數(shù)學(xué)學(xué)案：函數(shù)

學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精2。1.1函數(shù)1．函數(shù)的定義傳統(tǒng)定義在一個變化過程中，有兩個變量x和y，如果給定了一個x值，相應(yīng)地就確定唯一的一個y值，那么我們稱y是x的函數(shù)，其中x是自變量，y是因變量近代定義設(shè)集合A是一個非空的數(shù)集，對A中的任意數(shù)x，按照確定的法則f，都有唯一確定的數(shù)y與它對應(yīng),則這種對應(yīng)關(guān)系叫做集合A上的一個函數(shù),記作y＝f(x),x∈A，其中x叫做自變量,自變量的取值范圍（數(shù)集A)叫做這個函數(shù)的定義域．所有函數(shù)值構(gòu)成的集合{y|y＝f(x)，x∈A｝叫做這個函數(shù)的值域．函數(shù)y＝f(x)也經(jīng)常寫作函數(shù)f或函數(shù)f（x)(1)如果自變量取a，則把由對應(yīng)法則f確定的值y稱為函數(shù)在a處的函數(shù)值，記作y＝f（a)或y｜x＝a；（2)由函數(shù)的定義，我們要檢驗兩個變量之間是否具有函數(shù)關(guān)系，只要檢驗：①定義域和對應(yīng)法則是否給出;②根據(jù)給出的對應(yīng)法則，自變量x在其定義域中的每一個值,是否都能確定唯一的函數(shù)值y。（3)函數(shù)的三要素：由函數(shù)的定義可知，一個函數(shù)的構(gòu)成要素為:定義域、對應(yīng)法則、值域，這三個要素又稱為函數(shù)的三要素．初中所學(xué)的函數(shù)的三要素如下表：函數(shù)定義域?qū)?yīng)法則值域正比例函數(shù)Rf（x)＝kx（k≠0)R反比例函數(shù){x|x≠0｝f（x）＝eq\f(k，x）(k≠0）｛y｜y≠0}一次函數(shù)Rf（x）＝kx＋b（k≠0)R二次函數(shù)Rf（x）＝ax2＋bx＋c(a≠0）當(dāng)a＞0時，當(dāng)a＜0時,（4)由于函數(shù)的值域被函數(shù)的定義域和對應(yīng)法則完全確定,這樣確定一個函數(shù)就只需兩個要素：定義域和對應(yīng)法則．因此，定義域和對應(yīng)法則為“y是x的函數(shù)”的兩個基本條件，缺一不可．（5)對符號f（x)的理解①f(x）表示關(guān)于x的函數(shù),又可以理解為自變量x對應(yīng)的函數(shù)值，是一個整體符號，不能分開寫．符號f可以看作是對“x”施加的某種法則或運算，例如f（x)＝x2－x＋5,當(dāng)x＝2時,看作對“2”施加了這樣的運算法則：先平方，再減去2,最后加上5;②對于f（x）中x的理解，雖然f（x)＝3x與f（x＋1)＝3x從等號右邊的表達(dá)式來看是一樣的，但由于f施加法則的對象不一樣(一個為x,而另一個為x＋1），因此函數(shù)解析式也是不一樣的；③函數(shù)f（x)并不一定是解析式,它可以是其他任意的一個對應(yīng)法則，如圖象、表格、文字、描述等;④f（x)與f（a）的關(guān)系:f（x)表示自變量為x的函數(shù)，表示的是變量，f(a）表示當(dāng)x＝a時的函數(shù)值，是值域內(nèi)的一個值，是常量，如f（x)＝x＋1，當(dāng)x＝3時，f（3）＝3＋1＝4.【例1－1】下列式子能確定y是x的函數(shù)的是（)①x2＋y2＝2；②;③.A．①②B．②③C．②D．①③解析：對某一范圍內(nèi)的任意一個x，按照某種對應(yīng)法則，都有唯一確定的y值和它對應(yīng),則稱y是x的函數(shù)．①由x2＋y2＝2,得，因此由它不能確定y是x的函數(shù)．②由知，當(dāng)x在｛x|x≠1}中任取一個值時，由它可以確定唯一的y值與之對應(yīng),故由它可以確定y是x的函數(shù)．③由得x不存在，故由它不能確定y是x的函數(shù)．答案：C【例1－2】判斷下列對應(yīng)f是否為集合A到集合B的函數(shù)？(1）A＝{1，2,3}，B＝{7，8，9｝，f(1)＝f（2)＝7,f(3)＝8；(2)A＝Z，B＝{－1，1}，n為奇數(shù)時，f（n)＝－1；n為偶數(shù)時，f（n)＝1；（3）A＝B＝{1，2,3}，f(x）＝2x－1.分析：判斷一個對應(yīng)f是否為集合A到集合B的函數(shù)，首先要判斷它是否滿足A中的任意一個元素在B中都有唯一確定的值與之對應(yīng)．若滿足，且A，B又是兩個非空數(shù)集,則該對應(yīng)是函數(shù)；若不滿足，則它一定不是函數(shù)．解:(1）集合A中的元素沒有剩余，即A中的任何一個元素在B中都有唯一確定的元素與之對應(yīng)，同時集合A和B都是數(shù)集，故對應(yīng)f是集合A到集合B的函數(shù)．同理，(2)中的對應(yīng)f也是集合A到集合B的函數(shù)．（3）由于f(3)＝2×3－1＝5B，即集合A中的元素3在集合B中沒有元素與之對應(yīng)，所以對應(yīng)f不是集合A到集合B的函數(shù)．點技巧判斷一個對應(yīng)法則是否是函數(shù)關(guān)系的方法從以下三個方面判斷：（1）A,B必須都是非空數(shù)集;（2)A中任一實數(shù)在B中必須有實數(shù)和它對應(yīng);（3)A中任一實數(shù)在B中和它對應(yīng)的實數(shù)是唯一的．注意：A中元素?zé)o剩余，B中元素允許有剩余．2．函數(shù)的定義域和值域定義域(1)函數(shù)的定義域是函數(shù)y＝f（x）的自變量x的取值范圍．(2)對于函數(shù)的定義域，要從以下兩方面考慮：①定義域不同，而對應(yīng)法則相同的函數(shù),應(yīng)看作兩個不同的函數(shù)，如y＝x2（x∈R）與y＝x2(x＞0）;②若未加以特別說明，函數(shù)的定義域就是指使這個式子有意義的所有實數(shù)x的取值集合，在實際問題中，還必須使x所代表的具體量符合實際意義．(3）求函數(shù)定義域的原則:①求函數(shù)的定義域之前,盡量不要對函數(shù)的解析式變形，以免引起定義域的變化；②求函數(shù)的定義域就是求使得函數(shù)解析式有意義的自變量的取值范圍．a(chǎn)．當(dāng)f（x)是整式時，其定義域為R；b．當(dāng)f（x)是分式時，其定義域是使分母不為0的實數(shù)的集合；c．當(dāng)f（x)是偶次根式時，其定義域是使根號內(nèi)的式子大于或等于0的實數(shù)的集合;d．由實際問題確定的函數(shù),其定義域要受實際問題的制約．【例2－1】求函數(shù)y＝（x－1)0＋的定義域．解:要使函數(shù)有意義，則要解得x＞－1，且x≠1。所以這個函數(shù)的定義域為｛x｜x＞－1，且x≠1}．值域求函數(shù)的值域問題首先必須明確兩點：一是值域的概念，即對于定義域A上的函數(shù)y＝f(x)，其值域就是指集合C＝｛y|y＝f(x）,x∈A}；二是函數(shù)的定義域、對應(yīng)法則是確定函數(shù)的依據(jù)．【例2－2】求下列函數(shù)的值域:（1)（x≥4）；（2）y＝2x＋1，x∈｛1，2,3，4，5}．解：（1)∵x≥4，∴.∴，即y≥1?！嗪瘮?shù)y＝－1（x≥4)的值域為{y｜y≥1｝．（2)∵y＝2x＋1，且x∈｛1，2,3,4，5}，∴當(dāng)x＝1時，y＝3；當(dāng)x＝2時，y＝5；當(dāng)x＝3時，y＝7；當(dāng)x＝4時，y＝9;當(dāng)x＝5時,y＝11?！嗪瘮?shù)的值域是｛3,5,7，9,11}．辨誤區(qū)求函數(shù)值域易疏忽的問題（1）求值域時一定要注意定義域，如函數(shù)y＝x2－4x＋6的值域與函數(shù)y＝x2－4x＋6（x∈[1,5））的值域是不同的；(2）在利用換元法求函數(shù)的值域時,一定要注意換元后新元取值范圍的變化，例如求函數(shù)y＝x＋eq\r（2x－1）的值域時，令t＝eq\r（2x－1）,將函數(shù)轉(zhuǎn)化為關(guān)于自變量為t的二次函數(shù)后，自變量t的取值范圍是t≥0。3．函數(shù)相等當(dāng)且僅當(dāng)兩個函數(shù)的三要素相同時，這兩個函數(shù)是相等的．由于函數(shù)的值域是由函數(shù)的定義域和對應(yīng)法則決定的，因此兩個函數(shù)的定義域和對應(yīng)法則相同,那么這兩個函數(shù)的值域就相同．即確定一個函數(shù)只需要兩個要素：定義域和對應(yīng)法則．因此判斷兩個函數(shù)是否為同一個函數(shù)，只需判斷它們的定義域和對應(yīng)法則是否相同即可．判斷兩個函數(shù)是否相等的步驟是:(1）求定義域；（2）判斷定義域是否相同，若定義域不同,則這兩個函數(shù)不相等，若定義域相同，再繼續(xù)下一步；(3)化簡函數(shù)的解析式,若解析式相同即對應(yīng)法則相同，則這兩個函數(shù)相等，否則這兩個函數(shù)不相等．注意：上面的步驟（2)和（3)的順序不能顛倒，否則就會出現(xiàn)錯誤．比如，函數(shù)y＝eq\f（x3,x）的定義域是(－∞，0)∪(0，＋∞),函數(shù)y＝x2的定義域是R，由于這兩個函數(shù)的定義域不相同，則這兩個函數(shù)不相等．但是若化簡函數(shù)y＝eq\f(x3,x)的解析式為y＝x2，則會錯得函數(shù)y＝eq\f(x3,x)與函數(shù)y＝x2相等．【例3－1】下列函數(shù)與函數(shù)g(x)＝2x－1(x＞2）相等的是（)A．f（m)＝2m－1(m＞2)B．f（x)＝2x－1(x∈R）C．f（x)＝2x＋1（x＞2）D．f(x)＝x－2（x＜－1)解析:對于A，y＝f（m）與y＝g（x）的定義域與對應(yīng)法則均相同，所以兩個函數(shù)相等;對于B，兩個函數(shù)的定義域不同，所以兩個函數(shù)不相等；對于C，兩個函數(shù)的對應(yīng)法則不同,所以兩個函數(shù)不相等；對于D，兩個函數(shù)的定義域與對應(yīng)法則都不相同，所以兩個函數(shù)不相等．答案：A【例3－2】判斷下列各組中的函數(shù)f（x）與g（x）是否相等，并說明理由:(1）f(x）＝x2，g（x)＝（x＋1）2；（2）f(x)＝(x－1)0,g（x）＝1；(3）f(x)＝x，g（x)＝；(4）f(x）＝｜x|,g（x)＝.分析：解：(1）定義域相同都是R,但是它們的解析式不同，也就是對應(yīng)法則不同,故兩個函數(shù)不相等．（2）f(x)的定義域是｛x｜x≠1}，g（x)的定義域為R，它們的定義域不同，故兩個函數(shù)不相等．(3）定義域相同都是R.但是f(x)＝x，g(x)＝|x｜，即它們的解析式不同，也就是對應(yīng)法則不同，故兩個函數(shù)不相等．（4)定義域相同都是R，解析式化簡后都是y＝｜x|,即對應(yīng)法則相同,那么值域必相同，這兩個函數(shù)的三要素完全相同，故兩個函數(shù)相等．釋疑點滿足什么條件的兩個函數(shù)相等（1)只要兩個函數(shù)的定義域相同，并且對應(yīng)法則完全一致，那么這兩個函數(shù)就相等；(2）當(dāng)兩個函數(shù)的定義域和值域分別相同時，這兩個函數(shù)也不一定是同一函數(shù),因為函數(shù)的定義域和值域不能唯一確定函數(shù)的對應(yīng)法則,例如:函數(shù)f(x）＝x和函數(shù)f(x）＝－x的定義域相同，均為R;值域也相同,均為R，但這兩個函數(shù)不相等．4．區(qū)間區(qū)間是數(shù)學(xué)中表示“連續(xù)”的數(shù)集的一種形式．設(shè)a，b是兩個實數(shù)，而且a＜b。我們規(guī)定：（1)滿足a≤x≤b的全體實數(shù)x的集合，叫做閉區(qū)間,記作［a，b]；（2）滿足a＜x＜b的全體實數(shù)x的集合,叫做開區(qū)間，記作（a，b);（3）滿足a≤x＜b或a＜x≤b的全體實數(shù)x的集合，都叫做半開半閉區(qū)間,分別記作[a，b），（a，b］．這里的實數(shù)a與b叫做區(qū)間的端點．實數(shù)集R可以用區(qū)間（－∞，＋∞)表示，符號“∞”讀作“無窮大”，“－∞”讀作“負(fù)無窮大”，“＋∞”讀作“正無窮大"．我們可以把滿足x≥a，x＞a，x≤b，x＜b的全體實數(shù)x的集合分別表示為[a,＋∞），(a,＋∞)，(－∞，b]，（－∞，b）．區(qū)間的幾何表示如下表所示：定義名稱符號數(shù)軸表示{x｜a≤x≤b}閉區(qū)間[a,b］{x|a＜x＜b｝開區(qū)間(a，b)｛x｜a≤x＜b}半開半閉區(qū)間[a,b)｛x｜a＜x≤b｝半開半閉區(qū)間（a，b］{x｜x≥a}半開半閉區(qū)間[a,＋∞）{x｜x＞a}開區(qū)間(a,＋∞){x｜x≤a｝半開半閉區(qū)間(－∞，a］{x|x＜a}開區(qū)間（－∞,a)談重點對區(qū)間的理解(1)a與b叫做區(qū)間的端點,在數(shù)軸上表示區(qū)間時，若端點屬于這個區(qū)間,則端點用實心點表示；若端點不屬于這個區(qū)間，則端點用空心點表示．（2）區(qū)間是數(shù)軸上某一條線段或射線或直線上的所有點所對應(yīng)的實數(shù)構(gòu)成的集合,這是一種符號語言，即用端點對應(yīng)的實數(shù)、＋∞、－∞、方括號及圓括號等符號來表示數(shù)集．(3）區(qū)間符號內(nèi)的兩個字母(或數(shù))之間要用“，”隔開．（4）“＋∞”和“－∞”是符號,不是數(shù)，它們表示數(shù)的變化趨勢．(5）區(qū)間的形式必須是前面的數(shù)小，后面的數(shù)大，如(3,2)就不是區(qū)間，（2,2）也不是區(qū)間,即區(qū)間［a，b］隱含著a＜b這一條件．(6)在平面直角坐標(biāo)系中，(2,3）可表示點，也可表示區(qū)間，在應(yīng)用時要注意區(qū)分，不要混淆．【例4－1】將下列集合用區(qū)間表示出來：（1）｛x|x≥－1｝；（2)｛x|x＜0｝；（3）{x｜－1＜x≤5｝;（4)｛x|0＜x＜1或2≤x≤4｝．解:（1）{x｜x≥－1}＝[－1，＋∞)．(2）｛x｜x＜0}＝（－∞，0）．(3){x|－1＜x≤5}＝（－1,5]．（4）｛x｜0＜x＜1或2≤x≤4｝＝(0,1）∪[2,4］．【例4－2】已知區(qū)間［－2a,3a＋5]，求a的取值范圍．解：由題意可知3a＋5＞－2a，解之，得a＞－1。所以a的取值范圍是(－1，＋∞)．5．映射(1)映射的概念設(shè)A，B是兩個非空集合，如果按照某種對應(yīng)法則f,對A中的任意一個元素x,在B中有一個且僅有一個元素y與x對應(yīng)，則稱f是集合A到集合B的映射．這時，稱y是x在映射f的作用下的象,記作f(x)．于是y＝f(x),x稱作y的原象．映射f也可記為f:A→B，x→f（x）．其中A叫做映射f的定義域(函數(shù)定義域的推廣）,由所有象f（x）構(gòu)成的集合叫做映射f的值域，通常記作f(A)．如果映射f是集合A到集合B的映射，并且對于集合B中的任意一個元素,在集合A中都有且只有一個原象，這時我們說這兩個集合的元素之間存在一一對應(yīng)關(guān)系，并把這個映射叫做從集合A到集合B的一一映射．析規(guī)律對映射定義的理解應(yīng)掌握五點1．映射中的兩個集合A和B可以是數(shù)集、點集或由圖形組成的集合等；2．映射是有方向的，A到B的映射與B到A的映射往往是不相同的;3．映射要求對集合A中的每一個元素在集合B中都有元素與之對應(yīng)，而這個與之對應(yīng)的元素是唯一的，這樣集合A中元素的任意性和在集合B中對應(yīng)的元素的唯一性構(gòu)成了映射的核心;4．映射允許集合B中存在元素在集合A中沒有元素與之對應(yīng)；5．映射允許集合A中不同的元素在集合B中對應(yīng)相同的元素，即映射只能是“多對一”或“一對一”,不能是“一對多"．（2）映射與函數(shù)的關(guān)系函數(shù)是特殊的映射，即當(dāng)兩個集合A,B均為非空數(shù)集時，則從A到B的映射就是函數(shù)，所以函數(shù)一定是映射，而映射不一定是函數(shù)，映射是函數(shù)的推廣．【例5－1】下列對應(yīng)是A到B上的映射的是（)A．A＝N＋，B＝N＋f：x→|x－3｜B．A＝N＋，B＝｛－1，1，－2}f：x→(－1）xC．A＝Z，B＝Qf：x→D．A＝N＋,B＝Rf:x→x的平方根解析：A×A中的元素3在B中沒有與之對應(yīng)的元素B√對任意正整數(shù)，（－1）x均為1或－1，在B中都有唯一的1或－1與之對應(yīng)C×A中的元素0在f作用下無意義D×正整數(shù)在實數(shù)集R中有兩個平方根與之對應(yīng)答案：B【例5－2】設(shè)f:A→B是A到B的一個映射，其中A＝B＝{（x，y)|x,y∈R}，f：(x，y）→(x－y，x＋y）．求：（1)A中元素（－1,2）在B中的象；（2）B中元素(－1,2)的原象．解:（1)A中元素（－1，2）在B中的象為（－1－2,－1＋2)，即（－3，1)．（2）設(shè)(x,y)為B中元素（－1，2)的原象，則解得所以B中元素（－1，2)的原象為。6．具體函數(shù)的定義域的求法已知函數(shù)的解析式，求函數(shù)的定義域，就是求使得函數(shù)解析式有意義的自變量的取值范圍，常有以下幾種情況：函數(shù)y＝f（x）y＝f（x）的定義域f（x)是整式定義域為R.f（x）是分式定義域為使分母不為0的實數(shù)集合．f(x)是偶次根式定義域為使根號內(nèi)的式子大于或等于0的實數(shù)集合．f(x)＝x0定義域為｛x|x≠0｝．f(x）由幾部分?jǐn)?shù)學(xué)式子構(gòu)成定義域是使各部分?jǐn)?shù)學(xué)式子都有意義的實數(shù)集合，即使每個部分都有意義的實數(shù)集合的交集．f(x)是由實際問題列出定義域是使解析式本身有意義且符合實際意義的實數(shù)集合。注意：1．求函數(shù)定義域的一個基本原則是解析式不能化簡．2．函數(shù)的定義域是一個集合，必須用集合或區(qū)間表示出來．【例6】求下列函數(shù)的定義域：（1）;(2）；(3)；(4)。解:（1)由，得所以x≥1。故函數(shù)的定義域為[1，＋∞）．（2）由得x≠0，且x≠－1。故函數(shù)的定義域為{x｜x≠0，且x≠－1｝．（3）由得所以故函數(shù)的定義域為｛x|x＜0,且x≠－1}．(4)由得.所以x≤0,且.故函數(shù)的定義域為。7．抽象函數(shù)的定義域的求法求抽象函數(shù)的定義域是學(xué)習(xí)中的一個難點問題，常見的題型有如下兩種:①已知f(x)的定義域，求f(g(x））的定義域；②已知f（g（x）)的定義域，求f（x）的定義域．下面介紹一下這兩種題型的解法．（1)已知f(x）的定義域,求f（g（x）)的定義域．一般地，若f（x)的定義域為[a，b］，則f[g（x)]的定義域是指滿足不等式a≤g（x)≤b的x的取值范圍．其實質(zhì)是由g（x）的取值范圍，求x的取值范圍．(2)已知f［g（x)]的定義域，求f（x）的定義域．函數(shù)f［g（x)］的定義域為[a，b],指的是自變量x∈［a，b]．一般地，若f［g（x)]的定義域為[a，b］，則f（x）的定義域就是g(x）在區(qū)間［a,b］上的取值范圍（即g(x）的值域)．其實質(zhì)是由x的取值范圍，求g（x)的取值范圍．【例7－1】若函數(shù)f(x)的定義域為[－2,1］，求g(x）＝f(x)＋f(－x）的定義域．分析：由f（x)的定義域為［－2，1］,知對應(yīng)法則f作用的范圍是[－2，1]，而f（x）＋f(－x)的定義域是指當(dāng)x在什么范圍內(nèi)取值時，才能使x，－x都在[－2，1]這個區(qū)間內(nèi)，從而f(x)＋f(－x）有意義．解：∵由題意,得∴－1≤x≤1.∴g(x)＝f(x）＋f(－x)的定義域為［－1,1]．【例7－2】(1）已知f（x）的定義域為［0，1］,求函數(shù)f(x2＋1）的定義域；（2)已知f(2x－1）的定義域為［0，1］，求f（x）的定義域．分析：準(zhǔn)確理解定義域的概念，弄清f（x)與f（g（x))中x的區(qū)別是解題關(guān)鍵．解:（1）∵f(x2＋1）中的x2＋1的范圍與f（x）中的x的取值范圍相同，∴0≤x2＋1≤1。∴x＝0，即f(x2＋1）的定義域為{0}．（2）∵由題意知f（2x－1)中,x∈[0,1]，∴－1≤2x－1≤1.又∵f(2x－1)中2x－1的取值范圍與f（x)中的x的取值范圍相同,∴f(x）的定義域為[－1，1]．8．求函數(shù)的值域求函數(shù)的值域是一個比較復(fù)雜的問題,雖然在給定了函數(shù)的定義域及其對應(yīng)法則以后，值域就應(yīng)該完全確定了，但求值域要注意方法．常用的方法有:(1)分離常數(shù)法（2)反解法從y＝f(x）的解析式中求出x,得x＝g(y），通過求g(y)的定義域而得到原函數(shù)f（x）的值域．形如y＝eq\f（cx＋d,ax＋b）（a≠0)的函數(shù)求值域可用此法．(3）換元法通過換元簡化函數(shù)解析式，從而順利地求出函數(shù)的值域．(4)判別式法利用一元二次方程根的判別式求函數(shù)值域的方法．若一個函數(shù)式y(tǒng)＝f(x）能化為關(guān)于x的一元二次方程，則可利用Δ＝b2－4ac≥0求得函數(shù)的值域．點技巧應(yīng)用換元法和判別式法時應(yīng)注意的問題1．對于一些含根式的函數(shù)的值域問題，可以通過換元法轉(zhuǎn)化成易于求解的整式函數(shù)（如二次函數(shù)）來解決．特別值得注意的是，利用換元法求函數(shù)值域時,一定要注意輔助元的取值范圍,否則可能會產(chǎn)生錯誤．2．形如y＝eq\f(ax2＋bx＋c,dx2＋ex＋f）(ad≠0）的函數(shù)求值域都可用判別式法，將原式轉(zhuǎn)化得到關(guān)于x的整式方程，當(dāng)二次項系數(shù)含有字母時，必須分成二次項系數(shù)為零和不為零兩種情況進(jìn)行討論,只有當(dāng)二次項系數(shù)不為零時，才能用判別式，但當(dāng)原函數(shù)的定義域不為R時，慎用判別式．【例8－1】求函數(shù)的值域．解：＝＝?！?x＋5≠0,∴?！嗪瘮?shù)的值域為?！纠?－2】求函數(shù)的值域．解法一：.∵x2≥0，∴x2＋1≥1?！?＜≤2?！啵?≤y＜1?！嗪瘮?shù)的值域為[－1,1）．解法二：由,得.∵x2≥0，∴，即?！嘟獾茫?≤y＜1.∴函數(shù)的值域為［－1，1）．【例8－3】求函數(shù)的值域．分析：本題中含有根號,需要設(shè)法去掉根號，方法就是換元，將用t代替，則t≥0，x＝1－t2.解：∵令＝t(t≥0），則x＝1－t2.∴y＝2(1－t2)＋4t＝－2（t－1）2＋4≤4.∴所求函數(shù)的值域是（－∞，4]．【例8－4】求函數(shù)的值域．分析：把函數(shù)轉(zhuǎn)化為關(guān)于x