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文檔簡介
《高中數(shù)學選擇性必修一》同步練習
《1.1空間向量及其運算》同步練習
【題組一概念的辨析】
1.在下列結論中:
①若向量£出共線,則向量£出所在的直線平行;
②若向量£出所在的直線為異面直線,則向量一定不共面;
③若三個向量a,反c兩兩共面,則向量a,反c共面;
④已知空間的三個向量2,反",則對于空間的任意一個向量,總存在實數(shù)x,y,z使得
p—xa+yb+zc-
其中正確結論的個數(shù)是()
A.0B.1C.2D.3
2.下列說法中正確的是()
A.若同=網,則£,彼的長度相等,方向相同或相反
B.若向量[是向量很的相反向量,則同=問
C.空間向量的減法滿足結合律
D.在四邊形A8C£>中,一定有通+而=而
3.給出下列命題:
①若空間向量比5滿足同=W,則]=人
②空間任意兩個單位向量必相等;
③對于非零向量c,由n=B?個,則日=方;
[rrrrr
④在向量的數(shù)量積運算中(a為)?c=a?(8?c).
其中假命題的個數(shù)是()
A.1B.2C.3D.4
4.給出以下結論:
①空間任意兩個共起點的向量是共面的;
②兩個相等向量就是相等長度的兩條有向線段表示的向量;
③空間向量的加法滿足結合律:伍+5)+"。+,+)
④首尾相接的若干向量之和,等于由起始向量的起點指向末尾向量的終點的向量.
請將正確的說法題號填在橫線上:.
【題組二空間向量的線性運算】
1.如圖,在正方體ABCD-中,點M,N分別是面對角線A,B與BD的中點,若DA
1,,、
A.萬(c+b-a)B.-(fl+b—c)
、1/、
C?-(a-c)D.-(c-a)
2.在四面體ABC。中,點廠在4。上,旦AF=2FD,E為3C中點,則E尸等于()
.1.1.7,..1.
A.EF=-AC+-AB--ADB.EF=一一AC--AB+-AD
223223
1—?2—-
C.EF=-AC--AB+-ADD.EF^--AC+-AB——AD
223223
3.如圖所示,在空間四邊形Q4BC中,O^a,OB=b,OC=c,點M在。4上,且
OM=2MA,N為BC中點、,則MN=()
2_1r1_
A.B.——a+—b+—c
322
22-1
C.-a+-b--cD.――a+-b_—c
222332
4.如圖,平行六面體ABCD-AMGA中,AC與8。的交點為M,設通=£,而=萬,
AA,=c,則下列選項中與向量西相等的是()
1_1-
A.——a——b—cB.-a4—b+c
2222
C1一1「一
C.—ci—b一cD.—a+—b-c
2222
5.如圖,在空間四邊形ABCD中,E,M,N分別是邊BC,BD,CD的中點,DE,MN交于F點,
則1通+工/+麗=(
)
22
C
A-ADB.AFC.FAD.EM
6.平行六面體ABCO-AgGA中,輛=2碗,旃7=x^+y而+z麗,則實數(shù)
x,y,z的值分別為()
122212221212
A.一,一,一B.—,一,—C.一,一,一D.一,一,一
333333333323
7.如圖,已知空間四邊形OABC,其對角線為08,AC,M,N分別是對邊OB,AC的中
點,點G在線段MN上,MG=2GN>現(xiàn)用基向量CA,礪,花表示向量前,設
OG^xOA+yOB+zOC,則x,V,z的值分別是()
8.在正方體ABCD—ABCD中,已知下列各式:①(而+及)+CCi;②(涵+物;)
___________,UULAI,,uutmUUU
+AG;③(而+84)+8C;④(AA+4生)+40.其中運算的結果為40的有
個.
9.在四面體4BC。中,E、G分別是CO、3E的中點,若記/工,AC^
則正
10.已知正方體ABCD—ABCD中,若點F是側面CDi的中心,且通=而+加福一鹿村
則m,n的值分別為()
D.j_2.
2,2
【題組三空間向量的共面問題】
1.A,8,C,。是空間四點,有以下條件:
@OD=OA+-OB+-OC;?OD=-OA+-OB+-OC;
23234
@OD=-OA+-OB+-dC?OD=-OA+-OB+-OC,
235;236
能使A,B,C,D四點一定共面的條件是—
2.設空間任意一點。和不共線三點AB,C,且點P滿足向量關系
UUUUUUUUUUIU
OP=xOA+yOB+zOC<若P,AB,C四點共面,則x+y+z=_____.
3.對于空間任意一點。和不共線的三點A,8,C,有如下關系:6OP=OA+2OB+3OC
貝()
A.四點0,A,B,。必共面B.四點尸,A,B,。必共面
C.四點0,P,B,C必共面D.五點。,P,A,B,C必共面
4.對于空間任意一點。和不共線的三點A,B,C,有如下關系:6OP=OA+2OB+3OC>
則()
A.四點0,A,B,C必共面B.四點P,A,B,C必共面
C.四點0,P,B,C必共面D.五點0,P,A,B,C必共面
5.。為空間任意一點,A,B,C三點不共線,若加=++則四
326
點()
A.一定不共面B.不一定共面
C.一定共面D.無法判斷
6.己知A、B、C三點不共線,對平面ABC外的任一點。,下列條件中能確定點M與
點4、B、C一定共面的是()
_________1_.1_.1___
A.OM=OA+OB+OCB.OM=-OA+-OB+-OC
C.OM=OA+-OB^~OCD.OM=2OA-OB-OC
__3_1__1__
7.已知。為空間任意一點,若。尸=一。4+—。8+—。。,則A,B,C,P四點()
488
A.一定不共面B.一定共面C.不一定共面D.無法判斷
【題組四空間向量的數(shù)量積】
1.如圖,平行六面體ABC。-44G。中,43=40=44,=1,ZBAD=ABAA,=120°,
NOAA=60°,則ACt=()
A.1B.2C.73D.V2
2.如圖,平行六面體ABC?!狝4G。中,AB=5,AD=3,AA]=7,ZBAD=-,
TT
N8A4=ND4A=-,則AC,的長為.
3.如圖,M、N分別是四面體。鉆。的棱04、的中點,P、。是MN的三等分點.(1)
用向量礪,OB'反表示而和而.(2)若四面體。4BC的所有棱長都等于1,求
。戶.0。的值.
4..如圖,三棱柱ABC-4月£中,底面邊長和側棱長都等于1,N3A4,=NCA4)=60。.
(1)設麗,=M,AB=b>AC=c>用向量5,£表示反"并求出BQ的長度;
(2)求異面直線A片與BQ所成角的余弦值.
5.如圖,三棱柱ABC-44G中,底面邊長和側棱長都相等,/BAA,=NCA4=60°,
則異面直線ABt與BC,所成角的余弦值為
6.如圖,已知線段AB_L平面a,BCca,CD_LBC,DF_L平面a,且/DCF=30°,I)與A在
a的同側,若AB=BC=CD=2,求A,D兩點間的距離.
《1.1空間向量及其運算》同步練習答案解析
【題組一概念的辨析】
1.在下列結論中:
①若向量原石共線,則向量£出所在的直線平行;
②若向量34所在的直線為異面直線,則向量一定不共面;
③若三個向量a,反c兩兩共面,則向量〃,瓦c共面;
④已知空間的三個向量在瓦2,則對于空間的任意一個向量方總存在實數(shù)x,y,z使得
p=xa+yb+zc-
其中正確結論的個數(shù)是()
A.0B.1C.2D.3
【答案】A
【解析】平行向量就是共線向量,它們的方向相同或相反,未必在同一條直線上,故①錯.
兩條異面直線的方向向量可通過平移使得它們在同一平面內,故②錯,
三個向量兩兩共面,這三個向量未必共面,如三棱錐P-ABC中,麗,麗,正兩兩共面,
但它們不是共面向量,故③錯.根據空間向量基本定理,Z,瓦2需不共面,故④錯.綜上,
選A.
2.下列說法中正確的是()
A.若同=|可,則石的長度相等,方向相同或相反
B.若向量£是向量石的相反向量,則同=網
C.空間向量的減法滿足結合律
D.在四邊形ABC。中,一定有血+蒞=恁
【答案】B
【解析】對于A,向量的模相等指的是向量的長度相等,方向具有不確定性,因而不一定方向
相同或相反,所以A錯誤.對于B,相反向量指的是大小相等,方向相反的兩個向量.因而相反
向量滿足模長相等,所以B正確.
對于C,減法結合律指的是3-倒-")=0-可-因而由運算可得空間向量減法不滿足結
合律.所以C錯誤.對于D滿足而+而=前的一定是平行四邊形,一般四邊形是不滿足的,
因而D錯誤.
綜上可知,正確的為B,故選:B
3.給出下列命題:
①若空間向量Z5滿足同=|可,則〃
②空間任意兩個單位向量必相等;
③對于非零向量c,由.守,則萬=〃;
[rrrrr
④在向量的數(shù)量積運算中
其中假命題的個數(shù)是()
A.1B.2C.3D.4
【答案】D
【解析】對于①,空間向量G石的方向不一定相同,即彳=5不一定成立,故①錯誤;
對于②,單位向量的方向不一定相同,故②錯誤;
對于③,取2=(0,0,0),B=(1,O,O),c=(0,1,0),滿足仁.一=Be=0,且三。,但
rrrrrr
是故③錯誤;對于④,因為75和方;都是常數(shù),所以卜力"和a-(/rc)表示兩
個向量,若M和守方向不同
則??4?c和&?(/??,)不相等,故④錯誤.故選:D.
4.給出以下結論:
①空間任意兩個共起點的向量是共面的;
②兩個相等向量就是相等長度的兩條有向線段表示的向量;
③空間向量的加法滿足結合律:(〃+5)+守=白+?+?;
④首尾相接的若干向量之和,等于由起始向量的起點指向末尾向量的終點的向量.
請將正確的說法題號填在橫線上:.
【答案】①③④
【解析】①中,兩個向量共起點,與兩向量終點共有3個點,則3點共面,可知兩向量共面,
①正確;
②中,兩個相等向量需大小相等,方向相同,②錯誤;
③中,空間向量加法滿足結合律,③正確;
④中,由向量加法的三角形法則可知④正確.
故答案為:①③④
【題組二空間向量的線性運算】
1.如圖,在正方體ABCD—AgG。中,點",N分別是面對角線AB與BD的中點,若囪
反巾,方瓦二c,則麗=()
B.-(6?-Fh-C)
C.-(Q-C)D.-(C-Q)
【答案】D
【解析】根據向量的線性運算
MN=MAx+AiNK的+;4G==g(BA+A?Q+g(A4+4£)
=:"+?。唬╦)
=;傳_。)所以選D
2.在四面體ABCO中,點尸在A。t,且A尸=2ED,E為BC中點,則石尸等于()
A.EF=1AC1AB--ADB.EF=--AC--AB+-AD
=2+23223
C.EF=」前」而+2而D.EF=--AC+LAB-1AD
223223
【答案】B
:!(A5-AC)-A5+|AD=1——1一2—■
【解析】EF=EB+BA+AF=——AC——AB+-AD
223
故選:B
3.如圖所示,在空間四邊形。48c中,況=%0月=5,0e=守,點用在。4上,且
LlUULllUll,
OM=2MA,N為BC中點、,則MN=()
o
1_2r1_2_1r1_
As.—a——b+—cB.——a+—b+—c
232322
C1_11I_22-1
C.—a+—b——cD.――a+-b_—c
222332
【答案】B
__i221i
[解析】由向量的加法和減法運算:MN=dN-OM=-(OB+OC)--OA=--a+-b+-c.
23322
故選:B
4.如圖,平行六面體ABC。—AgGA中,AC與8D的交點為M,設通=3,而=石,
=則下列選項中與向量函相等的是()
11一
A.——a——b—cB.-ci4—b+c
2222
八1一1「一
C.—a—b—cD.-ciH—b—c
2222
【答案】B
【解析】如圖所示,-:MC\=MC+CC[,
MC=^AC,AC=AB+AD,麗=£,AD=b>CCt=i,
:.MQ=^AB+AD)+CC^=^AB+^AD+Cq=^a+^b+c,
故選:B.
5.如圖,在空間四邊形ABCD中,E,M,N分別是邊BC,BD,CD的中點,DE,MN交于F點,
1—■1—-—?
則一A6+—AC+EF=()
22
A-ADB.AFC.FAD.EM
【答案】B
【解析】是邊BC的中點,方+14右=通;二+/=Z后+麗=入戶;
2222
故選:B.
6.平行六面體ABCO—AACA中,~\M^2MC,AM=xAB+yAD+zAA^,則實數(shù)
x,y,z的值分別為()
122212221212
A.—,—,—B.—,—,—C.—,—,—D.—,—,一
333333333323
【答案】C
Ci
D\
R。A。
一[.故選。
2一o2
z-3
如圖,己知空間四邊形。其對角線為3,產分別是對邊的中
7.WC,:.X0*3,3AC,M,N08,AC
醇
點,點G在線段M?N3上,MG=2GN>現(xiàn)用基向量次,礪,覺表示向量弧,設
OG=xOA+yOB+zOC,則羽丁"的值分別是(
\zw:
\小’6
x=二',3、
B.x3,\
…々4*3
2JOA《A”
一'OJ
FJOA*32
、一幺箱網2
2-7xi=_0A+3、
+iMN2
5一2--21—?
=9方+4血+—OA+—A5+—x—3C
63、6332
AbA^bB-bA\+-(6c-bB\=-OA+-bB+-bc
63、,3V7633
111.、咫
.?.工=:,y=—,z=7故選:D
633
8.在正方體ABCD-ABCD中,己知下列各式:①(而+元)+且工②(麗+麗)
,__,UULAI,,uutmUUU
+D£;③(通+BB1)+4G;④(的+Ad)+4G.其中運算的結果為AC;的有
一個.
【答案】4
【解析】根據空間向量的加法運算以及正方體的性質逐一進行判斷:
___________________________UUU
①(通+BC)+CG=ZC+CG=ACt;
②(羽+9)+懵=礪+喝=46;
_____UUUU______UUUUUUL1
③(而+BBJ+Bg=AB,+B,C,=AC,;
____________UUUU______UUUIIUUU
④(A4,+A4)+B?=AB,+B£=AC,.
UUU
所以4個式子的運算結果都是
故答案為:4.
9.在四面體ABCD中,E、G分別是CO、BE的中點,若記油工,AD=b'AC
則啟=
1T171-
【答案】—a+—b^—c
244
【解析】在四面體A8C£>中,E、G分別是CO、BE的中點,
—>1—>—>11—>—>—>I—>—>—>—>
則AG=AB+BG=AB+-BE=AB+-x-(BC+BD)=AB+-(AC-AB+AD-AB)
=AB+-AC+-AD-—AB
442
1-*1->1-*—
=—AB-\—AD-\—AC.故答案為:-ci~\—h-\—c.
244244
10.已知正方體ABCD-ABCD中,若點F是側面C?的中心,且通=通+加礪一〃麗.
貝Um,n的值分別為()
11
A11nc11八11
22222222
【答案】A
【解析】由于*=A方+而=公+,(。3+£>£);)=南+14月+1^<,所以加=?1,〃=一,
22222
故選:A
【題組三空間向量的共面問題】
1.ARC,。是空間四點,有以下條件:
——?——?1―?1—?—?1—■1—■1—.
①OD=OA+]OB+±OC;@OD=-OA+-OB+-OC;
234
—■1—?1—.1—-
@OD=-OA+-OB+-6C;④OD=—OA+—OB+—OC,
235236
能使A,B,C,D四點一定共面的條件是一
【答案】④
【解析】對于④oBuLoA+Lofii+JoC,4+<+,=1,由空間向量共面定理可知
236236
A,民C,。四點一定共面,①②③不滿足共面定理的條件.故答案為:④
2.設空間任意一點。和不共線三點AB,C,且點P滿足向量關系
nullUULlLUlLILUll
OP=xOA+yOB+zOC>若P,AB,C四點共面,則x+y+z=
【答案】I
【解析】因為P,AB,C四點共面,三點AB,C不共線,
uuuuuUUiU
所以3/??,HWR,PA=mAB+nAC,
iimunimuuuuuuuuurnuuULUmin
OA—OP=m(OB—OA)+n(OC—OA),OP=(1+m+n)OA—mOB—nOC
uuuuuuuuUUll
因為OP=xOA+yOB+zOC>
因為O是任意一點,故次,礪,反可不共面,所以x=l+"z+〃,y=-m,z=-〃,
故x+y+z=l.故答案為:1
3.對于空間任意一點。和不共線的三點A,B,C,有如下關系:6OP=0A+2OB+30C-
則()
A.四點。,A,B,C必共面B.四點P,A.B,C必共面
C.四點。,P,B,C必共面D.五點。,P,A,B,C必共面
【答案】B
【解析】因為60戶=。4+20分+3Od,所以加一礪=2(后一方)+3(元一萬),
即A7=2P^+3Pd,根據共面向量基本定理,可得Q,方,pd共面,
所以,P,A,B,。四點共面.故選:B.
4.對于空間任意一點0和不共線的三點A,B,C,有如下關系:6OP=OA+2OB+3OC>
則()
A.四點0,A,B,C必共面B.四點P,A,B,C必共面
C.四點0,P,B,C必共面D.五點0,P,A,B,C必共面
【答案】B
【解析】由已知得。戶=,。4+,0月+,。3,而'+[+』=1,.,?四點尸、A、B、C
632632
共面.
故選:B.
1一1一1__
5.。為空間任意一點,43,。三點不共線,若赤=彳。4+7。8+/0。,則4,反。,「四
326
點()
A.一定不共面B.不一定共面
C.一定共面D.無法判斷
【答案】C
1一1一1__111
【解析】因為麗=一。4+—08+—OC,且一+―+—=1,所以A,B,C,P四點共面.
326326
6.已知A、B、C三點不共線,對平面ABC外的任一點。,下列條件中能確定點”與
點A、B、C一定共面的是()
_________1_1_.1__
A.OM=OAk+OB+OCB.OM=-OA+-OB+-OC
___.―.1_.[____________
c.OM^OA+-OB+-OCD.OM^2OA-OB-OC
【答案】B
【解析】若
333
故可得!。加一1。印+,。而-_1。方+_10加-,03=0
333333
即,AA/+,如+,函=0,
333
則疝=_*_函,
故AM=-AM+AB-AM+AC
整理得
33
又因為不及衣共面,
故可得布7,癡,W共面,而其它選項不符合,
即可得A8,。,例四點共面.
故選:B.
7.已知。為空間任意一點,若。戶=巳麗+—。方+—。仁,則A,B,C,P四點()
488
A.一定不共面B.一定共面C.不一定共面D.無法判斷
【答案】B
【解析】由若。瀉人以+匕0月+^^^,當且僅當a+〃+c=l時,P,A,BC四
點共面.
vOP=-OA+-OB+-OC,
488
311
而:+g+g=l故P,4B,C四點共面,故選B
488
【題組四空間向量的數(shù)量積】
1.如圖,平行六面體A3CZ)-44GA中,AB=AD=AA,=\,ZBAD=ZBAA[=120°,
ZDA4,=60°,貝ijAC,=()
Di
Bt
DX:?…g
B
A.1B.2C.V3D.V2
【答案】D
【解析】-.■Aq=AB+Ab+A\,
?2——2—2.—..—??.-?
?.ACt=AB+AD+AAi+2ABAD+2ABAAi+2ADAAl
=l+14-l+2xIxlx+2xlxlxf--|+2xlxlx—=2,
I2;2/.AC.=V2.故選:D
7T
2.如圖,平行六面體ABC。一44G。中,AB=5,AD=3,AAt=l,NBA£>=§,
兀
ZBAA,=ZDAA,=-,則AC,的長為一
【答案],98+56'
【解析】平行六面體A6CO—A4GA中,
TT7T
AB=5,AD=3,M=7,ABAD=y,ZBAAt=ZDAA^=-,
■:AC,=AB+BC+CC,,
阿=宿2=(而+配+可2
=|珂+|附+國2+2荏網cos1+2BC.|cq|cos^+2AB-IcCilcos-^-
=25+9+49+2x5x3xl+2x3x7x—+2x5x7x—=98+5672.
222
.?.|AG|=|X^|=j98+560?故答案為:,98+56及?
3.如圖,M、N分別是四面體。鉆C的棱。4、BC的中點,P、。是MN的三等分點.
(1)用向量OX,0B>反表示而和麗.
(2)若四面體OABC的所有棱長都等于1,求9?麗的值.
【答案】(1)OP=-OA+-OB+-OC,OQ=-OA+-OB+-OC(2)—.
63336636
【解析】(1)AB=OB-OA>BC^OC-OB
:.MN=MA+AB+BN^-OA+AB+-BC^-dA+OB-OA+-(OC-OB)
2222
=--OA+-OB+-OC
222
—?——?——.1—.2——1—?1—.1—.1—?1一1—.1—.
:.OP=OM+MP^-OA+-MN=-OA——OA+-OB+-OC^-OA+-OB+-OC
232333633
:.OQ=OM+MQ=-OA+-MN=-OA--OA+-OB+-OC^-OA+-OB+-OC
232666366
(2)四面體Q45C的所有棱長都等于1,各面為等邊三角形,
/.<OA,OB>=<OB,OC>=<OC,(9A>=y,OB>OC
—?一1—1—1—1—1―■1—■
OP?OQ=(-OA+-OB+-OC)?(—OA+-OB+-OC)
633366
1——21—21----21----■1'—=1/■—■1/?二1二'?1----,.
=—OA+—OB+—OC+—OA?OB+—OA?OC+-OB?OA+—OB?OC+-OC?OA+—OC-OB
1818183636918918
=--1-1---1-1---1-1---1-1---1-1---1-1---1-1--1--1---1=--1-3
18181872721836183636
4.如圖,三棱柱ABC-A4G中,底面邊長和側棱長都等于1,NA44=NCAA=60。.
(1)設晶,=M,AB=b>AC=c>用向量萬,5,2表示與G,,并求出BG的長度;
(2)求異面直線A片與BG所成角的余弦值.
解:(1)Bq=BB、+BCi=BB、+AG—ABi=G+*—6,
又a?B=卜4WcosN8AAi=lxlxcos60°=g,
同理可得
2
則|BQ1=yl(a+c-b)2=y/a+c+b2+2a-c-2a-b-2c-b=72?
(2)因為愁'=a+b,
所以|麗'|=癡+B)2=yla+b2+2a-b=#,
因為AB〕-BC]—(a+by(a+c-b)-a+a-c-a-b+b-a+cb-b2=1,
所以cos<^,西>=粵笠=^=逅.
IAB,IIBCt|夜x66
則異面直線AB】與BC,所成角的余弦值為逅.
6
5.如圖,三棱柱ABC-A4G中,底面邊長和側棱長都相等,=ZCA4,=60°,
則異面直線AB,與BC,所成角的余弦值為
c
【答案】
6
【解析】三棱柱ABC—4區(qū)G中,底面邊長和側棱長都相等,NBA4,=NCA4,=60°,
設棱長為1,
貝ijA月/ulxlxcosGO。=g,A月W=lxlxcos60'=;
AC-A4,=lxlxcos60=^.
又麗;=麗+猛,BC^AA.+AC-AB,
所以福.西=(荏+旃)?(可+而_通)
■..■*2?2■.■.1||1
ABA^+ABAC-AB+例+AA1-AC-AA^-AB=-+--\+\+---
阿卜J(通+羽)2=J通2+2麗陽+麗2=G,
而
=VI+I+I-I-I+I=72,
-r^A8]?BC,1\[6
所以8s〈的明〉=^^=叩=不.
故答案為:亞.
6
6.如圖3-1-22所示,在空間四邊形OABC中,OA,OB,0C兩兩成60°角,且OA=OB=OC=
2,E為0A的中點,F(xiàn)為BC的中點,試求E,F間的距離.
圖3-1-22
【答案】小
―?—?—?1―?1—?—?1—?1—?—?―?―?1-?1―?1—?
【解析】EF=EA+AF=?A+5(AB+AC)=^0A+2[(0B-0A)+(OC-OA)]=-^OA+^OB+^OC,
所以市2=(瀛2+洞前2+2*(一;|><頡-6B+2X|^-^X16A-0C+2X^X^0B?而=
2.
|函=m,即E,F間的距離為*.
7.如圖,已知線段AB_L平面a,BCca,CD1BC,DF_L平面a,且/DCF=30°,D與A在
a的同側,若AB=BC=CD=2,求A,D兩點間的距離.
【答案】2m
【解析】?.?矗=慈+淡+班,
|AD|2=(AB+BC+CD)2=|AB|2+BC|2+|CD|2+2AB?BC+2AB?CD+2BC?CD=12+
2(2?2?cos900+2?2?cosl20°+2?2?cos900)=8,
:.M)\=2yf2,即A,D兩點間的距離為
《1.2空間向量的基本定理》同步練習
【題組一基底的判斷】
1.已知萬,b-m是不共面的三個向量,則能構成一個基底的一組向量是()
A.2M,〃,萬+2^B.2^,B+2G
C.5,2^,b-cD.c,a^c,a-c
2.已知點O,ABC為空間不共面的四點,且向量4=函+礪+無,向量
5=函+礪-無,則與3,萬不能構成空間基底的向量是()
A.OAB.OBC.OCD.礪或礪
3.已知{%瓦耳是空間向量的一個基底,則與向量戶=々+5,4=五可構成空間向量
基底的是()
A.aB.b
C.a+2bD.a+2c
4.{工友斗為空間向量的一組基底,則下列各項中,能構成空間向量的基底的一組向量是
()
B,揚―一一1}
C.1c,Q+瓦〃一4D.{Q+瓦〃一反。+2環(huán)
5.若{口反可為空間向量的一組基底,則下列各項中,能構成空間向量的基底的一組向量
是()
A.{。3+5,少-5}B.{瓦±+瓦萬一5}c.卜,瓦"-5}
D.{M+5,N-反夕+25}
【題組二基底的運用】
1.如圖,平行六面體ABC。—AgGD中,AC與交于點M,設
AB=a,AD=b,A4,=c,則4M=()
B.-1a-+—1b尸-c-
22
C.-G—h-cD.——1a-+—1b尸—-c
2222
2.若例也絡即絡遍是空間的一個基底,盤=%果,胃均,赤=砥書《—%,第二畫一叫書綺,
磁二場界或豫業(yè)覲,磁=3微撲盛出函,則‘密,察,客的值分別為()
A.B.
C.D.二,1,
3.如圖所示,P,。分別是四面體。45c的邊。4,8c的中點,M是PQ靠近尸的三等
分點,且麗=x^+y而+z芯,則x+y+z=
4.在正方體—中,點0是gG的中點,且。0=萬+y嵐+z歷;,
則x+y+z的值為
【題組三基本定理的運用】
1.已知A,B,C三點不共線,對平面ABC外的任一點。,若點M滿足
OM=-OA+-OB+-OC.
333
(1)判斷麗5,MB>就1三個向量是否共面:
(2)判斷點M是否在平面ABC內.
2.已知直三棱柱ABC-AfG中,NA3C=120°,AB=2,BC=CC}=1,則異面直
線A片與BG所成角的余弦值為.
3.如圖所示,在平行四邊形ABCD中,AB=AC=l,NAC£>=90°,將它沿對角線AC
折起,使AB與8成60°角,求點8與點。之間的距離.
4.己知空間四邊形0ABC中,ZA0B=ZB0C=ZA0C,且0A=0B=0C,M,N分別是0A,BC
的中點,G是MN的中點,求證:0G1BC.
《1.2空間向量的基本定理》同步練習答案解析
【題組一基底的判斷】
1.已知G,b,[是不共面的三個向量,則能構成一個基底的一組向量是()
A.2也,&+2bB.2b,b-G,b+2G
C.3,2^,b-cD.c,a^c9a-c
【答案】C
42
【解析】對于A,因為2彳=§"-5)+§(萬+25),得25、a-B、M+25三個向量
共面,故它們不能構成一個基底,A不正確;
42
對于B,因為2日=§(b-a)+-(b+25),得2日、b~a,5+2萬三個向量共面,
故它們不能構成一個基底,B不正確;
對于C,因為找不到實數(shù)人、□,使+u-c)成立,故日、25、b
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