陜西省漢中市2024-2025學年高三上學期11月期中聯(lián)考試題 數(shù)學（含解析）

大市聯(lián)考卷（三）數(shù)學滿分150分，考試時間120分鐘.一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.已知復數(shù)，則（）A. B. C. D.2.已知命題，，命題，，則（）A.和都是真命題 B.和都是真命題C.和都是真命題 D.和都是真命題3.已知，為全集的非空真子集，且，不相等，若，則（）A. B. C. D.4.已知為奇函數(shù)，則曲線在點處的切線方程為（）A. B. C. D.5.法國當?shù)貢r間2024年7月26日晚，第三十三屆夏季奧林匹克運動會在巴黎舉行開幕式.“奧林匹克之父”顧拜旦曾經(jīng)說過，奧運會最重要的不是勝利，而是參與；對人生而言，重要的不是凱旋，而是拼搏.為弘揚奧運精神，某學校組織高一年級學生進行奧運專題的答題活動.為了調查男生和女生對奧運會的關注程度，在高一年級隨機抽取10名男生和10名女生的競賽成績（滿分100分），按從低到高的順序排列，得到下表中的樣本數(shù)據(jù)：男生82858687889090929496女生82848587878788889092則下列說法錯誤的是（）A.男生樣本數(shù)據(jù)的分位數(shù)是86B.男生樣本數(shù)據(jù)的中位數(shù)小于男生樣本數(shù)據(jù)的眾數(shù)C.女生樣本數(shù)據(jù)中去掉一個最高分和一個最低分后所得數(shù)據(jù)的平均數(shù)不變D.女生樣本數(shù)據(jù)中去掉一個最高分和一個最低分后所得數(shù)據(jù)的方差不變6.已知是所在平面內一點，且，若，則（）A. B. C. D.7.已知體積為的球與正四棱錐的底面和4個側面均相切，已知正四棱錐的底面邊長為.則該正四棱錐體積是（）A. B. C. D.8.已知雙曲線，在雙曲線上任意一點處作雙曲線的切線，交在第一、四象限的漸近線分別干，兩點.當時.該雙曲線的離心率為（）A. B. C. D.二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.9.已知數(shù)列的通項公式為，則下列說法正確的是（）A.是數(shù)列的最小項 B.是數(shù)列的最大項C.是數(shù)列的最大項 D.當時，數(shù)列單調遞減10.已知拋物線的焦點為，其準線與軸交于點，過點作斜率為的直線與交于，兩點.若直線經(jīng)過點，則（）A. B.C. D.的取值范圍是11.若函數(shù)，，則下列說法正確的是（）A.若，則函數(shù)的最大值為2B.若，則函數(shù)為奇函數(shù)C.存在，使得D.若，則，三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.已知，，則________.13.記為等比數(shù)列的前項和，若，，則________.14.以表示數(shù)集中最大（小）的數(shù).設，，，已知，則________.四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.15.（13分）的內角，，所對的邊分別為，，，，.（1）求角的大??；（2）為的重心，的延長線交于點，且，求的面積.16.（15分）已知四棱柱中，底面為梯形，，平面，其中，.是的中點，是的中點.（1）求證：平面；（2）求平面與平面的夾角余弦值.17.（15分）已知橢圓的左、右焦點分別為，，點在上，，過點作兩條斜率互為相反數(shù)的直線，分別交于不同的兩點，.（1）求的標準方程；（2）證明：直線的斜率為定值，并求出該值.18.（17分）已知函數(shù).（1）函數(shù)與的圖象關于對稱，求的解析式；（2）在定義域內恒成立，求的值；（3）求證：，.19.（17分）有編號為的個空盒子（，），另有編號為的個球（，）將個球分別放入個盒子中，每個盒子最多放入一個球.放球時，先將1號球隨機放入個盒子中的其中一個，剩下的球按照球編號從小到大的順序依次放置，規(guī)則如下：若球的編號對應的盒子為空，則將該球放入對應編號的盒子中；若球的編號對應的盒子為非空，則將該球隨機放入剩余空盒子中的其中一個.記號球能放入號盒子的概率為.（1）求；（2）當時，求；（3）求.

大市聯(lián)考卷（三）數(shù)學答案1.A[命題立意]本題考查復數(shù)代數(shù)形式的加法運算，復數(shù)的除法運算，共軛復數(shù)的概念及計算，意在考查數(shù)學運算等學科素養(yǎng).[解題思路]，故選A.2.C[命題立意]本題考查判斷全稱量詞命題的真假，判斷存在量詞命題的真假，全稱量詞命題的否定及其真假判斷，存在量詞命題的否定及其真假判斷，意在考查邏輯推理等學科素養(yǎng).[解題思路]對于命題，因為，所以，所以命題為真命題，為假命題；對于命題，當時，，，不成立，所以命題為假命題，為真命題.故選C.3.B[命題立意]本題考查判斷兩個集合的包含關系，交并補混合運算，利用Venn圖求集合，意在考查數(shù)形結合等學科素養(yǎng).[解題思路]因為，等價于，等價于，且，不相等，可知集合是集合的真子集，故A錯誤；且，故B正確；據(jù)此作出韋恩圖，可知，，故CD錯誤.故選B.4.D[命題立意]本題考查求在曲線上一點處的切線方程（斜率），基本初等函數(shù)的導數(shù)公式，導數(shù)的運算法則，由奇偶性求參數(shù)，意在考查數(shù)學運算等學科素養(yǎng).[解題思路]因為為奇函數(shù)，且定義域為，所以，即，所以，經(jīng)檢驗符合題意，則，曲線在點處的切線斜率為，又，所以曲線在點處的切線方程為，即.故選D.5.D[命題立意]本題考查計算幾個數(shù)的中位數(shù)、平均數(shù)、極差、方差，總體百分位數(shù)的估計，意在考查數(shù)據(jù)分析等學科素養(yǎng).[解題思路]，所以男生樣本數(shù)據(jù)的分位數(shù)是86，故A正確；男生樣本數(shù)據(jù)的中位數(shù)為，男生樣本數(shù)據(jù)的眾數(shù)為90，故B正確；女生樣本數(shù)據(jù)的平均數(shù)為，女生樣本數(shù)據(jù)中去掉一個最高分和一個最低分后所得數(shù)據(jù)的平均數(shù)為，故C正確；女生樣本數(shù)據(jù)中去掉一個最高分和一個最低分后所得數(shù)據(jù)的平均數(shù)不變，但是極差變小，所以方差變小，故D錯誤.故選D.6.C[命題立意]本題考查平面向量的混合運算，利用平面向量基本定理求參數(shù)，意在考查轉化與化歸等學科素養(yǎng).[解題思路]因為，所以，即，即，又，，不共線，所以所以.故選C.7.A[命題立意]本題考查球的體積的有關計算，多面體與球體內切外接問題，意在考查數(shù)形結合、直觀想象等學科素養(yǎng).[解題思路]設正四棱錐的內切球的半徑為，為底面中心，由體積為得，連接，平面，球心在上，，取的中點，連接，，設點在側面上的投影為點，則點在上，且，，設球心到四棱錐頂點的距離為，所以，，解得，所以.故選A.8.A[命題立意]本題考查求直線交點坐標，已知雙曲線的方程求雙曲線的漸近線，求雙曲線的離心率或離心率的取值范圍，意在考查數(shù)形結合、轉化與化歸、數(shù)學運算等學科素養(yǎng).[解題思路]如圖，設雙曲線在點處的切線為，切線與軸交于點，根據(jù)題意點在雙曲線第一象限，由，得，所以，則在點的切線斜率為，所以在點的切線方程為，令，得，所以點，設點，，漸近線方程為，聯(lián)立解得所以點，同理可得，又，，所以點是線段的中點，所以，即得，即，解得.又，所以，即，所以雙曲線的離心率.故選A.9.BCD[命題立意]本題考查判斷數(shù)列的增減性，確定數(shù)列中的最大（小）項，意在考查數(shù)學運算等學科素養(yǎng).[解題思路]設第項為的最大項，則即所以又，所以或，故數(shù)列中與均為最大項，且，當時，數(shù)列單調遞減，故BCD正確；當趨向正無窮大時，無限趨向于0且大于0，且，所以不是數(shù)列的最小項，且數(shù)列無最小值，故A錯誤.故選BCD.10.ABD[命題立意]本題考查拋物線中的參數(shù)范圍問題，直線與拋物線交點相關問題，根據(jù)韋達定理求參數(shù)，意在考查數(shù)形結合、數(shù)學運算等學科素養(yǎng).[解題思路]因為拋物線的焦點為，且直線經(jīng)過點，所以，則，解得：，故A正確；所以拋物線方程為：，則，設過點作斜率為的直線的方程為：，聯(lián)立消去可得：，顯然，，解得或，故C錯誤；由韋達定理可得：，，故B正確；因為，，所以，令，則，則，所以的取值范圍是，故D正確.故選ABD.11.ACD[命題立意]本題考查已知求解析式，函數(shù)奇偶性的定義與判斷，求含（型）函數(shù)的值域和最值，三角恒等變換的化簡問題.意在考查轉化與化歸、知識遷移與創(chuàng)新應用等學科素養(yǎng).[解題思路]因為，可知的定義域為，當時，，可得，，當且僅當時，等號成立，所以函數(shù)的最大值為2，故A正確；當時，則，令，則，可得，所以函數(shù)不為奇函數(shù)，故B錯誤；當時，，則，，且對任意，，所以，故C正確；因為，若，可得，，則，，解得，，故D正確.故選ACD.12.[命題立意]本題考查三角函數(shù)的化簡、求值——同角三角函數(shù)基本關系，用和、差角的正弦公式化簡、求值，意在考查數(shù)學運算等學科素養(yǎng).[解題思路]由，得解得，，所以.[答案]13.[命題立意]本題考查等比數(shù)列通項公式的基本量計算，等比數(shù)列的性質及應用，求等比數(shù)列前項和，意在考查數(shù)學運算等學科素養(yǎng).[解題思路]因為，所以，又因為，所以，，從而，又，所以，所以.[答案]14.[命題立意]本題考查基本不等式求和的最小值，意在考查邏輯推理、轉化與化歸等學科素養(yǎng).[解題思路]由，得，設，則，，，由，當且僅當時，取等號，所以.[答案]15.[命題立意]本題考查二倍角的正弦公式，正弦定理邊角互化的應用，三角形面積公式及其應用，余弦定理解三角形，意在考查數(shù)形結合、數(shù)學運算等學科素養(yǎng).[解]（1）在中，因為，由正弦定理可得，，，即，所以，，，故，即.（2）因為為的重心，的延長線交于點，且，所以點為中點，且，在中，，，即，在和中，，化簡得，所以，故，所以的面積為.16.[命題立意]本題考查證明線面平行，面面角的向量求法，意在考查數(shù)形結合、直觀想象、邏輯推理等學科素養(yǎng).[解]（1）證明：取的中點，連接，，由是的中點，得，且，由是的中點，得，且，則有，，四邊形是平行四邊形，于是，又平面，平面，所以平面.（2）四棱柱中，平面，，則直線，，，兩兩垂直，以為原點，直線，，分別為，，軸建立空間直角坐標系，如圖，有，，，，，，則有，，，設平面與平面的法向量分別為，，則有令，得，令，得，因此.所以平面與平面的夾角余弦值為.17.[命題立意]本題考查根據(jù)，，求橢圓標準方程，橢圓中的直線過定點問題，意在考查數(shù)形結合、數(shù)學運算等學科素養(yǎng).[解]（1）設，，且，因為，，又，所以，解得，又點在上，所以①，又②，聯(lián)立①②，解得，，所以的標準方程為.（2）設直線的方程為，直線的方程為，由消得到，所以，得到，所以，同理可得，，所以為定值，即直線的斜率為定值，定值為.18.[命題立意]本題考查函數(shù)對稱性的應用，利用導數(shù)證明不等式，利用導數(shù)研究不等式恒成立問題，意在考查數(shù)學運算、轉化與化歸、邏輯推理等學科素養(yǎng).[解]（1）依題意，設圖象上任意一點坐標為，則其關于對稱的點在圖象上，則，則，，故，.（2）令，，則在恒成立，又，且在上是連續(xù)函數(shù)，則為的一個極大值點，，，下證當時，在恒成立，令，，當，，在上單調遞增，當，，在上單調遞減，故，在上恒成立，又，則時，恒成立，綜上，.（3）證明：由（2）可知：，則，即，則.又由（2）可知：在上恒成立，則在上恒成立且當且僅當時取等，令，，則，即，則，綜上，，得證.19.[命題立意]本題考查計算古典概型問題的概率，利用全概率公式求概率，意在考查知識遷移與創(chuàng)新應用、邏輯推理、轉化與化歸等學科素養(yǎng).[解]（1）1號球放入1號盒中的概率為，此時2，3號球分別放入2，3號盒中；1號球放入2號盒中的概率為，欲使3號球放入3號盒中，則2號球需放入1號盒中，概率為，1號球放入3號盒中時，此時3號球不能放入3號盒中.綜上所述，.（2）1號球放入1號，4號，5號，…，號盒中的概率為，此時3號球可放入3號盒中；1號球放入2號盒中的概率為，欲使3號球放入3號盒中，則2號球需放入1號，4號，5號，…，號盒中，概率為，1號球放入3號盒中時，此時3號球不能放入3號盒中；綜上所述，.（3）1號球