第04講指數(shù)與指數(shù)函數(shù)（講義）（原卷版）

第04講指數(shù)與指數(shù)函數(shù)目錄考點要求考題統(tǒng)計考情分析（1）理解有理數(shù)指數(shù)冪的含義，了解實數(shù)指數(shù)冪的意義，掌握指數(shù)冪的運算性質(zhì).（2）通過實例，了解指數(shù)函數(shù)的實際意義，會畫指數(shù)函數(shù)的圖象.（3）理解指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性、特殊點等性質(zhì)，并能簡單應用．2022年甲卷第12題，5分2020年新高考II卷第11題，5分從近五年的高考情況來看,指數(shù)運算與指數(shù)函數(shù)是高考的一個重點也是一個基本點,常與二次函數(shù)、冪函數(shù)、對數(shù)函數(shù)、三角函數(shù)綜合,考查數(shù)值大小的比較和函數(shù)方程問題.1、指數(shù)及指數(shù)運算(1)根式的定義：一般地，如果，那么叫做的次方根，其中，，記為，稱為根指數(shù)，稱為根底數(shù)．(2)根式的性質(zhì)：當為奇數(shù)時，正數(shù)的次方根是一個正數(shù)，負數(shù)的次方根是一個負數(shù).當為偶數(shù)時，正數(shù)的次方根有兩個，它們互為相反數(shù).(3)指數(shù)的概念：指數(shù)是冪運算中的一個參數(shù)，為底數(shù)，為指數(shù)，指數(shù)位于底數(shù)的右上角，冪運算表示指數(shù)個底數(shù)相乘.(4)有理數(shù)指數(shù)冪的分類①正整數(shù)指數(shù)冪；②零指數(shù)冪；③負整數(shù)指數(shù)冪，；④的正分數(shù)指數(shù)冪等于，的負分數(shù)指數(shù)冪沒有意義．(5)有理數(shù)指數(shù)冪的性質(zhì)①，，；②，，；③，，；④，，．2、指數(shù)函數(shù)圖象性質(zhì)①定義域，值域②，即時，，圖象都經(jīng)過點③，即時，等于底數(shù)④在定義域上是單調(diào)減函數(shù)在定義域上是單調(diào)增函數(shù)⑤時，；時，時，；時，⑥既不是奇函數(shù)，也不是偶函數(shù)【解題方法總結】1、指數(shù)函數(shù)常用技巧(1)當?shù)讛?shù)大小不定時，必須分“”和“”兩種情形討論．(2)當時，，；的值越小，圖象越靠近軸，遞減的速度越快．當時，；的值越大，圖象越靠近軸，遞增速度越快．(3)指數(shù)函數(shù)與的圖象關于軸對稱．【典例例題】題型一：指數(shù)運算及指數(shù)方程、指數(shù)不等式【例1】（2023·海南省直轄縣級單位·統(tǒng)考模擬預測）（

）A． B． C． D．【對點訓練1】（2023·全國·高三專題練習）下列結論中，正確的是（

）A．設則 B．若，則C．若，則 D．【對點訓練2】（2023·全國·高三專題練習）（

）A． B． C． D．【對點訓練3】（2023·全國·高三專題練習）甲?乙兩人解關于x的方程，甲寫錯了常數(shù)b，得到的根為或x=，乙寫錯了常數(shù)c，得到的根為或，則原方程的根是（

）A．或 B．或C．或 D．或【對點訓練4】（2023·全國·高三專題練習）若關于的方程有解，則實數(shù)的取值范圍是（

）A． B． C． D．【對點訓練5】（2023·上海青浦·統(tǒng)考一模）不等式的解集為______．【對點訓練6】（2023·全國·高三專題練習）不等式的解集為___________.【解題總結】利用指數(shù)的運算性質(zhì)解題.對于形如，，的形式常用“化同底”轉化，再利用指數(shù)函數(shù)單調(diào)性解決；或用“取對數(shù)”的方法求解.形如或的形式，可借助換元法轉化二次方程或二次不等式求解.題型二：指數(shù)函數(shù)的圖像及性質(zhì)【例2】（多選題）（2023·全國·高三專題練習）函數(shù)的圖象可能為（

）A．B．C． D．【對點訓練7】（2023·全國·高三專題練習）已知的定義域為R，則實數(shù)a的取值范圍是______．【對點訓練8】（2023·寧夏銀川·校聯(lián)考二模）已知函數(shù)，，則其值域為_______．【對點訓練9】（2023·全國·高三專題練習）已知函數(shù)在內(nèi)的最大值是最小值的兩倍，且，則______【對點訓練10】（2023·全國·高三專題練習）函數(shù)是指數(shù)函數(shù)，則（

）A．或 B． C． D．且【對點訓練11】（2023·全國·高三專題練習）函數(shù)的大致圖像如圖，則實數(shù)a，b的取值只可能是（）A． B．C． D．【對點訓練12】（2023·全國·高三專題練習）已知函數(shù)（且）的圖象恒過定點A，若點A的坐標滿足關于x，y的方程，則的最小值為（

）A．8 B．24 C．4 D．6【對點訓練13】（多選題）（2023·浙江紹興·統(tǒng)考模擬預測）預測人口的變化趨勢有多種方法，“直接推算法”使用的公式是，其中為預測期人口數(shù)，為初期人口數(shù)，為預測期內(nèi)人口年增長率，為預測期間隔年數(shù)，則（

）A．當，則這期間人口數(shù)呈下降趨勢B．當，則這期間人口數(shù)呈擺動變化C．當時，的最小值為3D．當時，的最小值為3【對點訓練14】（多選題）（2023·山東聊城·統(tǒng)考二模）已知函數(shù)，則（

）A．函數(shù)是增函數(shù)B．曲線關于對稱C．函數(shù)的值域為D．曲線有且僅有兩條斜率為的切線【解題總結】解決指數(shù)函數(shù)有關問題，思路是從它們的圖像與性質(zhì)考慮，按照數(shù)形結合的思路分析，從圖像與性質(zhì)找到解題的突破口，但要注意底數(shù)對問題的影響.題型三：指數(shù)函數(shù)中的恒成立問題【例3】（2023·全國·高三專題練習）已知函數(shù)，若不等式在R上恒成立，則實數(shù)m的取值范圍是________.【對點訓練15】（2023·全國·高三專題練習）設，當時，恒成立，則實數(shù)m的取值范圍是____________.【對點訓練16】（2023·全國·高三專題練習）已知不等式，對于恒成立，則實數(shù)的取值范圍是_________．【對點訓練17】（2023·全國·高三專題練習）若，不等式恒成立，則實數(shù)的取值范圍是______．【對點訓練18】（2023·上海徐匯·高三位育中學校考開學考試）已知函數(shù)是定義域為的奇函數(shù).(1)求實數(shù)的值，并證明在上單調(diào)遞增；(2)已知且，若對于任意的、，都有恒成立，求實數(shù)的取值范圍.【解題總結】已知不等式能恒成立求參數(shù)值(取值范圍)問題常用的方法：（1）函數(shù)法：討論參數(shù)范圍，借助函數(shù)單調(diào)性求解；（2）分離參數(shù)法：先將參數(shù)分離，轉化成求函數(shù)的值域或最值問題加以解決；（3）數(shù)形結合法：先對解析式變形，進而構造兩個函數(shù)，然后在同一平面直角坐標系中畫出函數(shù)的圖象，利用數(shù)形結合的方法求解．題型四：指數(shù)函數(shù)的綜合問題【例4】（2023·全國·合肥一中校聯(lián)考模擬預測）已知函數(shù)，則不等式的解集為（

）A． B．C． D．【對點訓練19】（2023·上海浦東新·華師大二附中校考模擬預測）設.若函數(shù)的定義域為，則關于的不等式的解集為__________.【對點訓練20】（2023·河南安陽·統(tǒng)考三模）已知函數(shù)的圖象關于坐標原點對稱，則__________.【對點訓練21】（2023·江西景德鎮(zhèn)·統(tǒng)考模擬預測）已知是定義在上的偶函數(shù)，且當時，，則滿足的x的取值范圍是______________．【對點訓練22】（2023·河南信陽·校聯(lián)考模擬預測）已知實數(shù)，滿足，，則__________．【對點訓練23】（多選題）（2023·黑龍江哈爾濱·哈爾濱三中?？级＃c在函數(shù)的圖象上，當，則可能等于（

）A．1 B． C． D．01．