2024-2025學(xué)年新教材高中數(shù)學(xué)第2章等式與不等式2.2.1第2課時(shí)不等式的證明課后素養(yǎng)落實(shí)含解析新人教B版必修第一冊(cè)

PAGE課后素養(yǎng)落實(shí)(十四)不等式的證明(建議用時(shí)：40分鐘)一、選擇題1．要證eq\r(2)－eq\r(3)＜eq\r(6)－eq\r(7)成立，只需證明()A．(eq\r(2)－eq\r(3))2＜(eq\r(6)－eq\r(7))2B．(eq\r(2)－eq\r(6))2＜(eq\r(3)－eq\r(7))2C．(eq\r(2)＋eq\r(7))2＜(eq\r(3)＋eq\r(6))2D．(eq\r(2)－eq\r(3)－eq\r(6))2＜(－eq\r(7))2C[依據(jù)分析法的證明過程可知，要證eq\r(2)－eq\r(3)＜eq\r(6)－eq\r(7)，只需證明(eq\r(2)＋eq\r(7))2＜(eq\r(3)＋eq\r(6))2.]2．分析法又稱執(zhí)果索因法，若用分析法證明：“設(shè)a＞b＞c，且a＋b＋c＝0，求證eq\r(b2－ac)＜eq\r(3)a”索的因應(yīng)是()A．a(chǎn)－b＞0B．a(chǎn)－c＞0C．(a－b)(a－c)＞0D．(a－b)(a－c)＜0C[由a＞b＞0，且a＋b＋c＝0可得b＝－a－c，a＞0，c＜0.要證eq\r(b2－ac)＜eq\r(3)a，只要證(－a－c)2－ac＜3a2，即證a2－ac＋a2－c2＞0，即證a(a－c)＋(a＋c)(a－c)＞0即證a(a－c)－b(a－c)＞0，也就是證(a－c)(a－b)＞0.故求證eq\r(b2－ac)＜eq\r(3)a索的因應(yīng)是(a－c)(a－b)＞0.]3．用反證法證明命題：“a，b∈N，ab可被5整除，那么a，b中至少有一個(gè)能被5整除”時(shí)，假設(shè)的內(nèi)容應(yīng)為()A．a(chǎn)，b都能被5整除B．a(chǎn)，b都不能被5整除C．a(chǎn)，b不都能被5整除D．a(chǎn)不能被5整除B[由于反證法是命題的結(jié)論的否定的一個(gè)運(yùn)用，故對(duì)“a，b中至少有一個(gè)能被5整除”的否定是“a，b都不能被5整除”．]4．①已知p3＋q3＝2，證明：p＋q≤2.用反證法證明時(shí)，可假設(shè)p＋q≥2；②若a，b∈R，|a|＋|b|＜1，求證：方程x2＋ax＋b＝0的兩根的肯定值都小于1．用反證法證明時(shí)可假設(shè)方程有一根x1的肯定值大于或等于1，即假設(shè)|x1|≥1．以下結(jié)論正確的是()A．①與②的假設(shè)都錯(cuò)誤B．①的假設(shè)正確；②的假設(shè)錯(cuò)誤C．①與②的假設(shè)都正確D．①的假設(shè)錯(cuò)誤；②的假設(shè)正確D[對(duì)于①，結(jié)論的否定是p＋q＞2，故①的假設(shè)錯(cuò)誤；對(duì)于②，其假設(shè)正確，故選D．]5．若P＝eq\r(a)＋eq\r(a＋7)，Q＝eq\r(a＋3)＋eq\r(a＋4)(a≥0)，則P，Q的大小關(guān)系是()A．P＞Q B．P＝QC．P＜Q D．由a的取值確定C[要證P＜Q，只需證P2＜Q2.只要證2a＋7＋2eq\r(aa＋7)＜2a＋7＋2eq\r(a＋3a＋4)，只要證a2＋7a＜a2＋7只要證0＜12.又∵0＜12成立．∴P＜Q成立，故選C．]二、填空題6．用反證法證明命題“一個(gè)三角形中不能有兩個(gè)直角”的過程可以歸納為以下三個(gè)步驟．①∠A＋∠B＋∠C＝90°＋90°＋∠C＞180°，這與三角形內(nèi)角和為180°相沖突，所以∠A＝∠B＝90°不成立；②所以一個(gè)三角形中不能有兩個(gè)直角；③假設(shè)∠A，∠B，∠C中有兩個(gè)角是直角，不妨設(shè)∠A＝∠B＝90°.其正確依次為________．③①②[用反證法證明命題的步驟是：先假設(shè)命題不成立，然后通過推理得出沖突，最終否定假設(shè)，從而得到正確的命題．故填③①②.]7．用反證法證明“a，b，c三個(gè)數(shù)中至少有一個(gè)不小于eq\f(1,2)”時(shí)，假設(shè)內(nèi)容是________．a(chǎn)，b，c都小于eq\f(1,2)[“a，b，c中至少有一個(gè)不小于eq\f(1,2)”的反面是“a，b，c都小于eq\f(1,2)”．]8．要使eq\r(3,a)－eq\r(3,b)＜eq\r(3,a－b)成立，a，b應(yīng)滿意的條件是______或者_(dá)_______．a(chǎn)b＞0且a＞bab＜0且a＜b[eq\r(3,a)－eq\r(3,b)＜eq\r(3,a－b)?a－b＋3eq\r(3,ab2)－3eq\r(3,a2b)＜a－b?eq\r(3,ab)(eq\r(3,a)－eq\r(3,b))＞0?ab＞0且a＞b或ab＜0且a＜b.]三、解答題9．已知a≥b＞0，求證：2a3－b3≥2ab2－a2b[證明]要證明2a3－b3≥2ab2－a2b只需證2a3－b3－2ab2＋a2b≥即2a(a2－b2)＋b(a2－b2)≥即(a＋b)(a－b)(2a＋b)≥∵a≥b＞0，∴a－b≥0，a＋b＞0,2a＋b∴(a＋b)(a－b)(2a＋b)≥∴2a3－b3≥2ab2－a2b10．已知x＞0，求用反證法證明：eq\r(1＋x)＜1＋eq\f(x,2).[證明]假設(shè)eq\r(1＋x)≥1＋eq\f(x,2)，∵x＞0，∴eq\r(1＋x)＞0,1＋eq\f(x,2)＞0，∴1＋x≥1＋x＋eq\f(x2,4)，即0≥eq\f(x2,4)，∴x＝0，與條件x＞0沖突．∴假設(shè)不成立，故eq\r(1＋x)＜1＋eq\f(x,2)成立．1．(多選題)設(shè)a，b為正實(shí)數(shù)，有下列命題中正確的命題為()A．若a2－b2＝1，則a－b<1B．若eq\f(1,b)－eq\f(1,a)＝1，則a－b<1C．若|eq\r(a)－eq\r(b)|＝1，則|a－b|<1D．若|a3－b3|＝1，則|a－b|<1AD[對(duì)于A，由題意a，b為正實(shí)數(shù)，則a2－b2＝1?a－b＝eq\f(1,a＋b)?a－b>0?a>b>0，故a＋b>a－b>0.若a－b≥1，則eq\f(1,a＋b)≥1?a＋b≤1≤a－b，這與a＋b>a－b>0沖突，故a－b<1成立．對(duì)于B，取特別值，a＝3，b＝eq\f(3,4)，則a－b>1．對(duì)于C，取特別值，a＝9，b＝4時(shí)，|a－b|>1．對(duì)于D，∵|a3－b3|＝1，a>0，b>0，∴a≠b，不妨設(shè)a>b>0.∴a2＋ab＋b2>a2－2ab＋b2>0，∴(a－b)(a2＋ab＋b2)>(a－b)(a－b)2.即a3－b3>(a－b)3>0，∴1＝|a3－b3|>(a－b)3>0，∴0<a－b<1，即|a－b|<1．因此D正確．]2．設(shè)a，b，c均為正實(shí)數(shù)，P＝a＋b－c，Q＝b＋c－a，R＝c＋a－b，則“PQR＞0”是“P，Q，R同時(shí)大于0A．充分不必要條件B．必要不充分條件C．充要條件D．既不充分也不必要條件C[必要性明顯成立，PQR＞0包括P，Q，R同時(shí)大于0，或其中兩個(gè)為負(fù)兩種狀況，假設(shè)P＜0，Q＜0，則P＋Q＝2b＜0，這與b為正實(shí)數(shù)沖突．同理當(dāng)P，R同時(shí)小于0或Q，R同時(shí)小于0的狀況亦得出沖突．故P，Q，R同時(shí)大于0，所以選C．]3．假如aeq\r(a)＋beq\r(b)＞aeq\r(b)＋beq\r(a)，則實(shí)數(shù)a，b應(yīng)滿意的條件是________．a(chǎn)≥0，b≥0且a≠b[aeq\r(a)＋beq\r(b)－(aeq\r(b)＋beq\r(a))＝(a－b)(eq\r(a)－eq\r(b))＝(eq\r(a)－eq\r(b))(eq\r(a)＋eq\r(b))(eq\r(a)－eq\r(b))＝(eq\r(a)－eq\r(b))2(eq\r(a)＋eq\r(b))＞0，所以a≥0，b≥0且a≠b.]4．設(shè)a，b是兩個(gè)實(shí)數(shù)，給出下列條件：①a＋b＝1；②a＋b＝2；③a＋b＞2；④a2＋b2＞2.其中能推出“a，b中至少有一個(gè)大于1”③[假設(shè)a，b均不大于1，即a≤1，b≤1，則①②④均有可能成立，故①②④不能推出“a，b中至少有一個(gè)大于1”，故選③(1)用分析法證明：已知n∈N*，求證eq\r(n＋1)－eq\r(n)＞eq\r(n＋3)－eq\r(n＋2)；(2)已知a，b，c是互不相等的非零實(shí)數(shù)，用反證法證明三個(gè)方程ax2＋2bx＋c＝0，bx2＋2cx＋a＝0，cx2＋2ax＋b＝0中至少有一個(gè)方程有兩個(gè)相異實(shí)根．[解](1)證明：要證eq\r(n＋1)－eq\r(n)＞eq\r(n＋3)－eq\r(n＋2)，只需證eq\r(n＋1)＋eq\r(n＋2)＞eq\r(n)＋eq\r(n＋3)，只需證(eq\r(n＋1)＋eq\r(n＋2))2＞(eq\r(n)＋eq\r(n＋3))2，即證2n＋3＋2eq\r(n＋1n＋2)＞2n＋3＋2eq\r(nn＋3)，即證eq\r(n2＋3n＋2)＞eq\r(n2＋3n)，即證n2＋3n＋2＞n2＋3n，即證2＞0，明顯成立，所以原不等式成立．(2)證明：假設(shè)三個(gè)方程都沒有兩個(gè)相異