2024-2025學(xué)年北京市西城區(qū)第四中學(xué)高三上學(xué)期期中考試數(shù)學(xué)試題（含答案）

第=page11頁(yè)，共=sectionpages11頁(yè)2024-2025學(xué)年北京市西城區(qū)第四中學(xué)高三上學(xué)期期中考試數(shù)學(xué)試題一、單選題：本題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.已知全集U=R，集合A=xx2?4<0，B=xA.1,2 B.?2,2 C.?∞,2 D.?2,12.不等式1x>1x?1A.(0,+∞) B.(1,+∞) C.(0,1) D.0,3.已知邊長(zhǎng)為2的正方形ABCD中，AC與BD交于點(diǎn)E，則AE?BC=A.2 B.?2 C.1 D.?14.已知函數(shù)fx=3?x?2x，則當(dāng)x<0時(shí)，fA.最大值3+22 B.最小值3+22 C.最大值3?25.設(shè)a,b∈R，則“a>b”是“a2>bA.充分而不必要條件 B.必要而不充分條件

C.充要條件 D.既不充分也不必要條件6.在平面直角坐標(biāo)系xOy中，角α與角β的終邊關(guān)于y軸對(duì)稱.若cosα2=23A.19 B.?19 C.47.近年來(lái)，人們?cè)絹?lái)越注意到家用冰箱使用的氟化物的釋放對(duì)大氣臭氧層的破壞作用.科學(xué)研究表明，臭氧含量Q與時(shí)間t(單位：年)的關(guān)系為Q=Q0e?ta，其中Q0是臭氧的初始含量，a為常數(shù).經(jīng)過測(cè)算，如果不對(duì)氟化物的使用和釋放進(jìn)行控制，經(jīng)過280年將有一半的臭氧消失.如果繼續(xù)不對(duì)氟化物的使用和釋放進(jìn)行控制，再經(jīng)過n年，臭氧含量只剩下初始含量的20%，n約為(

)A.280 B.300 C.360 D.6408.已知函數(shù)fx=x+1,x≤a2x,x>a,若f(x)的值域?yàn)锳.(?∞,0] B.[0,1] C.[0,+∞) D.(?∞,1]9.已知a>0，記y=sinx在a,2a的最小值為sa，在2a,3a的最小值為taA.sa>0，ta>0 B.sa<0，ta<0 C.10.已知在數(shù)列an中，a1=a，命題p:對(duì)任意的正整數(shù)n，都有an+1=anan?2.若對(duì)于區(qū)間A.3,4 B.2,3 C.3211,16二、填空題：本題共5小題，每小題5分，共25分。11.已知復(fù)數(shù)z=5i2?i，則z=

12.已知函數(shù)fx=log3x,x>0,x3,x<0.13.已知冪函數(shù)y=xα的圖像經(jīng)過A0,0，B1,1，C?1,1，D4,2中的三個(gè)點(diǎn)，寫出滿足條件的一個(gè)14.在?ABC中，tanA=14，(1)∠C=

；(2)若?ABC的最長(zhǎng)邊的長(zhǎng)為17，則最短邊的長(zhǎng)為

．15.以A表示值域?yàn)镽的函數(shù)組成的集合，B表示具有如下性質(zhì)的函數(shù)φx組成的集合：對(duì)于函數(shù)φx，存在一個(gè)正數(shù)M，使得函數(shù)φx的值域包含于區(qū)間?M,M.例如，當(dāng)φ1x=x給出下列命題：①“函數(shù)fx∈A”的充要條件是“?t∈R，關(guān)于x的方程②“函數(shù)fx∈B”的充要條件是“③若函數(shù)fx，gx的定義域相同，且fx∈A，④若函數(shù)fx，gx的定義域相同，且fx∈A，其中，正確命題的序號(hào)是

．三、解答題：本題共6小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟。16.(本小題12分)已知函數(shù)fx=sinωxcosφ+cosωxsinφ，其中(1)求φ的值；(2)若fx與x軸相鄰交點(diǎn)間的距離為π2，求fx在區(qū)間17.(本小題12分)在?ABC中，2ccos(1)求∠C的大?。?2)若c=3，再?gòu)臈l件①、條件②、條件③這三個(gè)條件中選擇一個(gè)作為已知，使得?ABC存在，求條件①：?ABC的面積為2條件②：b?a=1；條件③：sinB?注：如果選擇的條件不符合要求，第(Ⅱ)問得0分；如果選擇多個(gè)符合要求的條件分別解答，按第一個(gè)解答計(jì)分．18.(本小題12分)已知函數(shù)fx(1)求fx(2)若關(guān)于x的不等式f′x<?x+a有解，求實(shí)數(shù)a19.(本小題12分)已知橢圓C：x2a2+y2?b2=1(a>b>0)的左頂點(diǎn)為A，C的長(zhǎng)軸長(zhǎng)為4，焦距為23.過定點(diǎn)Tt,0(t≠±2)作與x軸不重合的直線交C(1)求C的方程；(2)是否存在點(diǎn)T，使得OM?ON等于定值13？若存在，求20.(本小題12分)已知函數(shù)fx=xe(1)當(dāng)a=e時(shí)，求曲線y=f(x)在點(diǎn)1,f(1)處的切線方程；(2)若函數(shù)fx是單調(diào)遞增函數(shù)，求a(3)當(dāng)a≥0時(shí)，是否存在三個(gè)實(shí)數(shù)x1<x2<x21.(本小題12分)已知集合A={1,2,3,?,n}，其中n∈N?，A1，A2，…，Am是A的互不相同的子集.記Ai(1)若n=4，m=3，A1=1,2，A2=1,3，(2)若n=5，且對(duì)任意的1≤i<j≤m，都有Nij>0，求(3)若給定整數(shù)n≥7，Mi≤3(i=1,2,???,m)且對(duì)任意1≤i<j≤m，都有Nij=1，求參考答案1.D

2.C

3.A

4.B

5.D

6.A

7.C

8.B

9.D

10.D

11.512.3

13.α∈Nα=2k?1,k∈Z∪114.3π42

15.①③④

16.(1)由兩角和與差的正弦公式可得fx由于ω>0，則fx的最小正周期為T=fT因?yàn)棣?lt;π2(2)因?yàn)閒x與x軸相鄰的兩交點(diǎn)間的距離為π所以fx=sin所以ω=2ππ=2當(dāng)x∈0,π2結(jié)合正弦函數(shù)的圖像與性質(zhì)可得：當(dāng)2x?π3=?π3即x=0當(dāng)2x?π3=π2即x=

17.(1)由正弦定理asinA=得2因?yàn)锳+B+C=π，所以sin由(i)(ii)得2sinAcosC?sin所以cosC=12.因?yàn)?2)選①，?ABC的面積為23，即12absin因?yàn)閏=3，由余弦定理得即a2+b由基本不等式得a2+b故此時(shí)三角形不存在，不能選①，選條件②：b?a=1，兩邊平方得a2+由余弦定理得a2+b2聯(lián)立(iii)(iiii)得ab=2，所以a=1,b=2，設(shè)AC邊上的中線長(zhǎng)為d，由余弦定理得d2所以AC邊上的中線的長(zhǎng)為1．選條件③：sinB?由(1)知，∠B=π?π所以sin=所以sinπ因?yàn)锳∈0,2π3所以π3?A=π所以?ABC是以AC為斜邊的直角三角形．因?yàn)閏=所以AC=AB所以AC邊上的中線的長(zhǎng)為12

18.(1)定義域?yàn)閧x|x>0}，f′(x)=2ln設(shè)?(x)=2?′所以?(x)在0,+∞上是減函數(shù)，且?(1)=0則當(dāng)x∈(0,1)時(shí)，?(x)>0，即f′(x)>0，則當(dāng)x∈(1,+∞)時(shí)，?(x)<0，即f′(x)<0，所以f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(0,1)，f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間(1,+∞)(2)由(1)知f′(x)=2lnx+1令g(x)=2lng′(x)=2當(dāng)x∈0,12時(shí)，g′(x)<0，當(dāng)x∈所以g(x)在0,+∞上的最小值為g1所以若關(guān)于x的不等式g(x)<0有解，則2?2ln即a>2?2ln

19.(1)由題可知，2a=4,2c=2得a=2,c=所以橢圓C的方程為x(2)由題可知，直線PQ不能水平，A(?2,0)設(shè)直線PQ的方程為x=my+t，P聯(lián)立x所以Δ=y直線AP方程為y=所以M0,2所以O(shè)M==若OM?ON=1當(dāng)t=4時(shí)，Δ=16m2?12>0，得當(dāng)t=1時(shí)，Δ=16m所以存在點(diǎn)T，使得OM?ON等于定值13，t=1

20.(1)由題得fx所以f所以f′所以在點(diǎn)1,f(1)處的切線方程為y=ex?e．(2)由題得f′要使函數(shù)fx則f′x即a≤1+x令g得a≤gx令g′x=顯然，當(dāng)x<?2時(shí)，g′x<0，所以函數(shù)當(dāng)x>?2時(shí)，g′x>0，所以函數(shù)故g所以a≤?(3)不存在，理由如下，由題得f′因?yàn)閍≥0，顯然當(dāng)x≤?1時(shí)，f′x=由(2)可知，f′x=gx所以f′x=1+xe當(dāng)x<x0時(shí)，f’當(dāng)x>x0時(shí)，f’所以當(dāng)a≥0時(shí)，不存在三個(gè)實(shí)數(shù)x1<x

21.(1)因?yàn)镹13=N23=1，則A又因?yàn)閚=4,A1=若A1∩A3=1，若A1∩A3=2，綜上A3={1}或A3={1,4}或(2)集合A={1,2,3,4,5}共有32個(gè)不同的子集，將其兩兩配對(duì)成16組Bi使得Bi∩Ci=?,故m≤16．選擇A的16個(gè)含有元素1的子集：A1綜上，mmax(3)結(jié)論：mmax令A(yù)1={1},A證明如下：①若A1～A則其它子集中都有元素1，且元素2～n都至多屬于1個(gè)子集，所以除A1外的子集至多有n?1個(gè)，故m≤n②若A1～ABj=1,bj或1,其中s≥t,bj,b′j互不相同，c若t=0，則s≤n?2，有m=1+s+t≤n?1<n若t≥1，則由Bj∩C1=1得每個(gè)集