______（填“共面”或“不共面”）．【答案】

，，，，，，，

，，

，，，

，，，，，，

不共面【解析】【分析】對(duì)于(1)(2)(3)，根據(jù)題意，結(jié)合空間向量的概念與長方體的性質(zhì)，即可求解；對(duì)于(4)(5)，根據(jù)共線向量的判定，結(jié)合圖象即可求解.【詳解】(1)由于長方體左、右兩側(cè)的面的對(duì)角線長均為，故模為的向量有，，，，，，，．(2)與相等的向量有，，．(3)的相反向量為，，，．(4)的共線向量（平行向量）為，，，，，，．(5)因?yàn)椋蛄?，，有一個(gè)公共點(diǎn)，而點(diǎn)，，都在平面內(nèi)，點(diǎn)在平面外，所以向量，，不共面．故(1)答案為：，，，，，，，；(2)答案為：，，；(3)答案為：，，，；(4)答案為：，，，，，，；(5)答案為：不共面.例7．（2021·福建·晉江市第一中學(xué)高二階段練習(xí)）已知，分別是四面體的校，的中點(diǎn)，點(diǎn)在線段上，且，設(shè)向量，，，則______(用表示)【答案】【解析】利用空間向量的三角形法則、平行四邊形法則，把用、和線性表示即可．【詳解】，，，，．．故答案為：例8．（2022·全國·高二課時(shí)練習(xí)）如圖所示，在長方體中，E為棱上任意一點(diǎn).只考慮以長方體的八個(gè)頂點(diǎn)及點(diǎn)E的兩點(diǎn)為始點(diǎn)和終點(diǎn)的向量，分別寫出：(1)的相等向量，的負(fù)向量；(2)用另外兩個(gè)向量的和或差表示；(3)用三個(gè)或三個(gè)以上向量的和表示（舉兩個(gè)例子）.【答案】(1)，，；，，，(2)，，，（答案不唯一）(3)，（答案不唯一）【解析】【分析】（1）根據(jù)相等向量，相反向量的定義，結(jié)合圖形分析求解.（2）由向量加減運(yùn)算法則，結(jié)合圖形分析求解.（3）由向量加法運(yùn)算法則，結(jié)合圖形分析求解.(1)解：的相等向量有：，，；的負(fù)向量即相反向量有：，，，.(2)由向量加減運(yùn)算法則得：，，，（答案不唯一）(3)由向量加法運(yùn)算法則得：，（答案不唯一）例9．（2022·全國·高二課時(shí)練習(xí)）如圖所示，已知空間四邊形ABCD，連接AC?BD?EF，點(diǎn)E?F?G分別是BC?CD?DB的中點(diǎn)，請(qǐng)化簡下列算式，并標(biāo)出化簡得到的向量.(1)；(2).【答案】(1)，作圖答案見解析(2)，作圖答案見解析【解析】【分析】利用空間向量的線性運(yùn)算求解.(1)解：；向量如圖所示.(2)因?yàn)辄c(diǎn)E?F?G分別為BC?CD?DB的中點(diǎn).所以，，所以.向量如圖所示.例10．（2022·全國·高二課時(shí)練習(xí)）已知長方體中，是對(duì)角線中點(diǎn)，化簡下列表達(dá)式：(1)；(2)；(3).【答案】(1)(2)(3)【解析】【分析】（1）根據(jù)，結(jié)合向量減法法則求解；（2）根據(jù)向量加法法則求解即可；（3）根據(jù)向量加法法求解即可.(1)解：(2)解：(3)解：例11．（2022·全國·高二課時(shí)練習(xí)）如圖所示，在平行六面體中，M、N分別是、BC的中點(diǎn)．設(shè)，，．(1)已知P是的中點(diǎn)，用、、表示、、；(2)已知P在線段上，且，用、、表示．【答案】(1)，，(2)【解析】(1)因?yàn)镸、N、P分別是、BC、的中點(diǎn)所以，；；；(2)因?yàn)?，所以，所以．【技巧總結(jié)】在用已知向量表示未知向量的時(shí)候，要注意尋求兩者之間的關(guān)系，通常可將未知向量進(jìn)行一系列的轉(zhuǎn)化，將其轉(zhuǎn)化到與已知向量在同一四邊形（更多的是平行四邊形）或三角形中，從而可以建立已知與未知之間的關(guān)系式．另外，在平行六面體中，要注意相等向量之間的代換．題型二：共線向量定理的應(yīng)用例12．（2022·全國·高二課時(shí)練習(xí)）在正方體中，點(diǎn)E在對(duì)角線上，且，點(diǎn)F在棱上，若A、E、F三點(diǎn)共線，則________．【答案】##【解析】【分析】設(shè)，可得，根據(jù)A、E、F三點(diǎn)共線即可求得.【詳解】因?yàn)檎襟w中，，設(shè)，又，所以，即，因?yàn)锳、E、F三點(diǎn)共線，所以，解得，即.故答案為：.例13．（2022·全國·高二課時(shí)練習(xí)）如圖，已知O?A?B?C?D?E?F?G?H為空間的9個(gè)點(diǎn)，且，，，，，.求證：(1)A?B?C?D四點(diǎn)共面，E?F?G?H四點(diǎn)共面；(2)；(3).【答案】(1)證明見解析(2)證明見解析(3)證明見解析【解析】(1)因?yàn)?，，所以由共面向量定理可得是共面向量，是共面向量，因?yàn)橛泄颤c(diǎn)，有公共點(diǎn)，所以A?B?C?D四點(diǎn)共面，E?F?G?H四點(diǎn)共面，(2)因?yàn)?，所以?3)例14．（2022·全國·高二課時(shí)練習(xí)）如圖，四邊形ABCD?ABEF都是平行四邊形且不共面，M?N分別是AC?BF的中點(diǎn)，判斷與是否共線？【答案】共線.【解析】【分析】利用空間向量的線性運(yùn)算，結(jié)合空間向量的共線定理，即可判斷.【詳解】因?yàn)镸?N分別是AC?BF的中點(diǎn)，而四邊形ABCD?ABEF都是平行四邊形，所以.又，所以.所以，即，即與共線.例15．（2022·湖南·高二課時(shí)練習(xí)）如圖，已知M，N分別為四面體A－BCD的面BCD與面ACD的重心，G為AM上一點(diǎn)，且GM∶GA＝1∶3.求證：B，G，N三點(diǎn)共線．【答案】證明見解析【解析】【分析】設(shè)分別表示出,，利用向量共線證明B，G，N三點(diǎn)共線．【詳解】設(shè)則所以,∴.又BN∩BG＝B，∴B，G，N三點(diǎn)共線．例16．（2022·湖南·高二課時(shí)練習(xí)）已知向量，，不共面，，，．求證：B，C，D三點(diǎn)共線．【答案】證明見解析【解析】【分析】求出后可得它們共線，從而可證B，C，D三點(diǎn)共線．【詳解】，而，所以，故B，C，D三點(diǎn)共線．【技巧總結(jié)】利用共線向量定理可以判定兩直線平行、證明三點(diǎn)共線．證平行時(shí)，先從直線上取有向線段來表示兩個(gè)向量，然后利用向量的線性運(yùn)算證明向量共線，進(jìn)而可以得到線線平行，此為證明平行問題的一種重要方法；證明三點(diǎn)共線問題時(shí)，通常不用圖形。直接利用向量的線性運(yùn)算，但一定要注意所表示的向量必須有一個(gè)公共點(diǎn)．題型三：共面向量及應(yīng)用例17．（2022·上海市控江中學(xué)高二期中）下列條件中，一定使空間四點(diǎn)P?A?B?C共面的是（

）A． B．C． D．【答案】D【解析】【分析】要使空間中的、、、四點(diǎn)共面，只需滿足，且即可.【詳解】對(duì)于A選項(xiàng)，，，所以點(diǎn)與、、三點(diǎn)不共面；對(duì)于B選項(xiàng)，，，所以點(diǎn)與、、三點(diǎn)不共面；對(duì)于C選項(xiàng)，，，所以點(diǎn)與、、三點(diǎn)不共面；對(duì)于D選項(xiàng)，，,所以點(diǎn)與、、三點(diǎn)共面.故選：D.（多選題）例18．（2022·江蘇·濱海縣五汛中學(xué)高二階段練習(xí)）若構(gòu)成空間的一個(gè)基底，則下列向量共面的是（

）A．，， B．，，C．，， D．，，【答案】AB【解析】【分析】根據(jù)向量共面定理判斷．【詳解】，A選項(xiàng)中向量共面；，B選項(xiàng)中向量共面；假設(shè)，，共面，則存在實(shí)數(shù)使得，則共面，與已知矛盾，因此C選項(xiàng)中向量不共面；同理D選項(xiàng)中向量也不共面．故選：AB．例19．（2021·全國·高二課時(shí)練習(xí)）如圖，從所在平面外一點(diǎn)O作向量，，，．求證：(1)，，，四點(diǎn)共面；(2)平面平面ABCD．【答案】(1)證明過程見解析(2)證明過程見解析【解析】【分析】（1）利用共面向量定理證明，由可得四點(diǎn)共面；（2）利用共線向量定理，可得：∥，∥，從而利用面面平行的判定定理即可證明.(1)證明：因?yàn)閺乃谄矫嫱庖稽c(diǎn)O作向量，，，，所以，所以故，，，四點(diǎn)共面，證畢.(2)證明：，從而∥，∵平面，平面∴∥平面由（1）知：∥，同理可證：∥平面因?yàn)樗云矫鍭BCD∥平面證畢.例20．（2022·全國·高二課時(shí)練習(xí)）在長方體中，E是棱的中點(diǎn)，O是面對(duì)角線與的交點(diǎn)．試判斷向量與、是否共面．【答案】共面【解析】【分析】根據(jù)空間向量的運(yùn)算法則，化簡得到，結(jié)合空間向量的共面定理，即可求解.【詳解】根據(jù)空間向量的運(yùn)算法則，可得：，又由空間向量的共面定理，可得向量與，共面．例21．（2022·全國·高二課時(shí)練習(xí)）已知空間向量不共面，且，判斷向量是否共面，并說明理由.【答案】共面，理由見解析.【解析】【分析】根據(jù)向量共面定理，假設(shè)共面，則存在實(shí)數(shù)，使得.【詳解】假設(shè)共面，則存在實(shí)數(shù)，使得，則，∵不共面，∴即故向量共面.例22．（2022·全國·高二）已知E，F(xiàn)，G，H分別是空間四邊形ABCD的邊AB，BC，CD，DA的中點(diǎn)．(1)用向量法證明E，F(xiàn)，G，H四點(diǎn)共面；(2)設(shè)M是EG和FH的交點(diǎn)，求證：對(duì)空間任一點(diǎn)O，有．【答案】(1)證明見解析(2)證明見解析【解析】【分析】（1）通過證明來證得四點(diǎn)共面.（2）利用空間向量運(yùn)算證得結(jié)論成立.(1).,所以，所以四點(diǎn)共面.(2).例23．（2019·北京·人大附中石景山學(xué)校高二期中）如圖所示，已知斜三棱柱，點(diǎn)、分別在和上，且滿足，.(1)用向量和表示向量；(2)向量是否與向量，共面？【答案】(1)；(2)是.【解析】【分析】（1）利用向量的線性運(yùn)算得出和，進(jìn)而由，得到向量與向量和的關(guān)系；（2）由（1）結(jié)合共面向量基本定理，即可得出結(jié)論.(1)解：∵，，∴.(2)解：由（1）可知，，∴向量與向量，共面.例24．（2021·河南·范縣第一中學(xué)高二階段練習(xí)）已知，，三點(diǎn)不共線，對(duì)平面外的任一點(diǎn)，若點(diǎn)滿足.（1）判斷，，三個(gè)向量是否共面；（2）判斷點(diǎn)是否在平面內(nèi).【答案】（1）共面；（2）點(diǎn)在平面內(nèi).【解析】【分析】（1）由向量的線性關(guān)系可得，由向量減法有，由空間向量共面定理，知共面.（2）由（1）結(jié)論，有四點(diǎn)共面，即可知在平面內(nèi).【詳解】（1）由題意，知：，∴，即，故共面得證.（2）由（1）知：共面且過同一點(diǎn).所以四點(diǎn)共面，從而點(diǎn)在平面內(nèi).例25．（2022·全國·高二課時(shí)練習(xí)）如圖，在三棱錐中，點(diǎn)為的重心，點(diǎn)在上，且，過點(diǎn)任意作一個(gè)平面分別交線段，，于點(diǎn)，，，若，，，求證：為定值，并求出該定值.【答案】為定值4；證明見解析；【解析】【分析】聯(lián)結(jié)AG并延長交BC于H，由題意，令為空間向量的一組基底，表示出.然后根據(jù)點(diǎn)，，，M共面，故存在實(shí)數(shù)，滿足，再表示出一組的表達(dá)式，因此其系數(shù)相同，從而證得結(jié)論.【詳解】聯(lián)結(jié)AG并延長交BC于H，由題意，令為空間向量的一組基底，則.聯(lián)結(jié)DM，點(diǎn)，，，M共面，故存在實(shí)數(shù)，滿足，即，因此，由空間向量基本定理知，，故，為定值.【技巧總結(jié)】在用共面向量定理及其推論的充要條件進(jìn)行向量共面判斷的時(shí)候，首先要選擇恰當(dāng)?shù)某湟獥l件形式，然后對(duì)照形式將已知條件進(jìn)行轉(zhuǎn)化運(yùn)算．題型四：空間向量的數(shù)量積例26．（2022·江蘇·高二課時(shí)練習(xí)）如圖，在三棱錐中，平面，，，．(1)確定在平面上的投影向量，并求；(2)確定在上的投影向量，并求．【答案】(1)在平面上的投影向量為，；(2)在上的投影向量為，.【解析】【分析】（1）根據(jù)平面可得在平面上的投影向量，由空間向量的線性運(yùn)算以及數(shù)量積的定義計(jì)算的值即可求解；（2）由投影向量的定義可得在上的投影向量，由數(shù)量積的幾何意義可得的值.(1)因?yàn)槠矫?，所以在平面上的投影向量為，因?yàn)槠矫?，面，可得，所以，因?yàn)?，所以，所?(2)由（1）知：，，所以在上的投影向量為：，由數(shù)量積的幾何意義可得：.例27．（2021·全國·高二課時(shí)練習(xí)）已知正方體的棱長為1，E為棱上的動(dòng)點(diǎn).求向量在向量方向上投影的數(shù)量的取值范圍.【答案】【解析】【分析】設(shè)，利用向量基本定理知，計(jì)算，知向量在向量方向上投影的數(shù)量為，進(jìn)而求得其取值范圍.【詳解】由已知E為棱上的動(dòng)點(diǎn)，設(shè)因?yàn)樗运韵蛄吭谙蛄糠较蛏贤队暗臄?shù)量為，又，，所以向量在向量方向上投影的數(shù)量的取值范圍為例28．（2021·全國·高二課時(shí)練習(xí)）如圖，已知正方體的棱長為1，E為的中點(diǎn).（1）求，的大?。唬?）求向量在向量方向上的投影的數(shù)量.【答案】（1），；（2）1【解析】【分析】（1）由，可得，由，可得；（2）由空間向量投影的定義找出在向量方向上的投影即可求解【詳解】（1）在正方體中，因?yàn)椋?，因?yàn)?，所以；?）連接，因?yàn)槠矫?，所以，又因?yàn)?，所以在向量方向上的投影為，因?yàn)?，所以向量在向量方向上的投影的?shù)量為1【技巧總結(jié)】向量的數(shù)量積運(yùn)算除不滿足乘法結(jié)合律外，其它都滿足，所以其運(yùn)算和實(shí)數(shù)的運(yùn)算基本相同。求空間向量數(shù)量積的運(yùn)算同平面向量一樣，關(guān)鍵在于確定兩個(gè)向量之間的夾角以及它們的模，利用公式：即可順利計(jì)算．題型五：利用空間向量的數(shù)量積求兩向量的夾角例29．（2022·全國·高二課時(shí)練習(xí)）如圖，正方體的棱長是，和相交于點(diǎn)．(1)求；(2)求與的夾角的大小余弦值；(3)判斷與是否垂直．【解析】(1)正方體中，,故;(2)由題意知,,,，故，故，故與的夾角的大小余弦值為；(3)由題意，,,故與垂直.例30．（2022·福建省連城縣第一中學(xué)高二階段練習(xí)）如圖，在平行六面體中，底面是邊長為2的正方形，側(cè)棱的長度為4，且.用向量法求:(1)的長;(2)直線與所成角的余弦值.【答案】(1)(2)【解析】【分析】（1）利用基底表達(dá)，求解，從而求出；（2）計(jì)算出，用向量夾角余弦公式求解.(1)，，故，所以的長為；(2)，由（1）知：，設(shè)直線與所成角為∴，∴直線與所成角的余弦值為.例31．（2021·福建·廈門雙十中學(xué)高二期中）如圖，空間四邊形的各邊及對(duì)角線長為，是的中點(diǎn)，在上，且，設(shè)，，，(1)用，，表示；(2)求向量與向量所成角的余弦值.【答案】(1)(2)【解析】【分析】（1）利用空間向量的線性運(yùn)算即可求解；（2）計(jì)算的值即可得，再計(jì)算的值，由空間向量夾角公式即可求解.(1)因?yàn)?，，，所?(2)因?yàn)榭臻g四邊形的各邊及對(duì)角線長為，所以四面體是正四面體，，且，，間的夾角為，所以，，，所以，所以，所以向量與向量所成角的余弦值為.例32．（2021·山東山東·高二期中）如圖，已知平行六面體中，底面ABCD是邊長為1的菱形，，.(1)求線段的長；(2)求異面直線與所成角的大小.【答案】(1)(2)【解析】【分析】(1)設(shè)，，然后表示出，然后結(jié)合已知條件，利用數(shù)量積求解即可；(2)利用，，表示出，，然后利用數(shù)量積求得即可證明.(1)設(shè)，，，則，，，，，∵，∴∴線段的長為.(2)∵，，∴，∴，故異面直線與所成的角為90°.例33．（2022·廣東·深圳市羅湖外語學(xué)校高二期末）平行六面體，(1)若，，，，，，求長；(2)若以頂點(diǎn)A為端點(diǎn)的三條棱長均為2，且它們彼此的夾角都是60°，則AC與所成角的余弦值．【答案】(1)；(2).【解析】【分析】(1)由，可得，再利用數(shù)量積運(yùn)算性質(zhì)即可得出；(2)以為一組基底，設(shè)與所成的角為，由求解.(1)，，，，∴，；(2)∵，，∴，∵，∴，∵＝8，∴，設(shè)與所成的角為，則.【技巧總結(jié)】本題用傳統(tǒng)立體幾何方法求異面直線BN和SM所成角，可以利用中位線平移或補(bǔ)形在正方體中計(jì)算，但是圖形添加輔助線后不易觀察，計(jì)算量也稍大。如用向量夾角公式求解，無須添加輔助線，便于觀察圖形，更能有效地解決問題。題型六：利用空間向量的數(shù)量積求線段的長度例34．（2021·河北省博野中學(xué)高二期中）如圖，已知平行六面體中，底面ABCD是邊長為1的正方形，，設(shè)．(1)求；(2)求．【答案】(1)(2)【解析】【分析】（1）先按照空間向量的加減運(yùn)算表示出，再按照數(shù)量積運(yùn)算求出；（2）先表示出，再按照數(shù)量積運(yùn)算求解.(1)，，，，，即有；(2)．例35．（2022·浙江·樂清市第二中學(xué)高二階段練習(xí)）如圖，棱長為1的正四面體（四個(gè)面都是正三角形），是棱的中點(diǎn)，點(diǎn)在線段上，點(diǎn)在線段上，且，.(1)用向量，，表示；(2)求.【答案】(1).(2).【解析】(1)解：，所以；(2)解：因?yàn)?又因?yàn)樗拿骟w是正四面體，則，，，所以.例36．（2021·全國·高二課時(shí)練習(xí)）如圖，在平行四邊形中，且，將沿折起，使與所成的角為60°．(1)求；(2)求點(diǎn)，間的距離．【答案】(1)2或2(2)或【解析】【分析】（1）由空間向量數(shù)量積的定義即可求解；（2）由即可求解.(1)解：由已知得，翻折后與所成的角為60°，所以或120°，所以，或．(2)解：連接，由已知得，，則，所以或5，解得或，即點(diǎn)，間的距離為或．例37．（2021·河北·灤南縣第一中學(xué)高二階段練習(xí)）如圖，是平行四邊形，，.如圖，把平行四邊形沿對(duì)角線折起，使與成角，求的長.【答案】或.【解析】【分析】根據(jù)，由向量數(shù)量積的定義和運(yùn)算律可求得，進(jìn)而得到長.【詳解】，四邊形為平行四邊形，，，；與成角，或；；當(dāng)時(shí)，，解得：；當(dāng)時(shí)，，解得：；的長為或.【技巧總結(jié)】空間向量求模的運(yùn)算要注意公式的準(zhǔn)確應(yīng)用。向量的模就是表示向量的有向線段的長度，因此求線段長度的總是可用向量求解。題型七：利用空間向量的數(shù)量積證垂直例38．（2022·全國·高二課時(shí)練習(xí)）如圖，在棱長為1的正方體中，G、H分別是側(cè)面和的中心．設(shè)，，．(1)用向量、、表示、；(2)求；(3)判斷與是否垂直．【答案】(1)，(2)(3)垂直【解析】【分析】根據(jù)向量的線性運(yùn)算法則和向量的數(shù)量積的運(yùn)算公式，準(zhǔn)確運(yùn)算，即可求解.(1)解：根據(jù)空間向量的運(yùn)算法則，可得，.(2)解：根據(jù)空間向量的運(yùn)算法則和數(shù)量積的運(yùn)算公式，可得，則.(3)解：根據(jù)空間向量的運(yùn)算法則，可得；則，所以與垂直．例39．（2022·全國·高二課時(shí)練習(xí)）如圖，正方體的棱長是，和相交于點(diǎn)．(1)求；(2)判斷與是否垂直．【解析】(1)正方體中，,故;(2)由題意，,,故與垂直.【技巧總結(jié)】立體幾何中有關(guān)判斷線線垂直問題，通常可以轉(zhuǎn)化為求向量的數(shù)量積為零.【同步練習(xí)】一、單選題1．（2022·全國·高二課時(shí)練習(xí)）有下列命題：①若與平行，則與所在的直線平行；②若與所在的直線是異面直線，則與一定不共面；③若、、兩兩共面，則、、一定也共面；④若與是平面上互不平行的向量，點(diǎn)，點(diǎn)，則與、一定不共面．其中正確命題的個(gè)數(shù)為（

）A．0 B．1 C．2 D．3【答案】A【解析】【分析】根據(jù)空間向量共線、共面及基本定理判斷即可；【詳解】解：①若向量，平行，則向量，所在的直線平行或重合，因此①不正確；②若向量，所在的直線為異面直線，則向量，是共面向量，因此②不正確；③若三個(gè)向量，，兩兩共面，則向量，，不一定共面，可能是空間三個(gè)不共面的向量，如空間直角坐標(biāo)系中軸、軸、軸方向上的單位向量，因此③不正確；④若與是平面上互不平行的向量，即與可以作為平面上的一組基底，點(diǎn)，點(diǎn)，但是直線可以平行平面，則與、共面，故④錯(cuò)誤．故選：A2．（2022·全國·高二課時(shí)練習(xí)）如圖，在三棱錐中，設(shè)，若，則=（

）A． B．C． D．【答案】A【解析】【分析】連接根據(jù)三棱錐的結(jié)構(gòu)特征及空間向量加減法、數(shù)乘的幾何意義，用表示，即可知正確選項(xiàng).【詳解】連接.故選：A3．（2022·江蘇連云港·高二期中）已知，，三點(diǎn)不共線，為平面外一點(diǎn)，下列條件中能確定，，，四點(diǎn)共面的是（

）A． B．C． D．【答案】D【解析】【分析】根據(jù)點(diǎn)與點(diǎn)共面，可得，驗(yàn)證選項(xiàng)，即可得到答案.【詳解】設(shè)，若點(diǎn)與點(diǎn)共面，則，對(duì)于選項(xiàng)A：，不滿足題意；對(duì)于選項(xiàng)B：，不滿足題意；對(duì)于選項(xiàng)C：，不滿足題意；對(duì)于選項(xiàng)D：，滿足題意.故選：D.4．（2022·江蘇徐州·高二期中）如圖，在三棱錐中，兩兩垂直，為的中點(diǎn)，則的值為（

）A．1 B． C． D．【答案】D【解析】【分析】先將轉(zhuǎn)化為，再按照數(shù)量積的定義及運(yùn)算律計(jì)算即可.【詳解】由題意得，故.故選：D.5．（2022·全國·高二課時(shí)練習(xí)）化簡所得的結(jié)果是（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】【分析】依據(jù)向量加減法運(yùn)算規(guī)則去求化簡即可,【詳解】故選：D6．（2022·全國·高二課時(shí)練習(xí)）正六棱柱中，設(shè)，，，那么等于（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】【分析】依據(jù)正六棱柱的結(jié)構(gòu)特征并利用向量加減法的幾何意義去求.【詳解】正六棱柱中，故選：B7．（2022·江蘇常州·高二期中）如圖，在平行六面體中，底面是邊長為1的正方形，若，且，則的長為（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】【分析】將作為基底，利用空間向量基本定理用基底表示，然后對(duì)其平方化簡后，再開方可求得結(jié)果【詳解】由題意得，，因?yàn)?所以，所以，故選：C8．（2022·北京·101中學(xué)高二期末）在一個(gè)正方體中，為正方形四邊上的動(dòng)點(diǎn)，為底面正方形的中心，分別為中點(diǎn)，點(diǎn)為平面內(nèi)一點(diǎn)，線段與互相平分，則滿足的實(shí)數(shù)的值有A．0個(gè) B．1個(gè) C．2個(gè) D．3個(gè)【答案】C【解析】【詳解】因?yàn)榫€段D1Q與OP互相平分，所以四點(diǎn)O，Q，P，D1共面，且四邊形OQPD1為平行四邊形．若P在線段C1D1上時(shí)，Q一定在線段ON上運(yùn)動(dòng)，只有當(dāng)P為C1D1的中點(diǎn)時(shí)，Q與點(diǎn)M重合，此時(shí)λ＝1，符合題意．若P在線段C1B1與線段B1A1上時(shí)，在平面ABCD找不到符合條件Q；在P在線段D1A1上時(shí)，點(diǎn)Q在直線OM上運(yùn)動(dòng)，只有當(dāng)P為線段D1A1的中點(diǎn)時(shí)，點(diǎn)Q與點(diǎn)M重合，此時(shí)λ＝0符合題意，所以符合條件的λ值有兩個(gè)故選C.二、多選題9．（2022·全國·高二課時(shí)練習(xí)）已知空間向量、、都是單位向量，且兩兩垂直，則下列結(jié)論正確的是（

）A．向量的模是3 B．、、兩兩垂直C．向量和夾角的余弦值為 D．向量與共線【答案】BC【解析】【分析】利用向量的模的性質(zhì)將的模轉(zhuǎn)化為數(shù)量積求解，即可判斷選項(xiàng)，計(jì)算數(shù)量積根據(jù)結(jié)果判斷選項(xiàng)，利用兩個(gè)向量夾角的余弦公式進(jìn)行求解，即可判斷選項(xiàng)，利用向量的夾角公式求出向量與的夾角，即可判斷選項(xiàng)．【詳解】對(duì)于選項(xiàng)，因?yàn)榭臻g向量都是單位向量，且兩兩垂直，所以，且，則，所以向量的模是，故選項(xiàng)錯(cuò)誤；對(duì)于選項(xiàng)，因?yàn)榭臻g向量都是單位向量，且兩兩垂直，所以，故、、兩兩垂直，故選項(xiàng)正確；對(duì)于選項(xiàng)，設(shè)與的夾角為，則，所以向量和夾角的余弦值為，故選項(xiàng)正確；對(duì)于選項(xiàng)，因?yàn)椋砜傻?，則，所以向量與的夾角為，則向量與不共線，故選項(xiàng)錯(cuò)誤．故選：．10．（2022·江蘇省響水中學(xué)高二階段練習(xí)）有下列四個(gè)命題，其中正確的命題有（

）A．已知A，B，C，D是空間任意四點(diǎn)，則B．若兩個(gè)非零向量與滿足＋＝，則.C．分別表示空間向量的有向線段所在的直線是異面直線，則這兩個(gè)向量可以是共面向量.D．對(duì)于空間的任意一點(diǎn)O和不共線的三點(diǎn)A，B，C，若(x，y，z)，則P，A，B，C四點(diǎn)共面.【答案】ABC【解析】【分析】根據(jù)空間向量的加法的幾何意義、平行向量的定義，結(jié)合共面的定義逐一判斷即可.【詳解】A：因?yàn)椋员具x項(xiàng)命題正確；B：由，所以，所以本選項(xiàng)命題正確；C：根據(jù)平移，當(dāng)空間向量的有向線段所在的直線是異面直線時(shí)，這兩個(gè)向量可以是共面向量，所以本選項(xiàng)命題正確；D：只有當(dāng)時(shí)，P，A，B，C四點(diǎn)才共面，所以本選項(xiàng)命題不正確，故選：ABC11．（2022·江西撫州·高二期末（理））已知直三棱柱的所有棱長均為1，點(diǎn)P滿足（其中，），則下列說法不正確的是（

）A．當(dāng)時(shí)，的面積是定值 B．當(dāng)時(shí)，的周長是定值C．當(dāng)時(shí)，的面積是定值 D．當(dāng)時(shí)，三棱錐的體積為定值【答案】ACD【解析】【分析】根據(jù)向量的線性關(guān)系，結(jié)合已知及直三棱柱的性質(zhì)，分別判斷、時(shí)所在位置，進(jìn)而判斷各選項(xiàng)的正誤.【詳解】由題設(shè)，在面上，△、△為正三角形且三棱柱的側(cè)面都是正方形，它們的邊長均為1，當(dāng)時(shí)，顯然在線段上運(yùn)動(dòng)，則△的面積是定值，而，，即△的周長為不為定值，故A正確，B錯(cuò)誤；當(dāng)時(shí)，顯然在線段上運(yùn)動(dòng)，則△的面積是定值，而，面，面，所以面，即到面距離不變，有三棱錐的體積為定值，故C、D正確.故選：ACD12．（2022·福建南平·高二期末）如圖，在四面體中，，，，分別是，，，的中點(diǎn)，則下列選項(xiàng)正確的是（

）A．B．C．為直線的方向向量D．設(shè)是和的交點(diǎn)，則對(duì)空間任意一點(diǎn)，都有【答案】BCD【解析】【分析】利用平行四邊形性質(zhì)判斷A；利用向量加法法則判斷B；利用向量共線判斷C；利用向量加法運(yùn)算計(jì)算判斷D作答.【詳解】在四面體中，，，，分別是，，，的中點(diǎn)，則，，于是得四邊形是平行四邊形，因平行四邊形兩條對(duì)角線不一定垂直，即不一定垂直，則不一定成立，A不正確；因四邊形是平行四邊形，則，B正確；因，，則為直線的方向向量，C正確；平行四邊形中，是和的交點(diǎn)，則是中點(diǎn)，對(duì)空間任意一點(diǎn)，則，D正確.故選：BCD三、填空題13．（2022·全國·高二課時(shí)練習(xí)）設(shè)、、是不共面的向量，下列命題中所有正確的序號(hào)是________．①若，，則；②、、兩兩共面；③對(duì)空間任一向量，總存在有序?qū)崝?shù)組，使；④，，是不共面的向量．【答案】②③④【解析】【分析】對(duì)①，由向量的垂直沒有傳遞性可得；對(duì)②，由空間任意兩個(gè)向量都共面可得；對(duì)③，由空間向量基本定理可得；④由反證法可得.【詳解】對(duì)①，若，，則與可能平行或者既不平行也不垂直，故①錯(cuò)誤；對(duì)②，空間任意兩個(gè)向量都共面，故②正確；對(duì)③，由空間向量基本定理可得對(duì)空間任一向量，總存在有序?qū)崝?shù)組，使，故③正確；對(duì)④，假設(shè)，，共面，設(shè)，化簡得，所以共面，與已知矛盾，所以，，是不共面的向量，故④正確.故答案為：②③④.14．（2022·全國·高二課時(shí)練習(xí)）化簡算式：______．【答案】【解析】【