數(shù)學(xué)學(xué)案：二元一次不等式（組）與簡單的線性規(guī)劃問題

學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精教材習(xí)題點(diǎn)撥1．解：（1)3x＋4＞0，原不等式可化為x＞－eq\f(4，3).所表示的平面區(qū)域如圖（1）陰影部分．(2）2y－3≤0,原不等式可化為y≤eq\f(3，2）。所表示的平面區(qū)域如圖（2）中陰影部分．（3)3x＋2y＜－4。所表示的平面區(qū)域如圖(3)中陰影部分．（4)2x－y－2≤0，所表示的平面區(qū)域如圖（4)中陰影部分．2．解：（1）eq\b\lc\｛\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋2y＋4＜0，x－y＋1≤0））所表示的平面區(qū)域如圖(1)中陰影部分．(2)eq\b\lc\｛\rc\（\a\vs4\al\co1（3x－y＋6＞0，2x＋3y－1≥0，2x－4＜0）)所表示的平面區(qū)域如圖（2)中的陰影部分．(3）eq\b\lc\｛\rc\（\a\vs4\al\co1(x＜3,x－2y≤0，3x＋2y≥6,3y＜x＋9))所表示的平面區(qū)域如圖(3)中的陰影部分．（4）eq\b\lc\｛\rc\（\a\vs4\al\co1（1＜x＋2y≤4，－2≤2x－y≤－1）)即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1（x＋2y＞1,，x＋2y≤4，，2x－y≥－2，，2x－y≤－1。)）所表示的平面區(qū)域如圖（4）中的陰影部分．圖（4)3．解：設(shè)甲廠分配到的貸款為x萬元,乙廠分配到的貸款為y萬元,由題意得：eq\b\lc\｛\rc\（\a\vs4\al\co1（x＋y＜250，,20％x＋25%y≥60，,x≥0,，y≥0，)）可化簡為eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1（x＋y＜250，,4x＋5y≥1200，,x≥0，,y≥0.)）其相應(yīng)的平面區(qū)域如圖中陰影部分所示．練習(xí)B（1)解：直線AC斜率為：kAC＝eq\f(3，5），∴直線AC的方程為y－1＝eq\f(3,5）(x＋2），即3x－5y＋11＝0.直線BC斜率為：kBC＝－eq\f(3,2），∴直線BC的方程為y－4＝－eq\f(3,2）(x－3)，即3x＋2y－17＝0.直線AB方程為y＝1。由如圖(1)所示可行域得二元一次不等式組為eq\b\lc\｛\rc\（\a\vs4\al\co1（3x－5y＋11≥0,，3x＋2y－17≤0,,y≥1.））(2）解：設(shè)C點(diǎn)坐標(biāo)為(x1，y1)，D點(diǎn)坐標(biāo)為（x2，y2），直線AB的方程為：2x＋3y－1＝0,AB＝eq\r(13)?！連C＝AB，∴eq\r（(x1－2)2＋（y1＋1）2)＝eq\r(13）。①又AB⊥BC，∴kBC·kAB＝－1，即eq\f(y1＋1，x1－2）＝eq\f（3,2）。②由①②組成方程組解得eq\b\lc\{\rc\（\a\vs4\al\co1（x1＝0，,y1＝－4)）或eq\b\lc\｛\rc\（\a\vs4\al\co1（x1＝4，,y1＝2.))同理解得eq\b\lc\｛\rc\(\a\vs4\al\co1(x2＝－3，,y2＝－2））或eq\b\lc\{\rc\（\a\vs4\al\co1(x2＝1，，y2＝4.））A、B、C、D依逆時(shí)針順序排列，∴eq\b\lc\｛\rc\(\a\vs4\al\co1(x1＝0,，y1＝－4））不合題意，∴C點(diǎn)坐標(biāo)為(4，2）．不合題意，∴D點(diǎn)坐標(biāo)為（1,4）．∴直線AD的方程為:3x－2y＋5＝0。直線BC的方程為:3x－2y－8＝0.直線DC的方程為：2x＋3y－14＝0.由圖（2)所示可行域得二元一次不等式組為eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(3x－2y＋5＞0，，3x－2y－8＜0,,2x＋3y－14＜0，，2x＋3y－1＞0。）)練習(xí)1．解:(1）作出線性約束條件所表示的可行域，如圖所示，作出直線l0:5x＋8y＝0.將l0在可行域內(nèi)平移到l，當(dāng)l過點(diǎn)eq\b\lc\（\rc\)（\a\vs4\al\co1(\f（9，4)，\f(15,4）））時(shí)，z＝5x＋8y取最大值，l的方程為:5x＋8y＝eq\f(165,4）,即zmax＝eq\f（165，4）。（2)作出線性約束條件所表示的可行域，如圖所示，作出直線l0:3x＋5y＝0.設(shè)5x＋3y＝15與y＝x＋1的交點(diǎn)為A。將直線l0在可行域內(nèi)平移到l，當(dāng)直線l過A點(diǎn)時(shí)，z取最大值．∵eq\b\lc\{\rc\（\a\vs4\al\co1(5x＋3y＝15，,y＝x＋1，)）∴eq\b\lc\｛\rc\（\a\vs4\al\co1(x＝\f(3，2)，，y＝\f（5,2），））即Aeq\b\lc\(\rc\）(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)，\f（5,2))）.zmax＝3×eq\f（3，2)＋5×eq\f(5,2）＝17.2．解：設(shè)A倉庫調(diào)往甲地機(jī)器x臺(tái)，B倉庫調(diào)往乙地機(jī)器y臺(tái),則B倉庫調(diào)往甲地機(jī)器(10－x）臺(tái),A倉庫調(diào)往乙地機(jī)器（8－y）臺(tái)，設(shè)運(yùn)輸費(fèi)用為z，由題意,得即eq\b\lc\{\rc\（\a\vs4\al\co1(0≤x≤10,,0≤y≤8,,x－y≤6，,x－y≥2，，x、y∈N＋。））設(shè)目標(biāo)函數(shù)z＝400x＋800(8－y)＋300(10－x)＋500y?！鄗＝100x－300y＋9400.作出上述限制條件所表示的可行域,如圖所示．作直線l0：x－3y＝0.將l0向可行域平移，當(dāng)l0過A點(diǎn)時(shí)，z有最小值．由得A（10,8)．此時(shí)zmin＝10×100－300×8＋9400＝8000(元)．答：A運(yùn)往甲地10臺(tái)，乙地0臺(tái)；B運(yùn)往乙地8臺(tái)，甲地0臺(tái)時(shí)運(yùn)費(fèi)最?。?．解:設(shè)每月生產(chǎn)甲產(chǎn)品x件,乙產(chǎn)品y件，設(shè)總收入為z，則目標(biāo)函數(shù)z＝3000x＋2000y。由題意得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x≥0，，y≥0，,x、y∈N＋，,x＋2y≤400，,2x＋y≤500.)）作出上述限制條件所表示的可行域（如圖所示)，作直線l0：3000x＋2000y＝0，將l0向可行域平移，設(shè)x＋2y＝400與2x＋y＝500交點(diǎn)為A,當(dāng)l0平移到l1過A點(diǎn)時(shí)，z取最大值．∵eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1（x＋2y＝400，，2x＋y＝500，））∴eq\b\lc\｛\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝200，,y＝100。）)即A（200,100）．∴zmax＝3000×200＋2000×100＝800000.即每月生產(chǎn)甲200件，乙100件可獲最大銷售總收入800000元．4．解:設(shè)需食物A為xkg，食物B為ykg，花費(fèi)為z元．則目標(biāo)函數(shù)z＝28x＋21y.由題意，得eq\b\lc\｛\rc\(\a\vs4\al\co1(0.105x＋0.105y≥0。075，,0。07x＋0.14y≥0。06，,0。14x＋0.07y≥0。06，,x≥0，,y≥0.）)即.作出上述不等式組表示的可行域．如圖陰影部分所示．作直線l0：28x＋21y＝0，即4x＋3y＝0，將l0向可行域平移，設(shè)7x＋7y＝5與14x＋7y＝6的交點(diǎn)為A，當(dāng)l0平移至l1，l1過點(diǎn)A時(shí),z取最小值．∵eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1（7x＋7y＝5，,14x＋7y＝6，）)∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝\f(1，7），,y＝\f(4,7)，))即Aeq\b\lc\（\rc\）(\a\vs4\al\co1(\f（1,7），\f(4，7）)).∴zmin＝28×eq\f（1,7)＋21×eq\f(4，7）＝16.答：需食物A為eq\f(1，7）kg，食物B為eq\f(4，7）kg時(shí)，既能滿足營養(yǎng)專家指出的飲食要求，同時(shí)花費(fèi)也最低．習(xí)題3－5A1．解：(1）如圖(1)；(2)如圖(2）;(3）如圖(3)；(4)如圖（4)．2．解:（1)eq\b\lc\｛\rc\(\a\vs4\al\co1(y≥2x＋1，，x＋2y＜4））表示的平面區(qū)域如圖（1)．(2）表示的平面區(qū)域如圖(2)．(3)表示的平面區(qū)域如圖(3)．（4）eq\b\lc\｛\rc\(\a\vs4\al\co1(x－y＋1≤0，,3x＋5y≤30,，x≥－2））表示的平面區(qū)域如圖（4)．3．解：作出不等式組eq\b\lc\｛\rc\（\a\vs4\al\co1(2x＋3y－24≤0，,x－y≤7，,x≥0，，y≥0））表示的平面區(qū)域（如圖所示）．作直線l0：2x＋3y＝0。將直線l0向可行域移動(dòng)，由圖可知，當(dāng)直線移至2x＋3y－24＝0與之重合時(shí)，z＝2x＋3y取得最大值．由解得eq\b\lc\｛\rc\（\a\vs4\al\co1（x＝9，,y＝2，)）∴A（9，2）．∴zmax＝2×9＋3×2＝24或zmax＝3×8＝24.∴函數(shù)z＝2x＋3y的最大值為24.4．解：作出不等式組eq\b\lc\｛\rc\（\a\vs4\al\co1(2x＋5y≥15，,x－5y≥0，，6≤x≤8））表示的平面區(qū)域(如圖所示）．作直線l0：7x＋y＝0,將直線l0向可行域移動(dòng)．如圖所示，當(dāng)直線移至B點(diǎn)時(shí),7x＋y取得最大值．由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x－5y＝0,,x＝8，）)得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝8,，y＝\f(8,5）.））∴Beq\b\lc\（\rc\）（\a\vs4\al\co1(8，\f（8,5）)).∴z的最大值為7×8＋eq\f（8，5）＝eq\f(288，5）.5．解：設(shè)一天生產(chǎn)甲產(chǎn)品x件，乙產(chǎn)品y件，獲得利潤z＝1500x＋2000y，則：eq\b\lc\｛\rc\(\a\vs4\al\co1（4x≤16,，4y≤12，,x＋2y≤8，,x＞0，y＞0，且x，y均為整數(shù))),由畫圖可知，生產(chǎn)4件甲產(chǎn)品，2件乙產(chǎn)品，才能獲得最大的利潤．6．解：設(shè)截兩種鋼板分別為x張、y張．目標(biāo)函數(shù)z＝x＋y.由題意，得eq\b\lc\｛\rc\(\a\vs4\al\co1（2x＋y≥15,，x＋2y≥18，，x＋3y≥27,，x，y∈N＋。）)作出不等式組表示的平面區(qū)域(如圖），作直線l0：x＋y＝0。由eq\b\lc\｛\rc\（\a\vs4\al\co1（x＋3y＝27,,2x＋y＝15，）)得A(3。6,7。8)．當(dāng)直線l0平移過A點(diǎn)時(shí)，z＝3.6＋7.8＝11.4.令z＝x＋y＝12得最優(yōu)解（4，8)和（3,9)．答：分別截這兩種鋼板4張、8張或3張、9張，可使所用兩種鋼板的張數(shù)最少．習(xí)題3－5B1．解:（1）如圖（1）．(2）如圖(2）．2．解：設(shè)二次函數(shù)表達(dá)式為y＝ax2＋bx＋c，圖象過原點(diǎn)，則有c＝0，∴y＝ax2＋bx。由－1≤f（－1)≤2≤f（1)≤4,得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1（－1≤a－b≤2，①，2≤a＋b≤4.②）)∴f(－2）＝4a－2b.作直線l0：2a－b＝0.根據(jù)①②作可行域,如圖所示．將l0向可行域平移．可知,在B點(diǎn)處f（－2）取最小值,在A點(diǎn)處取最大值，A（a1，b1），B（a2，b2）．∵eq\b\lc\{\rc\（\a\vs4\al\co1(a1＋b1＝4,,a1－b1＝2，))∴eq\b\lc\{\rc\（\a\vs4\al\co1（a1＝3，,b1＝1.))∴A（3，1）.eq\b\lc\｛\rc\（\a\vs4\al\co1（a2＋b2＝2，,a2－b2＝－1。))∴eq\b\lc\{\rc\（\a\vs4\al\co1(a2＝\f（1,2)，,b2＝\f（3，2))）∴Beq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1（\f（1，2）,\f（3,2）)).∴4×eq\f(1，2）－2×eq\f（3，2）≤f（－2）≤4×3－2×1，即－1≤f(－2）≤10.∴f（－2）的取值范圍為［－1，10］．另解:設(shè)4a－2b＝m（a－b)＋n(a＋b），則eq\b\lc\{\rc\（\a\vs4\al\co1(4＝m＋n,，－2＝－m＋n，)）得eq\b\lc\{\rc\（\a\vs4\al\co1（m＝3，,n＝1，））即4a－2b＝3(a－b）＋（a＋b）．∵－3≤3（a－b)≤6，2≤a＋b≤4，∴－1≤4a－2b≤10.∴f(－2）的取值范圍為[－1,10］．3．解：設(shè)電視臺(tái)每周播放連續(xù)劇甲x次，連續(xù)劇乙y次，收視觀眾為z萬人，則有eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(80x＋40y≤320，,x＋y≥6，,x,y∈N＋.))即eq\b\lc\｛\rc\（\a\vs4\al\co1（2x＋y≤8，，x＋y≥6，，x，y∈N＋))目標(biāo)函數(shù)z＝60x＋20y,l0:3x＋y＝0.作出不等式組的可行域如圖所示．將直線l0向可行域平移，當(dāng)直線過A點(diǎn)時(shí),z取最大值．由eq\b\lc\｛\rc\(\a\vs4\al\co1(2x＋y＝8，,x＋y＝6，)）得A（2，4）．zmax＝60×2＋20×4＝200（萬人)．答：電視臺(tái)每周應(yīng)播放連續(xù)劇甲2次，連續(xù)劇乙4次，才能使收視的觀眾最多．4．解:設(shè)安排x名Ⅰ級(jí)車工，y名Ⅱ級(jí)車工，支出費(fèi)用z元，則eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(240x＋160y≥2400，，x，y∈N＋，,6≤y≤12，,0≤x≤8。))即eq\b\lc\{\rc\（\a\vs4\al\co1（3x＋2y≥30,，0≤x≤8,，6≤y≤12，,x，y∈N＋.）)目標(biāo)函數(shù)z＝56x＋36y＋240×（1－97％）×2x＋160×（1－95.5%)×2y＝70。4x＋50.4y。將l0：70。4x＋50.4y＝0向可行域平移，可知在B點(diǎn)處取得最小值（如圖所示)．由eq\b\lc\｛\rc\（\a\vs4\al\co1(3x＋2y＝30，，y＝6，））得eq\b\lc\{\rc\（\a\vs4\al\co1(x＝6,，y＝6.)）∴B（6,6）．∴zmin＝70.4×6＋50.4×6＝724。8（元）．答：安排6名Ⅰ級(jí)車工,6名