41數(shù)列的概念-2022-2023學(xué)年高二數(shù)學(xué)講義（人教A版2019選擇性）

4.1數(shù)列的概念課程標(biāo)準(zhǔn)課標(biāo)解讀了解數(shù)列的有關(guān)概念（項(xiàng)、項(xiàng)的表示）；了解數(shù)列的表示方法（列表、圖象、通項(xiàng)公式）；了解數(shù)列是特殊的函數(shù).通過(guò)本節(jié)課的學(xué)習(xí)，要求會(huì)依據(jù)若干項(xiàng)求通項(xiàng)公式或某一項(xiàng)，能利用遞推公式求解數(shù)列中的項(xiàng)或通項(xiàng)公式，并能借助數(shù)列的單調(diào)性求數(shù)列的最大項(xiàng)與最小項(xiàng).知識(shí)點(diǎn)1數(shù)列及其有關(guān)概念1．一般地，我們把按照確定的順序排列的一列數(shù)稱為數(shù)列，數(shù)列中的每一個(gè)數(shù)叫做這個(gè)數(shù)列的項(xiàng)．?dāng)?shù)列的第一個(gè)位置上的數(shù)叫做這個(gè)數(shù)列的第1項(xiàng)，常用符號(hào)a1表示，第二個(gè)位置上的數(shù)叫做這個(gè)數(shù)列的第2項(xiàng)，用a2表示……，第n個(gè)位置上的數(shù)叫做這個(gè)數(shù)列的第n項(xiàng)，用an表示．其中第1項(xiàng)也叫做首項(xiàng)．注：數(shù)列的第n項(xiàng)與項(xiàng)數(shù)n：數(shù)列{an}的第n項(xiàng)為an，an在數(shù)列{an}中的項(xiàng)數(shù)為n2.數(shù)列的一般形式是a1，a2，a3，…，an，…，簡(jiǎn)記為{an}．3.對(duì)數(shù)列概念的理解（1）數(shù)列是按一定“順序”排列的一列數(shù)，一個(gè)數(shù)列不僅與構(gòu)成它的“數(shù)”有關(guān)，而且還與這些“數(shù)”的排列順序有關(guān)，這有別于集合中元素的無(wú)序性．因此，若組成兩個(gè)數(shù)列的數(shù)相同而排列次序不同，那么它們就是不同的兩個(gè)數(shù)列．（2）數(shù)列中的數(shù)可以重復(fù)出現(xiàn)，而集合中的元素不能重復(fù)出現(xiàn)，這也是數(shù)列與數(shù)集的區(qū)別．（3）數(shù)列是一種特殊的函數(shù)數(shù)列是一種特殊的函數(shù)，其定義域是正整數(shù)集和正整數(shù)集的有限子集.所以數(shù)列的函數(shù)的圖像不是連續(xù)的曲線，而是一串孤立的點(diǎn).【即學(xué)即練1】（2022·全國(guó)·高二課時(shí)練習(xí)）下列有關(guān)數(shù)列的說(shuō)法正確的是（

）A．同一數(shù)列的任意兩項(xiàng)均不可能相同B．?dāng)?shù)列，，與數(shù)列，，是同一個(gè)數(shù)列C．?dāng)?shù)列1，3，5，7可表示為D．?dāng)?shù)列2，5，2，5，…，2，5，…是無(wú)窮數(shù)列【解析】例如無(wú)窮個(gè)3構(gòu)成的常數(shù)列3，3，3，…的各項(xiàng)都是3，故A錯(cuò)誤；數(shù)列，0，1與數(shù)列0，1，中項(xiàng)的順序不同，即表示不同的數(shù)列，故B錯(cuò)誤；是一個(gè)集合，故C錯(cuò)誤；根據(jù)數(shù)列的分類，數(shù)列2，5，2，5，…，2，5，…中的項(xiàng)有無(wú)窮多個(gè)，所以是無(wú)窮數(shù)列，D正確.故選：D.【即學(xué)即練2】（2022·全國(guó)·高二課時(shí)練習(xí)）若數(shù)列的通項(xiàng)公式為，則關(guān)于此數(shù)列的圖像敘述不正確的是（

）A．此數(shù)列不能用圖像表示B．此數(shù)列的圖像僅在第一象限C．此數(shù)列的圖像為直線D．此數(shù)列的圖像為直線上滿足的一系列孤立的點(diǎn)【解析】數(shù)列的通項(xiàng)公式為，它的圖像就是直線上滿足的一系列孤立的點(diǎn).故選:D．知識(shí)點(diǎn)2數(shù)列的分類分類標(biāo)準(zhǔn)類型含義按項(xiàng)數(shù)有窮數(shù)列項(xiàng)數(shù)有限的數(shù)列無(wú)窮數(shù)列項(xiàng)數(shù)無(wú)限的數(shù)列按項(xiàng)的變化趨勢(shì)遞增數(shù)列從第2項(xiàng)起，每一項(xiàng)都大于它的前一項(xiàng)的數(shù)列，即恒有an＋1>an(n∈N*)遞減數(shù)列從第2項(xiàng)起，每一項(xiàng)都小于它的前一項(xiàng)的數(shù)列，即恒有an＋1<an(n∈N*)常數(shù)列各項(xiàng)都相等的數(shù)列，即恒有an＋1＝an(n∈N*)按其他標(biāo)準(zhǔn)周期數(shù)列一般地，對(duì)于數(shù)列{an}，若存在一個(gè)固定的正整數(shù)T，使得an＋T＝an恒成立，則稱{an}是周期為T的周期數(shù)列按其他標(biāo)準(zhǔn)有界(無(wú)界)數(shù)列任一項(xiàng)的絕對(duì)值都小于某一正數(shù)的數(shù)列稱為有界數(shù)列，即?M∈R，|an|≤M，否則稱為無(wú)界數(shù)列擺動(dòng)數(shù)列從第2項(xiàng)起，有些項(xiàng)大于它的前一項(xiàng)，有些項(xiàng)小于它的前一項(xiàng)的數(shù)列注：(1)如果組成兩個(gè)數(shù)列的數(shù)相同，但順序不同，它們是不同的數(shù)列；(2)同一個(gè)數(shù)可以在數(shù)列中重復(fù)出現(xiàn)；(3){an}表示一個(gè)數(shù)列，an表示數(shù)列中的第n項(xiàng)．(4)判斷數(shù)列是何種數(shù)列一定嚴(yán)格按照定義進(jìn)行判斷．(5)判斷數(shù)列的單調(diào)性時(shí)一定要確保每一項(xiàng)均大于(或均小于)后一項(xiàng)，不能有例外．【即學(xué)即練3】（2022·全國(guó)·高二課時(shí)練習(xí)）已知下列數(shù)列：①2，4，8，12；②0，，…，，…；③1，，…，，…；④1，，…，，…；⑤1，0，－1，…，sin，…；⑥6，6，6，6，6，6.其中，(1)遞增數(shù)列是________；(2)遞減數(shù)列是________.(填序號(hào))【解析】對(duì)于①，因?yàn)?，故①為增?shù)列，對(duì)于②，數(shù)列的通項(xiàng)為，故，故，故為增數(shù)列，故②為增數(shù)列，對(duì)于③，數(shù)列的通項(xiàng)為，故，故為減數(shù)列，故③為減數(shù)列，對(duì)于④，因?yàn)?，故此?shù)列既不是增數(shù)列，也不是減數(shù)列.對(duì)于⑤，該數(shù)列的第4項(xiàng)為，故該數(shù)列的前4項(xiàng)為：，而，故⑤中數(shù)列既不是增數(shù)列，也不是減數(shù)列，而⑥中數(shù)列為常數(shù)列，故答案為：①②，③.知識(shí)點(diǎn)3數(shù)列的表示方法1．列表法列出表格來(lái)表示數(shù)列{an}的第n項(xiàng)與序號(hào)n之間的關(guān)系．見下表：序號(hào)n123…n…項(xiàng)ana1a2a3…an…2．圖象法在平面直角坐標(biāo)系中，數(shù)列的圖象是一系列橫坐標(biāo)為正整數(shù)的孤立的點(diǎn)(n，an)．3．通項(xiàng)公式法如果數(shù)列{an}的第n項(xiàng)an與它的序號(hào)n之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系可以用一個(gè)式子來(lái)表示，那么這個(gè)式子叫做這個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)公式．即,不是每一個(gè)數(shù)列都有通項(xiàng)公式,也不是每一個(gè)數(shù)列都有一個(gè)個(gè)通項(xiàng)公式.數(shù)列的通項(xiàng)公式實(shí)際上是一個(gè)以正整數(shù)集N*或它的有限子集{1,2,3，…，n}為定義域的函數(shù)的表達(dá)式．注：通項(xiàng)公式就是數(shù)列的函數(shù)解析式，以前我們學(xué)過(guò)的函數(shù)的自變量通常是連續(xù)變化的，而數(shù)列是自變量為離散的數(shù)的函數(shù)．4．遞推公式法如果已知數(shù)列的第1項(xiàng)(或前幾項(xiàng))，且從第2項(xiàng)(或某一項(xiàng))開始的任一項(xiàng)an與它的前一項(xiàng)an－1(或前幾項(xiàng))間的關(guān)系可以用一個(gè)公式來(lái)表示，那么這個(gè)公式就叫做這個(gè)數(shù)列的遞推公式．注：常見數(shù)列的通項(xiàng)(1)1，2，3，4，…的一個(gè)通項(xiàng)公式為an＝n.(2)2，4，6，8，…的一個(gè)通項(xiàng)公式為an＝2n.(3)3，5，7，9，…的一個(gè)通項(xiàng)公式為an＝2n＋1.(4)2，4，8，16，…的一個(gè)通項(xiàng)公式為an＝2n.(5)－1，1，－1，1，…的一個(gè)通項(xiàng)公式為an＝(－1)n.(6)1，0，1，0，…的一個(gè)通項(xiàng)公式為an＝eq\f(1＋（－1）n－1,2).(7)a，b，a，b，…的一個(gè)通項(xiàng)公式為an＝eq\f(（a＋b）＋（－1）n－1（a－b）,2).(8)9，99，999，…的一個(gè)通項(xiàng)公式為an＝10n－1.【即學(xué)即練4】（2022·全國(guó)·高二課時(shí)練習(xí)）數(shù)列的通項(xiàng)公式是（，），這個(gè)數(shù)列從第______項(xiàng)起各項(xiàng)均為正數(shù)．【解析】由題意，數(shù)列的通項(xiàng)公式是，令，即，解得或，因?yàn)椋郧?，所以這個(gè)數(shù)列從第7項(xiàng)起各項(xiàng)均為正數(shù)．故答案為：.【即學(xué)即練5】（2022·江蘇·高二課時(shí)練習(xí)）已知數(shù)列．(1)寫出這個(gè)數(shù)列的第8項(xiàng)和第20項(xiàng)；(2)323是不是這個(gè)數(shù)列中的項(xiàng)？如果是，是第幾項(xiàng)？【解析】(1)解：由題意數(shù)列，令，可得數(shù)列的第為；令，可得數(shù)列的第為.所以數(shù)列的第為，第為.(2)解：令，即，解得，所以是數(shù)列的第項(xiàng).【即學(xué)即練6】（2022·全國(guó)·高二課時(shí)練習(xí)）若一數(shù)列為1，，，，…，則是這個(gè)數(shù)列的（

）．A．不在此數(shù)列中 B．第13項(xiàng) C．第14項(xiàng) D．第15項(xiàng)【解析】因，因此符合題意的一個(gè)通項(xiàng)公式為，由解得：，所以是這個(gè)數(shù)列的第15項(xiàng).故選：D【即學(xué)即練7】（2022·全國(guó)·高二課時(shí)練習(xí)）寫出數(shù)列的一個(gè)通項(xiàng)公式，使它的前4項(xiàng)分別是下列各數(shù)．(1)，，，；(2)，，，；(3)3，4，3，4；(4)6，66，666，6666．【解析】（1）4個(gè)項(xiàng)都是分?jǐn)?shù)，它們的分子依次為，分母是正奇數(shù)，依次為，所以給定4項(xiàng)都滿足的一個(gè)通項(xiàng)公式為.（2）4個(gè)項(xiàng)按先負(fù)數(shù)，后正數(shù)，正負(fù)相間排列，其絕對(duì)值的分子依次為，分母比對(duì)應(yīng)分子多1，所以給定4項(xiàng)都滿足的一個(gè)通項(xiàng)公式為.（3）4個(gè)項(xiàng)是第1，3項(xiàng)均為3，第2，4項(xiàng)均為4，所以給定4項(xiàng)都滿足的一個(gè)通項(xiàng)公式為.（4）4個(gè)項(xiàng)，所有項(xiàng)都是由數(shù)字6組成的正整數(shù)，其中6的個(gè)數(shù)與對(duì)應(yīng)項(xiàng)數(shù)一致，依次可寫為，所以給定4項(xiàng)都滿足的一個(gè)通項(xiàng)公式為.【即學(xué)即練8】（2022·山東東營(yíng)·高二期末）已知數(shù)列，則是這個(gè)數(shù)列的（

）A．第1011項(xiàng) B．第1012項(xiàng) C．第1013項(xiàng) D．第1014項(xiàng)【解析】由數(shù)列，可得，令，解得，所以是這個(gè)數(shù)列的第1012項(xiàng).故選：B.【即學(xué)即練9】（2022·遼寧·高二期中）在數(shù)列中，，，則（

）A． B． C．－3 D．2【解析】因?yàn)?，，所以，所以，所以．故選：C知識(shí)點(diǎn)4數(shù)列的前n項(xiàng)和Sn與an的關(guān)系1.把數(shù)列{an}從第1項(xiàng)起到第n項(xiàng)止的各項(xiàng)之和，稱為數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和，記作Sn，即Sn＝a1＋a2＋…＋an.2．?dāng)?shù)列的前項(xiàng)和和通項(xiàng)的關(guān)系：則特別地，若a1滿足an＝Sn－Sn－1(n≥2)，則不需要分段．【即學(xué)即練10】（2022·浙江·高二期末）已知數(shù)列的前項(xiàng)和，則______.【解析】當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，.所以，所以.故答案為：【即學(xué)即練11】（2022·全國(guó)·高二課時(shí)練習(xí)）已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，，則該數(shù)列的通項(xiàng)公式______；若為嚴(yán)格遞減數(shù)列，則實(shí)數(shù)的取值范圍是______．【解析】當(dāng)時(shí)，；當(dāng)且時(shí)，；若，則滿足；此時(shí)；若，則不滿足，此時(shí).綜上所述：或；當(dāng)時(shí)，，滿足為嚴(yán)格遞減數(shù)列，當(dāng)時(shí)，若，則，滿足嚴(yán)格遞減；若為嚴(yán)格遞減數(shù)列，只需，即，解得：且；綜上所述：實(shí)數(shù)的取值范圍為.故答案為：或；.【即學(xué)即練12】（2022·廣東·佛山一中高二階段練習(xí)）已知對(duì)任意，則的值為（

）A． B． C． D．【解析】因?yàn)閷?duì)任意，所以當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，得，兩式相減得，即，又適合上式，所以，所以.故選：A知識(shí)點(diǎn)5數(shù)列的性質(zhì)（1）數(shù)列的單調(diào)性遞增數(shù)列、遞減數(shù)列或是常數(shù)列；在數(shù)列{an}中，若an最大，則eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(an≥an－1，,an≥an＋1；))若an最小，則eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(an≤an－1，,an≤an＋1.))數(shù)列的周期性.根據(jù)給出的關(guān)系式求出數(shù)列的若干項(xiàng)，通過(guò)觀察歸納出數(shù)列的周期，進(jìn)而求有關(guān)項(xiàng)的值或者前n項(xiàng)的和．注：由于數(shù)列是特殊的函數(shù)，所以可以用研究函數(shù)的思想方法來(lái)研究數(shù)列的相關(guān)性質(zhì)，如單調(diào)性、最大值、最小值等，此時(shí)要注意數(shù)列的定義域?yàn)檎麛?shù)集或其有限子集{1,2，…，n}這一條件．【即學(xué)即練13】（2022·全國(guó)·高二課時(shí)練習(xí)）已知數(shù)列滿足，為正整數(shù)，則該數(shù)列的最大值是（

）A． B． C． D．【解析】由，得，，，，．又，，又因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以的最大值為．故選：B．【即學(xué)即練14】（2022·全國(guó)·高二課時(shí)練習(xí)）在數(shù)列中，已知，，則（

）A．11 B．0 C．1 D．2【解析】由，得，所以，，，，又的值以4為周期循環(huán)出現(xiàn)，所以數(shù)列是以4為周期的數(shù)列，所以（項(xiàng)數(shù)較大，可先考慮周期性）．故選：C．【即學(xué)即練15】（2022·全國(guó)·高二課時(shí)練習(xí)）已知數(shù)列的通項(xiàng)公式為，則“”是“為遞增數(shù)列”的（

）A．必要不充分條件 B．充要條件 C．充分不必要條件 D．既不充分也不必要條件【解析】若為遞增數(shù)列，則，即，得，又，所以，所以，所以“”是“為遞增數(shù)列”的必要不充分條件．故選：A.考點(diǎn)一數(shù)列的有關(guān)概念和分類解題方略：1、判斷數(shù)列是何種數(shù)列一定嚴(yán)格按照定義進(jìn)行判斷．2、判斷數(shù)列的單調(diào)性時(shí)一定要確保每一項(xiàng)均大于(或均小于)后一項(xiàng)，不能有例外．【例11】（2022·全國(guó)·高二課時(shí)練習(xí)）現(xiàn)有下列說(shuō)法：①元素有三個(gè)以上的數(shù)集就是一個(gè)數(shù)列；②數(shù)列1，1，1，1，…是無(wú)窮數(shù)列；③每個(gè)數(shù)列都有通項(xiàng)公式；④根據(jù)一個(gè)數(shù)列的前若干項(xiàng)，只能寫出唯一的通項(xiàng)公式；⑤數(shù)列可以看著是一個(gè)定義在正整數(shù)集上的函數(shù)．其中正確的有（

）．A．0個(gè) B．1個(gè) C．2個(gè) D．3個(gè)【解析】對(duì)于①，數(shù)列是按一定次序排成的一列數(shù)，而數(shù)集的元素?zé)o順序性，①不正確；對(duì)于②，由無(wú)窮數(shù)列的意義知，數(shù)列1，1，1，1，…是無(wú)窮數(shù)列，②正確；對(duì)于③，不是每個(gè)數(shù)列都有通項(xiàng)，如按精確度為得到的不足近似值，依次排成一列得到的數(shù)列沒(méi)有通項(xiàng)公式，③不正確；對(duì)于④，前4項(xiàng)為1，1，1，1的數(shù)列通項(xiàng)公式可以為，等，即根據(jù)一個(gè)數(shù)列的前若干項(xiàng)，寫出的通項(xiàng)公式可以不唯一，④不正確；對(duì)于⑤，有些數(shù)列是有窮數(shù)列，不可以看著是一個(gè)定義在正整數(shù)集上的函數(shù)，⑤不正確，所以說(shuō)法正確的個(gè)數(shù)是1.故選：B變式1：（2022·全國(guó)·高二課時(shí)練習(xí)）下列說(shuō)法：①數(shù)列，，，與，，，是相同數(shù)列；②數(shù)列，，，可表示為；③數(shù)列，，，，…的一個(gè)通項(xiàng)公式為；④數(shù)列，，，，…是常數(shù)列；⑤數(shù)列是嚴(yán)格遞增數(shù)列，其中正確的是______．（填編號(hào)）【解析】對(duì)于①，數(shù)列中的項(xiàng)是有序的，，，，與，，，項(xiàng)的排序不同，不是相同數(shù)列，①錯(cuò)誤；對(duì)于②，表示集合，其中元素?zé)o序；數(shù)列，，，，各項(xiàng)是有序的，不可以用來(lái)表示，②錯(cuò)誤；對(duì)于③，當(dāng)時(shí)，，不是該數(shù)列的一個(gè)通項(xiàng)公式，③錯(cuò)誤；對(duì)于④，常數(shù)列是指各項(xiàng)均為同一常數(shù)的數(shù)列，④錯(cuò)誤；對(duì)于⑤，若，則，，數(shù)列是嚴(yán)格遞增數(shù)列，⑤正確.故答案為：⑤.變式2：（2022·全國(guó)·高二課時(shí)練習(xí)）下列數(shù)列中，既是無(wú)窮數(shù)列又是遞增數(shù)列的是（

）A．… B．…C．… D．【解析】對(duì)于選項(xiàng)A：數(shù)列是無(wú)窮數(shù)列，但它不是遞增數(shù)列，而是遞減數(shù)列；故選項(xiàng)A不正確；對(duì)于選項(xiàng)B：數(shù)列是無(wú)窮數(shù)列，但它不是遞增數(shù)列；故選項(xiàng)B不正確；對(duì)于選項(xiàng)C：數(shù)列是無(wú)窮數(shù)列，也是遞增數(shù)列；故選項(xiàng)C正確；對(duì)于選項(xiàng)D：數(shù)列是遞增數(shù)列，但不是無(wú)窮數(shù)列，故選項(xiàng)D不正確；故選：C考點(diǎn)二判斷或者寫出數(shù)列的項(xiàng)解題方略：對(duì)于數(shù)列的通項(xiàng)公式要掌握：①已知數(shù)列的通項(xiàng)公式，就可以求出數(shù)列的各項(xiàng)；②根據(jù)數(shù)列的前幾項(xiàng)，寫出數(shù)列的一個(gè)通項(xiàng)公式，這是一個(gè)難點(diǎn)，在學(xué)習(xí)中要注意觀察數(shù)列中各項(xiàng)與其序號(hào)的變化情況，分解所給數(shù)列的前幾項(xiàng)，看看這幾項(xiàng)的分解中．哪些部分是變化的，哪些是不變的，再探索各項(xiàng)中變化部分與序號(hào)的聯(lián)系，從而歸納出構(gòu)成數(shù)列的規(guī)律，寫出通項(xiàng)公式.2、(1)利用數(shù)列的通項(xiàng)公式求某項(xiàng)的方法數(shù)列的通項(xiàng)公式給出了第n項(xiàng)an與它的位置序號(hào)n之間的關(guān)系，只要用序號(hào)代替公式中的n，就可以求出數(shù)列的相應(yīng)項(xiàng)．(2)判斷某數(shù)值是否為該數(shù)列的項(xiàng)的方法先假定它是數(shù)列中的第n項(xiàng)，然后列出關(guān)于n的方程．若方程的解為正整數(shù)，則是數(shù)列的一項(xiàng)；若方程無(wú)解或解不是正整數(shù)，則不是該數(shù)列的一項(xiàng)．給出數(shù)列的前幾項(xiàng)求通項(xiàng)時(shí)，主要從以下幾個(gè)方面來(lái)考慮：①熟悉一些常見數(shù)列的通項(xiàng)公式，如{n}，{2n}，{(－1)n}，{2n}，{n2}，{2n－1}等；②分式形式的數(shù)列，分子、分母分別求通項(xiàng)，較復(fù)雜的還要考慮分子、分母的關(guān)系；③若第n項(xiàng)和第n＋1項(xiàng)正負(fù)交錯(cuò)，那么用符號(hào)(－1)n或(－1)n＋1來(lái)適配；④對(duì)于較復(fù)雜數(shù)列的通項(xiàng)公式，可使用添項(xiàng)、通分、分割等方法，將數(shù)列的各項(xiàng)分解成若干個(gè)常見數(shù)列對(duì)應(yīng)項(xiàng)的“和”“差”“積”“商”后再進(jìn)行歸納；⑤注意通項(xiàng)公式的形式不一定是唯一的，如數(shù)列1，0，1，0，…的通項(xiàng)公式可寫成an＝eq\f(1＋（－1）n＋1,2)或an＝eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(sin\f(nπ,2)))，甚至分段形式an＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(1，n是奇數(shù)，,0，n是偶數(shù)))等.4、遞推公式反映的是相鄰兩項(xiàng)(或n項(xiàng))之間的關(guān)系．對(duì)于通項(xiàng)公式，已知n的值即可得到相應(yīng)的項(xiàng)，而遞推公式則要已知首項(xiàng)(或前幾項(xiàng))，才可依次求得其他的項(xiàng)．若項(xiàng)數(shù)很大，則應(yīng)考慮數(shù)列是否具有規(guī)律性．（一）根據(jù)規(guī)律填寫數(shù)列中的某項(xiàng)【例21】（2022·全國(guó)·高二期末）數(shù)列，，，，的第14項(xiàng)是_________．【解析】不妨設(shè)數(shù)列為，則，，，，由此歸納得到的一個(gè)通項(xiàng)公式為，所以；故答案為：變式1：（2022·全國(guó)·高二課時(shí)練習(xí)）根據(jù)下列5個(gè)圖形及相應(yīng)點(diǎn)的個(gè)數(shù)的變化規(guī)律，可以得出第10個(gè)圖有______個(gè)點(diǎn)．【解析】圖（1）只有1個(gè)點(diǎn)，無(wú)分支；圖（2）除中間1個(gè)點(diǎn)外，有2個(gè)分支，每個(gè)分支有1個(gè)點(diǎn)；圖（3）除中間1個(gè)點(diǎn)外，有3個(gè)分支，每個(gè)分支有2個(gè)點(diǎn)；圖（4）除中間1個(gè)點(diǎn)外，有4個(gè)分支，每個(gè)分支有3個(gè)點(diǎn)……猜想第個(gè)圖除中間1個(gè)點(diǎn)外，有個(gè)分支，每個(gè)分支有個(gè)點(diǎn)，故第個(gè)圖點(diǎn)的個(gè)數(shù)為，故第10個(gè)圖點(diǎn)的個(gè)數(shù)為．故答案為：91.變式2：（2022·廣西·高二學(xué)業(yè)考試）一定數(shù)目的點(diǎn)在等距離的排列下可以形成一個(gè)等邊三角形，這樣的數(shù)被稱為三角形數(shù).如圖，根據(jù)前三個(gè)點(diǎn)陣圖形的規(guī)律，第四個(gè)點(diǎn)陣表示的三角形數(shù)是（

）A．1 B．6 C．10 D．20【解析】根據(jù)規(guī)律可知，第四個(gè)點(diǎn)陣表示的三角形數(shù)為：.故選：C變式3：（2022·河南駐馬店·高二期中（理））如果正整數(shù)排列規(guī)律如下：（1），（2，3），（4，5，6），（7，8，9，10），（11，12，13，14，15）……則第十個(gè)括號(hào)內(nèi)從左到右第3個(gè)數(shù)是（

）A．39 B．46 C．47 D．48【解析】由排列的規(guī)律可得，第個(gè)括號(hào)最后一個(gè)數(shù)為，所以第九個(gè)括號(hào)最后一個(gè)數(shù)為45，則第十個(gè)括號(hào)內(nèi)從左到右第3個(gè)數(shù)是48．故選：D.根據(jù)通項(xiàng)公式寫出項(xiàng)【例22】（2022·全國(guó)·高二課時(shí)練習(xí)）已知點(diǎn)在直線上，則數(shù)列的通項(xiàng)公式______；依次寫出數(shù)列的前3項(xiàng)為______．【解析】因點(diǎn)在直線上，則，所以數(shù)列的通項(xiàng)公式是，.故答案為：；3，5，7變式1：（2022·天津河北·高二期末）已知數(shù)列的通項(xiàng)公式，則數(shù)列的前5項(xiàng)為______.【解析】因?yàn)?，所以?shù)列的前5項(xiàng)為.故答案為：變式2：（2022·全國(guó)·高二課時(shí)練習(xí)）已知數(shù)列的通項(xiàng)公式．（1）______（選填“是”或“不是”）數(shù)列中的項(xiàng)；（2）這個(gè)數(shù)列第______項(xiàng)起各項(xiàng)都為負(fù)數(shù)．【解析】令，即，所以，所以不是數(shù)列中的項(xiàng)；由數(shù)列函數(shù)屬性可知，，，因?yàn)?，，所以，這個(gè)數(shù)列第5項(xiàng)起各項(xiàng)都為負(fù)數(shù).故答案為：不是；.變式3：（2022·全國(guó)·高二課時(shí)練習(xí)）已知數(shù)列的通項(xiàng)公式為，則它的前五項(xiàng)依次為______．【解析】因?yàn)閿?shù)列的通項(xiàng)公式為，所以，，故答案為：1，1，2，2，3變式4：（2022·全國(guó)·高二課時(shí)練習(xí)）已知數(shù)列的通項(xiàng)公式為，從第______項(xiàng)起各項(xiàng)均大于．【解析】令，即，解得：或，又，從第項(xiàng)起，各項(xiàng)均大于.故答案為：.根據(jù)項(xiàng)寫出通項(xiàng)公式【例23】（2022·全國(guó)·高二課時(shí)練習(xí)）已知數(shù)列的前幾項(xiàng)，寫出下面數(shù)列的一個(gè)通項(xiàng)公式．（1）1，3，7，15，31，…；（2）4，44，444，4444，…；（3）－1，3，－5，7，－9，…；（4）2，－，，－，，－，…；（5）1，2，1，2，1，2，….【解析】（1）由題意，數(shù)列的前幾項(xiàng)為：1，3，7，15，31，…，可得各項(xiàng)分別加上1后，數(shù)列變?yōu)?，4，8，16，32，…，新數(shù)列的通項(xiàng)為，故原數(shù)列的通項(xiàng)公式為.（2）由數(shù)列的前幾項(xiàng)為：4，44，444，4444，…各項(xiàng)乘，變?yōu)?，99，999，…，各項(xiàng)加上1后，數(shù)列變?yōu)?0，100，1000，…，新數(shù)列的通項(xiàng)為，故原數(shù)列的通項(xiàng)公式為．（3）所給數(shù)列有這樣幾個(gè)特點(diǎn)：①符號(hào)正、負(fù)相間；②整數(shù)部分構(gòu)成奇數(shù)列；③分?jǐn)?shù)部分的分母為從2開始的自然數(shù)的平方；④分?jǐn)?shù)部分的分子依次大1.綜合這些特點(diǎn)寫出表達(dá)式，再化簡(jiǎn)即可．由所給的幾項(xiàng)可得數(shù)列的通項(xiàng)公式為，所以.（4）數(shù)列的符號(hào)規(guī)律是正、負(fù)相間，使各項(xiàng)分子為4，數(shù)列變?yōu)?，再把各分母分別加上1，數(shù)列又變?yōu)?，所?(5)由1，2，1，2，1，2，，可寫成分段函數(shù)的形式：.變式1：（2022·全國(guó)·高二課時(shí)練習(xí)）（1）數(shù)列，，，，…的一個(gè)通項(xiàng)公式為=______；（2）數(shù)列，，，，…的一個(gè)通項(xiàng)公式為=______；（3）數(shù)列1，11，111，1111，…的一個(gè)通項(xiàng)公式為=______．【解析】（1）所給數(shù)列的前4項(xiàng)中，每一項(xiàng)的分子比分母少1，且分母依次為，，，（分式中應(yīng)分別考慮分子、分母的特征），所以數(shù)列的一個(gè)通項(xiàng)公式為．（2）所給數(shù)列可寫成，，，，…，所以數(shù)列的一個(gè)通項(xiàng)公式為．（3）所給數(shù)列可寫成，，，，…，所以數(shù)列的一個(gè)通項(xiàng)公式為．故答案為：；；．變式2：（2022·全國(guó)·高二課時(shí)練習(xí)）根據(jù)下列條件，寫出各數(shù)列的前4項(xiàng)，并歸納猜想數(shù)列的通項(xiàng)公式．(1)，（，）；(2)，（，）；(3)，，（，）．【解析】(1)解：歸納猜想.(2)解：歸納猜想.(3)解：，，，歸納猜想.（四）由遞推公式求數(shù)列的指定項(xiàng)【例24】（2022·北京·高二期末）已知數(shù)列的首項(xiàng)為，且滿足，則此數(shù)列的第3項(xiàng)是（

）A．4 B．12 C．24 D．32【解析】由題意，，故選：B變式1：（2022·福建省福安市第一中學(xué)高二階段練習(xí)）數(shù)列滿足，，則等于（

）A． B． C．2 D．【解析】因?yàn)?，，所以，，，，，…，所以?shù)列是周期數(shù)列，周期為3，所以，所以.故選：A.變式2：（2022·廣東佛山·高二期末）已知數(shù)列滿足，，則______．【解析】由題設(shè)，，所以，又，所以.故答案為：.變式3：（2022·遼寧·高二階段練習(xí)）已知數(shù)列滿足，且，則___________.【解析】因?yàn)椋遥?，解得，，解得，，解得．故答案為：．變?：（2022·全國(guó)·高二課時(shí)練習(xí)）已知數(shù)列滿足，.若數(shù)列是常數(shù)列，則（

）A． B． C． D．【解析】∵數(shù)列滿足，，∴.∵數(shù)列是常數(shù)列，∴，解得.故選：A.考點(diǎn)三數(shù)列的單調(diào)性解題方略：解決數(shù)列單調(diào)性問(wèn)題的三種方法數(shù)列是特殊函數(shù)，研究其性質(zhì)一般都離不開函數(shù)與方程思想的應(yīng)用.解決數(shù)列單調(diào)性的方法主要有：作差比較、作商比較及結(jié)合相應(yīng)函數(shù)直觀判斷，求最大項(xiàng)可通過(guò)列不等式組求.(1)作差比較法：根據(jù)an＋1－an的符號(hào)判斷數(shù)列{an}是遞增數(shù)列、遞減數(shù)列還是常數(shù)列；an＋1－an>0?數(shù)列{an}是單調(diào)遞增數(shù)列；an＋1－an<0?數(shù)列{an}是單調(diào)遞減數(shù)列；an＋1－an＝0?數(shù)列{an}是常數(shù)列．(2)作商比較法：根據(jù)eq\f(an＋1,an)(an>0或an<0)與1的大小關(guān)系進(jìn)行判斷；①當(dāng)an>0時(shí)，eq\f(an＋1,an)>1?數(shù)列{an}是單調(diào)遞增數(shù)列；eq\f(an＋1,an)<1?數(shù)列{an}是單調(diào)遞減數(shù)列；eq\f(an＋1,an)＝1?數(shù)列{an}是常數(shù)列．②當(dāng)an<0時(shí)，eq\f(an＋1,an)>1?數(shù)列{an}是單調(diào)遞減數(shù)列；eq\f(an＋1,an)<1?數(shù)列{an}是單調(diào)遞增數(shù)列；eq\f(an＋1,an)＝1?數(shù)列{an}是常數(shù)列．函數(shù)法：結(jié)合相應(yīng)的函數(shù)圖象直觀判斷．【例31】（2022·全國(guó)·高二課時(shí)練習(xí)）已知數(shù)列的通項(xiàng)公式是，則（

）A．不是單調(diào)數(shù)列 B．是遞減數(shù)列 C．是遞增數(shù)列 D．是常數(shù)列【解析】因?yàn)椋允沁f增數(shù)列.故選：C.變式1：（2022·江蘇·鹽城市伍佑中學(xué)高二期中）已知函數(shù)，設(shè)數(shù)列的通項(xiàng)公式為，其中.(1)求的值；(2)求證：；(3)判斷是遞增數(shù)列還是遞減數(shù)列，并說(shuō)明理由.【解析】(1)解：由題得，所以.(2)解：由題意得，因?yàn)闉檎麛?shù)，所以，所以.(3)解：由題得是遞增數(shù)列，證明：，所以是遞增數(shù)列.【例32】（2022·北京西城·高二期末）數(shù)列{}的通項(xiàng)公式為．若{}為遞增數(shù)列，則的取值范圍是（

）A．[1，＋∞） B． C．（－∞，1] D．【解析】因?yàn)閿?shù)列{}的通項(xiàng)公式為，且{}為遞增數(shù)列，所以對(duì)于都成立，所以對(duì)于都成立，即，所以對(duì)于都成立，所以對(duì)于都成立，所以，即的取值范圍是，故選：D變式1：（2022·全國(guó)·高二課時(shí)練習(xí)）已知數(shù)列的通項(xiàng)公式為，若是嚴(yán)格增數(shù)列，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（

）．A． B． C． D．【解析】由題意可得，解得故選：D.考點(diǎn)四數(shù)列的最值解題方略：求數(shù)列的最大項(xiàng)與最小項(xiàng)的常用方法(1)將數(shù)列視為函數(shù)f(x)當(dāng)x∈N*時(shí)所對(duì)應(yīng)的一列函數(shù)值，根據(jù)f(x)的類型作出相應(yīng)的函數(shù)圖象，或利用求函數(shù)最值的方法，求出f(x)的最值，進(jìn)而求出數(shù)列的最大(小)項(xiàng)；(2)通過(guò)通項(xiàng)公式an研究數(shù)列的單調(diào)性，利用eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(an≥an－1，,an≥an＋1))(n≥2)確定最大項(xiàng)，利用eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(an≤an－1，,an≤an＋1))(n≥2)確定最小項(xiàng)；(3)比較法：若有an＋1－an＝f(n＋1)－f(n)＞0eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(或an>0時(shí)，\f(an＋1,an)>1))，則an＋1＞an，則數(shù)列{an}是遞增數(shù)列，所以數(shù)列{an}的最小項(xiàng)為a1＝f(1)；若有an＋1－an＝f(n＋1)－f(n)＜0eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(或an>0時(shí)，\f(an＋1,an)<1))，則an＋1＜an，則數(shù)列{an}是遞減數(shù)列，所以數(shù)列{an}的最大項(xiàng)為a1＝f(1)．【例41】（2022·全國(guó)·高二課時(shí)練習(xí)）已知，求數(shù)列的最小值.【解析】因?yàn)槎魏瘮?shù)的對(duì)稱軸為，故在上，為增函數(shù)，而，故當(dāng)時(shí)，為遞增數(shù)列，故當(dāng)時(shí)，的最小值為.變式1：（2022·全國(guó)·高二課時(shí)練習(xí)）已知數(shù)列的通項(xiàng)公式為，求數(shù)列中的最大項(xiàng)．【解析】解法一：（作差比較法）：，當(dāng)時(shí)，，即；當(dāng)時(shí)，，即；當(dāng)時(shí)，，即．所以，，所以數(shù)列中的最大項(xiàng)為或，且；解法二（作商比較法）：，令，解得；令，解得；令，解得．又，故，，所以數(shù)列中的最大項(xiàng)為或，且．變式2：（2022·全國(guó)·高二課時(shí)練習(xí)）已知數(shù)列的通項(xiàng)公式為，(1)依次寫出數(shù)列的前項(xiàng)；(2)研究數(shù)列的單調(diào)性，并求數(shù)列的最大項(xiàng)和最小項(xiàng)．【解析】(1)由題意得：，，，，.(2)，當(dāng)時(shí)，且遞增；當(dāng)時(shí)，且遞增；；.變式3：（2022·全國(guó)·高二課時(shí)練習(xí)）已知數(shù)列的通項(xiàng)公式為，若為該數(shù)列的最小項(xiàng)，則______．【解析】令，解得：；當(dāng)且時(shí)，，則遞減；當(dāng)且時(shí)，，則遞增；又，，，即或.故答案為：或.考點(diǎn)五數(shù)列的周期性解題方略：解決數(shù)列周期性問(wèn)題，一般先寫出前幾項(xiàng)確定周期，再依據(jù)周期求解.待求式中出現(xiàn)較大下標(biāo)或已知條件中有關(guān)鍵恒等式，都是周期數(shù)列的“信號(hào)”.【例51】（2022·全國(guó)·高二課時(shí)練習(xí)）在數(shù)列中，，，則等于（

）．A． B． C． D．2【解析】由，可得：，故數(shù)列為周期性數(shù)列，每3項(xiàng)為一循環(huán)，而，故，故選：C變式1：（2022·廣東·深圳市建文外國(guó)語(yǔ)學(xué)校高二期中）對(duì)于數(shù)列，，，，則（

）A．1 B．2 C．3 D．2【解析】對(duì)于數(shù)列，，，，所以；；；；；；；……故數(shù)列的各項(xiàng)依次為1，2，3，1，2，3，1，2，3，1，2，3，……所以數(shù)列是以6為周期的周期數(shù)列.所以.故選：C變式2：（2022·河南·高二階段練習(xí)（文））已知數(shù)列滿足，，則（

）A．0 B． C． D．【解析】因?yàn)閿?shù)列滿足，，所以，，，，……由此歸納得數(shù)列是周期數(shù)列，數(shù)列的周期為3.所以.故選：B變式3：（2022·全國(guó)·高二課時(shí)練習(xí)）在數(shù)列中，，，則的值為______．【解析】因?yàn)椋?，所以?dāng)時(shí)，，，得，當(dāng)時(shí)，，，得，當(dāng)時(shí)，，，得，所以數(shù)列為周期為3的周期數(shù)列，所以，故答案為：考點(diǎn)六利用Sn與an的關(guān)系求通項(xiàng)公式解題方略：1、已知Sn求an的三個(gè)步驟(1)先利用a1＝S1求出a1.(2)用n－1替換Sn中的n得到一個(gè)新的關(guān)系，利用an＝Sn－Sn－1(n≥2)便可求出當(dāng)n≥2時(shí)an的表達(dá)式．(3)對(duì)n＝1時(shí)的結(jié)果進(jìn)行檢驗(yàn)，看是否符合n≥2時(shí)an的表達(dá)式，如果符合，則可以把數(shù)列的通項(xiàng)公式合寫；如果不符合，則應(yīng)該分n＝1與n≥2兩段來(lái)寫2、Sn與an關(guān)系問(wèn)題的求解思路根據(jù)所求結(jié)果的不同要求，將問(wèn)題向不同的兩個(gè)方向轉(zhuǎn)化．(1)利用an＝Sn－Sn－1(n≥2)轉(zhuǎn)化為只含Sn，Sn－1的關(guān)系式，再求解；(2)利用Sn－Sn－1＝an(n≥2)轉(zhuǎn)化為只含an，an－1的關(guān)系式，再求解．【例61】（2022·四川省成都市新都一中高二開學(xué)考試（理））已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，若，則下列結(jié)論正確的是（

）A． B． C． D．【解析】當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，∴當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，∴A，B均錯(cuò)誤；又當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，∴D正確，故選：D．變式1：（2022·甘肅·高臺(tái)縣第一中學(xué)高二階段練習(xí)（理））已知為數(shù)列的前n項(xiàng)和，且，則數(shù)列的通項(xiàng)公式為（

）A． B． C． D．【解析】當(dāng)時(shí)，，；當(dāng)時(shí)，，不符合，則.故選：B.變式2：（2022·全國(guó)·高二課時(shí)練習(xí)）已知數(shù)列的前n項(xiàng)和為，且滿足，則數(shù)列的通項(xiàng)公式為______．【解析】因?yàn)?，所以，即．?dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，顯然不滿足上式.所以．故答案為：.變式3：（2022·廣東珠?！じ叨谀┮阎獢?shù)列，滿足，則_______.【解析】由題意，，兩式相減得，．故答案為：．變式4：（2022·遼寧·沈陽(yáng)市第八十三中學(xué)高二開學(xué)考試）已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，且滿足an＋2SnSn－1＝0(n≥2)，a1＝.(1)求Sn；(2)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式．【解析】(1)當(dāng)n≥2時(shí)，由an＋2SnSn－1＝0得Sn－Sn－1＝－2SnSn－1，所以－＝2，又＝＝2，所以是首項(xiàng)為2，公差為2的等差數(shù)列．可得＝2n，所以Sn＝.(2)由(1)可得,當(dāng)n≥2時(shí)，an＝Sn－Sn－1＝－＝－；當(dāng)n＝1時(shí)，a1＝，不符合an＝－.

故題組A基礎(chǔ)過(guò)關(guān)練1．【多選】（2022·全國(guó)·高二課時(shí)練習(xí)）下列結(jié)論中正確的是（

）A．?dāng)?shù)列可以看作是一個(gè)定義在正整數(shù)集（或它的有限子集）上的函數(shù)B．?dāng)?shù)列若用圖像表示，則從圖像上看都是一群孤立的點(diǎn)C．?dāng)?shù)列的項(xiàng)數(shù)是無(wú)限的D．?dāng)?shù)列是遞增數(shù)列【解析】由數(shù)列的定義知，數(shù)列是特殊的函數(shù)，其定義域是正整數(shù)集或它的有限子集，選項(xiàng)A，B正確；由于數(shù)列有有窮數(shù)列與無(wú)窮數(shù)列之分，即數(shù)列的項(xiàng)數(shù)可以是有限的，也可以是無(wú)限的，C不正確；對(duì)于，得到，所以，數(shù)列是遞增數(shù)列，D正確.故選：ABD2．（2022·全國(guó)·高二課時(shí)練習(xí)）給出下列命題：①已知數(shù)列，，則是這個(gè)數(shù)列的第10項(xiàng)，且最大項(xiàng)為第1項(xiàng)；②數(shù)列，…的一個(gè)通項(xiàng)公式是；③已知數(shù)列，，且，則；④已知，則數(shù)列為遞增數(shù)列．其中正確命題的個(gè)數(shù)為______．【解析】對(duì)于①中，令，解得，且數(shù)列為遞減數(shù)列，所以最大項(xiàng)為第1項(xiàng)，所以①正確；對(duì)于②中，數(shù)列，，，，…的一個(gè)通項(xiàng)公式為，所以原數(shù)列的一個(gè)通項(xiàng)公式為，所以②正確；對(duì)于③中，由且，即，解得，所以，所以，所以③正確；對(duì)于④中，由，可得，即，所以數(shù)列為遞增數(shù)列，所以④正確．故答案為：.3．（2022·海南華僑中學(xué)高二期中）數(shù)列中，，，，則（

）A． B．11 C． D．12【解析】因?yàn)?，，，所以，；故選：D4．（2022·遼寧·沈陽(yáng)市第五十六中學(xué)高二階段練習(xí)）已知數(shù)列的前n項(xiàng)和為，對(duì)任意的都有，則的值為（

）A．2 B．1 C．1 D．0【解析】在中，令可得，，即所以，令，可得故選：C5．（2022·北京·北理工附中高二期中）已知數(shù)列的前n項(xiàng)和為，則“為常數(shù)列”是“，”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件【解析】數(shù)列為常數(shù)列，則，，，，，則當(dāng)時(shí)，，即，有，因此，，，數(shù)列為常數(shù)列，所以“為常數(shù)列”是“，”的充分必要條件.故選：C6．（2022·全國(guó)·高二單元測(cè)試）如果數(shù)列1，6，15，28，45，…中的每一項(xiàng)都可用如圖所示的六邊形表示出來(lái)，故稱它們?yōu)榱呅螖?shù)，那么第10個(gè)六邊形數(shù)為______．【解析】由題，觀察圖形，第個(gè)圖比第n個(gè)圖多了4條邊，每條邊有個(gè)端點(diǎn)，由于邊與邊有1端點(diǎn)重合，即第個(gè)圖比第n個(gè)圖多了個(gè)點(diǎn)，設(shè)第n個(gè)六邊形數(shù)為，則，.則，∴第10個(gè)六邊形數(shù)為故答案為：1907．（2022·全國(guó)·高二課時(shí)練習(xí)）已知，若數(shù)列中最小項(xiàng)為第3項(xiàng)，則______．【解析】因?yàn)殚_口向上，對(duì)稱軸為，則由題意知，所以．故答案為：.8．（2022·北京市房山區(qū)房山中學(xué)高二期中）已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，若點(diǎn)在函數(shù)的圖象上，則數(shù)列的通項(xiàng)公式___________.【解析】由題，點(diǎn)在函數(shù)的圖象上，則，，，當(dāng)時(shí)，符合，所以，故答案為：題組B能力提升練9．（2022·全