【暑假預(yù)習(xí)】新初二暑假講義

【暑假預(yù)習(xí)】新初二暑假講義

第01講三角形的邊與三角形的穩(wěn)定性.......................................................4

考點(diǎn)一：三角形的的相關(guān)概念...............................................................4

考點(diǎn)二：三角形的的分類(lèi)....................................................................5

考點(diǎn)三：利用三角形三邊關(guān)系求第三邊的范圍.................................................5

考點(diǎn)四：三角形三邊關(guān)系的運(yùn)用.............................................................5

考點(diǎn)五：三角形三邊關(guān)系的相關(guān)證明........................................................6

考點(diǎn)六：三角形的穩(wěn)定性...................................................................6

第02講與三角形有關(guān)的線(xiàn)段（中線(xiàn)、高線(xiàn)、角平分線(xiàn)）.......................................8

考點(diǎn)一：三角形的高線(xiàn)、中線(xiàn)、角平分線(xiàn)的相關(guān)概念..........................................9

考點(diǎn)二：三角形的高線(xiàn)畫(huà)法的相關(guān)問(wèn)題......................................................9

考點(diǎn)三：三角形的高線(xiàn)的相關(guān)計(jì)算...........................................................9

考點(diǎn)四：三角形的中線(xiàn)相關(guān)概念...........................................................10

考點(diǎn)五：三角形的中線(xiàn)的相關(guān)計(jì)算.........................................................10

考點(diǎn)六：三角形的角平分線(xiàn)相關(guān)概念與計(jì)算...................................................10

考點(diǎn)七：三角形有關(guān)的線(xiàn)段綜合問(wèn)題........................................................11

第03講與三角形有關(guān)的角（內(nèi)角和定理與外角定理）........................................14

考點(diǎn)一：證明三角形內(nèi)角和定理............................................................14

考點(diǎn)二：三角形內(nèi)角和定理的相關(guān)計(jì)算......................................................15

考點(diǎn)三：兩角互余的相關(guān)計(jì)算.............................................................16

考點(diǎn)四：證明外角性質(zhì)定理.................................................................16

考點(diǎn)五：外角性質(zhì)的相關(guān)計(jì)算..............................................................18

考點(diǎn)六：內(nèi)角和與外角性質(zhì)的綜合問(wèn)題（雙角平分線(xiàn)問(wèn)題）...................................18

第04講多邊形及其內(nèi)（外）角和..........................................................23

考點(diǎn)一：多邊形的相關(guān)概念................................................................24

考點(diǎn)二：多邊形的對(duì)角線(xiàn)問(wèn)題..............................................................24

考點(diǎn)三：多邊形的內(nèi)角和的相關(guān)計(jì)算.......................................................25

考點(diǎn)四：多邊形的外角和的相關(guān)計(jì)算........................................................25

考點(diǎn)五：正多邊形的相關(guān)計(jì)算..............................................................26

考點(diǎn)六:多邊形的密鋪問(wèn)題...............................................................26

考點(diǎn)七：七巧板的相關(guān)問(wèn)題...............................................................27

第05講全等三角形及其性質(zhì)..............................................................29

考點(diǎn)一：全等圖形的相關(guān)概念..............................................................30

考點(diǎn)二：全等圖形的識(shí)別.................................................................30

考點(diǎn)三:全等圖形的相關(guān)計(jì)算.............................................................30

考點(diǎn)四：全等三角形性質(zhì)的運(yùn)用...........................................................31

考點(diǎn)五：全等圖形的相關(guān)作圖問(wèn)題.........................................................31

考點(diǎn)六：全等三角形性質(zhì)的綜合問(wèn)題.......................................................32

第06講全等三角形的判定-SSS..........................................................................................................................35

考點(diǎn)一：邊邊邊判定三角形全等的條件......................................................36

考點(diǎn)二:利用“SSS”尺規(guī)作圖.............................................................36

考點(diǎn)三:利用邊邊邊判定三角形全等（實(shí)際應(yīng)用）............................................37

考點(diǎn)四：利用SSS判定三角形全等（個(gè)數(shù)問(wèn)題）.............................................37

考點(diǎn)五:利用SSS證明三角形全等（求角的度數(shù)）............................................38

考點(diǎn)六：利用SSS證明三角形全等（探究與證明）............................................38

第07講全等三角形的判定-SAS.........................................................................................................................43

考點(diǎn)一:邊角邊判定三角形全等的條件......................................................43

考點(diǎn)二：利用SAS證明三角形全等（求線(xiàn)段的長(zhǎng)度）.........................................44

考點(diǎn)三：利用SAS證明三角形全等（求角的度數(shù)）...........................................44

考點(diǎn)四：利用&4S判定三角形全等（實(shí)際應(yīng)用）.............................................45

考點(diǎn)五：利用SAS證明三角形全等（證明類(lèi)）...............................................46

考點(diǎn)六：利用SAS證明三角形全等（探究類(lèi)）...............................................46

第08講全等三角形的判定-A&4........................................................................................................................50

考點(diǎn)一：角邊角判定三角形全等的條件......................................................50

考點(diǎn)二：利用ASA證明三角形全等（求線(xiàn)段的長(zhǎng)度）.........................................51

考點(diǎn)三:利用ASA證明三角形全等（求角的度數(shù)）...........................................51

考點(diǎn)四：利用ASA判定三角形全等（實(shí)際應(yīng)用）.............................................52

考點(diǎn)五：利用A&4證明三角形全等（證明類(lèi)）................................................53

考點(diǎn)六:利用ASA證明三角形全等（探究類(lèi)）................................................53

第09講全等三角形的判定-A4s........................................................................................................................57

考點(diǎn)一:角角邊判定三角形全等的條件......................................................57

考點(diǎn)二:利用AAS證明三角形全等（求線(xiàn)段的長(zhǎng)度）.........................................58

考點(diǎn)三：利用AAS證明三角形全等（求角的度數(shù)）...........................................58

考點(diǎn)四：利用A4s判定三角形全等（實(shí)際應(yīng)用）.............................................59

考點(diǎn)五：利用AAS證明三角形全等（證明類(lèi)）................................................59

考點(diǎn)六：利用AAS證明三角形全等（探究類(lèi)）................................................60

第10講全等三角形的判定-HL............................................................................................................................63

考點(diǎn)一：乩判定三角形全等的條件.........................................................64

考點(diǎn)二：利用乩證明三角形全等（求線(xiàn)段的長(zhǎng)度）..........................................64

考點(diǎn)三:利用乩證明三角形全等（求角的度數(shù)）............................................65

考點(diǎn)四：利用乩判定三角形全等（動(dòng)態(tài)全等問(wèn)題）..........................................65

考點(diǎn)五：利用乩證明三角形全等（證明類(lèi)）.................................................65

考點(diǎn)六:利用乩證明三角形全等（探究類(lèi)）.................................................66

第11講全等三角形的基本模型............................................................69

考點(diǎn)一:平移模型.........................................................................70

考點(diǎn)二:軸對(duì)稱(chēng)模型.......................................................................70

考點(diǎn)三：旋轉(zhuǎn)模型.........................................................................71

考點(diǎn)四：一線(xiàn)三等角模型...................................................................72

考點(diǎn)五：三垂直全等模型...................................................................73

考點(diǎn)六：手拉手模型......................................................................74

考點(diǎn)七：半角全等模型....................................................................76

第12講全等三角形的相關(guān)輔助線(xiàn)..........................................................82

考點(diǎn)一:截長(zhǎng)補(bǔ)短法.......................................................................83

考點(diǎn)二：旋轉(zhuǎn)法..........................................................................84

考點(diǎn)三:倍長(zhǎng)中線(xiàn)模型.....................................................................85

考點(diǎn)四：過(guò)端點(diǎn)作另一邊的平行線(xiàn)..........................................................86

考點(diǎn)五:向中線(xiàn)作垂線(xiàn).....................................................................87

第13講角的平分線(xiàn)的性質(zhì)................................................................92

考點(diǎn)一：角平分線(xiàn)的作法及應(yīng)用............................................................93

考點(diǎn)二：角平分線(xiàn)的性質(zhì)的運(yùn)用............................................................94

考點(diǎn)三:角平分線(xiàn)的性質(zhì)與等積法..........................................................95

考點(diǎn)四：角平分線(xiàn)的性質(zhì)與全等............................................................95

考點(diǎn)五:角平分線(xiàn)的性質(zhì)與最值............................................................96

考點(diǎn)六：角平分線(xiàn)的性質(zhì)與實(shí)際應(yīng)用........................................................96

第14講角平分線(xiàn)的判定..................................................................100

考點(diǎn)一：角平分線(xiàn)的判定（實(shí)際應(yīng)用）.....................................................101

考點(diǎn)二：角平分線(xiàn)的判定的運(yùn)用...........................................................102

考點(diǎn)三：角平分線(xiàn)的判定（證明）.........................................................103

考點(diǎn)四：角平分線(xiàn)的性質(zhì)與判定綜合.......................................................103

第15講角平分線(xiàn)的相關(guān)輔助線(xiàn)...........................................................106

考點(diǎn)一：角平分線(xiàn)上的點(diǎn)向兩邊作垂線(xiàn).....................................................107

考點(diǎn)二：過(guò)邊上的點(diǎn)向角平分線(xiàn)作垂線(xiàn).....................................................108

考點(diǎn)三：過(guò)平分線(xiàn)上的點(diǎn)作一條邊平行線(xiàn)構(gòu)造等腰三角形.....................................109

考點(diǎn)四：利用角平分線(xiàn)的性質(zhì)，在角兩邊截長(zhǎng)補(bǔ)短............................................110

第01講三角形的邊與三角形的穩(wěn)定性

【基礎(chǔ)知識(shí)】

i.三角形

（1）三角形的概念：由不在同一條直線(xiàn)上的三條線(xiàn)段首尾順次相接所組成的圖形叫做三角

形.組成三角形的線(xiàn)段叫做三角形的邊.相鄰兩邊的公共端點(diǎn)叫做三角形的頂點(diǎn).

相鄰兩邊組成的角叫做三角形的內(nèi)角，簡(jiǎn)稱(chēng)三角形的角.

（2）按邊的相等關(guān)系分類(lèi)：不等邊三角形和等腰三角形（底和腰不等的等腰三角形、底和腰相等的等腰三角形

即等邊三角形）.

2.三角形三邊關(guān)系

（1）三角形三邊關(guān)系定理：三角形兩邊之和大于第三邊.

（2）在運(yùn)用三角形三邊關(guān)系判定三條線(xiàn)段能否構(gòu)成三角形時(shí)并不一定要列出三個(gè)不等式，只要兩條較短的線(xiàn)

段長(zhǎng)度之和大于第三條線(xiàn)段的長(zhǎng)度即可判定這三條線(xiàn)段能構(gòu)成一個(gè)三角形.

（3）三角形的兩邊差小于第三邊.

（4）在涉及三角形的邊長(zhǎng)或周長(zhǎng)的計(jì)算時(shí)，注意最后要用三邊關(guān)系去檢驗(yàn)，這是一個(gè)隱藏的定時(shí)炸彈，容易

忽略.

3.三角形的穩(wěn)定性

當(dāng)三角形三邊的長(zhǎng)度確定后，三角形的形狀和大小就能唯一確定下來(lái)，故三角形具有穩(wěn)定性.這一特性主

要應(yīng)用在實(shí)際生活中.

【考點(diǎn)剖析】

考點(diǎn)一：三角形的的相關(guān)概念

例1.（襄陽(yáng)陽(yáng)光學(xué)校初二月考）三角形是指（）

A.由三條線(xiàn)段所組成的封閉圖形B.由不在同一直線(xiàn)上的三條直線(xiàn)首尾順次相接組成的圖形

C.由不在同一直線(xiàn)上的三條線(xiàn)段首尾順次相接組成的圖形D.由三條線(xiàn)段首尾順次相接組成的圖形

變式1.（廣東八年級(jí)期中）如圖，在ABCE中，邊BE所對(duì)的角是，/CBE所對(duì)的邊是;在

AAEC中，邊AE所對(duì)的角是.NA為內(nèi)角的三角形是.

考點(diǎn)二：三角形的的分類(lèi)

例2.（山東濱州市?八年級(jí)期末）三角形按邊分類(lèi)可以用集合來(lái)表示，如圖所示，圖中小橢圓圈里的A表示

A.直角三角形B.銳角三角形C.鈍角三角形D.等邊三角形

變式2.（山西呂梁市?八年級(jí)期中）給出下列說(shuō)法：（1）等邊三角形是等腰三角形；（2）三角形按邊的相等關(guān)

系分類(lèi)可分為等腰三角形、等邊三角形和不等邊三角形；（3）三角形按角的大小分類(lèi)可分為銳角三角形、直

角三角形和鈍角三角形.其中，正確的有（）個(gè).

考點(diǎn)三：利用三角形三邊關(guān)系求第三邊的范圍

例3.（廣西河池市?八年級(jí)期末）已知△ABC的三邊長(zhǎng)為2,7,X,請(qǐng)寫(xiě)出一個(gè)符合條件的x的整數(shù)值，

這個(gè)值可以是.

變式3.（河北廊坊市?八年級(jí)期末）在AABC中，若A3=6,AC=3,則第三邊3c的取值可能是（）

考點(diǎn)四：三角形三邊關(guān)系的運(yùn)用

例4.（四川省自貢市貢井區(qū)成佳中學(xué)校八年級(jí)月考）若a,b,c是AABC的三邊長(zhǎng)，則化簡(jiǎn)

+—c|+|/?—c—1?|的結(jié)果是.

變式4.（浙江八年級(jí)期中）如圖，用四個(gè)螺絲將四條不可彎曲的木條圍成一個(gè)木框，不計(jì)螺絲大小，其中

相鄰兩螺絲的距離依次為2、3、4、6,且相鄰兩木條的夾角均可調(diào)整.若調(diào)整木條的夾角時(shí)不破壞此木框,

則任意兩個(gè)螺絲間的距離的最大值為（）

2

6

A.6B.7C.8D.10

考點(diǎn)五：三角形三邊關(guān)系的相關(guān)證明

例5.（綿陽(yáng)市八年級(jí)月考）如圖，尸是AABC內(nèi)一點(diǎn)，連接BP,PC,延長(zhǎng)BP交AC于D

（1）圖中有幾個(gè)三角形；（2）求證：AB+AOPB+PC.

變式5.（雁塔區(qū)期中）觀(guān)察并探求下列各問(wèn)題，寫(xiě)出你所觀(guān)察得到的結(jié)論.（1）如圖①，在AABC中，尸為

邊BC上一點(diǎn)，貝ljBP+PCAB+4C（填或“="）（2）將（1）中點(diǎn)尸移到△ABC內(nèi)，得

圖②，試觀(guān)察比較△BPC的周長(zhǎng)與AABC的周長(zhǎng)的大小，并說(shuō)明理由.（3）將（2）中點(diǎn)尸變?yōu)閮蓚€(gè)點(diǎn)尸卜

尸2得圖③，試觀(guān)察比較四邊形BP42c的周長(zhǎng)與△ABC的周長(zhǎng)的大小，并說(shuō)明理由.

考點(diǎn)六：三角形的穩(wěn)定性

例6.（浙江八年級(jí)期中）下列是利用了三角形的穩(wěn)定性的有個(gè).

①自行車(chē)的三角形車(chē)架；②校門(mén)口的自動(dòng)伸縮柵欄門(mén)；③照相機(jī)的三腳架；④長(zhǎng)方形門(mén)框的斜拉條

變式6.（臨海市期末）如圖所示的自行車(chē)架設(shè)計(jì)成三角形，這樣做的依據(jù)是三角形具有

(WO

【課后作業(yè)】

1.（全國(guó)?八年級(jí)專(zhuān)題練習(xí)）學(xué)習(xí)完三角形的概念后，小強(qiáng)同學(xué)用火柴拼成的圖形如下，其中符合三角形概

念的是（）

2.（湖北孝感市?八年級(jí)期末）下列各組線(xiàn)段，能構(gòu)成三角形的是（）

A.3,2,1B.2,1,1C.2,2,1D.4,2,1

3.（禪城區(qū)一模）如圖，人字梯中間一般會(huì)設(shè)計(jì)一“拉桿”，以增加使用梯子時(shí)的安全性，這樣做蘊(yùn)含的道

理是（）

X拉護(hù)工

A.兩點(diǎn)之間線(xiàn)段最短B.三角形具有穩(wěn)定性

C.經(jīng)過(guò)兩點(diǎn)有且只有一條直線(xiàn)D.垂線(xiàn)段最短

4.（湖北孝感市?八年級(jí)期末）下列各組線(xiàn)段，能構(gòu)成三角形的是（）

A.3,2,1B.2,1,1C.2,2,1D.4,2,1

5.（河北滄州?七年級(jí)期末）將一個(gè)三角形紙片剪開(kāi)分成兩個(gè)三角形，這兩個(gè)三角形不可能（）

A.都是銳角三角形B.都是直角三角形

C.都是鈍角三角形D.是一個(gè)銳角三角形和一個(gè)鈍角三角形

6.（河南周口?七年級(jí)期末）下列說(shuō)法：（1）一個(gè)等邊三角形一定不是鈍角三角形；（2）一個(gè)鈍角三角形一

定不是等腰三角形；（3）一個(gè)等腰三角形一定不是銳角三角形；（4）一個(gè)直角三角形一定不是等腰三角形.其中

正確的有（）個(gè)

A.1B.2C.3D.4

7.（江蘇初一月考）若a,b,c是△ABC的三邊的長(zhǎng)，則化簡(jiǎn)口一6—c|—16—c—a|+|a+6—c|的結(jié)果是（）

A.a+6+cB.-a~\~3b—cC.a~\~b—cD.2b—2c

8.（齊河縣期末）如圖，共有個(gè)三角形.

9.（河南安陽(yáng)市?八年級(jí)期末）如圖，工程建筑中的屋頂鋼架經(jīng)常采用三角形的結(jié)構(gòu)，其中的數(shù)學(xué)道理是三

角形具有性.

10.（云南紅河?八年級(jí)期末）如果一個(gè)三角形的兩邊長(zhǎng)分別為3、4,第三邊最長(zhǎng)且為偶數(shù)，則此三角形的

第三邊長(zhǎng)是.

11.（廣西南寧?八年級(jí)期中）已知mb,c是AABC的三邊長(zhǎng).

⑴若a,b,c滿(mǎn)足,（a-b）2+\b-c\=0,試判斷AABC的形狀;

（2）化簡(jiǎn)：|b—c—a|+|a—b+c|—|a—6—c|

12.（遵義月考）如圖，點(diǎn)尸是△ABC內(nèi)任意一點(diǎn)，求證：PA+PB+PC>|AB+^BC+^AC.

第02講與三角形有關(guān)的線(xiàn)段（中線(xiàn)、高線(xiàn)、角平分線(xiàn)）

【基礎(chǔ)知識(shí)】

i.三角形的角平分線(xiàn)、中線(xiàn)和高線(xiàn)

（1）從三角形的一個(gè)頂點(diǎn)向底邊作垂線(xiàn)，垂足與頂點(diǎn)之間的線(xiàn)段叫做三角形的高.

（2）三角形一個(gè)內(nèi)角的平分線(xiàn)與這個(gè)內(nèi)角的對(duì)邊交于一點(diǎn)，則這個(gè)內(nèi)角的頂點(diǎn)與所交的點(diǎn)間的線(xiàn)段叫做三角

形的角平分線(xiàn).

（3）三角形一邊的中點(diǎn)與此邊所對(duì)頂點(diǎn)的連線(xiàn)叫做三角形的中線(xiàn).

（4）三角形有三條中線(xiàn)，有三條高線(xiàn)，有三條角平分線(xiàn)，它們都是線(xiàn)段.

（5）銳角三角形的三條高在三角形內(nèi)部，相交于三角形內(nèi)一點(diǎn)，直角三角形有兩條高與直角邊重合，另一條

高在三角形內(nèi)部，它們的交點(diǎn)是直角頂點(diǎn)；鈍角三角形有兩條高在三角形外部，一條高在三角形內(nèi)部，

三條高所在直線(xiàn)相交于三角形外一點(diǎn).

【考點(diǎn)剖析】

考點(diǎn)一：三角形的高線(xiàn)、中線(xiàn)、角平分線(xiàn)的相關(guān)概念

例1.（河北唐山?八年級(jí)期中）下列說(shuō)法中，①三角形的中線(xiàn)、角平分線(xiàn)、高都是線(xiàn)段；②三角形的三條角

平分線(xiàn)、三條中線(xiàn)、三條高都在三角形內(nèi)部；③直角三角形只有一條高；④三角形的三條角平分線(xiàn)、三條

中線(xiàn)、三條高分別交于一點(diǎn).正確的是（）

A.①B.①④C.②③D.②④

變式1.（廣東八年級(jí)月考）下列說(shuō)法正確的是（）

A.三角形三條角平分線(xiàn)的交點(diǎn)是三角形的重心

B.三角形的一條角平分線(xiàn)把該三角形分成面積相等的兩部分

C.三角形的中線(xiàn)、角平分線(xiàn)、高都是線(xiàn)段

D.三角形的三條高都在三角形內(nèi)部

考點(diǎn)二：三角形的高線(xiàn)畫(huà)法的相關(guān)問(wèn)題

例2.（廣東汕頭市?八年級(jí)模擬）下列尺規(guī)作圖，能判斷AD是AABC的邊上的高是（）

變式2.（湖北孝感?八年級(jí)期中）如圖，己知AABC中，AB=15,BC=20（1）畫(huà)出AABC的高和CE；

（2）若AD=5,求CE的長(zhǎng).

B

考點(diǎn)三：三角形的高線(xiàn)的相關(guān)計(jì)算

例3.（綿陽(yáng)市初二課時(shí)練習(xí)）在直角三角形ABC中，ZABC=90°,AB=3,BC=4,AC=5,則AABC

的三條高之和為（）

A.8.4B.9.4C.10.4D.11.

變式3.（江蘇七年級(jí)月考）AABC中,AD是BC邊上的高,NBAD=5（r,/CAD=20。,則NBAC=

考點(diǎn)四：三角形的中線(xiàn)相關(guān)概念

例4.（孝感市孝南區(qū)八年級(jí)月考）三角形的重心是指（）

A.三個(gè)內(nèi)角平分線(xiàn)的交點(diǎn)B.三邊上的高的交點(diǎn)C.三條中線(xiàn)的交點(diǎn)D.三邊垂直平分線(xiàn)的交點(diǎn)

變式4.（湖南長(zhǎng)沙?八年級(jí)期末）如圖，在△ABC中，點(diǎn)。是△ABC的重心，則為三角形的（）

A.角平分線(xiàn)B.高線(xiàn)C.中線(xiàn)D.垂直平分線(xiàn)

考點(diǎn)五：三角形的中線(xiàn)的相關(guān)計(jì)算

例5.（浙江杭州市?八年級(jí)期末）如圖，在“3。中，AB=10,AC=8,為中線(xiàn)，則△A3。與

的周長(zhǎng)之差為（）

C.3D.4

變式5.（江蘇八年級(jí)月考）如圖，D、E、R分別是3C、AD>BE1的中點(diǎn)，若AB陽(yáng)的面積是3,則

AABC的面積是.

A.6B.12C.15D.24

考點(diǎn)六：三角形的角平分線(xiàn)相關(guān)概念與計(jì)算

例6.（全國(guó)?八年級(jí)）如圖，在AABC中，ZC=90°,D,E是AC上兩點(diǎn)，且AE=OE,BD平分/EBC,

那么下列說(shuō)法中不正確的是（）

A.BE是△A3。的中線(xiàn)B.是ABCE的角平分線(xiàn)C.Nl=/2=/3D.S屈EB=S?EDB

變式6.（重慶市八年級(jí)專(zhuān)項(xiàng)訓(xùn)練）如圖，AE是AABC的角平分線(xiàn).已知/B=45。，NC=60。,求NBAE和N

AEB的度數(shù).

C

考點(diǎn)七：三角形有關(guān)的線(xiàn)段綜合問(wèn)題

例7.（北京市初一期末）如圖，在AABC中，ZCAB=9Q°,是高，CP是中線(xiàn)，3E是角平分線(xiàn)，BE

交AD于G,交CF于H,下列說(shuō)法正確的是（）

①NAEG=NAGE②BH=CH③NEAG=2ZEBC④S^CF=S^BCF

A.①③B.①②③C.①③④D.②③④

變式7.（西安初一期末）如圖，AE是AABC的角平分線(xiàn)，ADLBC于點(diǎn)D,點(diǎn)F為BC的中點(diǎn)，若/BAC

=104°,ZC=40°,則有下列結(jié)論：①NBAE=52。；②NDAE=2。；③EF=ED；④S〃ABF=15AAec.其中

正確的個(gè)數(shù)有（）

個(gè)B.2個(gè)C.3個(gè)D.4個(gè)

【課后作業(yè)】

1.（廣東廣州市?八年級(jí)期中）如圖，在AABC中，邊上的高為（

F

A.BDB.CFC.AED.BF

2.（湖南?八年級(jí)期中）下列說(shuō)法中，表示三角形的重心的是（）

A.三角形三條中線(xiàn)的交點(diǎn)B.三角形三條高所在的直線(xiàn)的交點(diǎn)

C.三角形三條角平分線(xiàn)的交點(diǎn)D.三角形三條邊的垂直平分線(xiàn)的交點(diǎn)

3.（湖南?長(zhǎng)沙市湘郡培粹實(shí)驗(yàn)中學(xué)八年級(jí)階段練習(xí)）如圖，AD,BE,CF依次是AABC的高、中線(xiàn)和角平

分線(xiàn)，下列表達(dá)式中錯(cuò)誤的是（）

A.AE=CEB.ZADC=90°C.ZCAD=ZCBED.ZACB=2ZACF

4.（涿州市八年級(jí)期中）如圖所示，在中，D、E、廠(chǎng)分別為BC、AD,CE的中點(diǎn)，且&ABC=16c/,

則陰影部分SBEF）的面積等于（）

A.2cm2B.4cm2C.6cm2D.8d

5.（安徽合肥市?八年級(jí)期末）如圖，AD為AABC的中線(xiàn)，E為AD的中點(diǎn)，連接3E.已知AABC的

面積為12,則八43￡的面積等于（）

BDC

A.2B.3C.4D.6

6.（南通市八一中學(xué)初一月考）若一個(gè)三角形的三邊長(zhǎng)之比為3：5：7.則這個(gè)三角形三邊上的高之比為（）

A.3：5：7B.7：5：3C.35：21：15D.6：5：4

7.（重慶市第九十五初級(jí)中學(xué)校七年級(jí)階段練習(xí)）如圖，AABC中，點(diǎn)尸在邊AB上，點(diǎn)。為的中點(diǎn)，

連接A。、CF相交于點(diǎn)E,若品AEC=6,S"EC=2，貝I1S四邊形BDEF=（）

8.（沐陽(yáng)縣校級(jí)月考）如圖，在AABC中，4。為BC邊上的中線(xiàn)，于點(diǎn)E,O/UAC于點(diǎn)RAB

=3,AC=4,DF^1.5,貝|OE=.

9.（廣東廣州市白云區(qū)六中珠江學(xué)校八年級(jí)期中）如圖，在AABC中，A。、AE分別是邊BC上的中線(xiàn)與高,

AE=5,AABC的面積為25,則CD的長(zhǎng)為.

10.（江蘇?濱海縣第一初級(jí)中學(xué)七年級(jí)階段練習(xí)）如圖，AABC的頂點(diǎn)都在邊長(zhǎng)為1的正方形方格紙的格點(diǎn)上,

將AABC向上平移4格.⑴請(qǐng)?jiān)趫D中畫(huà)出平移后的三角形A?。；（2）在圖中畫(huà)出三角形AABC的高C。、中線(xiàn)

BE；（3）A48C的面積是.

11.（威縣期末）在AABC中，BC=8,AB=1；（1）若AC是整數(shù)，求AC的長(zhǎng);

（2）已知2。是AABC的中線(xiàn)，若AABD的周長(zhǎng)為17,求△BCD的周長(zhǎng).

第03講與三角形有關(guān)的角（內(nèi)角和定理與外角定理）

【基礎(chǔ)知識(shí)】

i.三角形內(nèi)角和定理

（1）三角形內(nèi)角的概念：三角形內(nèi)角是三角形三邊的夾角.每個(gè)三角形都有三個(gè)內(nèi)角，且每個(gè)內(nèi)角均大于

0°且小于180°.

（2）三角形內(nèi)角和定理：三角形內(nèi)角和是180°.

（3）三角形內(nèi)角和定理的證明：證明方法，不唯一，但其思路都是設(shè)法將三角形的三個(gè)內(nèi)角移到一起，組合

成一個(gè)平角.在轉(zhuǎn)化中借助平行線(xiàn).

（4）兩個(gè)角互余的三角形是直角三角形.

（5）三角形內(nèi)角和定理的應(yīng)用

主要用在求三角形中角的度數(shù).①直接根據(jù)兩已知角求第三個(gè)角；②依據(jù)三角形中角的關(guān)系，用代數(shù)方法求

三個(gè)角；③在直角三角形中，已知一銳角可利用兩銳角互余求另一銳角.

2.三角形的外角性質(zhì)

（1）三角形外角的定義：三角形的一邊與另一邊的延長(zhǎng)線(xiàn)組成的角，叫做三角形的外角.三

角形共有六個(gè)外角，其中有公共頂點(diǎn)的兩個(gè)相等，因此共有三對(duì).

（2）三角形的外角性質(zhì)：①三角形的外角和為360°.②三角形的一個(gè)外角等于和它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角

的和.③三角形的一個(gè)外角大于和它不相鄰的任何一個(gè)內(nèi)角.

（3）若研究的角比較多，要設(shè)法利用三角形的外角性質(zhì)②將它們轉(zhuǎn)化到一個(gè)三角形中去.

（4）探究角度之間的不等關(guān)系，多用外角的性質(zhì)③，先從最大角開(kāi)始，觀(guān)察它是哪個(gè)三角形的外角.

【考點(diǎn)剖析】

考點(diǎn)一：證明三角形內(nèi)角和定理

例1.（山西呂梁市?九年級(jí)二模）在探究證明“三角形的內(nèi)角和是180?！睍r(shí)，綜合實(shí)踐小組的同學(xué)作了如下四

種輔助線(xiàn)，其中不能證明"三角形內(nèi)角和是180?！钡氖牵ǎ?/p>

變式1.（吉林?舒蘭市教師進(jìn)修學(xué)校七年級(jí)期末）如圖，在小學(xué)我們通過(guò)觀(guān)察、實(shí)驗(yàn)的方法得到了“三角形

內(nèi)角和是180?！钡慕Y(jié)論。小明通過(guò)這學(xué)期的學(xué)習(xí)知道：由觀(guān)察、實(shí)驗(yàn)、歸納、類(lèi)比、猜想得到的結(jié)論還需要

通過(guò)證明來(lái)確認(rèn)它的正確性.

受到實(shí)驗(yàn)方法1的啟發(fā)，小明形成了證明該結(jié)論的想法：實(shí)驗(yàn)1的拼接方法直觀(guān)上看，是把N1和N2移動(dòng)到

N3的右側(cè)，且使這三個(gè)角的頂點(diǎn)重合，如果把這種拼接方法抽象為幾何圖形，那么利用平行線(xiàn)的性質(zhì)就可

以解決問(wèn)題了.小明的證明過(guò)程如下:

已知：如圖，AABC.求證：ZA+ZB+ZC=180°.

證明：延長(zhǎng)BC,過(guò)點(diǎn)C作。0〃班.

，NA=（兩直線(xiàn)平行，內(nèi)錯(cuò)角相等），

ZB=Z2（）.

VZl+Z2+ZACB=180°（平角定義），

,ZA+ZB+ZACB=180°.

（1）請(qǐng)你補(bǔ)充完善小明方法1的證明過(guò)程；

（2）請(qǐng)你參考小明解決問(wèn)題的方法1的思路，自行畫(huà)圖標(biāo)注好頂點(diǎn)字母，寫(xiě)出方法2證明該結(jié)論的過(guò)程.

考點(diǎn)二：三角形內(nèi)角和定理的相關(guān)計(jì)算

例2.（河南濮陽(yáng)?八年級(jí)期末）有一塊直角三角板DEF放置在AABC上，三角板DEF的兩條直角邊DE,DF

恰好分別經(jīng)過(guò)點(diǎn)8、C,在AABC中，ZDBA+ZDCA=40°,貝的鰻是（

A.40°B.44°C.45°D.50°

變式2.（河南駐馬店市?八年級(jí)期末）閱讀下列材料并解答問(wèn)題：在一個(gè)三角形中，如果一個(gè)內(nèi)角的度數(shù)是

另一個(gè)內(nèi)角度數(shù)的3倍，那么這樣的三角形我們稱(chēng)為“夢(mèng)想三角形”例如：一個(gè)三角形三個(gè)內(nèi)角的度數(shù)分別是

120。，40。，20。，這個(gè)三角形就是一個(gè)“夢(mèng)想三角形”.反之，若一個(gè)三角形是“夢(mèng)想三角形"，那么這個(gè)三

角形的三個(gè)內(nèi)角中一定有一個(gè)內(nèi)角的度數(shù)是另一個(gè)內(nèi)角度數(shù)的3倍.

（1）如果一個(gè)“夢(mèng)想三角形”有一個(gè)角為108。，那么這個(gè)“夢(mèng)想三角形”的最小內(nèi)角的度數(shù)為.

（2）如圖，己知NMON=60°，在射線(xiàn)0M上取一點(diǎn)A,過(guò)點(diǎn)A作A3交ON于點(diǎn)B,以A為端

點(diǎn)作射線(xiàn)A。，交線(xiàn)段于點(diǎn)C（點(diǎn)C不與。、8重合），若NAC3=80。，判定AAOB、△AOC是

否是“夢(mèng)想三角形"，為什么？

考點(diǎn)三：兩角互余的相關(guān)計(jì)算

例3.（浙江衢州?八年級(jí)期中）已知，在直角AA8C中，/C為直角，NB是NA的2倍，則/A的度數(shù)是

（）

A.30°B.50°C.70°D.90°

變式3.（湖北蔡甸初二期中）如圖，若AA3C的三條角平分線(xiàn)A。、BE、CT交于點(diǎn)G,則與NEGC互

余的角是（）

A.ZCGDB.ZFAGC.ZECGD.NFBG

考點(diǎn)四：證明外角性質(zhì)定理

例4.（河北中考真題）定理：三角形的一個(gè)外角等于與它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的

和.已知：如圖，NACD是AABC的外角.

求證：ZACD=ZA+ZB.

A

D

證法1：如圖，

???NZ+N8+NZC8=180°（三角形內(nèi)角和定理），

又???44。+44。8=180。（平角定義），

：.ZACD+ZACB=ZA+ZB+ZACB（等量代換）.

乙4CD=ZA+NB（等式性質(zhì)）.

\/

證法2：如圖，

ZA=76°,4=59°,

且445=135。（量角器測(cè)量所得），

XV135°=76°+59°（計(jì)算所得）,

ZACD=ZA+ZB（等量代換）.

<_______________y

下列說(shuō)法正確的是（）

A.證法1還需證明其他形狀的三角形，該定理的證明才完整B.證法1用嚴(yán)謹(jǐn)?shù)耐评碜C明了該定理

C.證法2用特殊到一般法證明了該定理D.證法2只要測(cè)量夠一百個(gè)三角形進(jìn)行驗(yàn)證，就能證明該定理

變式4.（江蘇?蘇州市吳江區(qū)八年級(jí)階段練習(xí)）用兩種方法證明“三角形的一個(gè)外角等于其不相鄰的兩個(gè)內(nèi)

角之和”.如圖，ND4B是AABC的一個(gè)外角.

求證：NDAB=NB+NC.

證法1：■.■ZBAC+ZB+ZC=180°（）

ZBAC+ZDAB=180°（平角的定義）

ZBAC+ZB+ZC=ZBAC+ZDAB（）

:.ZDAB=ZB+ZC（等式的基本性質(zhì)1）

請(qǐng)把證法1依據(jù)填充完整，并用不同的方法完成證法2

BC

考點(diǎn)五：外角性質(zhì)的相關(guān)計(jì)算

例5.（江蘇八年級(jí)專(zhuān)題練習(xí)）如圖，把△ABC紙片沿OE折疊，使點(diǎn)B落在圖中的二處，設(shè)

=若Ng=25。，則N2-Nl=°

變式5.（蘇州外國(guó)語(yǔ)學(xué)校八年級(jí)期中）如圖，在△ABC中，ZF=16°,即、。。分別平分/43。、乙4。3,

M、N、。分別在。3、DC、的延長(zhǎng)線(xiàn)上，BE、CE分別平分NMBC、ZBCN,BF、CR分別平

分NEBC、NECQ,則NA=匚.

考點(diǎn)六：內(nèi)角和與外角性質(zhì)的綜合問(wèn)題（雙角平分線(xiàn)問(wèn)題）

例6.（山西陽(yáng)泉初二期中）佳琪同學(xué)在學(xué)習(xí)了三角形內(nèi)角和及角平分線(xiàn)定義后經(jīng)大量的測(cè)試實(shí)驗(yàn)發(fā)現(xiàn)，在

一個(gè)三角形中，兩個(gè)內(nèi)角的角平分線(xiàn)所夾的角只與第三個(gè)角的大小有關(guān).

測(cè)量數(shù)據(jù)如下表：

測(cè)量NBOC和度數(shù)

測(cè)量工具量角器

A

qZABC與NAC8的平分

示意圖

線(xiàn)交于點(diǎn)。

BC

ZAZBOC

測(cè)量數(shù)據(jù)

第一次60°120°

第二次90°135°

第三次110°145°

第四次150°165°

(1)通過(guò)以上測(cè)量數(shù)據(jù)，請(qǐng)你寫(xiě)出NBOC與NA的數(shù)量關(guān)系：.(2)如圖，在AA3C中，若NABC

與NACD的平分線(xiàn)交于點(diǎn)P,則ZP與NA存在怎樣的數(shù)量關(guān)系？請(qǐng)說(shuō)明理由.

變式&(南海區(qū)八年級(jí)期末)閱讀下面的材料，并解決問(wèn)題.(1)已知在△ABC中，/A=60°,圖1-3

的△ABC的內(nèi)角平分線(xiàn)或外角平分線(xiàn)交于點(diǎn)O,請(qǐng)直接求出下列角度的度

數(shù).如圖1,ZO=；如圖2,ZO=；如圖3,

NO=；

如圖4,ZABC,的三等分線(xiàn)交于點(diǎn)。1,。2,連接。1。2,則/8。2。1=.

(2)如圖5,點(diǎn)。是△ABC兩條內(nèi)角平分線(xiàn)的交點(diǎn)，求證：ZO=90°+|zA.

⑶如圖6,△ABC中，NABC的三等分線(xiàn)分別與NACB的平分線(xiàn)交于點(diǎn)。1，3，若Nl=115°,N2=

135°,求/A的度數(shù).

B圖5圖6

【課后作業(yè)】

1.（廣東深圳?九年級(jí)期末）在AAOB中，BO=AO,OP交A8于點(diǎn)C,量角器的擺放如圖所示，則/BCP

=（）

A.80°B.90°C.85°D.95°

2.（龍崗區(qū)期末）如圖，在△ABC中，NC=36°,將△ABC沿著直線(xiàn)/折疊，點(diǎn)C落在點(diǎn)。的位置，則/

1-Z2的度數(shù)是（）

3.（江蘇?徐州市西苑中學(xué)七年級(jí)階段練習(xí)）在AABC中，/C=60°,按圖中虛線(xiàn)將NC剪去后，N1+N2等

于（）.

4.（河北唐山?七年級(jí)期末）定理；三角形的內(nèi)角和等于

180°.已知：AABC的三個(gè)內(nèi)角為NA、DB、ZC

求證：ZA+ZB+ZC=180°.

證法1:如圖

VZA=100°,ZB=30。，NC=50。（量角器測(cè)

量）

V100°+30°+50°-180°（計(jì)算所得）

ZA+ZB+ZC=180°（等量代換）

證法2如圖，延長(zhǎng)BC到。，過(guò)點(diǎn)C作CE//AB.

NA=N2（兩直線(xiàn)平行，內(nèi)錯(cuò)角相等）

N8=N3（兩直線(xiàn)平行，同位角相等）B/^￥仁二

VZl+Z2+Z3=180°（平角定義）.

Z1+ZA+ZB=180°（等量代換）

gpZA+ZB+ZC=180°.

下列說(shuō)法正確的是（）

A.證法1采用了從特殊到一般的方法證明了該定理

B.證法1還需要測(cè)量一百個(gè)進(jìn)行驗(yàn)證，就能證明該定理

C.證法2還需證明其它形狀的三角形，該定理的證明過(guò)程才完整

D.證法2用嚴(yán)謹(jǐn)?shù)耐评碜C明了該定理

5.（江蘇揚(yáng)州市?七年級(jí)月考）如圖，BP是AABC中/ABC的平分線(xiàn)，CP是/ACB的外角的平分線(xiàn)，如

果/ABP=20。，ZACP=50°,則/P=°.

6.（江蘇南京市?九年級(jí)二模）將一副三角板如圖擺放，則Nl=

7.（寧夏?石嘴山市星海中學(xué)八年級(jí)期中）根據(jù)題意畫(huà)出圖形，并填注理由

證明：三角形的內(nèi)角和等于180°.

已知：AA8C

求證：ZA+ZB