《高中數(shù)學(xué)選擇性必修一》同步練習(xí)與答案解析

《高中數(shù)學(xué)選擇性必修一》同步練習(xí)

《1.1空間向量及其運(yùn)算》同步練習(xí)

【題組一概念的辨析】

1.在下列結(jié)論中：

①若向量￡出共線，則向量￡出所在的直線平行；

②若向量￡出所在的直線為異面直線，則向量一定不共面；

③若三個(gè)向量a,反c兩兩共面，則向量a,反c共面；

④已知空間的三個(gè)向量2,反"，則對(duì)于空間的任意一個(gè)向量,總存在實(shí)數(shù)x,y,z使得

p—xa+yb+zc-

其中正確結(jié)論的個(gè)數(shù)是（）

A.0B.1C.2D.3

2.下列說法中正確的是（）

A.若同=網(wǎng)，則￡,彼的長(zhǎng)度相等，方向相同或相反

B.若向量［是向量很的相反向量，則同=問

C.空間向量的減法滿足結(jié)合律

D.在四邊形A8C￡＞中，一定有通+而=而

3.給出下列命題：

①若空間向量比5滿足同=W，則］=人

②空間任意兩個(gè)單位向量必相等；

③對(duì)于非零向量c，由n=B?個(gè)，則日=方；

［rrrrr

④在向量的數(shù)量積運(yùn)算中（a為）?c=a?（8?c）.

其中假命題的個(gè)數(shù)是（）

A.1B.2C.3D.4

4.給出以下結(jié)論：

①空間任意兩個(gè)共起點(diǎn)的向量是共面的;

②兩個(gè)相等向量就是相等長(zhǎng)度的兩條有向線段表示的向量；

③空間向量的加法滿足結(jié)合律：伍+5)+"。+,+)

④首尾相接的若干向量之和，等于由起始向量的起點(diǎn)指向末尾向量的終點(diǎn)的向量.

請(qǐng)將正確的說法題號(hào)填在橫線上：.

【題組二空間向量的線性運(yùn)算】

1.如圖，在正方體ABCD-中，點(diǎn)M,N分別是面對(duì)角線A,B與BD的中點(diǎn)，若DA

1,，、

A.萬(c+b-a)B.-(fl+b—c)

、1/、

C?-(a-c)D.-(c-a)

2.在四面體ABC。中，點(diǎn)廠在4。上，旦AF=2FD,E為3C中點(diǎn)，則E尸等于()

.1.1.7,..1.

A.EF=-AC+-AB--ADB.EF=一一AC--AB+-AD

223223

1—?2—-

C.EF=-AC--AB+-ADD.EF^--AC+-AB——AD

223223

3.如圖所示，在空間四邊形Q4BC中，O^a,OB=b,OC=c，點(diǎn)M在。4上，且

OM=2MA,N為BC中點(diǎn)、,則MN=()

2_1r1_

A.B.——a+—b+—c

322

22-1

C.-a+-b--cD.――a+-b_—c

222332

4.如圖，平行六面體ABCD-AMGA中，AC與8。的交點(diǎn)為M，設(shè)通=￡，而=萬，

AA,=c,則下列選項(xiàng)中與向量西相等的是（）

1_1-

A.——a——b—cB.-a4—b+c

2222

C1一1「一

C.—ci—b一cD.—a+—b-c

2222

5.如圖，在空間四邊形ABCD中，E,M,N分別是邊BC,BD,CD的中點(diǎn)，DE,MN交于F點(diǎn),

則1通+工/+麗=（

)

22

C

A-ADB.AFC.FAD.EM

6.平行六面體ABCO-AgGA中，輛=2碗，旃7=x^+y而+z麗，則實(shí)數(shù)

x,y,z的值分別為（）

122212221212

A.一,一,一B.—,一,—C.一,一,一D.一,一,一

333333333323

7.如圖，已知空間四邊形OABC,其對(duì)角線為08,AC,M,N分別是對(duì)邊OB,AC的中

點(diǎn)，點(diǎn)G在線段MN上，MG=2GN＞現(xiàn)用基向量CA,礪，花表示向量前，設(shè)

OG^xOA+yOB+zOC,則x，V，z的值分別是（）

8.在正方體ABCD—ABCD中，已知下列各式：①（而+及）+CCi；②（涵+物；）

___________,UULAI,,uutmUUU

+AG；③（而+84）+8C；④（AA+4生）+40.其中運(yùn)算的結(jié)果為40的有

個(gè).

9.在四面體4BC。中，E、G分別是CO、3E的中點(diǎn)，若記/工，AC^

則正

10.已知正方體ABCD—ABCD中,若點(diǎn)F是側(cè)面CDi的中心，且通=而+加福一鹿村

則m,n的值分別為（）

D.j_2.

2,2

【題組三空間向量的共面問題】

1.A,8,C,。是空間四點(diǎn)，有以下條件：

@OD=OA+-OB+-OC；?OD=-OA+-OB+-OC；

23234

@OD=-OA+-OB+-dC?OD=-OA+-OB+-OC,

235;236

能使A,B,C,D四點(diǎn)一定共面的條件是—

2.設(shè)空間任意一點(diǎn)。和不共線三點(diǎn)AB,C,且點(diǎn)P滿足向量關(guān)系

UUUUUUUUUUIU

OP=xOA+yOB+zOC<若P,AB,C四點(diǎn)共面，則x+y+z=_____.

3.對(duì)于空間任意一點(diǎn)。和不共線的三點(diǎn)A，8,C,有如下關(guān)系：6OP=OA+2OB+3OC

貝（）

A.四點(diǎn)0,A，B,。必共面B.四點(diǎn)尸，A，B,。必共面

C.四點(diǎn)0,P,B,C必共面D.五點(diǎn)。，P,A，B,C必共面

4.對(duì)于空間任意一點(diǎn)。和不共線的三點(diǎn)A,B,C,有如下關(guān)系：6OP=OA+2OB+3OC>

則（）

A.四點(diǎn)0,A,B,C必共面B.四點(diǎn)P,A,B,C必共面

C.四點(diǎn)0,P,B,C必共面D.五點(diǎn)0,P,A,B,C必共面

5.。為空間任意一點(diǎn)，A,B,C三點(diǎn)不共線，若加=++則四

326

點(diǎn)（）

A.一定不共面B.不一定共面

C.一定共面D.無法判斷

6.己知A、B、C三點(diǎn)不共線，對(duì)平面ABC外的任一點(diǎn)。，下列條件中能確定點(diǎn)M與

點(diǎn)4、B、C一定共面的是（）

_________1_.1_.1___

A.OM=OA+OB+OCB.OM=-OA+-OB+-OC

C.OM=OA+-OB^~OCD.OM=2OA-OB-OC

__3_1__1__

7.已知。為空間任意一點(diǎn)，若。尸=一。4+—。8+—。。，則A,B,C,P四點(diǎn)（）

488

A.一定不共面B.一定共面C.不一定共面D.無法判斷

【題組四空間向量的數(shù)量積】

1.如圖，平行六面體ABC。-44G。中，43=40=44,=1,ZBAD=ABAA,=120°,

NOAA=60°,則ACt=()

A.1B.2C.73D.V2

2.如圖，平行六面體ABC?！狝4G。中，AB=5,AD=3,AA]=7,ZBAD=-,

TT

N8A4=ND4A=-,則AC,的長(zhǎng)為.

3.如圖，M、N分別是四面體。鉆。的棱04、的中點(diǎn)，P、。是MN的三等分點(diǎn).（1）

用向量礪，OB'反表示而和而.（2）若四面體。4BC的所有棱長(zhǎng)都等于1,求

。戶.0。的值.

4..如圖，三棱柱ABC-4月￡中，底面邊長(zhǎng)和側(cè)棱長(zhǎng)都等于1,N3A4,=NCA4）=60。.

（1）設(shè)麗,=M,AB=b>AC=c>用向量5，￡表示反"并求出BQ的長(zhǎng)度;

（2）求異面直線A片與BQ所成角的余弦值.

5.如圖，三棱柱ABC-44G中，底面邊長(zhǎng)和側(cè)棱長(zhǎng)都相等，/BAA,=NCA4=60°,

則異面直線ABt與BC,所成角的余弦值為

6.如圖，已知線段AB_L平面a,BCca,CD_LBC,DF_L平面a,且/DCF=30°,I）與A在

a的同側(cè)，若AB=BC=CD=2,求A,D兩點(diǎn)間的距離.

《1.1空間向量及其運(yùn)算》同步練習(xí)答案解析

【題組一概念的辨析】

1.在下列結(jié)論中：

①若向量原石共線，則向量￡出所在的直線平行；

②若向量34所在的直線為異面直線，則向量一定不共面；

③若三個(gè)向量a,反c兩兩共面，則向量〃，瓦c共面;

④已知空間的三個(gè)向量在瓦2,則對(duì)于空間的任意一個(gè)向量方總存在實(shí)數(shù)x,y,z使得

p=xa+yb+zc-

其中正確結(jié)論的個(gè)數(shù)是（）

A.0B.1C.2D.3

【答案】A

【解析】平行向量就是共線向量，它們的方向相同或相反，未必在同一條直線上，故①錯(cuò).

兩條異面直線的方向向量可通過平移使得它們?cè)谕黄矫鎯?nèi)，故②錯(cuò)，

三個(gè)向量?jī)蓛晒裁?，這三個(gè)向量未必共面，如三棱錐P-ABC中，麗，麗,正兩兩共面，

但它們不是共面向量，故③錯(cuò).根據(jù)空間向量基本定理，Z,瓦2需不共面，故④錯(cuò).綜上,

選A.

2.下列說法中正確的是（）

A.若同=|可，則石的長(zhǎng)度相等，方向相同或相反

B.若向量￡是向量石的相反向量，則同=網(wǎng)

C.空間向量的減法滿足結(jié)合律

D.在四邊形ABC。中，一定有血+蒞=恁

【答案】B

【解析】對(duì)于A,向量的模相等指的是向量的長(zhǎng)度相等,方向具有不確定性，因而不一定方向

相同或相反,所以A錯(cuò)誤.對(duì)于B,相反向量指的是大小相等,方向相反的兩個(gè)向量.因而相反

向量滿足模長(zhǎng)相等,所以B正確.

對(duì)于C,減法結(jié)合律指的是3-倒-"）=0-可-因而由運(yùn)算可得空間向量減法不滿足結(jié)

合律.所以C錯(cuò)誤.對(duì)于D滿足而+而=前的一定是平行四邊形，一般四邊形是不滿足的,

因而D錯(cuò)誤.

綜上可知，正確的為B,故選:B

3.給出下列命題：

①若空間向量Z5滿足同=|可，則〃

②空間任意兩個(gè)單位向量必相等;

③對(duì)于非零向量c，由.守，則萬=〃；

[rrrrr

④在向量的數(shù)量積運(yùn)算中

其中假命題的個(gè)數(shù)是()

A.1B.2C.3D.4

【答案】D

【解析】對(duì)于①，空間向量G石的方向不一定相同，即彳=5不一定成立，故①錯(cuò)誤；

對(duì)于②，單位向量的方向不一定相同，故②錯(cuò)誤；

對(duì)于③，取2=(0,0,0),B=(1,O,O),c=(0,1,0),滿足仁.一=Be=0,且三。，但

rrrrrr

是故③錯(cuò)誤；對(duì)于④，因?yàn)?5和方；都是常數(shù)，所以卜力"和a-(/rc)表示兩

個(gè)向量，若M和守方向不同

則??4?c和&?(/??，)不相等，故④錯(cuò)誤.故選：D.

4.給出以下結(jié)論：

①空間任意兩個(gè)共起點(diǎn)的向量是共面的；

②兩個(gè)相等向量就是相等長(zhǎng)度的兩條有向線段表示的向量；

③空間向量的加法滿足結(jié)合律：(〃+5)+守=白+?+?；

④首尾相接的若干向量之和，等于由起始向量的起點(diǎn)指向末尾向量的終點(diǎn)的向量.

請(qǐng)將正確的說法題號(hào)填在橫線上：.

【答案】①③④

【解析】①中，兩個(gè)向量共起點(diǎn)，與兩向量終點(diǎn)共有3個(gè)點(diǎn)，則3點(diǎn)共面，可知兩向量共面，

①正確；

②中，兩個(gè)相等向量需大小相等，方向相同，②錯(cuò)誤；

③中，空間向量加法滿足結(jié)合律，③正確；

④中，由向量加法的三角形法則可知④正確.

故答案為：①③④

【題組二空間向量的線性運(yùn)算】

1.如圖，在正方體ABCD—AgG。中，點(diǎn)",N分別是面對(duì)角線AB與BD的中點(diǎn)，若囪

反巾，方瓦二c,則麗=()

B.-（6?-Fh-C）

C.-（Q-C）D.-（C-Q）

【答案】D

【解析】根據(jù)向量的線性運(yùn)算

MN=MAx+AiNK的+；4G==g（BA+A?Q+g（A4+4￡）

=："+??；（j）

=；傳_。）所以選D

2.在四面體ABCO中，點(diǎn)尸在A。t,且A尸=2ED，E為BC中點(diǎn),則石尸等于（）

A.EF=1AC1AB--ADB.EF=--AC--AB+-AD

=2+23223

C.EF=」前」而+2而D.EF=--AC+LAB-1AD

223223

【答案】B

：!（A5-AC）-A5+|AD=1——1一2—■

【解析】EF=EB+BA+AF=——AC——AB+-AD

223

故選：B

3.如圖所示，在空間四邊形。48c中，況=%0月=5,0e=守，點(diǎn)用在。4上，且

LlUULllUll,

OM=2MA,N為BC中點(diǎn)、,則MN=（）

o

1_2r1_2_1r1_

As.—a——b+—cB.——a+—b+—c

232322

C1_11I_22-1

C.—a+—b——cD.――a+-b_—c

222332

【答案】B

__i221i

［解析】由向量的加法和減法運(yùn)算：MN=dN-OM=-(OB+OC)--OA=--a+-b+-c.

23322

故選：B

4.如圖，平行六面體ABC?！狝gGA中，AC與8D的交點(diǎn)為M,設(shè)通=3,而=石,

=則下列選項(xiàng)中與向量函相等的是（）

11一

A.——a——b—cB.-ci4—b+c

2222

八1一1「一

C.—a—b—cD.-ciH—b—c

2222

【答案】B

【解析】如圖所示，-：MC\=MC+CC[,

MC=^AC,AC=AB+AD，麗=￡，AD=b>CCt=i,

:.MQ=^AB+AD）+CC^=^AB+^AD+Cq=^a+^b+c,

故選：B.

5.如圖，在空間四邊形ABCD中，E,M,N分別是邊BC,BD,CD的中點(diǎn)，DE,MN交于F點(diǎn),

1—■1—-—?

則一A6+—AC+EF=()

22

A-ADB.AFC.FAD.EM

【答案】B

【解析】是邊BC的中點(diǎn)，方+14右=通；二+/=Z后+麗=入戶;

2222

故選：B.

6.平行六面體ABCO—AACA中，~\M^2MC,AM=xAB+yAD+zAA^,則實(shí)數(shù)

x,y,z的值分別為（）

122212221212

A.—,—,—B.—,—,—C.—,—,—D.—,—,一

333333333323

【答案】C

Ci

D\

R。A。

一［.故選。

2一o2

z-3

如圖，己知空間四邊形。其對(duì)角線為3,產(chǎn)分別是對(duì)邊的中

7.WC,：.X0*3,3AC,M,N08,AC

醇

點(diǎn)，點(diǎn)G在線段M?N3上，MG=2GN＞現(xiàn)用基向量次，礪，覺表示向量弧，設(shè)

OG=xOA+yOB+zOC,則羽丁"的值分別是（

\zw：

\小’6

x=二',3、

B.x3，\

…々4*3

2JOA《A”

一'OJ

FJOA*32

、一幺箱網(wǎng)2

2-7xi=_0A+3、

+iMN2

5一2--21—?

=9方+4血+—OA+—A5+—x—3C

63、6332

AbA^bB-bA\+-（6c-bB\=-OA+-bB+-bc

63、,3V7633

111.、咫

.?.工=:，y=—,z=7故選：D

633

8.在正方體ABCD-ABCD中，己知下列各式：①（而+元）+且工②（麗+麗）

,__,UULAI,,uutmUUU

+D￡；③（通+BB1）+4G；④（的+Ad）+4G.其中運(yùn)算的結(jié)果為AC；的有

一個(gè).

【答案】4

【解析】根據(jù)空間向量的加法運(yùn)算以及正方體的性質(zhì)逐一進(jìn)行判斷：

___________________________UUU

①（通+BC）+CG=ZC+CG=ACt；

②(羽+9)+懵=礪+喝=46；

_____UUUU______UUUUUUL1

③(而+BBJ+Bg=AB,+B,C,=AC,；

____________UUUU______UUUIIUUU

④(A4,+A4)+B?=AB,+B￡=AC,.

UUU

所以4個(gè)式子的運(yùn)算結(jié)果都是

故答案為：4.

9.在四面體ABCD中，E、G分別是CO、BE的中點(diǎn)，若記油工，AD=b'AC

則啟=

1T171-

【答案】—a+—b^—c

244

【解析】在四面體A8C￡>中，E、G分別是CO、BE的中點(diǎn)，

—>1—>—>11—>—>—>I—>—>—>—>

則AG=AB+BG=AB+-BE=AB+-x-(BC+BD)=AB+-(AC-AB+AD-AB)

=AB+-AC+-AD-—AB

442

1-*1->1-*—

=—AB-\—AD-\—AC.故答案為：-ci~\—h-\—c.

244244

10.已知正方體ABCD-ABCD中，若點(diǎn)F是側(cè)面C?的中心，且通=通+加礪一〃麗.

貝Um,n的值分別為()

11

A11nc11八11

22222222

【答案】A

【解析】由于*=A方+而=公+,(。3+￡>￡)；)=南+14月+1^<,所以加=?1,〃=一,

22222

故選：A

【題組三空間向量的共面問題】

1.ARC,。是空間四點(diǎn)，有以下條件:

——?——?1―?1—?—?1—■1—■1—.

①OD=OA+]OB+±OC；@OD=-OA+-OB+-OC；

234

—■1—?1—.1—-

@OD=-OA+-OB+-6C；④OD=—OA+—OB+—OC,

235236

能使A,B,C,D四點(diǎn)一定共面的條件是一

【答案】④

【解析】對(duì)于④oBuLoA+Lofii+JoC,4+<+，=1,由空間向量共面定理可知

236236

A,民C,。四點(diǎn)一定共面，①②③不滿足共面定理的條件.故答案為：④

2.設(shè)空間任意一點(diǎn)。和不共線三點(diǎn)AB,C,且點(diǎn)P滿足向量關(guān)系

nullUULlLUlLILUll

OP=xOA+yOB+zOC>若P,AB,C四點(diǎn)共面，則x+y+z=

【答案】I

【解析】因?yàn)镻,AB,C四點(diǎn)共面，三點(diǎn)AB,C不共線，

uuuuuUUiU

所以3/??,HWR,PA=mAB+nAC,

iimunimuuuuuuuuurnuuULUmin

OA—OP=m(OB—OA)+n(OC—OA),OP=(1+m+n)OA—mOB—nOC

uuuuuuuuUUll

因?yàn)镺P=xOA+yOB+zOC>

因?yàn)镺是任意一點(diǎn)，故次，礪,反可不共面，所以x=l+"z+〃,y=-m,z=-〃，

故x+y+z=l.故答案為：1

3.對(duì)于空間任意一點(diǎn)。和不共線的三點(diǎn)A，B,C,有如下關(guān)系：6OP=0A+2OB+30C-

則（）

A.四點(diǎn)。，A，B,C必共面B.四點(diǎn)P,A.B,C必共面

C.四點(diǎn)。，P,B,C必共面D.五點(diǎn)。，P,A，B,C必共面

【答案】B

【解析】因?yàn)?0戶=。4+20分+3Od，所以加一礪=2（后一方）+3（元一萬），

即A7=2P^+3Pd，根據(jù)共面向量基本定理，可得Q，方，pd共面，

所以，P,A，B,。四點(diǎn)共面.故選：B.

4.對(duì)于空間任意一點(diǎn)0和不共線的三點(diǎn)A,B,C,有如下關(guān)系：6OP=OA+2OB+3OC>

則（）

A.四點(diǎn)0,A,B,C必共面B.四點(diǎn)P,A,B,C必共面

C.四點(diǎn)0,P,B,C必共面D.五點(diǎn)0,P,A,B,C必共面

【答案】B

【解析】由已知得。戶=,。4+，0月+,。3，而'+[+』=1,.,?四點(diǎn)尸、A、B、C

632632

共面.

故選：B.

1一1一1__

5.。為空間任意一點(diǎn)，43,。三點(diǎn)不共線,若赤=彳。4+7。8+/0。，則4,反。,「四

326

點(diǎn)（）

A.一定不共面B.不一定共面

C.一定共面D.無法判斷

【答案】C

1一1一1__111

【解析】因?yàn)辂?一。4+—08+—OC,且一+―+—=1,所以A,B,C,P四點(diǎn)共面.

326326

6.已知A、B、C三點(diǎn)不共線，對(duì)平面ABC外的任一點(diǎn)。，下列條件中能確定點(diǎn)”與

點(diǎn)A、B、C一定共面的是（）

_________1_1_.1__

A.OM=OAk+OB+OCB.OM=-OA+-OB+-OC

___.―.1_.[____________

c.OM^OA+-OB+-OCD.OM^2OA-OB-OC

【答案】B

【解析】若

333

故可得!。加一1。印+,。而-_1。方+_10加-,03=0

333333

即,AA/+,如+,函=0,

333

則疝=_*_函，

故AM=-AM+AB-AM+AC

整理得

33

又因?yàn)椴患耙鹿裁妫?/p>

故可得布7,癡,W共面，而其它選項(xiàng)不符合，

即可得A8,。,例四點(diǎn)共面.

故選：B.

7.已知。為空間任意一點(diǎn)，若。戶=巳麗+—。方+—。仁，則A,B,C,P四點(diǎn)（）

488

A.一定不共面B.一定共面C.不一定共面D.無法判斷

【答案】B

【解析】由若。瀉人以+匕0月+^^^，當(dāng)且僅當(dāng)a+〃+c=l時(shí)，P,A,BC四

點(diǎn)共面.

vOP=-OA+-OB+-OC,

488

311

而:+g+g=l故P，4B,C四點(diǎn)共面，故選B

488

【題組四空間向量的數(shù)量積】

1.如圖，平行六面體A3CZ）-44GA中，AB=AD=AA,=\,ZBAD=ZBAA[=120°,

ZDA4,=60°,貝ijAC,=()

Di

Bt

DX：?…g

B

A.1B.2C.V3D.V2

【答案】D

【解析】-.■Aq=AB+Ab+A\,

?2——2—2.—..—??.-?

?.ACt=AB+AD+AAi+2ABAD+2ABAAi+2ADAAl

=l+14-l+2xIxlx+2xlxlxf--|+2xlxlx—=2,

I2；2/.AC.=V2.故選:D

7T

2.如圖，平行六面體ABC。一44G。中，AB=5,AD=3,AAt=l,NBA￡>=§,

兀

ZBAA,=ZDAA,=-,則AC,的長(zhǎng)為一

【答案］,98+56'

【解析】平行六面體A6CO—A4GA中,

TT7T

AB=5,AD=3,M=7,ABAD=y,ZBAAt=ZDAA^=-,

■：AC,=AB+BC+CC,,

阿=宿2=（而+配+可2

=|珂+|附+國(guó)2+2荏網(wǎng)cos1+2BC.|cq|cos^+2AB-IcCilcos-^-

=25+9+49+2x5x3xl+2x3x7x—+2x5x7x—=98+5672.

222

.?.|AG|=|X^|=j98+560?故答案為：,98+56及?

3.如圖，M、N分別是四面體。鉆C的棱。4、BC的中點(diǎn)，P、。是MN的三等分點(diǎn).

（1）用向量OX，0B＞反表示而和麗.

（2）若四面體OABC的所有棱長(zhǎng)都等于1,求9?麗的值.

【答案】(1)OP=-OA+-OB+-OC,OQ=-OA+-OB+-OC(2)—.

63336636

【解析】(1)AB=OB-OA>BC^OC-OB

：.MN=MA+AB+BN^-OA+AB+-BC^-dA+OB-OA+-(OC-OB)

2222

=--OA+-OB+-OC

222

—?——?——.1—.2——1—?1—.1—.1—?1一1—.1—.

:.OP=OM+MP^-OA+-MN=-OA——OA+-OB+-OC^-OA+-OB+-OC

232333633

:.OQ=OM+MQ=-OA+-MN=-OA--OA+-OB+-OC^-OA+-OB+-OC

232666366

(2)四面體Q45C的所有棱長(zhǎng)都等于1,各面為等邊三角形，

/.<OA,OB>=<OB,OC>=<OC,(9A>=y,OB>OC

—?一1—1—1—1—1―■1—■

OP?OQ=(-OA+-OB+-OC)?(—OA+-OB+-OC)

633366

1——21—21----21----■1'—=1/■—■1/?二1二'?1----，.

=—OA+—OB+—OC+—OA?OB+—OA?OC+-OB?OA+—OB?OC+-OC?OA+—OC-OB

1818183636918918

=--1-1---1-1---1-1---1-1---1-1---1-1---1-1--1--1---1=--1-3

18181872721836183636

4.如圖，三棱柱ABC-A4G中，底面邊長(zhǎng)和側(cè)棱長(zhǎng)都等于1,NA44=NCAA=60。.

(1)設(shè)晶,=M，AB=b>AC=c>用向量萬，5，2表示與G，，并求出BG的長(zhǎng)度;

(2)求異面直線A片與BG所成角的余弦值.

解：(1)Bq=BB、+BCi=BB、+AG—ABi=G+*—6，

又a?B=卜4WcosN8AAi=lxlxcos60°=g,

同理可得

2

則|BQ1=yl(a+c-b)2=y/a+c+b2+2a-c-2a-b-2c-b=72?

(2)因?yàn)槌?=a+b,

所以|麗'|=癡+B)2=yla+b2+2a-b=#,

因?yàn)锳B〕-BC]—(a+by(a+c-b)-a+a-c-a-b+b-a+cb-b2=1,

所以cos<^，西>=粵笠=^=逅.

IAB,IIBCt|夜x66

則異面直線AB】與BC,所成角的余弦值為逅.

6

5.如圖，三棱柱ABC-A4G中，底面邊長(zhǎng)和側(cè)棱長(zhǎng)都相等，=ZCA4,=60°,

則異面直線AB,與BC,所成角的余弦值為

c

【答案】

6

【解析】三棱柱ABC—4區(qū)G中，底面邊長(zhǎng)和側(cè)棱長(zhǎng)都相等，NBA4,=NCA4,=60°,

設(shè)棱長(zhǎng)為1,

貝ijA月/ulxlxcosGO。=g,A月W=lxlxcos60'=；

AC-A4,=lxlxcos60=^.

又麗;=麗+猛，BC^AA.+AC-AB,

所以福.西=（荏+旃）?（可+而_通）

■..■*2?2■.■.1||1

ABA^+ABAC-AB+例+AA1-AC-AA^-AB=-+--\+\+---

阿卜J（通+羽）2=J通2+2麗陽(yáng)+麗2=G,

而

=VI+I+I-I-I+I=72,

-r^A8]?BC,1\[6

所以8s〈的明〉=^^=叩=不.

故答案為：亞.

6

6.如圖3-1-22所示，在空間四邊形OABC中，OA,OB,0C兩兩成60°角，且OA=OB=OC=

2,E為0A的中點(diǎn)，F(xiàn)為BC的中點(diǎn)，試求E,F間的距離.

圖3-1-22

【答案】小

―?—?—?1―?1—?—?1—?1—?—?―?―?1-?1―?1—?

【解析】EF=EA+AF=?A+5(AB+AC)=^0A+2[(0B-0A)+(OC-OA)]=-^OA+^OB+^OC,

所以市2=(瀛2+洞前2+2*(一；|><頡-6B+2X|^-^X16A-0C+2X^X^0B?而=

2.

|函=m,即E,F間的距離為*.

7.如圖，已知線段AB_L平面a,BCca,CD1BC,DF_L平面a,且/DCF=30°,D與A在

a的同側(cè)，若AB=BC=CD=2,求A,D兩點(diǎn)間的距離.

【答案】2m

【解析】?.?矗=慈+淡+班,

|AD|2=(AB+BC+CD)2=|AB|2+BC|2+|CD|2+2AB?BC+2AB?CD+2BC?CD=12+

2(2?2?cos900+2?2?cosl20°+2?2?cos900)=8,

：.M）\=2yf2,即A,D兩點(diǎn)間的距離為

《1.2空間向量的基本定理》同步練習(xí)

【題組一基底的判斷】

1.已知萬，b-m是不共面的三個(gè)向量，則能構(gòu)成一個(gè)基底的一組向量是（）

A.2M,〃，萬+2^B.2^，B+2G

C.5,2^,b-cD.c,a^c,a-c

2.已知點(diǎn)O,ABC為空間不共面的四點(diǎn)，且向量4=函+礪+無，向量

5=函+礪-無，則與3,萬不能構(gòu)成空間基底的向量是（）

A.OAB.OBC.OCD.礪或礪

3.已知｛%瓦耳是空間向量的一個(gè)基底，則與向量戶=々+5，4=五可構(gòu)成空間向量

基底的是（）

A.aB.b

C.a+2bD.a+2c

4.{工友斗為空間向量的一組基底，則下列各項(xiàng)中，能構(gòu)成空間向量的基底的一組向量是

（）

B,揚(yáng)―一一1}

C.1c,Q+瓦〃一4D.{Q+瓦〃一反。+2環(huán)

5.若{口反可為空間向量的一組基底，則下列各項(xiàng)中，能構(gòu)成空間向量的基底的一組向量

是（）

A.{。3+5,少-5}B.{瓦±+瓦萬一5}c.卜,瓦"-5}

D.{M+5,N-反夕+25}

【題組二基底的運(yùn)用】

1.如圖，平行六面體ABC。—AgGD中，AC與交于點(diǎn)M，設(shè)

AB=a,AD=b,A4,=c,則4M=()

B.-1a-+—1b尸-c-

22

C.-G—h-cD.——1a-+—1b尸—-c

2222

2.若例也絡(luò)即絡(luò)遍是空間的一個(gè)基底，盤=%果,胃均，赤=砥書《—%，第二畫一叫書綺,

磁二場(chǎng)界或豫業(yè)覲，磁=3微撲盛出函，則‘密，察，客的值分別為（）

A.B.

C.D.二，1,

3.如圖所示，P,。分別是四面體。45c的邊。4,8c的中點(diǎn)，M是PQ靠近尸的三等

分點(diǎn)，且麗=x^+y而+z芯，則x+y+z=

4.在正方體—中，點(diǎn)0是gG的中點(diǎn)，且。0=萬+y嵐+z歷;,

則x+y+z的值為

【題組三基本定理的運(yùn)用】

1.已知A，B,C三點(diǎn)不共線，對(duì)平面ABC外的任一點(diǎn)。，若點(diǎn)M滿足

OM=-OA+-OB+-OC.

333

(1)判斷麗5，MB>就1三個(gè)向量是否共面：

(2)判斷點(diǎn)M是否在平面ABC內(nèi).

2.已知直三棱柱ABC-AfG中，NA3C=120°,AB=2,BC=CC}=1,則異面直

線A片與BG所成角的余弦值為.

3.如圖所示，在平行四邊形ABCD中，AB=AC=l,NAC￡>=90°,將它沿對(duì)角線AC

折起，使AB與8成60°角，求點(diǎn)8與點(diǎn)。之間的距離.

4.己知空間四邊形0ABC中，ZA0B=ZB0C=ZA0C,且0A=0B=0C,M,N分別是0A,BC

的中點(diǎn)，G是MN的中點(diǎn)，求證：0G1BC.

《1.2空間向量的基本定理》同步練習(xí)答案解析

【題組一基底的判斷】

1.已知G,b,［是不共面的三個(gè)向量，則能構(gòu)成一個(gè)基底的一組向量是()

A.2也，&+2bB.2b，b-G，b+2G

C.3,2^,b-cD.c,a^c9a-c

【答案】C

42

【解析】對(duì)于A,因?yàn)?彳=§"-5)+§(萬+25),得25、a-B、M+25三個(gè)向量

共面，故它們不能構(gòu)成一個(gè)基底，A不正確；

42

對(duì)于B,因?yàn)?日=§(b-a)+-(b+25)，得2日、b~a,5+2萬三個(gè)向量共面，

故它們不能構(gòu)成一個(gè)基底，B不正確；

對(duì)于C,因?yàn)檎也坏綄?shí)數(shù)人、□，使+u-c)成立，故日、25、b