高一數(shù)學(xué)《考點題型技巧》精講與精練高分突破系列(人教A 版 2019必修第二冊)6. 4. 1-6. 4. 2 平面幾何中的向量方法、向量在物理中的應(yīng)用舉例

高一數(shù)學(xué)《考點?題型?技巧》精講與精練高分突破系列(人教A版2019必修第二冊)

6.4.1-6.4.2平面幾何中的向量方法、向量在物理中的應(yīng)用舉例

【考點梳理】

考點一向量方法解決平面幾何問題的步驟

用向量方法解決平面幾何問題的“三步曲”：

(1)建立平面幾何與向量的聯(lián)系，用向量表示問題中涉及的幾何元素，將平面幾何問題轉(zhuǎn)化為向量問題.

(2)通過向量運算,研究幾何元素之間的關(guān)系，如距離、夾角等問題.

(3)把運算結(jié)果“翻逢”成幾何關(guān)系.

考點二向量方法解決物理問題的步驟

用向量方法討論物理學(xué)中的相關(guān)問題，一般來說分為四個步驟：

(1)問題轉(zhuǎn)化，即把物理問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題.

(2)建立模型，即建立以向量為載體的數(shù)學(xué)模型.

(3)求解參數(shù)，即求向量的模、夾角、數(shù)量積等.

(4)回答問題，即把所得的數(shù)學(xué)結(jié)論回歸到物理問題.

技巧：(1)用向量法求長度的策略

①根據(jù)圖形特點選擇基底，利用向量的數(shù)量積轉(zhuǎn)化，用公式|a|2=a2求解.

②建立坐標(biāo)系，確定相應(yīng)向量的坐標(biāo)，代入公式：若a=(x,y),則|a|=dx2+y2.

(2)用向量法解決平面幾何問題的兩種思想

①幾何法：選取適當(dāng)?shù)幕?基底中的向量盡量已知模或夾角)，將題中涉及的向量用基底表示，利用向量的運算法

則、運算律或性質(zhì)求解.

②坐標(biāo)法：建立平面直角坐標(biāo)系，實現(xiàn)向量的坐標(biāo)化，將幾何問題中的長度、垂直、平行等問題轉(zhuǎn)化為代數(shù)運算.

【題型歸納】

題型一：用向量證明線段垂直問題

1.(2021?浙江師范大學(xué)附屬東陽花園外國語學(xué)校高一階段練習(xí))在△A2C中，^\AB+AC\=\AB-AC\,則△ABC

的形狀是（）

A.等腰三角形B.直角三角形C.等邊三角形D.等腰直角三角形

ABAC

2.（2021?四川省內(nèi)江市第六中學(xué)高一期中）已知非零向量而與衣滿足鬲+帚,■~BC=0,且通2=ABCB>

則為（）

A.等腰非直角三角形B.直角非等腰三角形

C.等腰直角三角形D.等邊三角形

題型二：用向量解決夾角問題

3.（2021?廣東?佛山市南海區(qū)里水高級中學(xué)（待刪除學(xué)校不要競拍）高一階段練習(xí)）在AQAB中，04=08=2,

AB=2B動點尸位于直線。4上，當(dāng)Ev而取得最小值時，NP8A的正弦值為（）

A3幣R2A/7「向D.叵

77143

jr

4.（2019?四川?綿陽中學(xué)高一階段練習(xí)）直角三角形。48中，NAOB=-,OA=3,OB=2,M為08的中點,

2

AN=-2ON，且P為AM與BN的交點，則cos/MPN=()

1

A1Rc6D.受

3322

題型三：用向量解決線段的長度問題

、—.——.2

5.（2021?江西?九江一中「同一期中）在AABC中，A3=AC=2,點〃滿足兩+2兩=0,若3cAM二5，則

的值為（）

3

A.1B.—C.2D.3

2

6.（2021?重慶南開中學(xué)高一期中）如圖所示在四邊形A8CZ）中，△AB。是邊長為4的等邊三角形，AC=2萬,

CA=tCB+(2-t)CD,(r>1),則O￡?=()

A

5/-7—

A.-B.2v2C.3D.>/13

題型四：向量與幾何最值問題

7.（2021?江西?九江一中高一期中）在直角梯形中，AB//CD,ABLAD,AB=4,AD=2ZCAB=^,

點尸是線段A8上的一點，M為直線BC上的動點，若前=2屈，AF=AAB，且通.麗=T7,則赤.麗的最

大值為（）

16323

A.-B.——C.—1D.——

41616

8.（2021?河北邢臺?高一階段練習(xí)）在平面四邊形438中，AB±BC,ADLCD,ZBAr>=120°,AB=i,AD=2,

若點尸為邊3c上的動點，則Q.麗的最大值為（）

A.1B.--C.--D.-2

224

題型五：向量在物理中的應(yīng)用

9.（2021?山東濰坊.高一期中）在日常生活中，我們常常會看到兩個人共提一個行李包的情景，若行李包所受的重

力為G,兩個拉力分別為耳，F(xiàn)2,且因=|周，耳與尸2夾角為仇當(dāng)兩人拎起行李包時，下列結(jié)論正確的是（）

A.|G|=|用+|圖B.當(dāng)時，園=日冏

C.當(dāng)。角越大時，用力越省D.當(dāng)忻|=|G|時，6?=方

10.（2021?全國?高一課時練習(xí)）如圖所示，一條河兩岸平行，河的寬度為400米，一艘船從河岸的A地出發(fā)，向河

對岸航行.已知船的速度i的大小為同=8km/h,水流速度g的大小為E|=2km/h,船的速度與水流速度的合速度

為0,那么當(dāng)航程最短時，下列說法正確的是（）

——1

A.船頭方向與水流方向垂直B.COS<Vj,v2>=——

C.|v|=2>/r7km/hD.該船到達對岸所需時間為3分鐘

題型六：平面向量應(yīng)用的綜合問題

11.（2021?全國?高一課時練習(xí)）如圖，已知正方形4BCD中,E,尸分別是的中點,交于點P.求證:

(1)BE±CF;

(2)AP=AB.

,3

⑵（2。2「江蘇?曠課時練習(xí)）如圖'在AABC中，AB=6MC=4,cosZBAC=-<5而=而，點M在8的延長

?jTfn1/A8AC、

線上,點尸是邊8C上的一點，且存在非零實數(shù)2,使MP=M4+2（西+同）.

（I）求而與元的數(shù)量積;

（II）求衣與①的數(shù)量積.

B

2

13.（2018.全國.高一單元測試）如圖,M是矩形ABCD的邊CD上的一點,AC與BM交于點N,BN=yBM.

⑴求證:M是CD的中點;

⑵若AB=2,BC=1,H是BM上異于點B的一動點，求百I廠的最小值.

【雙基達標(biāo)】

一、單選題

14.（2021?全國?高一課前預(yù)習(xí)）在AABC中，AB.CB<0,則AABC的形狀是（）

A.銳角三角形B.鈍角三角形C.直角三角形D.不能確定

15.（2021?全國?高一課時練習(xí)）物體受到一個水平向右的力月及與它成60。角的另一個力工的作用.已知”的大小為

2N,它們的合力F與水平方向成30。角，則心的大小為（）

A.3NB.豆NC.2ND.1N

16.（2021?全國?高一課時練習(xí)）平面上有三點A,B,C,設(shè)正=通+團，n=AB-BC>若犯〃的長度恰好相等,

則有（）

A.4,B,C三點必在同一條直線上

B.AA8C必為等腰三角形，且乙8為頂角

C.AA8C必為直角三角形，且NB=90。

D.AA8C必為等腰直角三角形

17.（2021.吉林.延邊二中高一期中）在中，斜邊BC長為2,O是平面A8C外一點，點P滿足

OP=OA+^（AB+AC）,貝修麗|等于（）

A.2B.1C.D.4

18.（2021.江西?九江一中高一階段練習(xí)）窗花是貼在窗紙或窗戶玻璃上的剪紙，是中國古老的傳統(tǒng)民間藝術(shù)之一.每

年新春佳節(jié)，我國許多地區(qū)的人們都有貼窗花的習(xí)俗，以此達到裝點環(huán)境、渲染氣氛的目的，并寄托著辭舊迎新、

接福納祥的愿望.圖一是一張由卷曲紋和回紋構(gòu)成的正六邊形剪紙窗花，已知圖二中正六邊形A3CDEF的邊長為2,

圓。的圓心為正六邊形的中心，半徑為1,若點尸在正六邊形的邊上運動，為圓O的直徑，則俞.無的取值

范圍是（）

B

圖二

33

A.[2,4]B.[2,3]C.-,4D.-,3

19.（2021.全國?高一-課時練習(xí)）用力聲推動一物體水平運動而，設(shè)R與水平面的夾角為凡則對物體所做的功為

（）

A.\F\-sB.FcosOC.F-Lsin0D.|F|.|.y|cos6>

乃

20.（2021?浙江省蘭溪市第三中學(xué)高一階段練習(xí)）扇形Q4B的半徑為1,圓心角為2仔，P是AB上的動點，則衣?麗

的最小值為（）

A.B.0C.—-D.J

21.（2021?湖南省邵東市第三中學(xué)高一期中）在AABC中，AB.AC<0,則AABC一定是（）

A.銳角三角形B.直角三角形C.鈍角三角形D.等邊三角形

22.（2021?全國?高一期中）已知矩形ABC。的一邊A8的長為4,點M,N分別在邊BC,OC上，當(dāng)M,N分別是

邊BC,0c的中點時，有（麗7+麗）?麗=0.若麗7+RV=x而+y亞，x+y=3,則線段MN的最短長度為（）

A.GB.2C.273D.272

【高分突破】

一：單選題

23.（2021?福建?福州三中高一期中）已知。是所在平面內(nèi)的一點，若||麗-網(wǎng)=|麗+反-2羽，則“8c

一定為（）

A.以8c為底邊的等腰三角形

B.A8為底邊的等腰三角形

C.以BC為斜邊的直角三角形

D.以4?為斜邊的直角三角形

24.（2021.全國.高一課時練習(xí)）加強體育鍛煉是青少年生活學(xué)習(xí)中重要組成部分，某學(xué)生做引體向上運動，處于如

圖所示的平衡狀態(tài)時，若兩只胳膊的夾角為60。，每只胳膊的拉力大小均為500N,則該學(xué)生的體重（單位：kg）

約為（）（參考數(shù)據(jù)：取重力加速度大小為g=10m/s2,^-1.732）

A.81B.87C.89D.91

25.（2021?浙江省諸暨市第二高級中學(xué)高一期中）已知點N、O、P滿足麗+而+祝=6，|。乂|=|麗卜B4，

UL1ULK.IULa.WULUUL&1LR.M1

PAPB=PBPC=PCPA,則點N、O、P依次是AABC的（）

A.重心、夕卜心、垂心B.重心、外心、內(nèi)心

C.外心、重心、垂心D.外心、重心、內(nèi)心

26.（2021.江蘇通州.高一期中）如圖所示，在中，。為BC中點，過。點的直線分別交AB,AC于不同的兩點

E,F,設(shè)麗恁，AC=pAF,則4+〃的值為（）

A

B

C

O

E

A.1B.1C.2D.不確定

27.（2021.山西太原.高一期中）已知|口=2|5|=2百,無5=-3,若|乙-&-加|=1,則憶I的取值范圍是（）

A.（2,4）B.[2,4]C.+D.[26-1,26+1]

28.（2021.山西運城.高一期末）已知向量￡,人工滿足同=4,忖=2近，￡與B的夾角為?，（"-￡）?（1楊=0,

則口的最大值為（）

A.2X/2B.氏+6C.710D.V10-V2

29.（2021?全國?高一課前預(yù)習(xí)）一條河流的兩岸平行，一艘船從河岸邊的A處出發(fā)到河對岸.已知船在靜水中的速

度匕的大小為M|=10m/s,水流速度匕的大小為何|=2m/s.設(shè)船行駛方向與水流方向的夾角為。，若船的航程最

短，則（）

八4一八乃八4八24r24c34

A.0=—B.0=—C.—<0<—D.—<0<—

322334

30.（2021?河南駐馬店?高一期末（文））在菱形ABCO中，|福卜麗?而=2,宿=麗，2麗=麗+麗，尸是

菱形458內(nèi)部及邊界上一點，則麗??麗的最大值是（）

31.（2021.江蘇泰州.高一期末）已知AABC外接圓的圓心為。，半徑為1.設(shè)點。到邊BC,CA,A8的距離分別為

4，d2,d3^OAOB+6BOC+OCOA=-\'則"：+"；+"；=（）

33

A.-B.1C.-D.3

42

二、多選題

32.（2021.山東鄒城.高一期中）已知“ABC外接圓的圓心為0,半徑為2,S.OA+AB+AC=6,OA^AB,則有

（）

A.OC^OA-OBB.OAAB=OAAC

C.點。是AABC的垂心D.3在為方向上的投影向量的長度為百

33.（2021?重慶?西南大學(xué)附中高一階段練習(xí)）己知￡、B是平面上夾角為？的兩個單位向量，2在該平面上，且

8-"）.,-"）=0,則下列結(jié)論中正確的有（）

A.卜+q=1B.’_0=1

C.同<6D.辦彼與2的夾角是鈍角

34.（2021?浙江省蘭溪市第三中學(xué)高一階段練習(xí)）設(shè)|4/|=10,若平面上點P滿足對任意的2eR,恒有

恨戶-力而性8,則下列一定正確的是（）

A.|PA|>4B.|PA+PB|>10C.PAPB^-9D.ZAPS>900

35.（2021?江蘇常州?高一期末）如圖，在等腰直角三角形4BC中，AB=AC=2,ZBAC=90°,E,F分別為AB,

AC上的動點，設(shè)通=4旃，AF=^AC,其中Z〃€（0,l）,則下列說法正確的是（)

A.若阿卜網(wǎng)，則2+〃=1

B.若幾=〃，則爐與及不共線

C.若2+4=1,記三角形AEF的面積為S,則S的最大值為g

D.若宏+〃2=[,且N分別是E尸,8c邊的中點，貝UIMNI的最小值為

TT

36.（2021?廣東廣州?局一期末）AABC中，A=-,AB=AC=2,則下列結(jié)論中正確的是（）

—2—2—

A.若G為AABC的重心，則+:/C

33

B.若P為BC邊上的一個動點，則Q?（而+元）為定值4

____3

C.若M、N為BC邊上的兩個動點，且MN=&則初■?麗的最小值為；

D.已知Q是AA3c內(nèi)部（含邊界）一點，若AQ=1,且通=2而+〃/，則兀+〃的最大值是1

三、填空題

37.（2021?全國?高一課時練習(xí)）已知向量入b.2滿足24=0，。=1，二卜舊，則卜-匕|的最大值是

38.（2021.全國.高一課時練習(xí)）已知。為AABC的外心，S.OA=^OB+OC,貝lJcosNBOC=.

39.（2021?全國?高一課時練習(xí)）如圖，墻上三角架的一端C處懸掛一個重為10N的物體，則邊3c上點B處的受力

情況是.

I0N

40.（2021.全國?高一課時練習(xí)）已知了=（5,4）,豆=（1,2）作用于同一質(zhì)點，使其由原點移動到點A（6,4）,則合力:

對質(zhì)點所做的功為.

41.（2021?四川?成都外國語學(xué)校高一階段練習(xí)（文））設(shè)。為AABC內(nèi)一點，且滿足關(guān)系式

OA+2OB+3OC=3AB+2BC+CA）則:S^OB-S.COA=_-

四、解答題

42.（2021?全國?高一課時練習(xí)）如圖，重為4N的勻質(zhì)球，半徑為R=6cm,放在墻與均勻的木板A3之間，A端固

定在墻上，8端用水平繩索8c拉住，板長/=10cm,木板A3與墻夾角為a,如果不計木板重，當(dāng)a為60一時，求

繩的拉力大小.

B

43.（2021?全國?高一課時練習(xí)）如圖，正方形ABC。的邊長為a,E是AB的中點，尸是BC的中點，求證：DEVAF.

DC

44.（2021.全國?高一課時練習(xí)）長江某段南北兩岸平行，如圖，江面寬度d=lkm.一艘游船從南岸碼頭A出發(fā)航

行到北岸.已知游船在靜水中的航行速度E的大小為同=10km/h,水流的速度W的大小為E|=4km/h.設(shè)E和E的

夾角為6（0°<0<180°）,北岸的點H在A的正北方向.

4

（1）當(dāng)夕=120?時，試判斷游船航行到達北岸的位置是在A的左側(cè)還是右側(cè)，并說明理由.

（2）當(dāng)cos。多大時，游船能到達A，處？需要航行多長時間？（不必近似計算）

（3）當(dāng)。=120?時，游船航行到達北岸的實際航程是多少？

45.（2021.廣東?仲元中學(xué)高一期末）如圖所示，AD是AABC的一條中線，點。滿足標(biāo)=2而，過點。的直線分

別與射線AB,射線AC交于M,N兩點.

(1)求證：AO^-AB+-AC；

33

(2)TSAM=mAB>AN=nAC，m>0,〃>0,求—的值;

mn

（3）如果AABC是邊長為的等邊三角形，求OA/2+ON2的取值范圍.

【答案詳解】

1.B

【分析】

由已知平方可得通.而=0,得出A8LAC可判斷.

【詳解】

?：\AB+AC\=\AB-AC\,:\AB+AC^=\AB-AC^,

則|同2+2AB-AC+|AC|2=|AB|2-2AB-AC+|AC|2,

.-.ABAC=0.：AB^AC,則△ABC為直角三角形.

故選：B.

2.C

【分析】

由通2=瓦?麗推出福?衣=0,由+帚)8《=0推出|而|=|衣|,則可得答案.

【詳解】

由麗、麗?麗，得麗?（福-麗）=0,得福?（通+前）=0,得而?而=0,

所以A8LAC,

(ABAC

因為.—I—，?-BC=Q,所以

[\AB\\AC\

22

ABAC|AB||AC|AB-AC八

所以----——,—+-_——?=(J,

IAB||AB|\AC\\AC\

所以-|而|+|而|=0,即|荏|=|/|,

所以AABC為等腰直角三角形.

故選：C

3.C

【分析】

建立平面直角坐標(biāo)系，寫出坐標(biāo)表示三.而，利用二次函數(shù)求出最小值時尸的坐標(biāo)，最后利用向量的夾角公式求解

即可.

【詳解】

建立如圖所示平面直角坐標(biāo)系:

則4(-6,0),8(6,0),。(0,1),

設(shè)P(x,y),

因為動點尸位于直線上，

直線。4的方程為：y=^-x+\,

3

所以&V筋=(-G_x,_y)?(6_x,_y)=x2_3+y2

2°,6八2426、29

=X-3+(—X+1)=-XH------X—2=-(XH------)—,

333344

當(dāng)"-乎時，A?防取得最小值-%此時P(-乎,$，

R=(-",當(dāng),忌=(-2后0),

44

15

BP-BA萬_5_5幣

所以cosZ.PBA=

—>—>2小婀=而二可

BP?BA

4

又因為NP8Ae(0,m,

所以sinNPBA=^—,

14

故選：C.

4.C

【解析】

【分析】

設(shè)麗=石，詼=石且麗:與麗的夾角為。，由此可表示出兩和兩；結(jié)合已知可求出亞和麗，由此可求出

AMBN，接下來根據(jù)向量數(shù)量積的運算公式即可解答.

【詳解】

設(shè)9=3，OB=h，則。?B=0,|a=3,|萬|=2,0M=gb,ON=；a

設(shè)源與麗的夾角為。,

VAM=OM-OA=-h-a,BN=ON-OB=-a-h

23f

AM-BN=(^b-a)\^a-b)=-^a-^b~=-5,

??.|網(wǎng)=M，網(wǎng)=氐

6Vio2

V0e[O,萬],：.0=—.

4

■:NMPN即為向量次與麗的夾角，

3萬

???4MPN=:，

4

故cos/MPN=-也.

2

故選：C.

【點睛】

本題主要考查平面向量數(shù)量積的計算，掌握向量數(shù)量積的運算公式是關(guān)鍵，屬于?？碱}.

5.C

【分析】

取8c中點。，由已知可確定的=2沅，利用向量的運算和長度關(guān)系將配?擊轉(zhuǎn)化為力時,

由此構(gòu)造方程求

得前=2.

【詳解】

取3c中點。，連接AO,

A

■.■BM+2CM=0,即兩=2就，二例為BC邊上靠近C的三等分點，

-.■BCAM=BC(Ad+OM^=BCAd+BCOM,

AB=AC,:.AOYBC,:,BCAO=0,

y.OM=-BC,:.BC-AM=BCOM=^BC^=^,.-.|BC|=2.

故選：C.

6.C

【分析】

根據(jù)CA=tCB+(2T)前可得CO=OA,再利用余弦定理可求0。的長度.

【詳解】

取AC的中點為M,

&^CA=tCB+(2-t)CI),故值一2麗=/麗即2而_2瓦=.而，

故2麗=f而，所以8三點共線，故M與。重合，所以A0=m，

故13=16+0>-2x4xODcos2,解得0。=1或。。=3,

因為r>l且2麗一麗,故國>網(wǎng)故阿卜3,

故選：C.

B

O(M)D

C

7.D

【分析】

如圖建立直角坐標(biāo)系，設(shè)&，〃,〃)，則由已知條件可求出點E的坐標(biāo)，再由標(biāo)=2而，求出力的值，則可得點F的

坐標(biāo)，BM=xBC，則可表示兩=(-2%+4,2后-2石)，MF=(2x-3,-2y/3x),從而可得

MFDM=-16x2+26x-12，進而利用二次函數(shù)的性質(zhì)可求得答案

【詳解】

如圖，以A為原點，ABA。所在的直線分別為軸，建立平面直角坐標(biāo)系，

因為直角梯形A3C。中，AB//CD,ABLAD,AB=4,A3=2石，ZCAB=|,

所以DC=2,貝IJ

A(0,0),￡)(0,2百)，尸(4,0),8(4,0),C(2,2"),

所以麗=(-4,26),BC=(-2,2A/3),

設(shè)E(，",〃)，則函=(m-2,〃-2jJ),

因為8c=2CE，所以(―2,2A/J)=2("?-2,〃—2百)，解得m=1,"=36，

所以E(1,3JJ),則通=(1,36)，DF=(2,-273),

因為通?方?!=—17,所以2-18=-17,得2=1,貝IJ尸(1,0),

設(shè)的=入配，則兩=麗-麗=》宙-麗=(-2x+4,2岳-26),

MF=BF-BM=BF-xBC=(2x-3,-2y/3x),

所以赤?兩=(-2x+4)(2x-3)+(2島-2V3)(-2>/3x)=-16x2+26x-12,

當(dāng)x=S13時.，礪._麗__取得最大值一2定3，

1010

故選：D

AV

8.C

【分析】

作圖，以B為原點，54、8c所在的直線分別為x軸，y軸建立直角坐標(biāo)系；

由題意可得點A、D的坐標(biāo)，設(shè)P（O,/）（OWrW寺），利用向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示得出

AP-PD=-t2+y/3t-2,結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)求出最大值即可.

【詳解】

如圖，以B為原點，BA,3c所在的直線分別為x軸，y軸建立直角坐標(biāo)系.

作DF1BC,垂足分別為E,F,

在A4PE中，因為A￡>=2,所以AE=1,DE=6

在ACDF中，因為0F=BE=2,ZC=60°,所以。/=3叵，BC=—,

33

則A（1,O）,D（2,73）.設(shè)P（Oj）,0WfW手，

則而=（-1/）,力=（2,67）,

所以福?麗=-*+后-2,

當(dāng)》=立時，麗?麗取得最大值，且（麗?麗）皿=_"

24

故選：C

9.B

【分析】

根據(jù)題意可得不=耳+耳，則同={2月2+2,.COS。，再根據(jù)各個選項分析即可得出答案.

【詳解】

解：根據(jù)題意可得：G=F\+F；,

則怛卜肉+耳卜唇司=J可+月?+2耳其=也可+2。.cos。，

當(dāng)6=0時，恂=2山|=寓|+閭,故A錯誤；

當(dāng)。=5時，恂=也甲+24.cos0=0網(wǎng),及山|=4口，故B正確；

,=,21+2尸.cos。，因為y=cos。在(0,萬)上遞減，

又因行李包所受的重力為G不變，所以當(dāng)。角越大時，用力越大，故C錯誤；

當(dāng)周=|G|時，艮恫=也不+2耳2.cos6=|同,解得cos，=_；,

又因6e(O/),所以6=q，故D錯誤.

故選：B.

10.B

【分析】

分析可知。=彳+正，當(dāng)船的航程最短時，v±^,利用平面向量數(shù)量積可判斷ABC選項的正誤，利用路程除以速

度可得航行時間，可判斷D選項的正誤.

【詳解】

由題意可知，5=彳+公，當(dāng)船的航程最短時，v±v^,而船頭的方向與E同向，

——"V.?v1

由丫“2=(匕+馬)“2=匕2+Y=0,可得彳苗二一寸=ycos<匕,%>=可7^=-7,A選項錯誤，B選項正確;

4

22

M=|w+%]={(%+v2j=^v)+2vj-v24-v2=^4-2x4+64=2>/15(km/h)，C選項錯誤;

該船到達對岸所需時間為60xg土=生叵(分鐘)，D選項錯誤.

2V155

故選：B.

11.(1)見試題解析；(2)見試題解析

【分析】

(1)如圖建立平面直角坐標(biāo)系xOy,其中A為原點，不妨設(shè)AB=2,則A(0,0),B(2,0),C(2,2),E(l,2),F(0,l),再求出而和而

的坐標(biāo)，再計算得施?飛F0即證

,再求而2=、)+(|)=4=通2,即證明AP=AB.

BE，CF.(2)設(shè)P(x,y),再根據(jù)已知求出

【詳解】

如圖建立平面直角坐標(biāo)系xOy,其中A為原點,不妨設(shè)AB=2,

則A(0,0),B(2,0),C(2,2),E(l,2),F(0,1).

(1)BE=OE-6B=(1,2)-(2,0)=(-1,2),

CF-OF-OC=(0,1)-(2,2)=(-2,-1),

：BEfCl=(-1)x(-2)+2x(-1)=0,

二屁_1_再，即BE±CF.

⑵設(shè)P(x,y)，則而=(x,y-l),而=(-2,-1).

；由||而，，-*=-26-1),即x=2y-2.

同理由而||BE,得y=-2x+4,代入x=2y-2,

解得x=y,.,.y=1,即

,??南啕+葭卜溝，

?'-IAPl=lABl)即AP=AB.

【點睛】

(1)本題主要考查向量的坐標(biāo)表示和坐標(biāo)運算，考查向量垂直和平行的坐標(biāo)表示，考查模的計算，意在考查學(xué)生

對這些知識的掌握水平和分析推理能力.(2)向量￡=(%,*)石=(9,%)，則

4_L5=xtx2+y.y,=0,aII5=xxy2-x}y1=0.

12.(I)-18；(II)-

【詳解】

試題分析：

3

(I)在AABC中由余弦定理得5c=4,從而得到三角形為等腰三角形，可得cosB=：,由數(shù)量積的定義可得

4

福?配=-18.(H)根據(jù)所給的向量式可得點P在/胡。的角平分線上，故可得CP==去AC=?4=彳?，所以_行_=2?函，

PBAB635

__1________23______1

因為5而=詼，所以得到AO=wAB.設(shè)設(shè)福=之*=另，則得到麗==萬+=5,CD=CA+AD=-b+-a,根

6556

據(jù)數(shù)量積的定義及運算率可得所求.

試題解析：

3

(I)在AABC中A3=6,AC=4,cosZBAC=—,

4

3

由余弦定理得BC2=62+42-2X6X4X-=16,

4

所以5c=4,

所以AABC是等腰三角形，且AC=8C,

以7

3,

4

所以福?阮=6x4x

所以點尸在NBAC的角平分線上,

又因為點尸是邊BC上的一點，

所以由角平分線性質(zhì)定理C得P二A=C左=￡4=1?,

PBAB63

—2-

所以CP=gC8.

因為5而=而，

所以而=,通.

設(shè)AB=a,AC=b,

則同=6,網(wǎng)=4,a*b=6x4x—=18.

由=1麗，得而_方=,但_5),

__23-

所以麗=丁+十，

y.CD=CA+AD=-b+-a,

6

所以福?麗=修+科以一小即『3-3-,

-a-b--b^

105

3363

=-x36-—xl8--xl6=-

15105y

點晴：解題時注意在三角形中常見的向量與幾何特征的關(guān)系:

(1)在/ABC中,^\OA\=\OB\^OC\^OA=OB=OC2y則點。是AABC的外心;

(2)在中，^GA+GB+GC=0f則點G是AABC的重心;

(3)在AABC中，^OP-OA=^AB+-BC),Ae[0,+oo),則直線AP一定過“ABC的重心;

(4)在AABC中，若麗?麗=麗.碇=阮.麗，則點，是“WC的垂心；

(5)在A48C中，若°P=°A+/l(尚p苗p(/l>0),則直線AP通過AABC的內(nèi)心.

13.(1)見解析；(2)0

【分析】

___2____9__.2__.

(1)設(shè)函=m^，國=n￡X,再根據(jù)向量的線性運算化簡麗=]的=§阮+101函,再求出

1

-=1-n,m=一,

:得，2______1___

函=配+函=(l-n)互+n而，解方程組，:所以而<=mCD=；CD,即M是CD的中點.(2)先利用

2

—m=n,〃=一.

133

+；,再利用二次函數(shù)求出函數(shù)的最小值.

向量的數(shù)量積和向量的線性運算求得屈(?

【詳解】

⑴設(shè)81=mCD,CN=nCA,

由題意知函=一的=一(肥+國)

33

2___2__9__

=—(BC+mCD)=_BC+—mCD,

XBN=BC+CN=BC+nCA=BC+n(CB+CD)

=(l-n)BC+nCD,

2.(1

—=l-n,m=一,

3解得2

21

—m=n,n=—.

133

___—1—

CM=mCD=-CD,即M是CD的中點.

(2)VAB=2,BC=1,M是CD的中點，

，MB=7LNABM=45。，

?'?AH?-=(^+BH)HB=-(AB+BH)BH=-AB?-T麗?

=-1ABIIBH|cos(l80°-ZABH)-|BHI2

=lABllBH|cos45°-|BHl2

=>/2|BH|-|BHl2=-+g,

又0〈l麗區(qū)亞，，當(dāng)I麗1=亞，即H與M重合時，曲?一取得最小值,且最小值為0.

【點睛】

(1)本題主要考查向量的線性運算和基底法，考查向量的數(shù)量積計算，意在考查學(xué)生對這些知識的掌握水平和分析推

理能力.⑵對于平面內(nèi)的不共線的向量則平面的任意一個向量￡總可以表示成乙=九力+〃可，其中或,是基底.

14.B

【分析】

由福?麗=|福行|cosB<0,可得cos8c0,分析即得解

【詳解】

由題意，ABCB^AB\\CB\cos<AB,CB>=]AB\\CB\cosB<0

cosB<0,又Beg,萬)

.?.8為鈍角

則AABC的形狀是鈍角三角形

故選：B

15.C

【分析】

如圖所示，|加|=|晶|，即得解.

【詳解】

BC

由題得ZAOB=60,ZAOC=30,

所以ZBOC=ZBCO=30。,所以。8=8C,

所以麗=|辰?|，

所以外和K大小相等，都為2N.

故選：C

16.C

【分析】

根據(jù)m,n的長度相等，由|恁|=|而|得到ABCD是矩形判斷.

【詳解】

如圖:

因為加工的長度相等，

所以I通+反H=l而-元I，

即1/1=1而I，

所以ABC。是矩形，

故△ABC是直角三角形，且NB=90。.

故選：C

17.B

【分析】

—.1—.—.

利用向量的減法可得AP=5（4B+AC）,從而可得為WAMC斜邊8c的中線，即可求解.

【詳解】

解：???OP=OA+-（AB+AC）＞,

2

一?,?1，?.-----.1..

/.OP-OA=-（AB+AC）,AP=-（AB+AC）

229

為R，AABC斜邊BC的中線，麗|=1.

故選：B.

18.B

【分析】

先利用平面向量的線性運算法則，將前，廝用局）.必來表示，然后將所求式子表達成用來表示，進而求出范圍.

【詳解】

如圖，取AF的中點。，根據(jù)題意，△AOF是邊長為2的正三角形，易得|OQ|=6,

—>—>

PO+ON=|PO『+PQ.ON+PO-OM+OMON

=|POI2+PO(ON+OMj-l=|-1.

根據(jù)圖形可知，當(dāng)點P位于正六邊形各邊的中點時1尸。1有最小值為百，此時I局=當(dāng)點尸位于正六邊形

的頂點時|P0|有最大值為2,此時|訪12T=3，

所以，24前?無

故選：B.

19.D

【分析】

直接用向量的數(shù)量積即可求得.

【詳解】

力聲對物體所做的功為W=R?可斗陣3/

故選：D.

20.C

【分析】

由題設(shè)有麗=麗-麗，BP=OP-()B,OAOB=~,op=\,即可得麗?麗=；-麗?(方+麗)，分析使衣.而

的最小時而,麗+麗的位置關(guān)系，進而求麗?麗的最小值.

【詳解】

由題設(shè)，AP=OP-OA>BP=OP-OB，

APBP=(OP-O