測(cè)試卷03-2022年高考數(shù)學(xué)考前沖刺卷（新高考專用）

班級(jí)：______考號(hào)：_______姓名：_______分?jǐn)?shù)：_______【考前15天·一天一測(cè)】2022年高考考前沖刺卷數(shù)學(xué)（第三測(cè)）（考試時(shí)間：120分鐘試卷滿分：150分）一、單項(xiàng)選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一個(gè)選項(xiàng)是符合題目要求的．1．集合，，，全集為，則圖中陰影部分表示的集合是（

）A． B．C． D．【答案】C【解析】，解得.即P＝{－2，－3}，{1，3}，∴M∩N＝{1}，N∩P＝{－2}，故陰影部分表示的集合為{3，－3}．故選：C2．設(shè)則“且”是“”的A．充分而不必要條件 B．必要而不充分條件C．充分必要條件 D．即不充分也不必要條件【答案】A【解析】若x≥2且y≥2，則x2≥4，y2≥4，所以x2+y2≥8，即x2+y2≥4；若x2+y2≥4，則如（2，2）滿足條件，但不滿足x≥2且y≥2．所以“x≥2且y≥2”是“x2+y2≥4”的充分而不必要條件．故選A．3．已知函數(shù)，若，則實(shí)數(shù)a＝（

）A． B． C．2 D．9【答案】C【解析】函數(shù)，，則，即，解可得：.故選：C4．某品牌暖水瓶的內(nèi)膽規(guī)格如圖所示，分為①②③④四個(gè)部分（水瓶?jī)?nèi)膽壁厚不計(jì)），它們分別為一個(gè)半球，一個(gè)大圓柱，一個(gè)圓臺(tái)和一個(gè)小圓柱．若其中圓臺(tái)部分的體積為cm3，且水瓶灌滿水后蓋上瓶塞時(shí)水溢出cm3，則蓋上瓶塞后水瓶的最大盛水量為（

）A．cm3 B．cm3 C．cm3 D．cm3【答案】A【解析】半球體積，大圓柱的體積，圓臺(tái)的體積，小圓柱的體積，所以最大盛水量為.故選：A5．的展開(kāi)式中，的系數(shù)為（

）A．145 B．144 C．81 D．1【答案】A【解析】的展開(kāi)式通項(xiàng)公式為，，所以的展開(kāi)式中，的系數(shù)為：．故選：A．6．如圖，點(diǎn)為橢圓：的右頂點(diǎn)，在橢圓上，若四邊形為平行四邊形，且，則橢圓的離心率為（）A． B． C． D．【答案】D【解析】由橢圓對(duì)稱性知，點(diǎn)在線段的垂直平分線上，所以點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，代入橢圓方程得點(diǎn)的縱坐標(biāo)為，所以，則由，得，所以橢圓的離心率為，故選D．7．如圖，在邊長(zhǎng)為a的等邊三角形ABC中，圓D1與△ABC相切，圓D2與圓D1相切且與AB，AC相切，…，圓Dn+1與圓Dn相切且與AB，AC相切，依次得到圓D3，D4，…，Dn．設(shè)圓D1，D2，…，Dn的面積之和為，（），則（

）A． B．C． D．【答案】B【解析】等邊三角形內(nèi)心、重心、外心、垂心四心合一.所以圓的半徑為，面積為，圓的半徑為，面積為，圓的半徑為，面積為，以此類推，圓的面積為，所以各圓的面積組成的數(shù)列是首項(xiàng)為，公比為的等比數(shù)列，所以.故選：B8．已知，，，則（

）A． B．C． D．【答案】D【解析】，，，即，所以，，，則，即A錯(cuò)誤；，，所以，，，，即BC都錯(cuò)誤，D正確.故選：D.二、多項(xiàng)選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求，全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分．9．已知復(fù)數(shù)z滿足，且復(fù)數(shù)z對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在第一象限，則下列結(jié)論正確的是（

）A．復(fù)數(shù)z的虛部為 B．C． D．復(fù)數(shù)z的共軛復(fù)數(shù)為【答案】BC【解析】設(shè)復(fù)數(shù).因?yàn)椋覐?fù)數(shù)z對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在第一象限，所以，解得：，即.對(duì)于A：復(fù)數(shù)z的虛部為.故A錯(cuò)誤；對(duì)于B：.故B正確；對(duì)于C：因?yàn)椋?故C正確；對(duì)于D：復(fù)數(shù)z的共軛復(fù)數(shù)為.故D錯(cuò)誤.故選：BC10．設(shè)A，B是兩個(gè)事件，且B發(fā)生A必定發(fā)生，，，給出下列各式，其中正確的是（

）A． B．C． D．【答案】BC【解析】∵B發(fā)生A必定發(fā)生，∴，，，故A，D不正確；，故B正確；，故C正確．故選：BC11．在平面直角坐標(biāo)系中，已知雙曲線的離心率為，且雙曲線的左焦點(diǎn)在直線上，、分別是雙曲線的左、右頂點(diǎn)，點(diǎn)是雙曲線的右支上位于第一象限的動(dòng)點(diǎn)，記、的斜率分別為、，則下列說(shuō)法正確的是（

）A．雙曲線的漸近線方程為 B．雙曲線的方程為C．為定值 D．存在點(diǎn)，使得【答案】BC【解析】對(duì)于A選項(xiàng)，，則，所以，雙曲線的漸近線方程為，A錯(cuò)；對(duì)于B選項(xiàng)，由題意可得，可得，，，所以，雙曲線的方程為，B對(duì)；對(duì)于C選項(xiàng)，設(shè)點(diǎn)，則，可得，易知點(diǎn)、，所以，，C對(duì)；對(duì)于D選項(xiàng)，由題意可知，，則，，且，所以，，D錯(cuò).故選：BC.12．“阿基米德多面體”是由邊數(shù)不全相同的正多邊形為面圍成的多面體，它體現(xiàn)了數(shù)學(xué)的對(duì)稱美．某天小明在廣場(chǎng)上發(fā)現(xiàn)了如圖1所示的一個(gè)石凳，其形狀是將一個(gè)正方體沿交于同一頂點(diǎn)的三條棱的中點(diǎn)截去一個(gè)三棱錐，共可截去八個(gè)三棱錐，得到八個(gè)面為正三角形，六個(gè)面為正方形的“阿基米德多面體”（如圖2所示）．小明用卷尺測(cè)量出這個(gè)石凳的高度為50cm，他給出了如下判斷，請(qǐng)你指出小明的哪些判斷是正確的（

）A．這個(gè)石凳共有24條棱，12個(gè)頂點(diǎn)，14個(gè)面B．一個(gè)體積為1立方米的正方體石料可以切割出8個(gè)這樣的石凳（不計(jì)損耗）C．這個(gè)石凳也可以由一個(gè)直徑為70cm的球形石料切割而成（不計(jì)損耗）D．如果將這個(gè)石凳三角形的那個(gè)面水平放置，石凳的高度會(huì)增加【答案】ABD【解析】觀察所得的幾何體可知，幾何體有24條棱、12個(gè)頂點(diǎn)、14個(gè)面，選項(xiàng)A正確；由題意可知，“阿基米德多面體”體積為原正方體體積減去8個(gè)三棱錐體積，設(shè)原正方體的棱長(zhǎng)為，則8個(gè)三棱錐體積為，所以“阿基米德多面體”體積為，又石凳的高度為50cm，所以原正方體的棱長(zhǎng)，所以“阿基米德多面體”體積為，又1立方米等于，所以，所以一個(gè)體積為1立方米的正方體石料可以切割出8個(gè)這樣的石凳（不計(jì)損耗），故B正確；原正方體的棱長(zhǎng)，則其外接球的直徑為，又，所以一個(gè)直徑為70cm的球形石料切割不成該幾何體（不計(jì)損耗），故C錯(cuò)誤；設(shè)原正方體的棱長(zhǎng)為，則每個(gè)三棱錐是底面邊長(zhǎng)為的正三角形，側(cè)棱長(zhǎng)，且兩兩互相垂直的三棱錐，設(shè)頂點(diǎn)到正三角形的距離為，由三棱錐的體積可知，解得，所以兩個(gè)對(duì)角上的正三角形所在面的距離為，由題意可知，如果“阿基米德多面體”按照?qǐng)D2放置，則高度為，所以如果將這個(gè)石凳三角形的那個(gè)面水平放置，石凳的高度為，所以高度會(huì)增加，故D正確；故選：ABD.三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分．13．在邊長(zhǎng)為4的菱形ABCD中，∠A=60°，點(diǎn)P為CD的中點(diǎn)，則________．【答案】16【解析】.故答案為：16.14．已知函數(shù)在上單調(diào)遞增，則的取值范圍為_(kāi)__________.【答案】【解析】當(dāng)時(shí)，，又，且在上單調(diào)遞增，所以，所以，解得，即.故答案為：.15．古希臘數(shù)學(xué)家托勒密于公元150年在他的名著《數(shù)學(xué)匯編》里給出了托勒密定理，即圓的內(nèi)接凸四邊形的兩對(duì)對(duì)邊乘積的和等于兩條對(duì)角線的乘積.已知，為圓的內(nèi)接四邊形的兩條對(duì)角線，已知，若，則圓的半徑為_(kāi)_________；若，則實(shí)數(shù)的最小值為_(kāi)_________．【答案】

【解析】因?yàn)樗倪呅蝺?nèi)接于圓，所以，所以因?yàn)樗裕从?，所以在中，由余弦定理可得所以，記四邊形的外接圓半徑為R，則，所以.由上可知，，在中，記則由余弦定理得，即又由托勒密定理知，，即，得又所以，得當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號(hào)所以的最小值為.故答案為：16．函數(shù)滿足，當(dāng)時(shí)，，若有8個(gè)不同的實(shí)數(shù)解，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是______．【答案】【解析】由得：對(duì)稱軸為，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，故在處取得極小值，且為最小值，，令，則，要想有8不同的實(shí)數(shù)解，故要有兩個(gè)根，則，解得：或，且兩根均要大于，所以要滿足，解得：，綜上：.故答案為：四、解答題：本題共6小題，共70分．解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟．17．已知的內(nèi)角、、的對(duì)邊分別為、、，且的面積為．(1)求；(2)若，的角平分線與邊相交于點(diǎn)，延長(zhǎng)至點(diǎn)，使得，求．【解析】(1)由題可知，所以，由余弦定理，所以，可得，因?yàn)?，所?(2)不妨令，因?yàn)?，可得，，又因?yàn)闉榈慕瞧椒志€，所以，，得，所以在中，由余弦定理可得，即，在中，可得，，所以，為等邊三角形，所以，在中，由余弦定理可得，得．18．如圖，在三棱柱ABCA1B1C1中，BB1⊥平面ABC，∠BAC=90°，AC=AB=AA1，E是BC的中點(diǎn)．（1）求證：AE⊥B1C；（2）求異面直線AE與A1C所成的角的大小；（3）若G為C1C中點(diǎn)，求二面角CAGE的正切值．【解析】證明：（1）因?yàn)锽B1⊥面ABC，AE?面ABC，所以AE⊥BB1由AB=AC，E為BC的中點(diǎn)得到AE⊥BC∵BC∩BB1=B∴AE⊥面BB1C1C∴AE⊥B1C解：（2）取B1C1的中點(diǎn)E1，連A1E1，E1C，則AE∥A1E1，∴∠E1A1C是異面直線AE與A1C所成的角．設(shè)AC=AB=AA1=2，則由∠BAC=90°，可得A1E1=AE=，A1C=2，E1C1=EC=BC=∴E1C==∵在△E1A1C中，cos∠E1A1C==所以異面直線AE與A1C所成的角為．（3）連接AG，設(shè)P是AC的中點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P作PQ⊥AG于Q，連EP，EQ，則EP⊥AC又∵平面ABC⊥平面ACC1A1∴EP⊥平面ACC1A1而PQ⊥AG∴EQ⊥AG．∴∠PQE是二面角CAGE的平面角．由EP=1，AP=1，PQ=，得tan∠PQE==所以二面角CAGE的平面角正切值是19．某公司負(fù)責(zé)生產(chǎn)的A型材料是神舟十二號(hào)的重要零件，該材料應(yīng)用前景十分廣泛，該公司為了將A型材料更好地投入商用，擬對(duì)A型材料進(jìn)行應(yīng)用改造，根據(jù)市場(chǎng)調(diào)研與模擬，得到應(yīng)用改造投入x（億元）與產(chǎn)品的直接收益y（億元）的數(shù)據(jù)統(tǒng)計(jì)如下：序號(hào)12345678910111223468101321222324251522274048546068.56867.56665當(dāng)時(shí)，建立了y與x的兩個(gè)回歸模型：模型①：；模型②：；當(dāng)時(shí)，確定y與x滿足的線性回歸直線方程為．請(qǐng)根據(jù)以上閱讀材料，解答以下問(wèn)題：(1)根據(jù)下列表格中的數(shù)據(jù)，比較當(dāng)時(shí)模型①，②的相關(guān)指數(shù)的大小，并選擇擬合效果更好的模型．回歸模型模型①模型②回歸方程79.1320.2(2)當(dāng)應(yīng)用改造的投入為20億元時(shí)，以回歸直線方程為預(yù)測(cè)依據(jù)，計(jì)算公司的收益約為多少元．附：①若最小二乘法求得回歸直線方程為，則；②；③，當(dāng)時(shí)，．相關(guān)指數(shù)的計(jì)算公式為：，當(dāng)越大時(shí)，回歸方程的擬合效果越好；當(dāng)越小時(shí)，回歸方程的擬合效果越差．【解析】(1)對(duì)于模型①，因?yàn)?，故?duì)應(yīng)的，故對(duì)應(yīng)的相關(guān)指數(shù)，對(duì)于模型②，同理對(duì)應(yīng)的相關(guān)指數(shù)，故模型②擬合效果更好．(2)當(dāng)時(shí)，后五組的，，可得，所以當(dāng)時(shí)，確定y與x滿足的線性回歸直線方程為故當(dāng)投入20億元時(shí)，預(yù)測(cè)公司的收益約為：（億元）．20．在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知?jiǎng)狱c(diǎn)P到的距離比它到直線的距離小1.(1)求動(dòng)點(diǎn)P的軌跡C的方程；(2)過(guò)點(diǎn)F的直線與曲線C交于A，B兩點(diǎn)，，記直線QA，QB的斜率分別為，，求證：為定值.【解析】(1)由題意，點(diǎn)P到的距離等于它到直線的距離，∴點(diǎn)P的軌跡為以為焦點(diǎn)，以直線為準(zhǔn)線的拋物線，∴動(dòng)點(diǎn)P的軌跡C的方程為.(2)顯然，直線AB的斜率存在，設(shè)其方程為，，，由得，，，，∴，故為定值2.21．?dāng)?shù)列中，．（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）設(shè)若數(shù)列的前n項(xiàng)的和是，求證：．【解析】（1）由題知，所以，，故數(shù)列是首項(xiàng)為2，公比的等比數(shù)列，所以，所以；（2），根據(jù)指數(shù)增長(zhǎng)特征知，對(duì)任意恒成立.所以，所以數(shù)列的前n項(xiàng)的和.22．已知函數(shù)．(1)當(dāng)時(shí)，恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍；(2)當(dāng)時(shí)，，方程的根為、，且，求證：．【解析】(1)因?yàn)?，則，且，由題意可知，對(duì)任意的，，設(shè)，則，