《函數(shù)的單調(diào)性》教學設(shè)計

高中數(shù)學精編資源6/19《函數(shù)的單調(diào)性》教學設(shè)計必備知識學科能力學科素養(yǎng)高考考向函數(shù)的單調(diào)性學習理解能力觀察記憶概括理解說明論證應用實踐能力分析計算推測解釋簡單問題解決遷移創(chuàng)新能力綜合問題解決猜想探究發(fā)現(xiàn)創(chuàng)新數(shù)學運算直觀想象邏輯推理數(shù)學抽象【考查內(nèi)容】1.利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性【考查題型】選擇題、填空題、解答題一、本節(jié)內(nèi)容分析函數(shù)是描述客觀世界變化規(guī)律的重要數(shù)學模型.變化規(guī)律可用函數(shù)性質(zhì)來描述.導數(shù)方法是研究函數(shù)性質(zhì)的方法.本節(jié)主要是:利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性;在高考中常利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性,并求單調(diào)區(qū)間、極值、最值、以及利用導數(shù)解決生活中的優(yōu)化問題.其中利用導數(shù)判斷單調(diào)性起著基礎(chǔ)性的作用,形成初步的知識體系,培養(yǎng)學生掌握一定的分析問題和解決問題的能力.激發(fā)學生獨立思考和創(chuàng)新的意識,讓學生有創(chuàng)新的機會,充分體驗成功的喜悅,開發(fā)了學生的自我潛能.本節(jié)內(nèi)容是高中數(shù)學的主要內(nèi)容,也是高考考查的熱點,本節(jié)包含的核心知識和體現(xiàn)的核心素養(yǎng)如下:核心知識1.函數(shù)的單調(diào)性與導數(shù)直觀想象數(shù)學抽象邏輯推理數(shù)學運算數(shù)學建模核心素養(yǎng)二、學情整體分析本節(jié)課是在學習導數(shù)的概念、運算的基礎(chǔ)上繼續(xù)深入學習的,學生已經(jīng)了解了一些解題的基本思想和方法,應用導數(shù)的基本知識來解決實際問題對學生來說應該不會很陌生,所以本節(jié)的學習應讓學生能夠多參與、多思考,培養(yǎng)他們的分析問題和解決問題的能力,提高應用所學知識的能力.在課堂教學中,應該把以教師為中心轉(zhuǎn)向以學生為中心,把學生自身的發(fā)展置于教育的中心位置,為學生創(chuàng)設(shè)寬容的課堂氣氛,幫助學生確定適當?shù)膶W習目標和達到目標的最佳途徑,指導學生形成良好的學習習慣、掌握學習策略和發(fā)展認知能力,充分調(diào)動學生學習的積極性,倡導學生采用自主、合作、探究的方式學習.學情補充:_____________________________________________________________________________________________________________________________________________________三、教學活動準備【任務專題設(shè)計】1.函數(shù)的單調(diào)性與導數(shù)【教學目標設(shè)計】1.導數(shù)的簡單應用,包括求函數(shù)的極值、最值、單調(diào)區(qū)間和判斷函數(shù)的單調(diào)性等.2.綜合考查,包括解決應用問題,將導數(shù)內(nèi)容和傳統(tǒng)內(nèi)容中有關(guān)不等式和函數(shù)的單調(diào)性結(jié)合在一起.【教學策略設(shè)計】根據(jù)新課標高中數(shù)學的教學實際及本節(jié)課的內(nèi)容特點,本部分的教學先從幾個基本問題入手,在解決基本問題的過程中喚起學生對基礎(chǔ)知識、基本方法、基本技能的回顧,為實現(xiàn)本節(jié)課的教學目標,突出重點,突破難點,教學上主要采取以下的策略:(1)結(jié)合實例,借助幾何直觀探索并了解函數(shù)的單調(diào)性與導數(shù)的關(guān)系.結(jié)合典例,讓學生掌握利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性(求單調(diào)區(qū)間)的方法與步驟.(2)通過適量的綜合性練習,讓學生進一步體會導數(shù)方法在研究函數(shù)中的優(yōu)越性.【教學方法建議】情境教學法、問題教學法,還有__________________________________________________【教學重點難點】重點:1.利用導數(shù)判斷函數(shù)單調(diào)性.難點:1.求解函數(shù)單調(diào)性的方法.【教學材料準備】1.常規(guī)材料:多媒體課件、____________________________________________2.其他材料:________________________________________________________________四、教學活動設(shè)計教學導入師:判斷函數(shù)的單調(diào)性有哪些方法?比如判斷的單調(diào)性,如何進行?生:用定義法、圖象法.師:因為二次函數(shù)的圖象我們非常熟悉,可以畫出其圖象,指出其單調(diào)區(qū)間,再想一下,有沒有需要注意的地方?生:注意定義域.師:如果遇到函數(shù),如何判斷單調(diào)性呢?你能畫出該函數(shù)的圖象嗎?師:定義是解決問題的最根本方法,但定義法較繁瑣,又不能畫出它的圖象,那該如何解決呢?師:函數(shù)是描述客觀世界變化規(guī)律的重要數(shù)學模型,研究函數(shù)時,了解函數(shù)的增與減、增減的快與慢以及函數(shù)的最大值或最小值等性質(zhì)是非常重要的.通過研究函數(shù)的這些性質(zhì),我們可以對數(shù)量的變化規(guī)律有一個基本的了解.函數(shù)的單調(diào)性與函數(shù)的導數(shù)一樣都是反映函數(shù)變化情況的,那么函數(shù)的單調(diào)性與函數(shù)的導數(shù)是否有著某種內(nèi)在的聯(lián)系呢?【設(shè)計意圖】通過復習回顧,鞏固舊知.從已學過的知識(判斷二次函數(shù)的單調(diào)性)入手,提出新的問題(判斷三次函數(shù)的單調(diào)性),引起認知沖突,激發(fā)學習的興趣.教學精講探究1函數(shù)的單調(diào)性與導數(shù)【情境設(shè)置】觀察函數(shù)圖象的變化如圖(1),它表示跳水運動中高度隨時間變化的函數(shù).如圖表示高臺跳水運動員的速度隨時間變化的函數(shù).運動員從起跳到最高點,以及從最高點到入水這兩段時間的運動狀態(tài)有什么區(qū)別?生:通過觀察圖象,可以發(fā)現(xiàn):(1)運動員從起點到最高點,離水面的高度隨時間的增加而增加,即單調(diào)遞增.相應地,.(2)從最高點到入水,運動員離水面的高度隨時間的增加而減少,即單調(diào)遞減.相應地,.師:對于高臺跳水問題,可以發(fā)現(xiàn):當時,,函數(shù)的圖象是“上升”的,函數(shù)在上單調(diào)遞增;當時,,函數(shù)的圖象是“下降”的,函數(shù)在上單調(diào)遞減.這種情況是否具有一般性呢?(1)運動員從起點到最高點,離水面的高度隨時間的增加而增加,即單調(diào)遞增.相應地,.(2)從最高點到入水,運動員離水面的高度隨時間的增加而減少,即單調(diào)遞減.相應地,.【先學后教】從具體的實際情境出發(fā),提出本節(jié)課要探索的問題:函數(shù)的單調(diào)性與導數(shù)的關(guān)系.為學生提供一個聯(lián)想的“源”,巧妙設(shè)問,把學習任務轉(zhuǎn)移給學生;讓學生完成對函數(shù)單調(diào)性與導數(shù)關(guān)系的第一次認識,明確研究課題.【猜想探究能力】通過觀察二次函數(shù)圖象的變化,猜想適合函數(shù)的模型,從而探討函數(shù)的性質(zhì),提升猜想探究能力.【鞏固練習】畫出下列函數(shù)的圖象(1),(2),(3),(4).【學生在筆記本上獨立完成】師:導數(shù)的幾何意義是函數(shù)在該點處的切線的斜率,函數(shù)圖象上每個點處的切線的斜率都是變化的,那么函數(shù)的單調(diào)性與導數(shù)有什么關(guān)系呢?觀察上面函數(shù)的圖象,探討函數(shù)的單調(diào)性與其導數(shù)正負的關(guān)系.生:(1)函數(shù)的定義域為,并且在定義域上是增函數(shù),其導數(shù);(2)函數(shù)的定義域為,在上單調(diào)遞減,在上單調(diào)遞增;而,當時,其導數(shù);當時,其導數(shù);當時,其導數(shù);(3)函數(shù)的定義域為,在定義域上為增函數(shù);而,若,則其導數(shù),當時,其導數(shù);(4)函數(shù)的定義域為,在上單調(diào)遞減,在上單調(diào)遞減,而,因為,所以.師:以上四個函數(shù)的單調(diào)性及其導數(shù)符號的關(guān)系說明,在區(qū)間內(nèi),如果,那么函數(shù)在這個區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增;如果,那么函數(shù)在這個區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞減.師:如圖,導數(shù)表示函數(shù)的圖象在點處的切線的斜率.觀察圖象回答,函數(shù)在某個點處的導數(shù)值與函數(shù)在該點處的單調(diào)性是怎樣的關(guān)系?生:在處,,切線是“左下右上”的上升式,這時,函數(shù)在附近單調(diào)遞增;在處,,切線是“左上右下”的下降式,這時,函數(shù)在附近單調(diào)遞減.【自主學習】從具體的函數(shù)出發(fā),體會數(shù)形結(jié)合思想的運用,讓學生體會從特殊到一般,從具體到抽象的過程,降低思維難度,讓學生在老師的引導下自主學習和探索,提高學習的成就感和自信心.【概括理解能力】通過導數(shù)的幾何意義來驗證由具體函數(shù)所得到的結(jié)論,形成一般性結(jié)論.讓學生經(jīng)歷觀察、分析、歸納、發(fā)現(xiàn)規(guī)律的過程,體會函數(shù)單調(diào)性與導數(shù)的關(guān)系.師:根據(jù)以上的研究過程,我們總結(jié)一下.【要點知識】函數(shù)的單調(diào)性與導數(shù)的關(guān)系設(shè)函數(shù)在某個區(qū)間內(nèi)有導數(shù),則在這個區(qū)間上,(1)若,則在這個區(qū)間上為增函數(shù);(2)若,則在這個區(qū)間上為減函數(shù);(3)若恒有,則在這一區(qū)間上為常函數(shù).反之,若在某區(qū)間上單調(diào)遞增,則在該區(qū)間上有恒成立(但不恒等于0;若在某區(qū)間上單調(diào)遞減,則在該區(qū)間上有恒成立(但不恒等于0).注意:而在上遞增.【設(shè)活動深探究】通過觀察,實踐、歸納的課堂活動讓學生總結(jié)出導數(shù)與單調(diào)性的關(guān)系,加深對知識的深化和理解,這是本節(jié)課的重點,是今后利用導函數(shù)研究函數(shù)的重要工具.師:下面我們根據(jù)上面所學來看例題.【典型例題】根據(jù)導數(shù)畫出函數(shù)圖象例1:已知導函數(shù)的下列信息:當時,;當,或時,;當,或時,試畫出函數(shù)圖象的大致形狀.生解:當時,,可知在此區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增;當,或時,;可知在此區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞減;當,或時,,這兩點比較特殊,我們把它稱為“臨界點”.綜上,函數(shù)圖象的大致形狀如圖所示.【學生思考,并在筆記本上畫出函數(shù)圖象】【自主學習】讓學生通過此題加深理解導函數(shù)是如何影響原函數(shù)的,這是今后利用導函數(shù)研究函數(shù)的必備技能.這里讓學生切實理解,為今后學習掃清障礙.師:接下來我們來看下一題.【典型例題】求函數(shù)的單調(diào)性和區(qū)間例2:判斷下列函數(shù)的單調(diào)性,并求出單調(diào)區(qū)間.(1);(2);(3);(4);(5).生解:(1)因為,所以在上單調(diào)遞增,如圖(1)所示.(2)因為,所以.當,即時,函數(shù)單調(diào)遞增;當,即時,函數(shù)單調(diào)遞減;函數(shù)的圖象如圖(2)所示(3)因為,所以,,因此,函數(shù)在單調(diào)遞減,如圖(3)所示.(4)因為,所以___________.當,即_________時,函數(shù)_________;,即_________時,函數(shù)______________;函數(shù)的圖象如圖(4)所示.(5)因為,所以.所以,函數(shù)在區(qū)間和上單調(diào)遞增.【概括理解能力】讓學生初步體會用導數(shù)的方法確定函數(shù)的單調(diào)性,加深學生對所學知識的理解與運用.【整體設(shè)計分步落實】老師舉出實例函數(shù),來研究函數(shù)的單調(diào)性和區(qū)間,也帶領(lǐng)學生梳理研究思路,學生從中整理知識.【簡單問題解決能力】通過學生解決求函數(shù)單調(diào)性及區(qū)間的相關(guān)例題,鞏固所學知識,提高學生的簡單問題解決能力.【活動學習】通過課堂實踐活動讓學生利用導數(shù)解決單調(diào)性問題時要搞清楚三個步驟,強化對單調(diào)性與導函數(shù)的關(guān)系的理解.師:通過上面的例題,請同學們總結(jié)一下求解函數(shù)單調(diào)區(qū)間的步驟.【學生發(fā)言,教師點撥】【要點知識】求解函數(shù)單調(diào)區(qū)間的步驟1.確定函數(shù)的定義域;2.求導數(shù);3.在定義域內(nèi),不等式或,解出相應的的范圍;當時,在相應區(qū)間上為增函數(shù);當時在相應區(qū)間上為減函數(shù).或者令,求出它在定義域內(nèi)的一切實數(shù)根.把這些實數(shù)根和函數(shù)上遞增的間斷點(即的無定義點)的橫坐標按從小到大的順序排列起來,然后用這些點把函數(shù)的定義區(qū)間分成若干個小區(qū)間,判斷在各個小區(qū)間內(nèi)的符號.4.寫出的單調(diào)區(qū)間.如果一個函數(shù)的單調(diào)區(qū)間不止一個,這些單調(diào)區(qū)之間不能用“∪”連接,而只能用“逗號”或“和”字隔開.師:下面我們根據(jù)上面所學鞏固練習.【典型例題】求函數(shù)單調(diào)區(qū)間例3:已知函數(shù),試討論出此函數(shù)的單調(diào)區(qū)間.生解:.令.解得或的單調(diào)增區(qū)間是:和.令,解得或.∴的單調(diào)減區(qū)間是:和.【以學定教】求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間是導數(shù)與單調(diào)性知識的重要應用之一,學生根據(jù)例題自行總結(jié)求函數(shù)單調(diào)區(qū)間的過程,教師重點強調(diào)定義域,這樣可以讓學生體會用導數(shù)判斷單調(diào)性要比用定義判斷簡潔的多.【分析計算能力】通過學生的跟蹤練習,鞏固所學知識,培養(yǎng)學生的計算能力,讓學生體會求單調(diào)區(qū)間之前先求定義域的重要.師:下面我們繼續(xù)鞏固練習.【典型例題】求函數(shù)單調(diào)區(qū)間例4:求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間.【學生自主思考,教師給出解題步驟】師解:函數(shù)的定義域為.對求導數(shù),令解得或或把函數(shù)定義域劃分成三個區(qū)間,在各區(qū)間上的正負,以及的單調(diào)性如表所示.所以,在和上單調(diào)遞增,在上單調(diào)遞減.【活動學習】本探究從學生熟悉的函數(shù)圖象入手,通過觀察、分析圖象得出結(jié)論,教師引導學生思考應用導數(shù)與單調(diào)性的關(guān)系,體現(xiàn)導數(shù)的重要應用.探究2函數(shù)的變化率快慢與導數(shù)大小的關(guān)系師:研究對數(shù)函數(shù)與冪函數(shù)在區(qū)間上增長快慢的情況.我們先獨立畫出這兩個函數(shù)的圖象.生:師:通過觀察圖象.我們發(fā)現(xiàn)對數(shù)函數(shù)的導數(shù)為,),在定區(qū)域內(nèi)單調(diào)遞增.當越來越大時,越來越小,所以函數(shù)遞增得越來越慢,圖象上升得越來越“平緩”.冪函數(shù)的導數(shù)為,,所以在區(qū)間上單調(diào)遞增.當越來越大時,越來越大,函數(shù)遞增得越來越快,圖象上升得越來越“陡峭”.【以學定教】老師要讓學生理解并掌握函數(shù)的變化率問題并能在不同的實際問題情境中合理應用,提升教學能力.請同學們思考,你能從導數(shù)的角度解釋變化快慢的情況嗎?【要點知識】求解函數(shù)y=f(x)的圖象如果一個函數(shù)在某一范圍內(nèi)導數(shù)的絕對值較大,那么函數(shù)在這個范圍內(nèi)變化得較快,這時函數(shù)的圖象就比較“陡峭”(向上或向下);反之,函數(shù)在這個范圍內(nèi)變化得較慢,函數(shù)的圖象就比較“平緩”.【觀察記憶能力】利用導數(shù)的正負可以判斷函數(shù)的增減性,利用導數(shù)正負繪制函數(shù)的大致圖象,培養(yǎng)學生的看圖識圖能力.師:根據(jù)所學,我們來看例題.【典型例題】例5:設(shè),兩個函數(shù)的圖象如圖所示.判斷,的圖象與之間的對應關(guān)系【學生獨自思考,小組討論,回答問題,教師給予肯定或補充】生解:因為所以.當時,;當時,;當時,.所以,在上都是增函數(shù).在區(qū)間上的圖象比的圖象要“陡峭”;在區(qū)間上,的圖象比的圖象要“平緩”.所以,的圖象依次是圖中的.師:通過上面的研究實踐,我們已經(jīng)了解函數(shù)的單調(diào)性與導數(shù)的關(guān)系,看下面的例題,思考原函數(shù)圖象與導函數(shù)圖象間的關(guān)系.【典型例題】原函數(shù)圖象與導函數(shù)圖象的關(guān)系例6:函數(shù)的圖象如圖,則導函數(shù)的圖象可能是()A.B.C.D.師:據(jù)函數(shù)的圖象,選擇其導函數(shù)的圖象,解決這樣的問題首先要在函數(shù)圖象上找出所有的增區(qū)間和減區(qū)間,如上圖,明顯在上單調(diào)遞增,在上單調(diào)遞誠,在上單調(diào)遞增;然后可以得到導函數(shù)在各個單調(diào)區(qū)間上的符號,即在和上都大于0,在上小于0;只有D選項符合,故選D.請同學們總結(jié)一下原函數(shù)圖象與導函數(shù)圖象間的關(guān)系.【簡單問題解決能力】通過根據(jù)原函數(shù)圖象判斷導函數(shù)圖象的例題的練習,學生明確解此類問題的步驟,提高學生的解題能力.生:原函數(shù)看增誠,導函數(shù)看正負.【要點知識】導函數(shù)圖象與原函數(shù)圖象間關(guān)系原函數(shù)看增減,導函數(shù)看正負,即導數(shù)的正負決定原函數(shù)的增減,增減性與增減性無關(guān).【概括理解能力】總結(jié)導函數(shù)圖象與原函數(shù)圖象的關(guān)系,鞏固所學知識,提高學生的概括理解能力.師:我們來總結(jié)一下本節(jié)課所學知識.【課堂小結(jié)】函數(shù)的單調(diào)性與導數(shù)1.函數(shù)單調(diào)性與導數(shù)的關(guān)系.2.求解函數(shù)單調(diào)區(qū)間.3.原函數(shù)圖象與導函數(shù)圖象的關(guān)系.【設(shè)計意圖】復習本節(jié)課所學函數(shù)的單調(diào)性與導數(shù)的關(guān)系,讓學生對知識有一個回顧與理解,體現(xiàn)整體學習.教學評價從利用導數(shù)能求單調(diào)區(qū)間、極值、最值這一認知基礎(chǔ)出發(fā),讓學生在新的問題情境中,引導學生運用作圖、猜想、歸納、驗證等方法解決問題,在問題解決過程中獲得新知,讓學生逐漸體會到數(shù)學問題的緊密聯(lián)系,從而進一步完善數(shù)學認知結(jié)構(gòu).導數(shù)思想方法具有程序化、易掌握的顯著特點,它是一種有力的工具,可以作為解決函數(shù)的極值、單調(diào)區(qū)間、函數(shù)在閉區(qū)間上的最大(小)值等基本方法.導數(shù)的廣泛應用為研究函數(shù)性質(zhì)、函數(shù)圖象開辟了新的捷徑,成為溝通函數(shù)與數(shù)列、不等式、圓錐曲線等問題的一座橋梁.我們要意識到導數(shù)工具的重要性,教學中下最大的功夫進行突破,為今后的深入學習與研究打下堅實的基礎(chǔ).【設(shè)計意圖】引導學生整理知識,使其體會知識的生成、發(fā)展、完善的過程,通過具體知識點的演練,讓學生運用課程教學過程中所學到的學科能力(概括理解、簡單問題解決、分析計算)解決問題,從而達到數(shù)學抽象、直觀想象、數(shù)學運算、邏輯推理的素養(yǎng)目標要求.根據(jù)所學知識,完成下面各題:1.已知函數(shù)的圖象如圖1所示,則其導函數(shù)的圖象可能是()A.B.